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空间向量与立体几何单元测试题(教师版)


空间向量与立体几何单元测试题
一、选择题 1、若 a , b , c 是空间任意三个向量, A. a ? b ? b ? a

? ? ?

? ? R ,下列关系式中,不成立的是( D )
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C. a ? b ? c ? a ? b ? c

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/>
B. ? a ? b ? ? a ? ? b

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D. b ? ? a

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2、已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60?,那么 a ? 3b 等于( C ) A. 7 B. 10 C. 13 D.4 )

? ?

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3、 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b, 且 c ? a ,则向量 a与b 的夹角为( C A.30? B.60? C.120?

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? ? ? ? 4、已知 a ? ? ?3, 2,5 ? , b ? ?1, x, ?1? , 且 a ? b ? 2 ,则 x 的值是 ( C )
A.3 B.4 C.5 D.6

D.150?

? ? 5、若直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,则能使 l // ? 的是( D )
A. a ? ?1, 0, 0 ? , n ? ? ?2, 0, 0 ? C. a ? ? 0, 2,1? , n ? ? ?1, 0, ?1?

?

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B. a ? ?1,3,5 ? , n ? ?1, 0,1? D. a ? ?1, ?1,3? , n ? ? 0,3,1?

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6、正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是 A1B1 中点,则 E 到平面 ABC1D1 的距离是( B ) A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2


D.

3 3

7、设 a ? ( x, 4,, 3) b ? (3 , 2,z) ,且 a ∥ b ,则 xz 等于( A. ?4 B.9 C. ?9 D.

64 答案:B 9 8、已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上中线长( A.2 B.3 C.4 D.5 9、下列各组向量中不平行的是( )

B )

A. a ? (1,2,?2), b ? (?2,?4,4) C. e ? (2,3,0), f ? (0,0,0)

?

?

B. c ? (1,0,0), d ? (?3,0,0) D. g ? (?2,3,5), h ? (16,24,40)

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→ → → → 10、直三棱柱 ABC-A1B1C1,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B=(D) A.a+b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 11、已知 a=(-5,6,1),b=(6,5,0),则 a 与 b( A ) A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向 12、已知 a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,则 x 等于(B) 1 A.4 B.-4 C. D.-6 2 → 13、若 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x 的值等于( ) 8 8 19 A.19 B.- C. D. 7 7 14
1

→ → 2 2 2 2 解析: AB = (1 - x,2x - 3 ,- 3x + 3) ,则 | AB | = ? 1-x? +? 2x-3? +? -3x+3? = 14x -32x+19 = 8 2 5 8 → 14? x- ? + ,故当 x= 时,|AB|取最小值,故选 C. 7 7 7 答案:C 14、在以下命题中,不正确的个数为( ) ①|a|-|b|=|a+b|是 a、b 共线的充要条件;②若 a∥b,则存在唯一的实数 λ ,使 a=λ b; → → → → ③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C,若OP=2OA-2OB-OC,则 P、A、B、C 四点共面; ④若{a, b, c}为空间的一个基底, 则{a+b, b+c, c+a}构成空间的另一个基底; ⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|. A.2 B.3 C.4 D.5 解析: ①错, 应为充分不必要条件. ②错, 应强调 b≠0.③错, ∵2-2-1≠1.⑤错, 由数量积的运算性质判别. 答 案:C 15、若 a 、 b 均为非零向量,则 a ? b ? a b 是 a 与 b 共线的 ( A )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 二、填空题 16、 已知直线 l 的方向向量为 v=(1, -1, -2), 平面 α 的法向量 u=(-2, -1,1), 则 l 与 α 的夹角为________. |-2+1-2| 1 解析:∵cos〈v,u〉= = ,∴〈v,u〉=60°.∴l 与 α 的夹角为 30°.答案:30° 2 6× 6 17、 已知向量 a ? (3,5,1) ,b ? (2,2,3) ,c ? (4,?1,?3) , 则向量 2a ? 3b ? 4c 的坐标为 (16, 0, -19)

?

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?

?

? ? ? ? ? ? 18、若向量 a ? (4,2,?4), b ? (6,?3,2) ,则 (2a ? 3b )? (a ? 2b ) ? _____-212_____________
2

.

19、已知 a ? ( x,2,0) , b ? (3,2 ? x, x ) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是___x<-4______ 20、已知向量 a ? (2,?1,3), b ? (?4,2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ______;若 a // b 则 x ? ______。 三、解答题 21、已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). → (1)求|2a+b|;(2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得OE⊥b?(O 为原点) 2 2 2 解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|= 0 +? -5? +5 =5 2. → → → → → → → (2)OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若OE⊥b,则OE·b=0, 9 → 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得 t= ,因此存在点 E,使得OE⊥b, 5 6 14 2 此时 E 点坐标为 E(- ,- , ). 5 5 5 22 、 设 a1 ? 2i ? j ? k,a2 ? i ? 3 j ? 2k,a3 ? ?2i ? j ? 3k,a4 ? 3i ? 2 j ? 5k , 试 问 是 否 存 在 实 数 ?,?,? , 使 a4 ? ? a1 ? ? a2 ?? a成立?如果存在,求出 ?,?,? ;如果不存在,请写出证明. 3 答案:解:假设 a4 ? ?a1 ? ?a2 ?? a3 成立. ∵a1 ? (2, ? 11) ,,a2 ? (1 , 3 , ? 2),a3 ? (?2, 1 , ? 3),a4 ? (3, 2, 5) , ∴(2? ? ? ? 2?, ? ? ? 3? ??,? ? 2? ? 3 ? ) ? (3, 2, 5) .
?2? ? ? ? 2? ? 3, ?? ? ?2, ? ? ∴ ??? ? 3? ? ? ? 2, , 所以存在 ? ? ?2,? ? 1 解得 ? ? ? 1 ,v ? ?3 使得 a4 ? ?2a1 ? a2 ? 3a3 . ?? ? 2? ? 3? ? 5, ?? ? ?3. ? ?

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2

图8 23、如图 8,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. 求证:(1)AC⊥BC1;(2)AC1∥平面 CDB1.

证明:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,且 C1C 垂直底面. ∴AC、BC、C1C 两两垂直. 如图 9,以 C 为坐标原点,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 3 则 C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D( ,2,0). 2 → → → → (1)AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4),∴AC·BC1=0,∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE,则 E(0,2,2), 3 → → → 1→ ∵DE=(- ,0,2),AC1=(-3,0,4),∴DE= AC1.∴DE∥AC1. 2 2 ∵DE? 平面 CDB1,AC1?平面 CDB1,∴AC1∥平面 CDB1. 24、在正棱锥 P-ABC 中,三条侧棱两两互相垂直,G 是△PAB 的重心,E,F 分别是 BC,PB 上的点,且 BE∶EC =PF∶FB=1∶2.求证:(1)平面 GEF⊥平面 PBC;(2)EG⊥PG,EG⊥BC.

图 11 证明:(1)以三棱锥的顶点 P 为原点,以 PA、PB、PC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐 标系.令 PA=PB=PC=3,则 A(3,0,0),B(0,3,0), → → → → C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0).于是PA=(3,0,0),FG=(1,0,0).故PA=3FG.∴PA∥FG. 又 PA⊥平面 PBC,∴FG⊥平面 PBC.又 FG? 平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 PBC.
3

→ → → → → → → (2)∵EG=(1,-1,-1),PG=(1,1,0),BC=(0,-3,3).∴EG·PG=1-1=0,EG·BC=3-3=0.∴EG⊥PG, EG⊥BC. 25、如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 DC 的中点,取如图所示的空间直角坐标系. (1)写出 A、 B1、E、D1 的坐标; (2)求直线 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值。

解:(1) A(2, 2, 0),B1(2, 0, 2),E(0, 1, 0),D1(0, 2, 2) → → → → → → (2)∵ AB1 =(0, -2, 2), ED1 =(0, 1, 2) ∴ | AB1 |=2 2 ,| ED1 |= 5 , AB1 · ED1 =0-2+4=2, → → AB1 · ED1 2 10 10 → → ∴ cos ? AB1 , ED1 ? = = = .∴ AB1 与 ED1 所成的角的余弦值为 . → → 10 10 2 2× 5 | AB1 |·| ED1 | 26、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,如图E、F分别是 BB1 ,CD的中点, (1)求证: D1 F ? 平面 ADE; (2)求直线 EF 与直线 CB1 所成的角。 解:建立如图所示的直角坐标系, (1)不妨设正方体的棱长为 1, z 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) , D1 (0,0,1) ,

1 1 ) ,F(0, ,0) , 2 2 1 则 D1 F =(0, ,-1) , D A =(1,0,0) , 2 1 , 则 D1 F ? DA =0, AE =(0,1, ) 2 D1 F ? AE =0, ? D1 F ? DA , D1 F ? AE . ? D1 F ? 平面 ADE.
E(1,1,

D1 B1 E D F x A B

C1

A1

C

y

(2) B1 (1,1,1) ,C(0,1,0) ,故 CB1 =(1,0,1) , EF =(-1,-

1 1 ,- ) , 2 2

? EF ? CB1 =-1+0-
则 cos EF , CB ? 1

1 3 =- , 2 2
? ? 3 2 ??

EF ? 1 ?

1 1 ? ? 4 4

3 , CB 1 2

? 2,

EF ? CB1 EF ? CB1

3 ? 2 2

3. 2

EF , CB1 ? 150 ? .

4


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