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3.2立体几何中的向量方法(1)


3.2 立体几何中的向量方法(1)
----直线的方向向量与平面的法向量

立体几何中的向量方法(一) 前面,我们把 推广到 平面向量 空间向量
向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题
( 研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从这节开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体

几何中的应用.

问题:怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的 位置? ⑴点 在空间中,我们取一定点 O 作为基点, 那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量

??? ? ??? ? OP 来表示,我们把向量 OP 称为点 P 的位置向 量.

P

O

⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.

P
? a

点A是直线l上一点,向量a 表示 直线的方向(方向向量 ) .在直线l 上取 AB ? a , 那么对于直线l上任意 一点P,一定存在实数 t,使得:
? ?

?

?

?

B
A
?O
?

AP ? t AB
? ?

OP ? OA ? t AB
?

?

?

?

OP ? xOA? y OB?x ? y ? 1?
这样,点A和向量 a 不仅可以确定直线 l的位置,还可以具体表 示出 直线l上的任意一点 .

例1:已知两点(, A 1 - 2, 3),( B 2, 1, - 3),求A,B连线与 三坐标平面的交点。

分析: 设AB连线与yoz平面的交点为C (0,y1,z1), ??? ? ??? ? ??? ? 由OC ? ( 1 ? t) OA ? tOB得

(0,y1,z1)( ? 1 ? t) (1,-2,3) ? t (2,1,-3) (0,y1,z1) ? (1 ? t, - 2 ? 3t, 3- 6t)
??? ? ?OC ? (0, ? 5, 9)
同理可得

?5 ? ?7 1 ? ? ,0,?1?, ? , ,0 ? ?3 ? ?4 4 ?

⑶平面
空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确 定。 如图,设这两条直线相交于O点,它们的方向向 量分别为a,b,点P为平面α上任意一点。

由平面向量基本定理可知, 存在有序实数对(x,y),使得

OP ? x a ? y b

?

?

?

? P 这样,点O与向量 b O ? a,b不仅可以确定平面α a 的位置,还可以具体表 示出α内的任意一点。 这种表示在解决几何问题时能起到非常重要的作用。

⑶平面
空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确 定。 如图,设这两条直线相交于O点,它们的方向向 量分别为a,b,点P为平面α上任意一点。

由平面向量基本定理可知, 存在有序实数对(x,y),使得

OP ? x a ? y b

?

?

?

除此之外, 还可以 用垂直于平面的直线 的方向向量(这个平面 的法向量)表示空间中 平面的位置.

O

? b ? a

P

? 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在 ? ,则称这个向量垂直于平 直线垂直于平面 ? ? ? 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n
叫做平面 ? 的法向量.
l

? n

? 给定一点A? 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
唯一确定的.
A
几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的法向量不唯一, 但所有的法向量都互相平行 ; ? 3.向量 ?? n是平面的法向量,向 量 m 是与平面平行或在平面 ? ?? 内,则有 n ? m ? 0

问题:如何求平面的法向量? ? ⑴设平面的一个法向量为 n ? ( x, y, z )
⑵找出(求出) 平面内的两个不共线的向量, ? ? 并求其坐标: a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 ) ? ? ? ?n ? a ? 0 ⑶根据法向量的定义建立方程组 ? ? ? ? ?n ? b ? 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

问题:如何求平面的法向量 ? ?

⑴设平面的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ⑵找出(求出) 平面内的两个不共线的向量, ? ? 并求其坐标: a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 ) ⑶根据法向量的定义建立方程组 ? ? ? ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. ?n ? a ? 0 ?? ? ? ?n ? b ? 0

例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平 面 的一个法向量.
解:设平面?的一个法向量n ? ?x, y, z ?.
∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)

?

?

?

??? ? ???? ∴ AB ? (1, ?2, ?4), AC ? (2, ?4, ?3)

依题意,有

?? ? ?n ? AB ? 0 ?? ? ? ?n ? AC ? 0



? x ? 2 y ? 4z ? 0 ? ?2 x ? 4 y ? 3z ? 0

?x ? 2 y 解得? ?z ? 0

取y=1,则x=2

? 所以,平面?的一个法向量是 n ? (2,1,0)

练习: 在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2),

求平面ABC的一个法向量。

??? ? ??? ? 思考: 例2:已知AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5,3), 求平面ABC的 单位法向量。

?1 2 2? ? 1 2 2? ? ,? , ?或? - , ,- ? ?3 3 3? ? 3 3 3?

P104练习 1、2 ; P111习题 1、2、3.

小结 直线的方向向量和平 面的法向量是用空间向量 解决立体几何问题的两个 重要工具,是实现空间问题 的向量方法的媒介.


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