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证明三角形的五心性质


向量和三角形的五心
一、前言: 前言:
在本校自然资优班的一次数学课堂中,笔者讲到以下的性质: uuur 1 uuu uuu uuur r r 在 ?ABC 中,若点 G 为 ?ABC 的重心,则 OG = OA + OB + OC ,其中点 O 为任一点。 3

(

)

下课后,有位许同学便到办

公室提出以下的问题: uuur 1 uuu uuu uuur r r (1)在 ?ABC 中,点 G 为 ?ABC 的重心,可得到 OG = OA + OB + OC 的结果;那么反过来, 3 uuur 1 uuu uuu uuur r r 若有一点 G ,满足 OG = OA + OB + OC ,是否保证点 G 为 ?ABC 的重心呢? 3

(

)

(

)

(2)在 ?ABC 中,另外的四心,即内心、垂心、外心、傍心,是否也有类似充要条件的性质 呢? 当时笔者告诉许同学,重心、内心、傍心有类似性质,其中重心的性质是充要条件没错; 至于内心、傍心的性质是否为充要,还须再证明看看;而垂心、外心的向量充要性质老师还 没看过,容老师再思考一些时间。 接到许同学的问题后,笔者便与刘国莉老师一起讨论,经过仔细探讨之后,我们得到以 下的结果: 1. 重心向量性质的充要条件与证明。 2. 内心向量性质的充要条件与证明。 3. 傍心向量性质的充要条件与证明。 4. 外心向量性质的充要条件与证明。 5. 垂心向量性质的充要条件与证明。
A

二、重心的向量性质: 重心的向量性质:
我们将三角形重心与向量性质的充要条件写成定理 1 如下: 定理 1:如图(一),在 ?ABC 中,则点 G 为 ?ABC 的重心的充 uuur 1 uuu 1 uuu 1 uuur r r 要条件为 OG = OA + OB + OC (其中点 O 为任一点) 3 3 3
G B D C

证明:设点 G 为 ?ABC 的重心,延长 AG 交 BC 于点 D ,则 图(一) uuur 2 uuur 2 ? 1 uuu 1 uuur ? 1 uuu 1 uuur r r AG : GD = 2 :1 , BD : DC = 1:1 。因此, AG = AD = ? AB + AC ? = AB + AC 。 3 3? 2 2 3 ? 3 uuur uuu uuur uuu 1 uuu 1 uuur r r r uuu 1 uuu uuu 1 uuur uuu r r r r 设点 O 为任一点, OG = OA + AG = OA + AB + AC = OA + OB ? OA + OC ? OA 3 3 3 3 r r 1 uuu 1 uuu 1 uuur = OA + OB + OC 。 3 3 3 uuur 1 uuu 1 uuu 1 uuur r r 另一方面,已知 OG = OA + OB + OC ,其中点 O 为任一点,令 O = A 代入得 3 3 3

O

(

) (

)

uuur 1 uuu 1 uuur r uuur uuur ? 1 uuu 1 uuur ? t uuu t uuur r r AG = AB + AC 。延长 AG 交 BC 于点 D ,设 AD = t AG = t ? AB + AC ? = AB + AC , 3 3 3 3 ?3 ? 3 uuur 3 ? 1 uuu 1 uuur ? 1 uuu 1 uuur r r t t 3 Q B, D, C 共线,∴ + = 1 ,得 t = 。因此, AD = ? AB + AC ? = AB + AC ,故 AD 为 3 3 2 2?3 3 2 ? 2

BC 边上的中线。 同理可证: 延长 BG 交 AC 于点 E , BE 为 AC 边上的中线, 则 故点 G 为 ?ABC 的重心。

三、内心的向量性质: 内心的向量性质:
我们先证明三角形的内分比性质的充要条件, 再进一步证明三 角形内心与向量性质的充要条件,分别写成性质 1 及定理 2 如下: 性质 1: 如图(二),在 ?ABC 中,点 D 为 BC 上的一点,则 AD 为 ∠A 的角 平分线的充要条件为 AB : AC = BD : CD 证明:
B D C
A

A

图(二)
c b

( ? ) 证明省略。
(三) 设 ?ABC 中, AC = b ,AB = c , AB : AC = BD : CD , , , 因 ( ? ) 如图 设 BD = kc , CD = kb , k 为正数。作 BE // AC 交 AD 的延长线于点 E , 则 ?ADC
?EDB ?
CD BD kb kc = ? = ? BE = c 。可知 b BE AC BE
B

D

C

E

图(三) AB = BE ? ∠BAD = ∠BED , ∠BED = ∠CAD , ∠BAD = ∠CAD ? AD 为 ∠A 的角平分线。 又 得

定理 2: (四) 在 ?ABC 中, O 为任一点, 如图 , 点 则点 I 为 ?ABC 的内心的充要条件为 uur uuu r uuu r uuur a b c OI = OA + OB + OC a+b+c a+b+c a+b+c 证明: ( ? ) 已知点 I 为 ?ABC 的内心,延长 AI 交 BC 于点 D ,
B

A

c

b

I C

D
a

c × a = (b + c ) : a 。 则 BD : DC = c : b , AI : ID = AC : BD = c : 图(四) b+c uur uuu r uuur r b + c uuur b c b + c ? b uuu c uuur ? 因此, AI = AD = AB + AC 。 AB + AC ? = ? a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c?b+c b+c ?

设点 O 为任一点, uur uuu uur r uuu r uuu r uuur b c OI = OA + AI = OA + AB + AC a+b+c a+b+c uuu r uuu uuu r r uuur uuu r uuu r uuu r uuur b c a b c = OA + OB ? OA + OC ? OA = OA + OB + OC 。 a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c

(

)

(

)

uuu r uuu r uuur a b c OA + OB + OC , 其中点 O 为任一点, 可取点 O 等于点 A a+b+c a+b+c a+b+c uur uuu r uuur b c 代入,得 AI = AB + AC 。 a+b+c a+b+c uuur uur uuu r uuur ? b c ? 延长 AI 交 BC 于点 D ,设 AD = t AI = t ? AB + AC ? ,因 B, D, C 共线 a+b+c ? a+b+c ? uuur uuu r uuur b c a+b+c ? b+c ? 。∴ AD = AB + AC ? BD : CD = c : b = AB : AC ,由 ?t? ? =1? t = b+c b+c b+c ? a+b+c ?

( ? ) 已知 OI =

uur

性质 1 可知: AD 为 ∠A 的角平分线。同理,可证 BI 为 ∠B 的角平分线,因此点 I 为 ?ABC 的 内心。

四、傍心的向量性质: 傍心的向量性质:
我们先证明三角形的外分比性质的充要条件,再进一步证明三角形傍心与向量性质的充 要条件,分别写成性质 2 及定理 3 如下: 性质 2: 如图 (五) 在 ?ABC 中, BK 为 ∠B 的外角平分线 , 则 (点 K 在 AC 的延长线上)的充要条件为 BA : BC = AK : CK 。 证明:
B Q A
2 3 4 1

C

K

( ? ) 已知 BK 为 ∠B 的外角平分线,作 CQ 平行 BK 交

图(五)

AB 于点 Q ? ∠1 = ∠2 ;又 CQ 平行 BK ? ∠1 = ∠3 , ∠2 = ∠4 ,即得 ∠3 = ∠4 ? BQ = BC 。由 CQ 平行 BK 可得 AB : BC = AB : QB = AK : CK 。

( ? ) 已知 BA : BC = AK : CK ,作 CQ // BK 交 AB 于点 Q , AB : BQ = AK : CK = BA : BC
? BQ = BC ? ∠3 = ∠4 。Q CQ // BK ? ∠1 = ∠3 , ∠2 = ∠4 。因此 ∠1 = ∠2 ? BK 为 ∠B 的外

角平分线。
B'

定理 3:如图(六),在 ?ABC 中,点 O 为任一点, 则 (1)点 I a 为 ∠A 所对之傍心的充要条件为
c

ct

ct

B D
a

Ia
bt

uuur OI a =

r uuu r uuur ?a uuu b c OA + OB + OC 。 b+c?a b+c?a b+c?a

A

b

C

bt

C'

O

uuu r r uuur a ?b uuu c OA + OB + OC a+c ?b a +c?b a + c ?b uuur uuu r uuu r a b ?c uuur (3)点 I c 为 ∠A 所对之傍心的充要条件为 OI c = OA + OB + OC a+b?c a+b?c a+b?c 图(六) 证明: ( ? ) 只证明(1),而(2)与(3)同理,故省略。如图(六),点 I a 为 ?ABC , ∠A 所 uuur (2)点 I b 为 ∠A 所对之傍心的充要条件为 OI b =

AC C 由性质 1, 可设 B′I a = ct , 对之傍心。 过点 I a 作 B′C ′ 平行 BC 分别交 AB 、 的延长线于 B′ 、 ′ 。
C ′I a = bt ,又 B′I a = BB′ 且 C ′I a = CC ′ ,由
AC BC b a 1 a a = ? = ? = ?t = 。所以 b + bt bt + ct 1 + t (b + c ) t b+c?a AC ′ BC ′
r r r bt uuur ct uuuu b uuur c uuuu b ? c + ct uuu ? c ? b + bt uuur ? AB′ + AC ′ = AB′ + AC ′ = AB ? + AC ? ? ? bt + ct bt + ct b+c b+c b+c? c ? b+c? b ? uuu r uuur r b c b ? b + c uuu ? c ? b + c uuur ? = AB ? + AC ? (1 + t ) AB + (1 + t ) AC = ? ? b+c b+c b+c?b+c?a ? b+c?b+c?a ? uuu r uuur b c = AB + AC 。 b+c?a b+c?a uuur uuu uuur uuu ? r r uuu r uuur ? b c 设 O 为任一点, OI a = OA + AI a = OA + ? AB + AC ? b+c?a ?b+c?a ? uuu r uuu uuu r r uuur uuu r r uuu r uuur b c ? a uuu b c = OA + OB ? OA + OC ? OA = OA + OB + OC 。 b+c?a b+c?a b+c?a b+c?a b+c?a uuur r uuu r uuur ?a uuu b c OA + OB + OC ,令点 O 为点 A 代入,得 ( ? ) 已知 OI a = b+c?a b+c?a b+c?a uuur uuu r uuur b c AI a = AB + AC 。 b+c?a b+c?a uuur uuur ? uuu r uuur ? b c 设 AI a 交 BC 于点 D ,可设 AD = t AI a = t ? AB + AC ? ,因 B, D, C 共线 b+c?a ?b+c?a ? b+c?a b c ? ? 。 ?t? + ? =1 ? t = b+c ?b+c?a b+c?a ? uuur r b uuu c uuur ∴ AD = AB + AC ? BD : CD = c : b = AB : AC ,由性质 1 知: AI a 为 ∠A 的内角平分 b+c b+c uuur AI a =

(

)

(

)

(

)

(

)

线。
uuur 另一方面,令点 O 为点 B 代入,得 BI a = uuur ? BI a = r r ?a uuu c ? b + c uuu ? BA + BD ? ? b+c?a b+c?a ? c ? uuu r uuu r ?a b+c = BA + BD ? b+c?a b+c?a r uuu r ? a uuu c BA + BC ,Q BD : CD = c : b , b+c?a b+c?a
A

c

D O

b

E

B

a

C

r uuu uuur uuu r r r b + c uuu a a uuu b + c ? a uuur BD = BA + BI a ? BD = BA + BI a b+c?a b+c?a b+c b+c

? AD : DI a = ( b + c ? a ) : a ? AI a : DI a = ( b + c ) : a 。又 AI a 为 ∠A 的内角平分线 ? BD =
c c BC ;因此, AB : BD = c : a × = ( b + c ) : a 。∴ AI a : DI a = AB : BD ,由性质 2 b+c b+c

可知: BI a 为 ∠B 的外角平分线。同理可证:CI a 为 ∠C 的外角平分线。故 I a 为 ?ABC 中 ∠A 所 对之傍心。

五、外心的向量性质: 外心的向量性质:
我们将三角形外心与向量性质的充要条件写成定理 4 如下: 定理 4:如图(七),在 ?ABC 中,点 P 为任一 点,则点 O 为 ?ABC 的外心的充要条件为
uuu a 2 b 2 + c 2 ? a 2 uuu b 2 c 2 + a 2 ? b 2 uuu c 2 a 2 + b 2 ? c 2 uuu r r r r PO = PA + PB + PC 16? 2 16? 2 16? 2 = uuu r uuu r uuu r cos A cos B cos C PA + PB + PC ,(其中 ? 表 ?ABC 的面积) 2sin B sin C 2 sin A sin C 2 sin A sin B

图(七)

(

)

(

)

(

)

证明: ( ? ) 如图(七),已知点 O 为 ?ABC 的外心, AB = c , BC = a , AC = b 。设 OD ⊥ AB
uuu uuur uuu uuur r r uuu uuur 1 uuu 2 1 r r 于点 D ,OE ⊥ AC 于点 E , AB ? AO = AB AO cos ∠OAB = AB AD = AB = c 2 。 则 同理, 2 2 uuur uuur 1 uuur 2 1 2 AC ? AO = AC = b 。 2 2

(

)

r r r ? uuur ? uuu = x uuu 2 + y uuur ? uuu AO AB AB AC AB uuur uuu r uuur ? 设 AO = x AB + y AC ? ? uuur uuur uuu uuur r uuur 2 ? AO ? AC = x AB ? AC + y AC ?
?1 2 2 ? 2c 2 x + b 2 + c 2 ? a 2 y = c 2 ? 2 c = c x + bc cos Ay ?2c 2 x + 2bc cos Ay = c 2 ? ? ? ?? ?? -------(*), ?? 2 2 2 2 2 2 2 ?2bc cos Ax + 2b y = b ? 1 b 2 = bc cos Ax + b 2 y ? b + c ? a x + 2b y = b ? ? ?2 ?

(

(

)

)

由方程组(*)可得

? ? b 2 + c 2 ? a 2 ?2 ? 1 cos A 2c 2 2bc cos A 2 2 2 2 2 2 2 δ= = 4b c = 4b c 1 ? cos A = 4b c ?1 ? ? ? ? ? ? ? cos A 1 2bc 2bc cos A 2b 2 ? ? ?

(

)

= ( 2bc ) ? b 2 + c 2 ? a 2
2

(

) = ( a + b + c )( a ? b + c )( a + b ? c )( b + c ? a ) 。由海龙公式
2

? = s ( s ? a )( s ? b )( s ? c ) ,其中 s =

1 ( a + b + c ) ,可知 2

δ = ( a + b + c )( a ? b + c )( a + b ? c )( b + c ? a ) = 16? 2 。
由方程组(*)可得 δ x =

c2 b2

b2 + c2 ? a 2 = 2b 2 c 2 ? b 2 b 2 + c 2 ? a 2 = b 2 c 2 + a 2 ? b 2 , 2 2b

(

)

(

)

2c 2 δy = 2 2 2 b +c ?a

uuur uuu r uuur c2 = c 2 a 2 + b 2 ? c 2 。所以 AO = x AB + y AC b2

(

)

r b 2 c 2 + a 2 ? b 2 uuu c 2 b 2 + a 2 ? c 2 uuur = AB + AC 。 16? 2 16? 2

(

)

(

)

uuu r uuu uuu r r uuu uuu r r uuu uuu uuur uuu r r r uuu r uuur 设平面上任一点 P , PO = PA + AO = PA + x AB + y AC = PA + x PB ? PA + y PC ? PA uuu r uuu r uuu r = (1 ? x ? y ) PA + xPB + yPC
? b2 c 2 + a 2 ? b 2 c2 b2 + a 2 ? c2 ?1 ? = ? ? 16? 2 16? 2 ?

(

) (

)

(

)

(

) ? uuur + b ( c ? PA
2

2

? ?

r r + a 2 ? b 2 uuu c 2 b 2 + a 2 ? c 2 uuu PB + PC 2 2 16? 16?

)

(

)

r r r a 2 b 2 + c 2 ? a 2 uuu b 2 c 2 + a 2 ? b 2 uuu c 2 b 2 + a 2 ? c 2 uuu = PA + PB + PC 。 2 2 2 16? 16? 16?

(

)

(

)

(

)

uuu a 2 ( b 2 + c 2 ? a 2 ) uuu b 2 ( c 2 + a 2 ? b 2 ) uuu c 2 ( a 2 + b 2 ? c 2 ) uuu r r r r 已得到 PO = PA + PB + PC ,利用面积公式 16? 2 16? 2 16? 2

?=

1 1 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B ,及余弦定理 b 2 + c 2 ? a 2 = 2bc cos A 、 2 2 2
A

a 2 + b 2 ? c 2 = 2ab cos C 、 a 2 + c 2 ? b 2 = 2ac cos B 代入上式,即可得 uuu r uuu r uuu r uuu r cos A cos B cos C PO = PA + PB + PC 。 2sin B sin C 2 sin A sin C 2sin A sin B

E

( ? ) 已知
B

O D C

uuu a 2 b 2 + c 2 ? a 2 uuu b 2 c 2 + a 2 ? b 2 uuu c 2 a 2 + b 2 ? c 2 uuu r r r r PO = PA + PB + PC , 16? 2 16? 2 16? 2

(

)

(

)

(

)

图(八)

uuur b 2 c 2 + a 2 ? b 2 uuu c 2 a 2 + b 2 ? c 2 uuur r 点 P 为平面上任一点,令点 P 为点 A 代入,得 AO = AB + AC 。 16? 2 16? 2
uuur 1 uuu 1 uuur r 如图(八),设点 D 为 BC 中点, AD = AB + AC , 2 2

(

)

(

)

uuur uuur uuur ? 1 b 2 c 2 + a 2 ? b 2 OD = AD ? AO = ? ? ?2 16? 2 ? uuu uuur ? 1 b 2 c 2 + a 2 ? b 2 r BC ? OD = ? ? ?2 16? 2 ?

(

) ? uuur + ? 1 ? c ( a ? AB ?
2

2

? ?

?2 ?

+ b 2 ? c 2 ? uuur ? AC 。因此 ? 16? 2 ?

)

(

) ? uuur ? uuur + ? 1 ? c ( a ? AB BC ?
2

2

? ?

?2 ?

r + b 2 ? c 2 ? uuur uuu ? AC ? BC 2 ? 16? ?

)

8? 2 ? b 2 a 2 + c 2 ? b 2 ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 8? 2 ? c 2 a 2 + b 2 ? c 2 ? a 2 + b 2 ? c 2 ? = ? ?+ ? ? 16? 2 2 16? 2 2 ? ? ? ?
= 1 16? 2 b 2 ? c 2 + b 2 a 2 + c 2 ? b 2 32? 2

(

)

(

)

{

(

)

(

)

2

? c2 a2 + b2 ? c2

(

)}
2

suur suu r 所以,直线 OD 为 BC 的中垂线。同理可证 OE 为 AC 的中垂线。故点 O 为 ?ABC 的外心。

= 0。

六、垂心的向量性质: 垂心的向量性质:
我们将三角形垂心与向量性质的充要条件写成定理 5 如下: 定理 5:如图(九),在 ?ABC 中,点 P 为任一点,则点 H 为 ?ABC 的垂心的充要条件为
uuur r r r a 2 + b 2 ? c 2 a 2 + c 2 ? b 2 uuu b 2 + c 2 ? a 2 b 2 + a 2 ? c 2 uuu b 2 + c 2 ? a 2 c 2 + a 2 ? b 2 uuu PH = PA + PB + PC 16? 2 16? 2 16? 2
uuu r uuu r uuu r = cot B cot C PA + cot A cot C PB + cot A cot BPC(其中 ? 表 ?ABC

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

的面积) 证明:( ? ) 如图 (九) ?ABC 中,AB = c ,AC = b ,BC = a 。 ,
D
c

A

E H
b

CD ⊥ AB 于点 D , BE ⊥ AC 于点 E ,点 H 为 ?ABC 的垂心。 uuu uuur uuu uuur r r uuu uuur r uuur uuu r 则 AB ? AC = AB AC cos A = AB AD = AC AE ,
uuu uuur uuu uuur r r uuu uuur r AB ? AH = AB AH cos ∠HAB = AB AD ,

B

a

C

uuur uuur uuur uuur uuu uuu r r uuu uuur uuu uuur uuur 图(九) r r uuur AC ? AH = AC AH cos ∠HAC = AB AE ;因此, AB ? AC = AB ? AH = AC ? AH

=

1 2 2 (b + c ? a2 ) 。 2

r r r ? uuur ? uuu = x uuu 2 + y uuur ? uuu AH AB AB AC AB uuur uuu r uuur ?c 2 x + bc cos Ay = bc cos A ? ? 设 AH = x AB + y AC ? ? uuur uuur -----?? uuu uuur r uuur 2 2 ?bc cos Ax + b y = bc cos A ? AH ? AC = x AB ? AC + y AC ? ?
(**)。由方程组(**)可得

? ? b 2 + c 2 ? a 2 ?2 ? 1 cos A c2 bc cos A 2 2 2 2 2 2 2 δ= =b c = b c 1 ? cos A = b c ?1 ? ? ? ? ? ? ? cos A 1 2bc bc cos A b2 ? ? ?

(

)

=

( 2bc )

2

? b2 + c2 ? a2 4

(

)

2

=

( a + b + c )( a ? b + c )( a + b ? c )( b + c ? a ) = 16? 2
4 4

= 4? 2 。

δx =

bc cos A bc cos A 1 c cos A = b 2c cos A = b 2c cos A ( b ? c cos A) 2 bc cos A b 1 b

2 2 2 2 2 2 b2 + c2 ? a 2 ? b 2 + c 2 ? a 2 ? ( b + c ? a )( b ? c + a ) = b c? ? ?b ? c ? , ?= 2bc 2bc 4 ? ?

2

b2 + c 2 ? a2 c 2 ? b2 + a2 c 1 c2 bc cos A 2 δy = = bc cos A = 。 b cos A 1 4 bc cos A bc cos A
uuur uuu uuur uuu r r uuu r uuur 设平面上任一点 P , PH = PA + AH = PA + x AB + y AC

(

)(

)

uuu r uuu uuu r r uuu uuu r r uuu r uuu r uuu r = PA + x PB ? PA + y PC ? PA = (1 ? x ? y ) PA + xPB + yPC
? b2 + c 2 ? a 2 a 2 + b 2 ? c2 b2 + c2 ? a 2 c 2 + a 2 ? b 2 ?1 ? = ? ? 16? 2 16? 2 ?

(

) (

)

(

)(

) (

)(

) ? uuur + ( b ? PA
? ?

2

r + c 2 ? a 2 a 2 + b 2 ? c 2 uuu PB 2 16?

)(

)

(b +

2

r + c 2 ? a 2 c 2 + a 2 ? b 2 uuu PC 2 16? + b2 ? c2

)(

)

(a =

2

)( a
2

2

16?

r r r + c 2 ? b 2 uuu b 2 + c 2 ? a 2 a 2 + b 2 ? c 2 uuu b 2 + c 2 ? a 2 c 2 + a 2 ? b 2 uuu PA + PB + PC 2 2 16? 16?

)

(

)(

)

(

)(

)

接者,将面积公式 ? =

1 1 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B ,及余弦定理 2 2 2

b 2 + c 2 ? a 2 = 2bc cos A 、 a 2 + b 2 ? c 2 = 2ab cos C 、 a 2 + c 2 ? b 2 = 2ac cos B 代入

uuur r r r a 2 + b 2 ? c 2 a 2 + c 2 ? b 2 uuu b 2 + c 2 ? a 2 b 2 + a 2 ? c 2 uuu b 2 + c 2 ? a 2 c 2 + a 2 ? b 2 uuu PH = PA + PB + PC , 2 2 2 16? 16? 16? uuur uuu r uuu r uuu r 即可得 PH = cot B cot C PA + cot A cot C PB + cot A cot BPC 。

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

( ?)

如图(九),已知

uuur r r r a 2 + b 2 ? c 2 a 2 + c 2 ? b 2 uuu b 2 + c 2 ? a 2 b 2 + a 2 ? c 2 uuu b 2 + c 2 ? a 2 c 2 + a 2 ? b 2 uuu PH = PA + PB + PC 16? 2 16? 2 16? 2

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

,点 P 为任一点。令点 P 为点 A 代入,得

uuur b 2 + c 2 ? a 2 b 2 + a 2 ? c 2 uuu b 2 + c 2 ? a 2 c 2 + a 2 ? b 2 uuur r AH = AB + AC 。 16? 2 16? 2 uuu uuur b 2 + c 2 ? a 2 b 2 + a 2 ? c 2 uuu uuu b 2 + c 2 ? a 2 c 2 + a 2 ? b 2 uuu uuur r r r r BC ? AH = BC ? AB + BC ? AC 16? 2 16? 2 uuu uuur b 2 + c 2 ? a 2 b 2 + a 2 ? c 2 b 2 ? a 2 ? c 2 r b2 + c 2 ? a2 c2 + a 2 ? b2 a 2 + b2 ? c2 BC ? AH = + 16? 2 2 16? 2 2 ?1 1 = b 2 + c 2 ? a 2 )( b 2 + a 2 ? c 2 )( a 2 + c 2 ? b 2 ) + ( b2 + c 2 ? a 2 )( c2 + a2 ? b2 )( a 2 + c 2 ? b2 ) = 0 。 2 ( 32? 32? 2 suur suur 因此,直线 AH 垂直 BC 。同理可证,直线 BH 垂直 AC ,故点 H 为 ?ABC 的垂心。

(

)(

)

(

)(

)

( (

)( )(

)

(

)(

)

)(

) (

)(

)(

)

七、结论: 结论:
我们在本文的探讨研究中,发现学生有时会提出看似平凡而却容易被遗漏的问题,而这 些问题在被提出后,往往是令人觉得深思的问题。平常在教学过程中,看到三角形的重心, uuur 1 uuu uuu uuur r r 便自然想到向量的性质 OG = OA + OB + OC 的口诀,甚至很少特别提出这是三角形重心的 3

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充要条件;内心、傍心亦复如是。匆匆岁月,经过学生提问,才激励我们将三角形五心与向 量性质的充要条件,作进一步的整理,并完成五心与向量性质充要条件的证明,实在是感恩 学生的提问与智慧。 从探讨中我们深深感到教学相长的真实, 学生的提问有时会激发老师另ㄧ层的深入思考, 难怪古人说:「有天才学生,没有天才老师。」因此,在此提出,千万不可忽视学生的任何 一个问题,好好去思考,一方面可为学生解决问题;另ㄧ方面,可以深入自己的思考视野。 虽然内心、傍心、外心、垂心的向量性质的充要条件很烦杂;但可以不必背,而可以纯欣赏 即可。可见数学是千变万化,实在美不可言喻。


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