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二、选择题[1]


二、选择题(每题 3 分) 1 1 1、 D = 1 1 1 1 1 2 3 4 =[ 4 9 16 8 27 64

].

(A)12

(B) ? 12

(C)16

(D) ? 16

0
2、 行列式

a1n a 2 n ?1
?
=[ ]a1na2n–1…an1

a n1
(A) –1 (B) –n

0
(C) ?

1 n(n ? 1) 2

1

(D) ( ?1) 2

n ( n ?1)

a11 3、 若 D= a 21 a 31
(A) –40m

a12 a 22 a 32

a13 4a11 5a11 ? 2a12 a 23 =m≠0,则 D1= 4a 21 5a 21 ? 2a 22 a 33 4a 31 5a 31 ? 2a 32
(B) 40m (C) –8m

a13 a 23 =[ a 33

]。

(D) 20m

9 4 2 5 0 ?1 4 、 D= 0 2 3 5 ?1 0 7 0 0
(A) –294

1 1 3 0 0

6 4 2 =[ 0 0
(B) 294

]。

(C) 61 ) 。

(D) –61

5、设 A 是 n 阶方阵,则 | A |= 0 的必要条件是( (A) A 中两行(列)元素对应成比例 (B) A 中有一行元素全为零 (C)任一行元素为其余行的线性组合 (D)必有一行元素为其余行的线性组合

6、设 A, B 是 3 阶方阵,已知 | A |= ?1, | B |= 2, 则 ( A) ? 4 (B)4 (C)16

2A A =[ 0 ?B

].
(D) ? 16

7、设 A, B 是三阶方阵,已知 | A |= 1, | B |= ?2, 则六阶行列式 (A) ? 4 (B)4 (C) ? 16

2A O =( A ?B
(D)16

) 。

8、设 A, B 是 n 阶方阵, 则必有( (A) A + B = A + B (C) AB = BA

) 。 (B) AB = BA ( D) ( A + B )
?1

= A ?1 + B ?1

? ? 1 2 3? ? ? 9、设 A = ? ? 3 6 8 ? , 且 R ( A) = 2 ,则 t = ( ? 2 ?4 t? ? ?
(A) ? 6 (B) 6 (C)8

) 。

(D) t 为任何实数

? a1b1 ? ? a 2 b1 10、 设A=? ? ? ?a b ? n 1
(A) 1

a1b2 ? a1bn ? ? a 2 b 2 ? a 2 bn ? , 其中 a i ≠ 0, b j ≠ 0, i, j = 1,2, ? , n , 则 R ( A) 为 ( ? ? ? ? ? a n b2 ? a n b n ? ?
(B) 2 (C) n (D)无法确定

) 。

11、设 A 为 n 阶方阵, E 为 n 阶单位矩阵,且 ( A ? E ) = 3( A + E ) ,则(1) A 可逆, (2) A + E 可逆, (3) A + 2 E 可逆, (4) A + 3E 可逆,以上四个结论中正确的有( (A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个 ) 。

2

2

12、设 A, B, C 为 n 阶方阵, E 为 n 阶单位阵,且 ABC = E ,则下列各式中( (A) CAB = E (C) BCA = E (B) B ?1 A ?1C ?1 = E (D) C ?1 A ?1 B ?1 = E

)不成立。

13、设 A 、 B 为 n 阶方阵, k 为自然数,若 AB = BA ,则称 A 与 B 可交换,下列命题错误 的是( ) 。 (A)若 A , B 都为对称阵,则 A 与 B 可交换 (B)若 A , B 可交换,则 AB k 与 BA k 可交换 (C)若 A ? B 与 A + B 可交换,则 A 与 B 可交换 (D)若 A , B 互为逆矩阵,则 A 与 B 可交换

14、设 A 是 n 阶对称阵, B 是 n 阶反对称阵,则下列矩阵中反对称矩阵是( (A) BAB (B) ABA (C) ABAB (D) BABA



15、 设 A、B 均为 n 阶方满足 AB=0,则[ (A) A=B=0 (B) A+B=0

]。 (C) |A|=0 或|B|=0 (D) |A|+|B|=0

16、设 A, B 均为 n 阶方阵,则下列结论正确的是( (A) AB ≠ 0 ? A ≠ 0 且 B ≠ 0 (C) | AB |= 0 ?| A |= 0 或 | B |= 0

). (B) | A |= 0 ? A = 0 (D) A = E ?| A |= 1

17、设 A, B 均为 n 阶非零矩阵,且 AB = 0 ,则它们的秩满足( (A)必有一个等于零 (C)一个小于 n ,一个等于 n 18、矩阵 A 在( )时,其秩将被改变 (A)乘以奇异矩阵 (C)进行初等行变换 (B)都小于 n (D)都等于 n

) 。

(B)乘以非奇异矩阵 (D)转置

19、设 A, B 为满足 AB = O 的任意两个非零矩阵, 则必有( (A) A 的列向量组线性相关, B 的行向量组线性相关 (B) A 的列向量组线性相关, B 的列向量组线性相关 (C) A 的行向量组线性相关, B 的行向量组线性相关 (D) A 的行向量组线性相关, B 的列向量组线性相关

) 。

20、下列命题中正确的是( ) 。 (A)在线性相关的向量组中,去掉若干向量后所得向量组仍然线性相关 (B)在线性无关的向量组中,去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关 (C)任何 n + k 个 n 维向量 (k ≥ 1) 必然线性相关 (D)若只有 k1 , k 2 , ? , k m 全为零时,等式 k1α 1 + ? + k mα m + k1 β 1 + ? + k m β m = ο 才成立,且 α 1 , α 2 , ? , α m 线性无关,则 β 1 , β 2 , ? , β m 线性无关

21、 设向量组 α 1 = (1 , 1 , 1) ,α 2 = (1 , 2, 3) ,α 3 = (1 , 3,t ) , 当t = ( 向量组 α 1,α 2,α 3 线性相关。 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2

T

T

T

)时,

22、设向量组 α 1 = (1 , ?1 , 1 , 0) ,α 2 = (1 , 1 , ?1 , 0 ) ,α 3 = (? 1 , 1 , 1 ,t ) , 则 α1 ,α 2 ,α 3 ( (A)必线性无关 (C)必相互正交 (B)必线性相关 (D)相关与否与 t 有关 ) 。

T

T

T

) 。

23、设 A 为 n 阶方阵,满足 R ( A) = r < n , 则在 A 的 n 个行向量中( (A)必有 r 个行向量线性无关 (B)任意 r 个行向量都线性无关 (C)任意 r 个行向量都构成极大线性无关组 (D)任一行向量都可由其他 r 个行向量线性表出

24、设 A 为 5 阶方阵,且 A = 0 , 则 A 中( (A)必有一列元素为零 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有某列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合

) 。

25、设 α1 , α 2 是 n 维向量,令 β 1 = 2α 1 ? α 2 , β 2 = α 1 + α 2 , β 3 = 5α 1 + α 2 , 则( (A) β1 , β 2 , β 3 必线性无关 (B) β1 , β 2 , β 3 必线性相关 (C)当 α 1 , α 2 线性无关时, β1 , β 2 , β 3 必线性无关 (D)仅当 α 1 , α 2 线性相关时, β1 , β 2 , β 3 线性相关

) 。

26、下列向量组中,线性无关的向量组是.( (A) (1,3,0) , (?



1 3 ,? ,0) 2 2

(B) (2,0) , (0,1) (C)(1,1,3) , (2,4,5) , (1,-1,0) , (2,2,6) (D) (5,2,9) , (2,1,2) , (7,3,11)

27、设 α 1 , α 2, ?α s , β 1 , β 2 , ? β t 都是 n 维向量组,且 R (α 1 , α 2 , ?α s ) = R ( β 1 , β 2 ? β t ) = r , 则( ) 。

(A)两向量组等价 (B) R (α 1 , α 2 , ?α s,β 1 , β 2 ? β t ) = r (C)当 α 1 , α 2 , ?α s 能由 β 1 , β 2 , ? , β t 线性表出时,两向量组等价 (D)当 s = t 时,两向量组等价

28、设 α 1 , α 2, ?α s , β 1 , β 2 , ? β t 为同维向量组,且 R (α 1 , α 2 , ?α s ) = a, R ( β 1 , β 2 ? β t ) = b , 则( ) 。 (A) ≤ a + b (B) > a + b (C) ≤ max{a, b} (D) > max{a, b}

29、设 α 1 = (1,?2,1) T , α 2 = (1,?1,1) T ,则 α 3 =( (A) (2,1,2) T (B) (1,0,1) T

)时,有 α 1 , α 2 , α 3 为 R 3 的基 (C) (0,1,0) T (D) (0,0,1) T

30、已知 R 3 中的向量 x = (6,9,14) , e1 = (1,1,1) , e2 = (1,1,2) , e3 = (1,2,3) , 则 x 在 e1 , e2 , e3 下的坐标是( (A) (1,2,3) T ). (C) (3,1,2) T (D) (1,3,2) T

T

T

T

T

(B) (2,1,3) T

31、下列集合构成的向量空间中,维数是 [

n +1 ] 的是( 2

).

(A)偶数号码的坐标相等的所有 n 维向量 (B)偶数号码的坐标等行 0 的所有 n 维向量 (C)偶数号码和奇数号码的坐标分别相等的所有 n 维向量 (D)形如 ( a,? a, a,? a ?) 的所有 n 维向量,其中 a 为任意数

32、设 A 是 3 阶方阵,且方程组 Ax = b 只有一个解, B 是划去 A 的第一行所得到的矩阵, 则 R( B) = ( ) 。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)0

33、设 A 是 n 阶方阵,且方程组 Ax = 0 有无穷多组解,则方程组 AAT x = 0 ( (A)仅有零解 (B)无解 (C)有无穷多组解

) 。

(D)有有限组解

34、设 A 为 4 × 3 矩阵, η1 ,η 2 ,η 3 是非齐次线性方程组 Ax = b 的 3 个线性无关的解向量,

k1 , k 2 为任意常数,则非齐次线性方程组 Ax = b 的通解为( η2 + η3 + k1 (η 2 ? η1 ) 2 η + η3 (C) 2 + k1 (η 2 ? η1 ) + k 2 (η 3 ? η1 ) 2
( A) (B)

) 。

η 2 ? η3 + k1 (η 2 ? η1 ) 2 η ? η3 (D) 2 + k1 (η 2 ? η1 ) + k 2 (η 3 ? η1 ) 2

35、设 A 是 n 阶实矩阵, AT 是 A 的转置矩阵,则对于线性方程组(I) : A x = 0 和(II) :

AT A x = 0 必有(

).

( A) (II)的解是(I)的解, (I)的解也是(II)的解 (B) (II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解 (C) (I)的解不是(II)的解, (II)的解也不是(I)的解 ( D) (I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解

?λx1 + x 2 + λ2 x3 = 0 ? 36、齐次线性方程组 ? x1 + λx 2 + x3 = 0 成系数矩阵记为 A ,若存在 3 阶非零矩阵 B , ? x + x + λx = 0 2 3 ? 1
使 AB = 0 ,那么( ( A) λ = ? 2 且 | B | = 0 (C) λ = 1 且 | B |= 0 ). (B) λ = ?2 且 | B |≠ 0 (D) λ = 1 且 | B |≠ 0

37、设 A 是 n 阶矩阵, α 是 n 维向量,若 R? ? (A) A x = α 必有无穷多解 (C) ? ?

? A T ?α

α? ? = R( A) ,则线性方程组( 0? ?

) 。

(B) A x = α 必有唯一解 (D) ? ?

? A T ?α

α ?? x ? ? ?? ? ? = 0 仅有零解 0? ?? y ?

? A T ?α

α ?? x ? ? ?? ? ? = 0 必有非零解 0? ?? y ?

38、设 A = a ij 是 n 阶可逆矩阵,则 n ?1元线性方程组 ∑ a ij x j = a in , (i = 1,2, ? , n) (
j =1

( )

n ?1

) 。

(A)有唯一解

(B)无解

(C)有无穷多解

(D) A, B, C 都可能发生

39、已知 β 1,β 2 为方程组 Ax = b 的两个特解, α 1 , α 2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的一组基础 解系, k1 , k 2 为任意常数,则 Ax = b 的通解为( ) 。

1 (β1 ? β 2 ) 2 1 (B) k1 (α 1 + α 2 ) + k 2 (α 1 ? α 2 ) + ( β 1 + β 2 ) 2 1 (C) k1 ( β 1 + β 2 ) + k 2 ( β 1 ? β 2 ) + (α 1 ? α 2 ) 2 1 (D) k1 ( β 1 + β 2 ) + k 2 ( β 1 ? β 2 ) + (α 1 + α 2 ) 2
(A) k1 (α 1 + α 2 ) + k 2 (α 1 ? α 2 ) +

40、已知非齐次线性方程组 AX = B 的 3 个解向量为 η1 ,η 2 ,η 3 ,若 (η1 + η 2 ) ? kη 3 是其导出 组 AX = O 的解向量,则 k = ( (A)3 (B)2 ) 。 (C)1 (D)0

41、已知 η1 , η 2 是方程 (λE ? A)X = 0 两个不同的解向量,则下列向量中必是 A 的对应于特 征值 λ 的特征向量是( ( A) η 1 ) 。 (C) η1 ? η 2 (D) η1 + η 2

(B) η 2

42、设三阶矩阵 A 的三个特征值为 1, 1, 2, 且 α 1 , α 2 , α 3 分别为对应的特征向量,则( (A) α 1 , α 2 , α 3 必为矩阵 2 E ? A 的特征向量 ; (B) α 1 ? α 2 必为矩阵 2 E ? A 的特征向量 ; (C) α 1 ? α 3 必为矩阵 2 E ? A 的特征向量 ; (D) α 1 , α 2 必为矩阵 2 E ? A 的特征向量, α 3 不是矩阵 2 E ? A 的特征向量 。

) 。

43、设 A 、 B 都是 n 阶方阵,且 A 与 B 有相同的特征值,并且 A 、 B 都有 n 个线性无关的 特征向量,则( ) 。 ( A) A ~ B (C) A ≠ B ,但 | A ? B |= 0 (B) A = B (D) A 与 B 不一定相似,但 | A |=| B |

44、设 λ = 2 是 A ≠ 0 的矩阵的一个特征值,则矩阵 ?

?1 2 ? A ? 有一个特征值为( ?3 ?
1 4
(D)

?1

) 。

( A)

4 3

(B)

3 4

(C)

1 2

45、设 x 是矩阵 A 属于特征值 λ 0 的特征向量,则矩阵 P ?1 AP 属于特征值 λ 0 的特征向量为 ( ) 。 (A) Px (B) P ?1 x (C) P T x (D) x

46、设 n 阶方阵 A 与 B 相似,则必有( (A) A 与 B 同时可逆或不可逆;

) 。 (B) A 与 B 有相同的特征向量;

(C) A 和 B 均与同一个对角矩阵相似; (D)矩阵 λE ? A 与 λE ? B 相等。 47、若矩阵 A 与 B 相似,则( ( A ) λE ? A = λE ? B (C) A, B 有相同的特征向量 ) 。 (B) | A |=| B | (D) A 与 B 均与一个对角矩阵相似

48、设矩阵 A = (a ij) n× n ,则二次型 f ( x1 , x 2 , ? , x n ) = ∑ (a i1 x1 + a i 2 x 2 + ? + a in x n )
i =1

n

2

的矩阵为( (A ) A

) 。 (C) AT A (D) AAT ) 。 (B) R ( A) = n (D) A ?1 是正定矩阵

(B ) A 2

49、 n 阶实对称矩阵 A 正定的充要条件是( (A) A 的所有特征值非负 (C)所有 k 阶子式为正 (1 ≤ k ≤ n)

50、设 A 为 m × n 实矩阵, X = ( x1 , x 2 , ? , x n ) T ,则方程组 AX = O 只有零解是 AT A 为 正定矩阵的( (A)充分条件 (C)充要条件 51、矩阵( ) 。 (B)必要条件 (D)既非充分又非必要条件

)不是正定矩阵。

? 1 ? 1 ? 1? ? ? ( A) ? ? 1 2 1? ??1 1 3? ? ?

? 3 1 ? 1? ? ? (B) ? 1 1 0 ? ??1 0 1 ? ? ?

? 3 1 ? 1? ? ? (C) ? 1 2 1 ? ??1 1 0 ? ? ?

0 ? 1? ? 2 ? ? (D) ? 0 3 ? 1? ??1 ?1 1 ? ? ?

?1 1 0 ? ? ? 52、设方阵 A = ? 1 k 0 ? 是正定矩阵,则必有( ?0 0 k 2 ? ? ?
( A) k > 0 ; (B) k > 1 ;

) 。

(C) k > 2 ;

(D) k > ?1 。

53、设 n 阶方阵 A 为正定矩阵,下面结论不对的是( (A) A 可逆 (C) | A |> 0
?1

) 。

(B) A 也是正定矩阵 (D) A 的所有元素全为正

54、当方阵 A 是( (A)对角矩阵

)时, A 必合同于单位矩阵。 (B)对称矩阵 (C)正定矩阵

(D)正交矩阵

55、设 n 阶方阵 A, B 均为正定矩阵,则( (A) AB 正定, A + B 正定 (B) AB 正定, A + B 非正定 (C) AB 非正定, A + B 正定 (D) AB 不一定正定, A + B 正定

) 。

?0 0 1? ? ? 56、设 A = ? 0 1 0 ?, λE + A 是正定的实对称矩阵,则 λ 的取值范围是( ?1 0 0? ? ?
(A)=1 (B) > 1 (C) ≥ 1 (D) ≤ 1

).

57、设 T 是线性空间 V 上的线性变换,向量 α 1 , α 2, ? , α n 是线性空间 V 的一组基, 则 Tα 1 , Tα 2, ? , Tα n 必( (A)线性相关 (C)为 V 的一组基 ) 。 (B)线性无关 (D)可由 α 1 , α 2 , ? , α n 线性表出

58、设 P[x ]2 = p ( x) p ( x) = a 2 x 2 + a1 x + a 0 , a 0 , a1 , a 2 ∈ R ,则( 线性变换。 (A) T [ p ( x)] = 1 (C) T [ p ( x)] = p ( x + 2) (B) T [ p ( x)] =

{

}

)不是 P[x ]2 上的

dp ( x) dx

(D) T [ p ( x)] = a 0

59、设 ( x1 , x 2 , x3 ) ∈ R 3 ,则(

)所定义的变换是线性变换。

(A) T ( x1 , x 2 , x3 ) = ( x1 , x 2 , x 3 ) + (1,0,0) (B) T ( x1 , x 2 , x3 ) = (1,0,0) (C) T ( x1 , x 2 , x3 ) = ( x1 , x1 x 2 , x 2 x 3 ) (D) T ( x1 , x 2 , x3 ) = ( x1 + 2 x 2 , x 2 + 2 x3 , x3 + 2 x1 )

60、已知全体二阶反对称实方阵构成实线性空间 V = M 2 ( R ) 的线性子空间, 它的一组基为( (A) ? ? ) 。

? 1 1? ? 1 0 ? ? ? ? ?, ? ? ? 0 1? ? ? 1 1 ?

(B) ? ?

? 0 1? ? 0 0? ? ? ? ?, ? ? ? 0 0? ? ? 1 0?

(C) ? ?

? 1 0? ? 0 1? ? 0 0? ? 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ?, ? ?, ? ?, ? ? ? 0 0? ? 0 0? ? 0 1? ? 1 0? ? 0 ? 1? ? ? ?1 0 ?

(D) ? ?


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