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2016届山东省枣庄市高三上学期期末质量检测(一调)(文)数学试题


2016 届山东省枣庄市高三上学期期末质量检测(一调) (文) 数学试题
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1.设集合 A ? ??2, 0, 2? , B ? x | x ? x ? 2 ? 0 ,则 A ? B ? (

>?

?

)

A. ?0?

B. ?2?

C. ??2,0?

D. ?0, 2? ) D.

2.直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角的大小是( A.

? 6

B.

2? 3

C.

? 3

5? 6

?x ? 1 ? 4.已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 ,则 x ? y 的最小值为( ?x ? y ? 0 ?
A.2 B.3 C.4 D.5

)

5.设 a ? log.0.3 2, b ? log3 2, c ? 20.3 ,则这三个数的大小关系是( A. c ? b ? a B. a ? c ? b C. a ? b ? c

) D. b ? c ? a
x

6.已知命题 p : ?x ? ?1, ?? ? , x ? 1 ;命题 q : ?a ? ?0,1? ,函数 y ? a 在 ? ??, ??? 上为减 函数,则下列命题为真命题的是( A. p ? q B. ? p ? q ) C. p ? ?q D. ? p ? ? q

7.在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O,CO ? ? AB ? AD , 则实数 λ =( A. ?

??? ?

?

??? ?

????

?

)

1 2

B.

1 2

C.-2

D.2

8.若函数 f ? x ? ? sin ? ? x ?

? ?

??

? 得到的函数图象的对称中 ? ?? ? 0 ? 的图象向左平移 4 个单位, 4?
)

心与 f ? x ? 图象的对称中心重合,则 ω 的最小值是(

A.1

B.2

C.4

D.8 )

9.函数 f ? x ? ?| lg x | ? cos x 的零点的个数为( A.3 B.4 C.5 D.6

10.已知圆 C: 点 P 在直线 l : y ? x ? 2 上, 若圆 C 上存在两点 A, B 使得 PA ? 3PB , x2 ? y 2 ? 1 , 则点 P 的横坐标的取值范围为( A. ? ?1 ,? ) C. ? ?1 , 0? D. ? ?2, 0?

??? ?

??? ?

? ?

1? 2?

B. ? ?2, ?

? ?

1? 2?

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? ?0,1? 时,f ? x ? ? x , 则 f ?? 12.抛物线 y 2 ? 4 x 上的点(1,2)到其焦点的距离为 13.观察下列等式: .

? 1? ?= ? 2?

.

1?1 2?3? 4 ? 9 3+4+5 ? 6 ? 7 ? 25 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 49
?? 照此规律,第 n 个等式为 .

14.某几何体的三视图如图所示,其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形,则此 几何体的体积是 .

15.已知直线 y ? k ? x ? m? 与抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 交于 A、 B 两点, O 为坐标原点, OA⊥OB,
2
2 2 OD⊥AB 于 D,点 D 在曲线 x ? y ? 4x ? 0 上,则 p ?

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 已知直线 x ?

?
4

与直线 x ?

5? ? ?? ? 是函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 的图象的 4 2 2? ?

两条相邻的对称轴. (1)求 ? , ? 的值; (2)若 ? ? ? ?

4 ? 3? ? ? , ? ? , f ?? ? ? ? ,求 sin ? 的值. 5 4? ? 4

17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,公比 q ? 0 , S1 ? a1 , S3 ? a3 , S2 ? a2 成等差 2

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . log 2 an ? log 2 an?2

18. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .
2 2

(1)若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 a 和 b,求上述方程有实根的概率; (2)若从区间中随机取两个数 a 和 b,求上述方程有实根且 a ? b ? 36 的概率.
2 2

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,DP=DC,E 是 PC 的中 点,作 EF⊥PB 于点 F. (1)求证:PA//平面 EDB; (2)求证:PB⊥平面 EFD.

20. (本小题满分 13 分)

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上一点与它的左、 右两个焦点 F1 , F2 的距离之和为 2 2 , 且 a 2 b2

它的离心率与双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的离心率互为倒数. (1)求椭圆的方程; (2)如图,点 A 为椭圆上一动点(非长轴端点) , AF1 的延长线与椭圆交于 B 点,AO 的延长 线与椭圆交于 C 点. (i)当直线 AB 的斜率存在时,求证:直线 AB 与 BC 的斜率之积为定值; (ii)求△ABC 面积的最大值,并求此时直线 AB 的方程.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ln x ? a ? x ? 1? , a ? R . (1)求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求证: f ? x ? 在(0,a)上为减函数; (3)若当 x ? 1 时, f ? x ? ? 1恒成立,求实数 a 的取值范围.

?

?

二○一六届高三第一学期期末质量检测 高三数学(文科)参考答案及评分标准 2016.1

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DDCA AAAC BD

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ? 14.

1 2

12. 2 15. 2

13. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1)2

8π 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解:(1)因为直线 x ?

π 5π 、x? 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图象的两条相邻的对称轴, 4 4 5π π ? ) ? 2π .????????????2 分 4 4

所以,函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 2 ? (

所以

π π π ? ? ? ? kπ, k ? Z ,即 ? ? ? kπ, k ? Z .???????????????5 分 4 2 4 π π π ? ? ? ,所以 ? ? . ?????????????????????6 分 2 2 4

又因为 ?

π π 4 (2)由(1),得 f ( x) ? sin( x ? ) .由题意, sin(? ? ) ? ? .????????????7 分 4 4 5
由 ? ? (?

3π π π π π 3 , ? ) ,得 ? ? ? (? ,0) .从而 cos(? ? ) ? .??????????8 分 4 4 4 2 4 5

π π π π π π sin ? ? sin[(? ? ) ? ] ? sin(? ? )cos ? cos(? ? )sin ??????????10 分 4 4 4 4 4 4
4 2 3 2 7 2 ?? ? ? ? ?? . ????????????12 分 5 2 5 2 10

17.解:(1)因为 S1 ? a1 , S3 ? a3 , S2 ? a2 成等差数列, 所以 S3 ? a3 ? S1 ? a1 ? S2 ? a2 ? S3 ? a3 .????????????????1 分 化简得 4a3 ? a1 .??????????????????????????3 分 所以 q 2 ?
a3 1 1 ? . 因为 q ? 0 ,所以 q ? .???????????????4 分 a1 4 2

1 1 1 故 an ? a1qn?1 ? ? ( )n?1 ? ( )n . ????????????????????6 分 2 2 2

(2) bn ?

1 1 1 1 ? ? ? . ????8 分 1 1 log 2 an ? log 2 an ? 2 log ( )n ? log ( ) n ? 2 (?n)[?(n ? 2)] n(n ? 2) 2 2 2 2

1 1 1 可见, bn ? ( ? ). ???????????????????????10 分 2 n n?2
Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? bn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )?( ? )] 2 3 2 4 3 5 4 6 n?2 n n ?1 n ?1 n n?2 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 1 3 1 1 ? ( ? ? ). ????????????????????????12 分 2 2 n ?1 n ? 2
18.解: (1)判别式 ? ? 4a2 ? 4b2≥0 , a 和 b 非负,? a≥b . 当 a≥1, b≥1 时,方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根的充要条件是 a≥ b≥1 .?????2 分 设事件 A 为“方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根”, 当 a ? 1 时, b ? 1 ; 当 a ? 2 时, b ? 1, 2 ; ? ,当 a ? 6 时, b ? 1, 2,3, 4,5,6 . 所以适合 a≥ b≥1 的情况有 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 6 ? 21 种.?????????5 分 所求概率为 P ? A? ?

21 7 ? .???????????6 分 6 ? 6 12

? a 2 ? b 2 ≤36, ? ?0≤a≤6, (2) a 和 b 满足的条件为 ? ?????8 分 ?0≤b≤6, ? a≥b. ?

其图形为阴影部分(如图),即以原点为圆心,6 为半径,圆心角 为

π 的扇形区域. ???????????????????????????10 分 4

1 π 2 ? ?6 π ? .???????????????????12 分 所求概率为 P ? 2 4 6?6 8

19.证明: (1)连接 AC ,设 AC ? BD ? G.

因为 ABCD 是正方形,所以 G 是线段 AC 的中点. 又 E 是线段 PC 的中点, 所以 EG 是△ PAC 的中位线.??????????2 分 所以 PA ? EG. ????????????????3 分 又 PA ? 平面 EDB , EG ? 平面 EDB ,所以 PA ? 平面 EDB .????4 分 注:条件 PA ? 平面 EDB ,或 EG ? 平面 EDB 中少写一个,扣 1 分.

(2)因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? BC . 又 BC ? DC , PD ? DC ? D , 所以 BC ? 平面 PDC . ??????????6 分 又 DE ? 平面 PDC ,所以 DE ? BC. ????7 分 在△ PDC 中, DP ? DC , E 是 PC 的中点, 所以 DE ? PC. ????????????8 分 又 DE ? BC , PC ? BC ? C ,所以 DE ? 平面 PBC . ?????????10 分 所以 DE ? PB. ??????????????????????????11 分 又 EF ? PB , DE ? EF ? E ,所以 PB ? 平面 EFD .?????????12 分

20.解: (1)设椭圆的半焦距为 c. 因为双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的离心率为 2 , 所以椭圆的离心率为
2 c 2 ,即 ? .??????????????????1 分 2 a 2

由题意,得 2a ? 2 2 .解得 a ? 2. ????????????????????2 分

于是 c ? 1 , b2 ? a2 ? c2 ? 2 ? 1 ? 1 .故椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .????????3 分 2

2 2 2 2 (2) (i)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 . ? 2 ? 2 y1 , x2 ? 2 ? 2 y2

由于点 A 与点 C 关于原点对称,所以 C (? x1 , ? y1 ) .??????????????4 分
k AB ? kBC ?
2 2 2 2 2 2 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 1 ? ? 2 ? ? ?? . 2 2 2 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 2 (2 ? 2 y2 ) ? (2 ? 2 y1 ) 2( y1 ? y2 )

1 故直线 AB 与 BC 的斜率之积为定值 ? .????????????????6 分 2
(ii)设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1 .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
? ? x ? ty ? 1, 由? 2 消去 x 并整理,得 (t 2 ? 2) y 2 ? 2ty ? 1 ? 0. ?????????7 分 2 x ? 2 y ? 2 ? ?

因为直线 AB 与椭圆交于 A, B 两点,所以 y1 ? y2 ? 法一: | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

2t ?1 , y1 y2 ? 2 . ????8 分 t ?2 t ?2
2

? [(ty2 ? 1) ? (ty1 ? 1)]2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (t 2 ? 1)( y2 ? y1 )2 ? (t 2 ? 1)[( y2 ? y1 )2 ? 4 y1 y2 ]
? (t 2 ? 1)[( 2t 2 ?1 2 2(t 2 ? 1) ) ? 4 ? ] ? . ????????????9 分 t2 ? 2 t2 ? 2 t2 ? 2

点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

1 t ?1
2

.??????????????????10 分

因为 O 是线段 AC 的中点,所以点 C 到直线 AB 的距离为 2 d .

S△ABC ?

1 2 2(t 2 ? 1) 1 2 2 t2 ?1 .???????????11 分 | AB | ?2d ? ? ? 2 t2 ? 2 t2 ? 2 t2 ?1

令 t 2 ? 1 ? u ,则 u≥1 .

S△ABC ?

2 2u 2 2 2 2 ? ≤ = 2 ,??????????????????12 分 2 1 u ?1 u ? 1 2 u? u u

当且仅当 u ?

1 ,即 u ? 1 ,亦即 t ? 0 时, △ABC 面积的最大值为 2 . u

此时直线 AB 的方程为 x ? ?1 .??????????????????????13 分

1 法二:由题意, S△ABC ? 2S△ABO ? 2 ? ( ? | OF1 | ? | y1 ? y2 |) 2
?| y1 ? y2 | ?????9 分

? ( y2 ? y1 )2 ? 4 y1 y2
? ( 2t 2 ?1 ) ? 4? 2 t ?2 t ?2
2

?

2 2 t2 ?1 ????????????????11 分 t2 ? 2

以下过程同方法一.

21.解:(1)对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? ln x ? 1 ? a .???????????????1 分 则 f ?(1) ? 1 ? a .又 f (1) ? 0 , 所以,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? (1 ? a)( x ? 1) .????3 分 (2)因为 f ?( x) ? ln x ? 1 ? a 为增函数, 所以当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? f ?(a) ? ln a ? 1 ? a .????????????4 分 令 ? (a) ? ln a ? 1 ? a ,求导得 ? ?(a) ?

1 1? a .????????????5 分 ?1 ? a a

当 a ? (0,1) 时, ? ?(a) ? 0 , ? (a) 为增函数;当 a ? (1, ??) 时, ? ?(a) ? 0 , ? (a) 为减函数. 因此 ? (a)? ? (1) ? 0 ,即 f ?(a)? 0 . ???????????????????7 分 所以,当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (0, a) 上为减函数.??????????????????????8 分 (3)解法 1: f ?( x) ? ln x ? 1 ? a .

1 时, ①当 a? 1 时,因为 f ?( x) ? ln x ? 1 ? a 为增函数,所以当 x… ln x ? 1 ? a…ln1 ? 1 ? a ? 1 ? a ? 0 ,因此 f ?( x)… 0.

当且仅当 a ? 1 且 x ? 1 时等号成立.所以 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数.
1 时, f ( x)… f (1) ? 0 .??????????????????????11 分 因此当 x…

② 当 a ? 1 时,由 f ?( x) ? ln x ? 1 ? a ? 0 ,得 ln x ? a ? 1 .解得 x ? ea ?1 . 当 x ? (1, ea ?1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,因此 f ( x) 在 (1, ea ?1 ) 上为减函数. 所以当 x ? (1, ea ?1 ) 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,不合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,1] .?????????????????14 分

1 0 ? ln x ? a(1 ? )… 解法 2: f ( x) ? x ln x ? a( x ? 1)… 0. x 1 a x?a 1 令 g ( x) ? ln x ? a(1 ? ) ,则 g ?( x) ? ? 2 ? 2 . x x x x
1 ,所以 g ?( x )… 0 .当且仅当 a ? 1 且 x ? 1 时等号成立. ①当 a? 1 时,因为 x…

所以 g ( x) 在 (1, ??) 上为增函数.
1 时, g ( x)… g (1) ? 0 .此时 f ( x)… 0 .????????????11 分 因此,当 x…

② 当 a ? 1 时,当 x ? (1, a) 时, g ?( x) ? 0 ,因此 g ( x) 在 (1, a ) 上为减函数. 所以,当 x ? (1, a) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 ,不合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,1] .?????????????????14 分


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