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映射和计数原理排列组合综合题型解析3例


1、已知集合 A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f 是从 A 到 B 的映 射. (1)若 B 中每一元素都有原象,这样不同的 f 有多少个? (2)若 B 中的元素 0 必无原象,这样的 f 有多少个? (3)若 f 满足 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4, 这样的 f 又有多少个? 解析:(1)显然对应是一一对应的,即为 a1 找象有

4 种方法,a2 找象 有 3 种方法,a3 找象有 2 种方法,a4 找象有 1 种方法,所以不同的 f 共有 4×3×2×1=24(个). (2)0 必无原象,1,2,3 有无原象不限,所以为 A 中每一元素找象时都 有 3 种方法.所以不同的 f 共有 34=81(个). (3)分为如下四类: 第一类,A 中每一元素都与 1 对应,有 1 种方法; 第二类,A 中有两个元素对应 1,一个元素对应 2,另一个元素与 0 1 对应,有 C 42 · C2 =12 种方法; 第三类,A 中有两个元素对应 2,另两个元素对应 0,有 C 42 · C 22 =6 种方法; 第四类,A 中有一个元素对应 1,一个元素对应 3,另两个元素与 0 1 1 对应,有 C4 · C3 =12 种方法. 所以不同的 f 共有 1+12+6+12=31(个). 2、已知集合 A={a1,a2,a3,a4},集合 B={b1,b2},其中 ai,bj(i=1, 2,3,4; j=1,2)均为实数. 求: (1)从集合 A 到集合 B 能构成多少个不同的映射? (2) 能构成多少个以集合 A 为定义域, 以集合 B 为值域的不同函数? 分析: (1) 由映射的定义知集合 A 中每一个元素在集合 B 中有唯一的元素 和它对应,A 中 a1 在集合 B 中有 b1 或 b2 与 a1 对应,有两种选择,同 理集合 A 中 a2,a3,a4 也有两种选择,由分步乘法原理求解即可. (2)根据(1)中每一个影射均是以集合 A 为定义域,以集合 B 或 B 的非空子集为值域的函数,可得答案. 解答:
1

解: (1)由映射的定义知 A 中 a1 在集合 B 中有 b1 或 b2 与 a1 对应, 有两种选择, 同理集合 A 中 a2,a3,a4 也有两种选择, 由分步乘法原理得从集合 A={a1,a2,a3,a4},到集合 B={b1,b2}的 不同映射共有 2×2×2×2=16 个. (2) (1)中每一个映射均是以集合 A 为定义域,以集合 B 或 B 的非 空子集为值域的函数, 其中以{b1}为值域的函数有一个, 以{b2}为值域的函数有一个, 故以集合 A 为定义域,以集合 B 为值域的不同函数有 14 个

3、 (2014 秋?宜春校级月考)已知两个实数集 A={a1,a2,a3,a4,a5}, B={b1,b2,b3,b4,b5},若 B 中恰有一元素没有原象且 f(a1)≥f (a2)≥f(a3)≥f(a4)≥f(a5) ,则这样的映射共有 20 个.

分析: 题目中给出的两个集合都含有 5 个元素,构成映射时要求集合 B 中 仅有 4 个元素有原像,所以从中只能取 4 个元素,这样 A 中必然有 两个元素的像相同,又 f(a1)≥f(a2)≥f(a3)≥f(a4)≥f(a5) ,所 以有相同像的两个元素必须相邻, 根据映射概念及分步计数原理可求 所得映射个数. 解答:
2

解:由实数集 A={a1,a2,a3,a4,a5},B={b1,b2,b3,b4,b5},B 中恰有一元素没有原象且 f(a1)≥f(a2)≥f(a3)≥f(a4)≥f(a5)知, 集合 B 中仅有 4 个元素有原像,共 C54 种取法,集合 A 中仅有两个元 素对应同一个像,不妨设 b1<b2<b3<b4<b5,集合 A 中两个元素的 组合方法有 4 中,即 a1、a2 组合,a2、a3 组合,a3、a4 组合,a4、a5 组合,所以构成的映射共 4× C54 =20 种. 故答案为 20.

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