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椭圆知识点总结学生


椭圆知识点
一.椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义:平面内与两定点 F1,F2 距离的和等于常数 2a ? F1 F2 的点的轨迹叫做椭 圆,即点集 M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1 F2|=2c}; 这里两个定点 F1,F2 叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。 ( 2a ? F1 F2 时为线段 F1 F2 , 2a ? F1 F2

无轨迹) 。 2.标准方程:

?

?

c 2 ? a 2 ? b2
焦点 F(±c,0)

x2 y2 ①焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ; a b
y2 x2 ②焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ; a b

焦点 F(0, ±c)

注意:①在两种标准方程中,总有 a>b>0,并且椭圆的焦点总在分母长的那条轴上; ②两种标准方程可用一般形式表示: 二.椭圆的简单几何性质: 1.范围 (1)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 或者 mx2+ny2=1 m n

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b a2 b2

(2)椭圆 2.对称性

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a a2 b2

椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中 心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 (1)椭圆的顶点:A1(-a,0) ,A2(a,0) ,B1(0,-b) ,B2(0,b)
1

(2)线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a,短轴长等于 2b,a 和 b 分别叫做椭圆 的长半轴长和短半轴长。 4.离心率 (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比

2c c ,即 称为椭圆的离心率, 2a a

c2 b 2 记作 e( 0 ? e ? 1 ) , e ? 2 ? 1? ( ) a a
2

王新敞
奎屯

新疆

e ? 0 是圆;e 越接近于 0 (e 越小) ,椭圆就越接近于圆; e 越接近于 1 (e 越大) ,
椭圆越扁; 注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。 小结:基本元素 (1)基本量:a、b、c、e、 (共四个量) , 特征三角形 (2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) (3)基本线:对称轴(共两条线) 5.椭圆的的内外部

x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a b x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
6.几何性质 (1) 最大角 ? ?F 1PF 2 ?max 例题讲解: 一.椭圆定义: 1.方程

2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2
2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

? ?F1B2 F2 , (2)最大距离,最小距离

? x ? 2 ?2 ? y 2

?

? x ? 2 ?2 ? y 2

? 10 化简的结果是

2.若 ?ABC 的两个顶点 A? ?4,0? , B ? 4,0? , ?ABC 的周长为 18 ,则顶点 C 的轨迹方程是

3.已知椭圆

x2 y2 + =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点的距离为 16 9

2

二.利用标准方程确定参数 1.若方程

x2 y2 + =1 5?k k ?3
. . . . ,短轴长等于 ,焦距是 , 顶点坐标 , 离心

(1)表示圆,则实数 k 的取值是 (2)表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 (3)表示焦点在 y 型上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 (4)表示椭圆,则实数 k 的取值范围是 2. 椭 圆 4 x2 ? 25 y 2 ? 100 的 长 轴 长 等 于 是 率等于 , ,焦点的坐标是

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2 ,则 m = 3.椭圆 4 m
4.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ? 三.待定系数法求椭圆标准方程 1.若椭圆经过点 (?4, 0) , (0, ?3) ,则该椭圆的标准方程为







2.焦点在坐标轴上,且 a ? 13 , c ? 12 的椭圆的标准方程为
2 2

3.焦点在 x 轴上, a : b ? 2 : 1 , c ? 6 椭圆的标准方程为 4. 已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0) ,求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标 准方程;

变式:求与椭圆 4x ? 9 y ? 36 共焦点,且过点 (3, ?2) 的椭圆方程。
2 2

3

四.焦点三角形 1.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 , AB 是椭圆过焦点 F1 的弦,则 ?ABF2 的周长是 9 25



2.设 F1 , F2 为椭圆 16x 2 ? 25y 2 ? 400的焦点, P 为椭圆上的任一点,则 ?PF 1 F2 的周长是 多少? ?PF 1 F2 的面积的最大值是多少? 3.设点 P 是椭圆 为 。

x2 y 2 ? ? 1 上的一点, F1 , F2 是焦点,若 ?F1PF2 是直角,则 ?F1 PF2 的面积 25 16

变式:已知椭圆 9 x 2 ? 16y 2 ? 144 ,焦点为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点. 若 ?F1 PF2 ? 60? , 求 ?PF 1 F2 的面积. 五.离心率的有关问题 1.椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m ? 2 4 m
0

2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 120 ,则此椭圆的离心率 e 为 3.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为

4.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直 角三角形,求椭圆的离心率。 5.在 △ ABC 中, ?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该 椭圆的离心率 e ? .

4


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