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上海市2013届浦东新区高三一模数学理科试卷


浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷(理科)
2013.1

一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1.若集合 A ? { 0, m } , B ? { 0, 2} , A ? B ? { 0,1,2} ,则实数 m ? 2.已知二元一次方程组 ? 1 .

?1 ? 1 1 ? ?a1 x ? b1 y ? c1 的增广矩阵是 ? ?1 1 3 ? ,则此方程组的解是 ? ? ? ?a 2 x ? b2 y ? c2

?x ? 2 . ? ? y ?1
3.函数 y ?

log 2 ( x ? 2) 的定义域为 [3,?? )

.

4.已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 5.函数 y ? 1 ?

1 16

. .

x ( x ? 0 )的反函数是

2 y ? ( x ? 1)( x ? 1 )

6.函数 f ( x) ? 2sin ?

?? ? ?? ? ? x ? sin ? ? x ? 的最小正周期为 ?4 ? ?4 ?

?

.

7.等差数列 ?an ? 中, a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则该数列的前 13 项和 S13 ?

52

.

8.已知数列 ?an ? 是无穷等比数列,其前 n 项和是 S n ,若 a2 ? a3 ? 2 , a3 ? a4 ? 1 ,

则 lim Sn 的值为
n ??

16 3

.
8?

9. 若一个圆锥的轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形, 则这个圆锥的侧面积为 10.二项式 ? x ? 1 ? 的展开式前三项系数成等差数列,则 n ? ? ? 2 x? ?
n

cm 2 .

8

.

11.已知甲射手射中目标的频率为 0.9 ,乙射手射中目标的频率为 0.8 ,如果甲乙两射手的 射击相互独立, 那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率为 . 0.98 12.已知向量 a 与向量 b , a ? 2 , b ? 3 , a 、 b 的夹角为 60 ,当1 ? m ? 2, 0 ? n ? 2 时,

?

?

?? ?

?? ?

?

?

?

? ? m a? n b的最大值为

2 19

.

1 / 10

13. 动点 P 在边长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 的对角线 BD1 上从 B 向 D1 移动, P 作 点 1 垂直于 面 BB1D1D 的直线与正方体表面交于 M , N , BP ? x, MN ? y ,

则 函 数

y ? f ( x)

的 解 析 式 为

? ? 2 6 x, x ? ?0, ? 3 ? ? y?? ? 2 6 ? ? 2 2 ? 3 x, x ? ? ? ? ?

3? ? 2 ? ? 3 , 3? 2 ?



2? | 2 ?

2 6 x | x ? [0, 3 ] 给分. 3

1, 14. 2, ?, n 共有 n! 种排列 a1, a2 , ?, an n ? 2, n ? N ? ) 其中满足“对所有 k ? 1, 2, ? , n ( ,
都有 ak ? k ? 2 ”的不同排列有

2 ? 3n? 2

种.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 15.已知△ABC 两内角 A、B 的对边边长分别为 a、b,则“ A ? B ”是“ a cos A ? b cos B ” 的 ( A )

( A) 充分非必要条件
件 16.已知函数 f ( x) ?

( B ) 必要非充分条件

(C ) 充要条件

( D ) 非充分非必要条

( A) ?

1 2

1 1 ,若函数 y ? f ( x ? m) ? 为奇函数,则实数 m 为 ( C ) 4 4 ?2 1 ( B) 0 (C ) (D) 1 2
x

17. 若 x1 , x 2 , x3 , ? , x2013 的方差为 3 ,则 3 (x1 ? 2) , 3 ( x2 ? 2) , 3 ( x3 ? 2), ?,

3 ( x2013 ? 2) 的
方差为 ( D )

( A) 3

( B) 9

(C ) 18

( D ) 27

18 . 定 义 域 为 ? a, b ? 的 函 数 y ? f ( x) 图 象 的 两 个 端 点 为 A, B , 向 量

???? ??? ? ??? ? O N? ? O?A 1 ? ) , B ( ? O
2 / 10

M ( x, y )是 f ( x ) 图 象 上 任 意 一 点 , 其 中 x ? ? a ? (1 ? ? ) b, ? ? ?0,1? . 若 不 等 式

M N ? k恒成立,
则称函数 f ( x ) 在 ? a, b ? 上满足“ k 范围线性近似”,其中最小的正实数 k 称为该函数的线 性近似阀值. 下列定义在 ?1, 2 ? 上函数中,线性近似阀值最小的是 ( D )

( A) y ? x2

( B) y ?

2 x

(C ) y ? sin

?
3

x

(D) y ? x ?

1 x

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19.(本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, AB ? AC ? AA ? 2 , ?ABC ? 45 . 1 1 (1)求点 A 到平面 A BC 的距离; 1 (2)求二面角 A ? AC ? B 的大小. 1 解:(1)? AB ? AC ? 2, ?ABC ? 45? ,??BAC ? 90? ,
B1
?

A1

c1

4 ?VA1 ? ABC ? . 3

A

C

? A1B ? BC ? AC ? 2 2,? S?A1BC ? 2 3 . …3 分 1
设点 A 到平面距离为 h ,由

B

1 2 3 .? 点 A 到平面距离为 h ? S?A1BC ? VA1 ? ABC , ? h ? 3 3

2 3 . ……6 分 3
(2)设 A1C 的中点为 M ,连结 BM , AM .

?BA ? BC, AA ? AC, ?BM ? AC, AM ? AC . 1 1 1 1
??AMB 是二面角 A ? AC ? B 的平面角.………………………8 分 1

3 / 10

tan ?AMB ? 2,??AMB ? arctan 2

? 二面角 A ? AC ? B 的大小为 arctan 2 .………………………………12 分 1

20.(本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为 S 的矩形 AMPN 健身场地, 如图点 M 在 AC 上, N 在 AB 点
? 上,且 P 点在斜边 BC 上,已知 ?ACB ? 60 且 | AC |? 30 米, AM = x , x ? [10,20] .

(1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; (2)设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为 铺上草坪, 每平方米的造价为

37 k ,再把矩形 AMPN 以外(阴影部分) S

12 k ( k 为正常数),求总造价 T 关于 S 的函数 T ? f (S ) ; S
B

试问如何选取 | AM | 的长使总造价 T 最低(不要求求出最低造价).
? 解:(1)在 Rt?PMC中,显然 | MC |? 30 ? x , ?PCM ? 60 ,

? | PM |?| MC | ? tan ?PCM ? 3 (30 ? x) ,………………2 分
矩形 AMPN 的面积 S ?| PM | ? | MC |?

N

P

3 x(30 ? x) , x ? [10, 20] …4 分

于是 200 3 ? S ? 225 3 为所求.……………………………6 分

A

M

C

4 / 10

(2) 矩形 AMPN 健身场地造价 T1 ? 37k S ……………………7 分 又 ?ABC的面积为 450 3 ,即草坪造价 T2 ?

12 k (450 3 ? S ) ,……………8 分 S

由总造价 T ? T1 ? T2 ,? T ? 25 k ( S ?

216 3 ) , 200 3 ? S ? 225 3 .…10 分 S

? S?

216 3 ? 12 6 3 ,……………………………………………………11 分 S 216 3 即 S ? 216 3 时等号成立,……………………………12 分 S

当且仅当 S ?

此时 3 x(30 ? x) ? 216 3 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 , 所以选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低.………………………14 分

21.(本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知复数 z1 ? 2sin ? ? 3i, z2 ? 1 ? (2cos ? )i , ? ? [ (1)若 z1 ? z2 为实数,求角 ? 的值; (2)若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 a , b ,存在 ? 使等式 (? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? 0 成立, 解 求实数 ? 的取值范围. : ( 1 )

? ?

, ]. 3 2

? ?

?

?

?

?

z1 ? z 2 ? (2 sin ? ? 3i )?1 ? (2 cos ? )i ? ? (2sin ? ? 2 3 cos ? ) ? (2sin 2? ? 3)i ? R , ……2


? sin 2? ?


3 ,……………………………………………………………………4 分 2

2? 2 ? ? 2? ? ? ,? 2? ? ? ,即 ? ? .……………………………………6 分 3 3 3 ?2 ?2 (2) a ? b ? 8 ,………………………………………………………………………8 分

? ? a ? b ? 2sin? ? 2 3cos? ,………………………………………………………10 分

5 / 10

(? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? ? ( a ? b ) ? (1 ? ?2 ) a? b ? 0 .
2? ? ? ? sin( ? ) .……12 分 ? 2 1? ? 3 ? ? ? 1 1 2? 因为 ? ? ?[0, ] ,所以 sin( ? ) ? [0, ] . 只要 ? ? ? ? 0 即可,……………… 3 6 3 2 2 1 ? ?2
2 得 8? ? (1 ? ? )(2 sin ? ? 2 3 cos? ) ? 0 ,整理得

?

?

?

?

?2

?2

? ?

13 分 解得 ? ? ?2 ? 3 或 ? 2 ? 3 ? ? ? 0 .……………………………………………14 分

22.(本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 定义数列 {xn} ,如果存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( xn?1 ? p)( xn ? p) ? 0 成立, 那么我们称数列 {xn} 为“ p ? 摆动数列”.
? n (1)设 an ? 2n ? 1, bn ? q ( ? 1 ? q ? 0 ), n ? N ,判断数列 {an} 、{bn } 是否为“ p ?

摆动数列”, 并说明理由; (2)已知“ p ? 摆动数列” {cn }满足 cn ?1 ?

1 , c1 ? 1 ,求常数 p 的值; cn ? 1

n 1) (3)设 d n ? (?1) ?( 2 n ? ,且数列 { d n } 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 { Sn } 是“ p ? 摆动

数列”, 并求出常数 p 的取值范围. 解:(1)假设数列 {an} 是“ p ? 摆动数列”,
6 / 10

即存在常数 p ,总有 2n ? 1 ? p ? 2n ? 1 对任意 n 成立, 不妨取 n ? 1 时则 1 ? p ? 3 ,取 n ? 2 时则 3 ? p ? 5 ,显然常数 p 不存在, 所以数列 {an} 不是“ p ? 摆动数列”; ……………………………………………2 分
n 2 n ?1 ? 0 对任意 n 成立,其中 p ? 0 . 由 bn ? q ,于是 bnbn ?1 ? q

所以数列 {bn }是“ p ? 摆动数列”. ………………………………………………4 分 (2)由数列 {cn }为“ p ? 摆动数列”, c1 ? 1 ? c2 ? 即存在常数

1 , 2

1 ? p ? 1 ,使对任意正整数 n ,总有 (cn?1 ? p)(cn ? p) ? 0成立; 2

即有 (cn? 2 ? p)(cn?1 ? p) ? 0 成立.则 (cn? 2 ? p)(cn ? p) ? 0 ,………………6 分 所以 c1 ? p ?? c3 ? p ? ?? c2n?1 ? p .……………………………………7 分 同理 c2 ? p ? c4 ? p ? ?? c2n ? p .…………………………………………8 分 所以 c2n ? p ? c2n?1 ?

1 c2 n ?1 ? 1

? c2 n ?1 ,解得 c2 n ?1 ?

5 ?1 5 ?1 即p? .…9 分 2 2

同理

5 ?1 5 ?1 5 ?1 1 ;即 p ? . 综上 p ? .……………11 分 ? c2 n ,解得 c2 n ? c2 n ? 1 2 2 2

n n (3)证明:由 d n ? (?1) ? (2n ? 1) ? S n ? (?1) ? n ,…………………………………13 分 2 n ?1 ? n(n ? 1) ? 0 成立, 显然存在 p ? 0 ,使对任意正整数 n ,总有 S n S n ?1 ? (?1)

所以数列 {Sn } 是“ p ? 摆动数列”; …………………………………………………14 分 当 n 为奇数时 Sn ? ?n 递减,所以 Sn ? S1 ? ?1,只要 p ? ?1即可 当 n 为偶数时 Sn ? n 递增, Sn ? S2 ? 2 ,只要 p ? 2 即可 综上 ? 1 ? p ? 2 , p 的取值范围是 (?1,2) .………………………………………16 分 (取 (?1,2) 中的任意一个值,并给予证明均给分) 如取 p ?

1 1 1 1 1 时, (Sn ? )(Sn ?1 ? ) ? [(?1)n n ? ][(?1)n ?1 (n ? 1) ? ] 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? (?1)2n ?1 ? n(n ? 1) ? (?1)n ? ? ?n(n ? 1) ? (?1)n ? . 2 4 2 4
7 / 10

因为 ? 立.

1 1 1 3 1 1 1 ? (?1)n ? ? , ? n(n ? 1) ? ?2 ,存在 p ? ,使 (Sn ? )(Sn ?1 ? ) ? 0 成 4 2 4 4 2 2 2

所以数列 {Sn } 是“ p ? 摆动数列”.

23.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 10 分)

1 ? 0? x? ?2x, ? 2 设函数 T ( x) ? ? 1 ?2(1 ? x), ? x ? 1 ? ? 2
(1)求函数 y ? T ? sin(

? ?

?

? ?? ? x) ? 和 y ? sin ? T ( x) ? 的解析式; 2 ? ?2 ?

(2)是否存在非负实数 a ,使得 aT ( x) ? T (a x) 恒成立,若存在,求出 a 的值;若不存在, 请说明理由; (3)定义 Tn?1 ( x) ? Tn (T ( x)) ,且 T1 ( x) ? T ( x)

?n ? N ?
?

8 / 10

① 当 x ? ? 0,

? ?

1 ? 时,求 y ? Tn ( x) 的解析式; 2n ? ? ? i ?1 i ? 1 ? , n ? ( i ? N?,? i ? 2n ?1) 时 , 都 有 1 n 2 ? ? 2

已 知 下 面 正 确 的 命 题 : 当 x??

Tn ( x) ? Tn (

i ? x) 恒成立. 2n-1

② 对于给定的正整数 m ,若方程 Tm ( x) ? k x 恰有 2m 个不同的实数根,确定 k 的取值范围; 若将这些根从小到大排列组成数列 ? xn ? 1 ? n ? 2m ,求数列 ? xn ? 所有 2m 项的和.

?

?

? ?? ? ?2sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 解: 函数 y ? T ?sin( x) ? ? ? (1) 2 ? ? ? ?? 2 ? 2sin ? ? ?2 ?

1? ? 5 ? ? x ? ? 4k , k + ? ? ? 4k + , k +2 ? k ? Z 4 4 3? ? 3 ? ? 1 5? ? ? x ? x ? ? 4k + , k + ? k ? Z 4 3 3? ? ?

? ? ? 1? x ? ?0, ? ?sin 2 ? 2x ? ? 2? ?? ? ? 函数 y ? sin ? T ( x) ? ? ? = sin ?? x ? x ? ?0,1? ……4 分 ?2 ? ? ? ?1 ? sin ? 2-2x ? x ? ? ,1? ? 2 ?2 ? ?

1 ? 1 ? 0? x? 0 ? ax ? ?2ax, ?2ax, ? 2 ? 2 (2) y ? aT ( x) ? ? , y ? T (ax) ? ? ……6 分 1 1 ?2a(1 ? x), ? x ? 1 ?2(1 ? ax), ? ax ? 1 ? ? ? 2 ? 2
当 a ? 0 时,则有 a(T ( x)) ? T (ax) ? 0 恒成立. 当 a ? 0 时,当且仅当 a ? 1 时有 a(T ( x)) ? T (ax) ? T ( x) 恒成立. 综上可知当 a ? 0 或 a ? 1 时, a(T ( x)) ? T (ax) 恒成立;………………………8 分 (3)① 当 x ? ? 0,

? ?

1 ? 1 时,对于任意的正整数 j ? N ?,? i ? n ?1 ,都有 0 ? 2 j x ? 1 n ? 2 ? 2
2 j n ?1

故有 y ? Tn ( x) ? Tn?1 (2 x) ? Tn?2 (2 x) ? ? ? Tn? j (2 x) ? ? ? T (2 ② 由①可知当 x ? ? 0,

x) ? 2n x …13 分

? ?

1 ? n 时,有 Tn ( x ) ? 2 x ,根据命题的结论可得, n ? 2 ?
时,有

当 x??

? 1 2 ? ? 0 2 ? , n ? n, n n ?2 2 ? ?2 2 ? ? ? ?

1 ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? x?? n , n ? ? ? n , n ? , n ?1 2 ?2 2 ? ?2 2 ?

9 / 10

故有 Tn ( x) ? Tn (

1 1 ? x)=2n ( n?1 ? x) ? ?2n x ? 2 . n ?1 2 2
? i i ?1 ? , ( i ? N, ? i ? 2n ?1) 时, 0 2n 2n ? ? ?

因此同理归纳得到,当 x ? ?

n 1 1 ?2 x ? i, i 是偶数 ? ……………………15 分 Tn ( x) ? (?1) (2 x ? i ? ) ? = ? n 2 2 ??2 x ? i ? 1,i 是奇数 ? i n

对于给定的正整数 m , x ? ?

? i i ?1 ? , m ? ( i ? N, ? i ? 2m ?1) 时, 0 m ?2 2 ?


解方程 Tm ( x) ? kx 得, x ?

? 2i ? 1? ? (?1)i
2m ?1 ? (?1)i 2k

要使方程 Tm ( x) ? kx 在 x ? ? 0,1 ? 上恰有 2m 个不同的实数根,

? 2i ? 1? ? (?1)i ? i ? 1 i 对于任意 i ? N, ? i ? 2 ?1,必须 m ? m ?1 恒成立, 0 2 2 ? (?1)i 2k 2m
m

2m ) , 若将这些根从小到大排列组成数列 ? xn ? , 解得 k ? ( 0 , m 2 ?1
由此可得 xn ?

? 2n ? 1? ? (?1) n
2 m ?1 ? ( ?1) n 2k

1 ? n ? N ,? i ? 2 ? .……………………17 分
? m

故数列 ? xn ? 所有 2m 项的和为:

S ? x1 ? x2 ? ? x2m ?1 ? x2m

0 ? 2 ? 4 ? ? ? (2m ? 2) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2m 2m ?1 (4 m ? 2k ) ? ? ? .……18 分 2m ? k 2m ? k 4m ? k 2

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