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云南省红河州蒙自一中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年云南省红河州蒙自一中高一(上)10 月月考数学 试卷
一、选择题: (本大题共 y=\frac{1}{x}12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. 设全集 U={﹣2, ﹣1, 0, 1, 2, 3}, M={0, 1, 2}, N={0, 1, 2, 3}, 则 (CUM) ∩N=( A.{0,1,2} B.{﹣2,﹣1,3} C.{

0,3} D.{3} 2.下列各组函数是同一函数的是( A.y= B.y= ﹣2 )

)

C. D.

3.下列函数中,在 R 上是增函数的是( A.y=﹣x+1 2 B.y=﹣x C.y= D.y=x
3

)

4.已知集合 A={1,2,4,6,8},B={1,2,3,5,6,7},设 P=A∩B,则集合 P 的真子 集个数为( ) A.8 B.7 C.6 D.5

5.已知 f(x)=

,则 f[f(5)]=(

)

A.﹣3 B.1 C.﹣1 D.4 6.函数 f(x)=|x|与 g(x)=x(2﹣x)的单调增区间依次为( A. (﹣∞,0],[1,+∞) B. (﹣∞,0], (﹣∞,1] C.[0,+∞) ,[1,+∞) D.[0,+∞) , (﹣∞,1] 7.下列说法中正确的有( ) )

①若任取 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f (x1)<f (x2) ,则 y=f (x)在 I 上是增函数; 2 ②函数 y=x 在 R 上是增函数; ③函数 y=﹣ 在定义域上是增函数; ④y= 的单调递减区间是(﹣∞,0)∪(0,+∞) .

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 8. 已知函数 f (x) =﹣x +4x+a, x∈[0, 1], 若f (x) 有最小值﹣2, 则f (x) 的最大值为( A.1 B.0 C.﹣1 D.2 9.已知函数 f (x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)?f(b)<0,则函数 f(x)的图象与 x 轴在区间[a,b]内( ) A.至多有一个交点 B.必有唯一个交点 C.至少有一个交点 D.没有交点
2

)

10.若方程 f(x)﹣2=0 在(﹣∞,0)内有解,则 y=f(x)的图象是(

)

A.

B.

C.

D. 11. 设 A, B 是非空集合, 定义 A×B={x|x∈A∪B, 且 x?A∩B}, 已知 A={x|0≤x≤2}, B={x|x≥0}, 则 A×B 等于( ) A. (2,+∞) B.[0,1]∪[2,+∞) C.[0,1)∪(2,+∞) D.[0,1]∪(2,+∞)

12.f(x)= 值范围是( )

是定义在(﹣∞,+∞)上是减函数,则 a 的取

A.[ , ) B.[0, ] C. (0, ) D. (﹣∞, ]

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知全集 U=R,M={x|x<0 或 x>2},N={x|x+3<0},则?U(M∩N)=__________. 14.已知集合 A={x∈N| ∈N}用列举法表示集合 A=__________.

15.已知 f(x)=

,则 f(x)的定义域为__________.

16.若函数 y=|4x﹣a|在区间(﹣∞,4]上单调递减,则实数 a 的取值范围是__________.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程.) 17.集合 A={3,2,a +2a﹣3},B={|a+3|,2},若 5∈A,且 5?B,求实数 a 的值. 18.已知二次函数 f(x)的最小值为﹣1,且 f(1)=0,f(3)=0. (Ⅰ)求 a,b,c 的值; (Ⅱ)求 y=f(x)在[﹣1,4]上的单调区间与值域. 19.已知函数 f(x)= ,
2

(Ⅰ)求 f(x)的定义域和值域; (Ⅱ)判断函数 f(x)在区间(2,5)上的单调性,并用定义来证明所得结论. 20.已知函数 f(x)=x +2ax+2, (Ⅰ)若 f(x)在 是减函数,在 是增函数,求实数 a 的值;
2

(Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使 f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数,并指出相应的单调性. 21.我国是水资源匮乏的国家,为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施.规定: 每季度每人用水量不超过 5 吨时,每吨水费收基本价 1.3 元;若超过 5 吨而不超过 6 吨时,

超过部分的水费按基本价 3 倍收取; 若超过 6 吨而不超过 7 吨时, 超过部分的水费按基本价 5 倍收取.某人本季度实际用水量为 x(0≤x≤7)吨,应交水费为 f(x)元. (Ⅰ)求 f(4) ,f(5.5) ,f(6.5)的值; (Ⅱ)试求出函数 f(x)的解析式. 22.已知函数 f(x)=|x﹣1|,g(x)=﹣x +6x﹣5. (Ⅰ)用分段函数的形式表示 g(x)﹣f(x) ,并求 g(x)﹣f(x)的最大值; (Ⅱ)若 g(x)≥f(x) ,求实数 x 的取值范围.
2

2014-2015 学年云南省红河州蒙自一中高一 (上) 10 月月 考数学试卷
一、选择题: (本大题共 y=\frac{1}{x}12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. 设全集 U={﹣2, ﹣1, 0, 1, 2, 3}, M={0, 1, 2}, N={0, 1, 2, 3}, 则 (CUM) ∩N=( A.{0,1,2} B.{﹣2,﹣1,3} C.{0,3} D.{3} 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:计算题. 分析:先求出 CUM,再求(CUM)∩N. 解答: 解:全集 U={﹣2,﹣1,0,1,2,3},M={0,1,2},N={0,1,2,3}, 所以 CUM={﹣2,﹣1,3}, (CUM)∩N={3} 故选 D. 点评:本题考查集合的简单、基本运算,属于基础题. 2.下列各组函数是同一函数的是( A.y= B.y= ﹣2 )

)

C. D.

考点:判断两个函数是否为同一函数. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数的定义域相同,对应关系也相同的两个函数是同一函数,对每一个选项进行 判断即可. 解答: 解:对于 A,y= 对于 B,y= ? =1﹣ = ,y= ﹣2,它们的对应关系不同,∴不是同一函数; (x≥1,或 x≤﹣1) ,它们的定义域

(x≥1) ,y=

不同,∴不是同一函数; 对于 C,y=x(x∈R) ,y= 函数; 对于 D,y=|x|(x∈R) ,y= (x≥0) ,它们的定义域不同,∴不是同一函数. =x(x∈R) ,它们的定义域相同,对应关系也相同,∴是同一

故答案为:C. 点评: 本题考查了判断两个函数是否为同一个函数的问题, 解题时应判断它们的定义域是否 相同,对应关系是否也相同,是基础题. 3.下列函数中,在 R 上是增函数的是( A.y=﹣x+1 2 B.y=﹣x C.y= D.y=x
3

)

考点:函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据题意,结合基本初等函数的单调性,对选项中的函数进行判断即可. 解答: 解:对于 A,y=﹣x+1,在定义域 R 上是减函数; 2 对于 B,y=﹣x ,在(﹣∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数; 对于 C,y= ,在(﹣∞,0)和(0,+∞)上都是减函数; 对于 D,y=x ,在定义域 R 上是增函数. 故选:D. 点评: 本题考查了基本初等函数的单调性问题, 解题时应熟记常见的基本初等函数的单调性, 是基础题. 4.已知集合 A={1,2,4,6,8},B={1,2,3,5,6,7},设 P=A∩B,则集合 P 的真子 集个数为( )
3

A.8 B.7 C.6 D.5 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 A 与 B 的交集确定出 P,找出集合 P 的真子集个数即可. 解答: 解:∵A={1,2,4,6,8},B={1,2,3,5,6,7}, ∴P=A∩B={1,2,6}, 则 P 真子集个数为 2 ﹣1=7. 故选:B. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
3

5.已知 f(x)=

,则 f[f(5)]=(

)

A.﹣3 B.1 C.﹣1 D.4 考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵f(x)= ,
3

∴f(5)=f(﹣1)=2×(﹣1)﹣(﹣1) =﹣1, 3 f[f(5)]=f(﹣1)=2×(﹣1)﹣(﹣1) =﹣1. 故选:C. 点评:本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合理 运用. 6.函数 f(x)=|x|与 g(x)=x(2﹣x)的单调增区间依次为( A. (﹣∞,0],[1,+∞) B. (﹣∞,0], (﹣∞,1] C.[0,+∞) ,[1,+∞) D.[0,+∞) , (﹣∞,1] )

考点:函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析:求出函数 f(x) 、g(x)的单调增区间即可. 解答: 解:∵f(x)=|x|= ,

∴f(x)的单调增区间是[0,+∞) ; 2 又∵g(x)=x(2﹣x)=﹣x +2x, 函数的图象是抛物线,对称轴是 x=1, ∴x≤1 时,g(x)是增函数, ∴g(x)的单调增区间是(﹣∞,1]. ∴f(x) 、g(x)的单调增区间依次为[0,+∞) 、 (﹣∞,1]. 故选:D. 点评:本题考查了求函数的单调区间的问题,解题时应熟记常见的基本初等函数的单调性, 是基础题. 7.下列说法中正确的有( ) ①若任取 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f (x1)<f (x2) ,则 y=f (x)在 I 上是增函数; 2 ②函数 y=x 在 R 上是增函数; ③函数 y=﹣ 在定义域上是增函数; ④y= 的单调递减区间是(﹣∞,0)∪(0,+∞) .

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 考点:命题的真假判断与应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:①由递增函数的概念可判断①; 2 ②函数 y=x 在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,可判断②; ③函数 y=f(x)=﹣ 在(﹣∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是增函数,f(﹣1)=1 >f(1)=﹣1,故在定义域上不是增函数,可判断③; ④y= 的单调递减区间是(﹣∞,0) , (0,+∞) ,可判断④. 解答: 解:①若任取 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f (x1)<f (x2) ,则 y=f (x)在 I 上是增函数, 这是增函数的定义,故①正确; 2 ②函数 y=x 在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故②错误;

③函数 y=﹣ 在(﹣∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是增函数,f(﹣1)=1>f(1)= ﹣1,在定义域上不是增函数,故③错误; ④y= 的单调递减区间是(﹣∞,0) , (0,+∞) ,故④错误. 故选:B. 点评:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查函数的单调性,属于中档题. 8. 已知函数 f (x) =﹣x +4x+a, x∈[0, 1], 若f (x) 有最小值﹣2, 则f (x) 的最大值为( A.1 B.0 C.﹣1 D.2 考点:二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 专题:计算题. 分析:将二次函数配方,确定函数 f(x)=﹣x +4x+a 在[0,1]上单调增,进而可求函数的最 值. 解答: 解:函数 f(x)=﹣x +4x+a=﹣(x﹣2) +a+4 ∵x∈[0,1], ∴函数 f(x)=﹣x +4x+a 在[0,1]上单调增 ∴当 x=0 时,f(x)有最小值 f(0)=a=﹣2 当 x=1 时,f(x)有最大值 f(1)=3+a=3﹣2=1 故选 A. 点评:本题重点考查二次函数在指定区间上的最值,解题的关键将二次函数配方,确定函数 f(x)=﹣x +4x+a 在[0,1]上单调增. 9.已知函数 f (x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)?f(b)<0,则函数 f(x)的图象与 x 轴在区间[a,b]内( ) A.至多有一个交点 B.必有唯一个交点 C.至少有一个交点 D.没有交点 考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据 f(a)?f(b)<0,得出 f(a)>0,f(b)<0;或者 f(a)<0,f(b)>0, 结合函数的单调性,从而得出结论. 解答: 解:∵f(a)f(b)<0,
2 2 2 2 2 2

)

∴f(a)与 f(b)异号, 即:f(a)>0,f(b)<0; 或者 f(a)<0,f(b)>0 显然,在[a,b]内,必有一点,使得 f(x)=0. 又 f(x)在区间[a,b]上单调,所以,这样的点只有一个 故选:B. 点评:本题考查了函数零点的判定定理,考查了函数的单调性,是一道基础题. 10.若方程 f(x)﹣2=0 在(﹣∞,0)内有解,则 y=f(x)的图象是( )

A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象与图象变化. 专题:作图题;数形结合;转化思想. 分析:根据方程 f(x)﹣2=0 在(﹣∞,0)内有解,转化为函数 f(x)的图象和直线 y=2 在(﹣∞,0)上有交点. 解答:

解:A:与直线 y=2 的交点是(0,2) ,不符合题意,故不正确; B:与直线 y=2 的无交点,不符合题意,故不正确; C:与直线 y=2 的在区间(0,+∞)上有交点,不符合题意,故不正确; D:与直线 y=2 在(﹣∞,0)上有交点,故正确. 故选 D. 点评:考查了识图的能力,体现了数形结合的思想,由方程的零点问题转化为函数图象的交 点问题,体现了转化的思想方法,属中档题. 11. 设 A, B 是非空集合, 定义 A×B={x|x∈A∪B, 且 x?A∩B}, 已知 A={x|0≤x≤2}, B={x|x≥0}, 则 A×B 等于( ) A. (2,+∞) B.[0,1]∪[2,+∞) C.[0,1)∪(2,+∞) D.[0,1]∪(2,+∞) 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:计算题. 分析:先求出 A∪B,A∩B,再根据新定义求 A×B. 解答: 解:由已知 A={x|0≤x≤2},B={x|x≥0}, 求得 A∪B=x|x≥0}, A∩B={x|0≤x≤2}, 根据新定义,A×B={x|x∈A∪B,且 x?A∩B} ={x|x>2} =(2,+∞) 利用数轴表示如如图: 故选:A.

点评:本题考查了集合的描述法、列举法表示,集合的基本运算.本题中的新定义和课本中 的补集有相通类似之处.

12.f(x)= 值范围是( A.[ , ) B.[0, ] )

是定义在(﹣∞,+∞)上是减函数,则 a 的取

C. (0, ) D. (﹣∞, ]

考点:函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 3a﹣1<0、 ﹣a<0、 且﹣a≤3a﹣1+4a, 解由这几个不等式组成的不等式组, 求得 a 的范围. 解答:

解:由题意可得

,求得 ≤a< ,

故选:A. 点评:本题主要考查函数的单调性的性质,属于基础题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知全集 U=R,M={x|x<0 或 x>2},N={x|x+3<0},则?U(M∩N)={x|x≥﹣3}. 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:由已知中全集 U=R,M={x|x<0 或 x>2},N={x|x+3<0},进而结合集合交集,并集, 补集的定义,代入运算后,可得答案. 解答: 解:∵M={x|x<0 或 x>2},N={x|x+3<0}={x|x<﹣3}, ∴M∩N={x|x<﹣3}, 又∵全集 U=R, ∴?U(M∩N)={x|x≥﹣3}, 故答案为:{x|x≥﹣3} 点评:本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题. 14.已知集合 A={x∈N| ∈N}用列举法表示集合 A={0,2,3,4,5}.

考点:集合的表示法. 专题:计算题. 分析:由 x 取自然数得:列举出 x=0,1,2,3…,判断 元素. 解答: 解: 令 x=0, 得到 所以 2∈A; =2, 所以 0∈A; 令 x=1, 得到 = , 所以 1?A; 令 x=2, 得到 =3, 也为自然数可得满足集合 A 的

令 x=3, 得到 所以 5∈A; 当 x=6,

=4, 所以 3∈A; 令 x=4, 得到

=6, 所以 6∈A; 令 x=5, 得到

=12,

无意义;当 x>6 得到

为负值,

?N.

所以集合 A={0,2,3,4,5} 故答案为{0,2,3,4,5} 点评:考查学生会用列举法表示集合,会利用列举法讨论 x 的取值得到所有满足集合的元 素.做此类题时,应注意把所有满足集合的元素写全且不能相等.

15.已知 f(x)=

,则 f(x)的定义域为{x|x<2 且 x≠﹣ }.

考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:由指数幂的意义以及分母不为 0,得不等式组,解出即可. 解答: 解:由题意得: ,

解得:x<2,且 x≠﹣ , 故答案为:{x|x<2,且 x≠﹣ }, 点评:本题考查了函数的定义域问题,指数幂的意义,是一道基础题. 16.若函数 y=|4x﹣a|在区间(﹣∞,4]上单调递减,则实数 a 的取值范围是 a≥16. 考点:带绝对值的函数. 专题:函数的性质及应用. 分析:本题由原函数解析式先求出原函数的单调递增区间和单调递减区间,再结合条件“在 区间(﹣∞,4]上单调递减”求出 a 的取值范围,得到本题结论. 解答: 解:∵函数 y=|4x﹣a|,





∴函数 y=|4x﹣a|在区间(﹣∞, ]上单调递减,在区间( ,+∞)上单调递增. ∵函数 y=|4x﹣a|在区间(﹣∞,4]上单调递减, ∴ ,即 a≥16.

故答案为:a≥16. 点评:本题考查了绝对值函数的单调区间,可结合函数图象研究,本题难度不大,属于基础 题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程.) 2 17.集合 A={3,2,a +2a﹣3},B={|a+3|,2},若 5∈A,且 5?B,求实数 a 的值. 考点:元素与集合关系的判断. 专题:集合. 分析:由 5∈A,并且 A={3,2,a+2a﹣3},得 a+2a﹣3=5,解得 a 的值,结合 B 的元素确定 A 值. 解答: 解:因为 5∈A,并且 A={3,2,a+2a﹣3},所以 a+2a﹣3=5,解得 a=2 或 a=﹣4, 当 a=2 时,B={5,2},不符合 5?B,所以 A=2 不符合题意; 当 a=﹣4 时,B={1,2},符合 5?B,所以 a=﹣4 为所求; 所以满足条件的 a 为﹣4. 点评:本题考查了元素与集合的关系,集合元素的确定性以及互异性. 18.已知二次函数 f(x)的最小值为﹣1,且 f(1)=0,f(3)=0. (Ⅰ)求 a,b,c 的值; (Ⅱ)求 y=f(x)在[﹣1,4]上的单调区间与值域. 考点:二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法. 专题:函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)利用待定系数法求二次函数的解析式; (Ⅱ)由(Ⅰ)判断对称轴与区间的位置关系,明确区间的单调性,求最值. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)为二次函数,f(1)=f(3)=0, ∴对称轴为 x=2 ∵二次函数 f(x)的最小值为﹣1 ∴设二次函数的解析式为:f(x)=a(x﹣2) ﹣1,a>0… ∵f(1)=0, ∴a﹣1=0 即 a=1 … 2 2 ∴f(x)=(x﹣2) ﹣1=x ﹣4x+3 故 a=1,b=﹣4,c=3 … (Ⅱ)由(1)可得,函数的对称轴为 x=2,并且 a>0, 所以 f(x)的单调减区间为:[﹣1,2],单调增区间为:[2,4]… ∴f(x)在 x=2 处取得最小值为﹣1… 而 f(x)在 x=﹣1 处取得最大值为 8 … 故 f(x)在[﹣1,4]上的值域为:[﹣1,8]… 点评: 本题考查了二次函数解析式的求法以及闭区间的最值求法; 明确对称轴与区间的位置 关系,确定区间的单调性是解得的关键.
2

19.已知函数 f(x)=



(Ⅰ)求 f(x)的定义域和值域; (Ⅱ)判断函数 f(x)在区间(2,5)上的单调性,并用定义来证明所得结论. 考点:函数的值域;函数的定义域及其求法;函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)f(x)= = =1+ ,由此能求出 f(x)的定义域和值域.

(Ⅱ)由函数解析式得该函数在(2,5)是减函数,利用定义法能进行证明. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)= = =1+ ,

∴f(x)的定义域为{x|x≠1}, 值域为{y|y≠1}. (Ⅱ)由函数解析式得该函数在(2,5)是减函数, 下面证明此结论: 任取 x1,x2∈(2,5) ,设 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)= = ,

∵2<x1<x2<5, ∴x2﹣x1>0,x1﹣1>0,x2﹣1>0, ∴f(x1)>f(x2) . 点评:本题考查函数的定义域和值域的求法,考查函数的单调性的判断与证明,是基础题, 解题时要注意定义法的合理运用. 20.已知函数 f(x)=x +2ax+2, (Ⅰ)若 f(x)在 是减函数,在 是增函数,求实数 a 的值;
2

(Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使 f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数,并指出相应的单调性. 考点:二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)在 数的对称轴为 x= =﹣a,可求 a; (2)由 f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数,说明对称轴在此区间的一侧,得到区间端点 与对称轴的关系. 解答: 2 2 2 解: (Ⅰ)f(x)=x +2ax+2=(x+a) +2﹣a ,其对称轴为 x=﹣a,… 由 f(x)在 是减函数,在 是增函数,知 … 是减函数,在 是增函数,可知二次函

所以,





(Ⅱ)f(x)的对称轴为 x=﹣a 当对称轴在区间[﹣5,5]的左侧时,函数 y=f(x)在[﹣5,5]上是单调增函数. 所以﹣a≤﹣5,即 a≥5 … 当对称轴在区间[﹣5,5]的右侧时,函数 y=f(x)在[﹣5,5]上是单调减函数. 所以﹣a≥5 即 a≤﹣5; … 即实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣5]∪[5,+∞) … 点评: 本题考查了二次函数的单调性; 二次函数的二次项系数以及对称轴与区间的位置关系 确定了区间的单调性. 21.我国是水资源匮乏的国家,为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施.规定: 每季度每人用水量不超过 5 吨时,每吨水费收基本价 1.3 元;若超过 5 吨而不超过 6 吨时, 超过部分的水费按基本价 3 倍收取; 若超过 6 吨而不超过 7 吨时, 超过部分的水费按基本价 5 倍收取.某人本季度实际用水量为 x(0≤x≤7)吨,应交水费为 f(x)元. (Ⅰ)求 f(4) ,f(5.5) ,f(6.5)的值; (Ⅱ)试求出函数 f(x)的解析式. 考点:函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法. 专题:应用题. 分析: (1)根据每一季度每人用水量不超过 5 吨时,每吨水费收基本价 1.3 元,求 f(4) ; 根据若超过 5 吨而不超过 6 吨时,超过部分的水费加收 200%求 f(5.5) ; (2)根据每一季度每人用水量不超过 5 吨时,每吨水费收基本价 1.3 元;若超过 5 吨而不 超过 6 吨时,超过部分的水费加收 200%;若超过 6 吨而不超过 7 吨时,超过部分的水费加 收 400%.分为三段,建立分段函数模型. 解答: 解: (1)根据题意 f(4)=4×1.3=5.2;f(5.5)=5×1.3+0.5×3.9=8.45; f(6.5)=5×1.3+1×3.9+0.5×6.5=13.65. (2)根据题意: ①当 x∈[0,5]时 f(x)=1.3x ②若超过 5 吨而不超过 6 吨时,超过部分的水费加收 200%; 即:当 x∈(5,6]时 f(x)=1.3×5+(x﹣5)×3.9=3.9x﹣13 ③当 x∈(6,7]时 f(x)=6.5x﹣28

∴f(x)=



点评:本题主要考查做应用题时:要仔细阅读,抓住关键词,关键句来建立数学模型,同时 考查了学生分析问题和解决问题的能力,以及运算求解的能力. 22.已知函数 f(x)=|x﹣1|,g(x)=﹣x +6x﹣5.
2

(Ⅰ)用分段函数的形式表示 g(x)﹣f(x) ,并求 g(x)﹣f(x)的最大值; (Ⅱ)若 g(x)≥f(x) ,求实数 x 的取值范围. 考点:分段函数的应用. 专题:计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)分 x≥1,x<1 可去掉绝对值,得到 g(x)﹣f(x)的表达式,再考虑各段的最 值,即可得到函数的最大值; (Ⅱ)讨论 x≥1 时,x<1 时的 g(x)≥f(x)的解集,注意运用二次不等式的解法,最后再 求并集. 解答: 解: (Ⅰ) 则由于 x<1 时,g(x)﹣f(x)<0,x≥1 时,g(x)﹣f(x)可取正数. 则有 g(x)﹣f(x)的最大值在[1,4]上取得, ∴g(x)﹣f(x)=(﹣x +6x+5)﹣(x﹣1)=﹣(x﹣ ) + ∴当 x= 时,g(x)﹣f(x)取到最大值是 . (Ⅱ)当 x≥1 时,f(x)=x﹣1; ∵g(x)≥f(x) , 2 ∴﹣x +6x﹣5≥x﹣1; 整理,得(x﹣1) (x﹣4)≤0, 解得 x∈[1,4]; 当 x<1 时,f(x)=1﹣x; ∵g(x)≥f(x) , 2 ∴﹣x +6x﹣5≥1﹣x, 整理,得(x﹣1) (x﹣6)≤0, 解得 x∈[1,6], 又 ,所以不等式组无解
2 2



综上,x 的取值范围是[1,4]. 点评:本题考查分段函数及运用,考查分段函数的最值和解不等式,注意各段的自变量的范 围,考查运算能力,属于中档


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