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高考数学(文)二轮复习:专题1第5讲《导数与不等式的证明》课件


?第 5 讲 导数与不等式的证明及 函数零点、方程根的问题 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 ?高考定位 以解答题的形式考查利用导数证明 不等式或利用导数解决有关函数零点、方程根 的个数问题,难度较大. 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 热点一 利用导数证明不等式 【例 1】 ( 2 0 1

4 · 吉 林 实 验 中 学 模 拟 0 ) ( e 为 自 然 对 数 的 底 数 ). )已知函数 f(x)=ax-ex(a> 1 ( 1 ) 若 a=2,求函数 f(x)在 x=1 处的切线方程; ( 2 ) 当 1≤a≤e+1 时,求证:f(x)≤x. 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 ( 1 ) 解 1 1 1 x 当 a=2时 , f(x)=2x-e ,f( 1 ) =2-e. 1 x 1 f′(x)=2-e ,f′( 1 ) =2-e, 故 函 数 f(x)在 x=1 处 的 切 线 方 程 为 ?1 ? ? -e?x-y=0 . ?2 ? ?1 ? 1 y-2+e=?2-e?(x-1 ) ,即 ? ? 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 ( 2 ) 证 明 只 需 证 明 令 g(a)=x-f(x)= - ax+x+ex, g(a)≥0 在 1≤a≤e+1 时 恒 成 立 . g( 1 ) = - x+x+ex=ex>0,① g(1+e)= - x(1+e)+x+ex=ex-ex. 设 h(x)=ex-ex, 则 h′(x)=ex-e. 当 x <1 时 , h′(x)<0; 当 x>1 时 , h′(x)>0 . ∴h(x)在(-∞,1 )单 调 递 减 ; 在 (1, + ∞)单 调 递 增 . ∴h(x)≥h( 1 ) =e-e=0, 即 g(1+e)≥0 .② 由① ②知 , g(a)≥0 在 1≤a≤e+1 时 恒 成 立 . 故 当 1≤a≤e+1 时 , f(x)≤x. 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 规 律 方 法 利 用 导 数 证 明 不 等 式 关 键 是 把 不 等 式 变 形 后 构 造 恰 当 的 函 数 , 然 后 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 或 求 出 最 值 , 达 到 证明不等式的目的. 热点聚焦 ·题型突破 归纳总结 ·思维升华 【训练 1】 ( 2 0 1 4 · 武 汉 调 研 考 试 2x+2a,x∈R. ( 1 ) 求 f(x)的 单 调 区 间 与 极 值 ; ( 2 ) 求 证 : 当 ( 1 ) 解 )设 a 为实数,函数 f(x)=ex- a>l n 2 -1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. 由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0, 得 x=l n 2 . 于 是 当 x变 化 时 , f′(x),f(x)的 变 化 情 况 如 下 表 : x f ′( x) f(x) (-∞,l n 2 ) - 单 调 递 减 l n 2 0 2 ( 1 -l n 2 +a) 热点聚焦 ·题型突破 ( l n 2 , + ∞) + 单 调 递 增 归纳总结 ·思维升华 故 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 是 +∞),f(x)在 x=l n 2 2+a). ( 2 ) 证 明 (-∞,l n 2 ) , 单 调 递 增 区 间 是

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