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2第三章多端口网络


第三章 多端口网络(P98)
多端口网络在工程实际中有广泛的应用,我们在第一章中已 介绍了多口网络的概念和性质,本章再做系统归纳。

主要内容:短路导纳参数Ysc, 开路阻抗参数Zoc,
混合参数H, 复合多口网络(多口网络的连接)
含源多口网络及等效电路, 星网变换(罗森定理) ; (散射矩阵) 不定导纳阵
?网络解的

存在性与唯一性

因为本章由参数建立的是端口方程,存在方程是否有解的问题

实际网络总是有解的,且在任何时刻都有唯一解。 但由电路模型构成的网络,可能有解,也可能无解;可 能有唯一解,也可能不是唯一的。 网络无解或解不唯一说明电路模型设置不合理。

?RLCM组成的网络有唯一解的充分条件
设网络N仅有RLCM元件构成,当且仅当,网络中不含仅有独立电 压源组成的回路和仅有独立电流源组成的割集时,网络有唯一解

?线性电阻网络解的存在性和唯一性定理(充分必要条件) 设线性电阻网络方程为

TX ? B

其中T为系数矩阵,

X、B为列向量,当且仅当det(T)≠0时,该网络有唯一解。

§3-1 非含源(独立源)多口网络的常见矩阵表示法
1.(短路)导纳参数: 是二端口网络Y参数的推广。把 各端口电压看作激励,各端口电 流看作是响应。则: +
U1 1 I1

-

1′

?
+ Un

N
(无独立源)

? I1 ? Y11U 1 ? Y12U 2 ? ??Y1nU n ? I 2 ? Y21U 1 ? Y22U 2 ? ??Y2 nU n ? ? ?? ?? ? ? I n ? Yn1U 1 ? Yn 2U 2 ? ??YnnU n ?
Y jk ? Ij Uk
除K端口外全部短路

n
n′

In

(线性)

1 ? j,k ? n,故称为

短路参数。其量纲为导纳(S),又称为导纳参数,写成矩阵为:I ? YSCU

下面讨论YSC的性质:
T ? ? T T ? ? ?

若把U,I视为相量(正弦稳态分 析)P ? Re[U T I ] ? Re[( I )T U ] 但U I ? I)U ? P ? jQ,(U I) ? U) I ? P ? jQ, ( ( T
则:
? 1 ? T 1 T ? P ? [(I ) U ? U I)] ? (I H U ? U H I) ( 2 2

?

?

我们用H表示(对矩阵的)转置并取共轭运算,称为厄尔米特(Hermite)运算。 代入短路导纳参数得:

1 H H H H 1 H P ? (U YSCU ? U YSCU) P ? U [ (YSC ? YSC) ? U H YHU ]U 2 2 def
令 : YH
若网络是: 1 ( )无源的:P ? 0,YH 非负定;

1 H ? (YSC ? YSC) 是一个厄尔米特矩阵。 2

Jump 如n=2 Jump

(2)无源有损的:P ? 0,YH 正定; (3)无损:P ? 0,YH ? 0 ;

1 T (4)互易:YSC ? YSC,则网络只有 n(n ? 1 )个参数是独立的; 2 T (5)无损互易:YSC=YSC (YH ? 0) SC为纯虚数构成的对称矩阵。 Y

Hermite矩阵:
? x ? ? a ? jb ? a ? jb ? ?? A y ? ?

A H ? ( A? )T , A ? C m?n , A H 为A的复共轭转置矩阵

若A H ? A, A是Hermite 阵 A ? ? A H , 反Hermite 阵

A? ? AT
Hermite矩阵性质:

( A? )T ? A H ? ( AT )T ? A

A ? A H , AAH 等是Hermite 矩阵
对于Hermite 二次齐式,f ( X ) ? X H AX , X ? C n , 下列命题是等价的: f ( X )是正定的; P H AP为正定矩阵, P为任何n阶可逆矩阵 A的n个特征值全大于零

Back

此处必然用Hermite矩阵,因为短路导纳参数阵一般是复数

实对称矩阵。按其特征值分为正定矩阵,半正定矩阵, 负定矩阵,半负定矩阵,不定矩阵 (i ? j) ?0 反对称矩阵:aij ? ? ? ? aij (i? j) (i, j?1,2,?n)
厄尔米特矩阵:AT ? A? , 则A称为 — — 1 ? 2i 2 ? i ? ? 5 ? ? 如A ? ? 1 ? 2i 1 3 ? 2i ? ? 2 ? i 3 ? 2i 4 ? ? ? 反尔米特矩阵:AT ? -A? ? 1 ? 2i ? 2 ? i ? ? 0 ? ? 如A ? ? 1 ? 2i 0 5i ? ? 2?i 5i 0 ? ? ?
? 0 ? 1 ? 3? ? ? A ? ?1 0 2 ? ?3 ? 2 0 ? ? ?

2.(开路)阻抗参数:
是二端口网络Z参数的推广。把各端口电流看作激励,各端口电压看作响应。

?U1 ? Z11I1 ? Z12I 2 ? ?? Z1n I n ?U ? Z I ? Z I ? ?? Z I ? 21 1 22 2 2n n 则: 2 ? ????????? ?? ?U n ? Z n1I1 ? Z n 2 I 2 ? ?? Z nnI n ?
故称为开路阻抗参数。

Z jk ?

Uj IK
K端口加电流源其它端口 开路

1 ? j,k ? n

若网络是: 1 ( )无源的:P ? 0,Z H 非负定;

写成矩阵:U ? Z OC I,若Z ?1OC ?,YSC ? Z ?1OC,若 Y ?1SC ? ,Z OC ? Y ?1SC 1 H 由对偶关系:P ? I Z H I,Z H ? (Z OC ? Z H OC),是厄尔米特矩阵。 2
(2)无源有损的:P ? 0,Z H 正定; (3)无损:P ? 0,Z H ? 0 ;

1 T (4)互易:Z OC ? Z OC,则网络只有 n(n ? 1 )个参数是独立的; 2 T (5)无损互易:Z OC=Z OC (Z H ? 0),Z OC 为纯虚数构成的对称矩阵。

3.混合参数矩阵:

是二端口网络H参数的推广。把一部分端口电压和一部分端口电 流看作激励,其余端口电流和端口电压看作响应。 ?电流看作激励的端口称为电流端口,又称为一类端口。
?电压看作激励的端口称为电压端口,又称为二类端口。
?U1 ? ? H11 则:? ? ? ? ? I 2 ? ? H 21 H12 ? ? I1 ? H 22 ? ?U 2 ? ?? ? ? H11 H ?? ? H 21 H12 ? ,称为第一类混合参数矩阵。 H 22 ? ?

若把U1,I 2看成激励,I1,U 2看成响应 ? ? ? ? ? I1 ? ? H11 H12 ? ?U1 ? ? H11 H12 ? ?U ? ? ? H ? H ? ? ? I ? ,H ? ? ? H ? H ? ? 称为第二类混合参数矩阵。 22 ? ? 2 ? 22 ? ? 2 ? ? 21 ? 21

N端口网络的互易性:
T T T 用第一类混合参数矩阵表示为:H11 ? H11 ,H 22 ? H 22 ,H12 ? ? H 21

对称

斜对称

? ?T ? ?T ? ?T 用第二类混合参数矩阵表示为:H11 ? H11 ,H 22 ? H 22 ,H12 ? ? H 21

4.传输参数矩阵:
当多口网络的端口数目为偶数时,可用传输参数矩阵描述。选定一半端口为 输入端口(U1,I1),另一半端口为输出端口(U 2,I 2) ?U1 ? ? A B ? ? U 2 ? ?A B? ?? ,T ? ? ? I ? C D ? ?? I ? ? 称为第一类传输矩阵; ?? 2 ? ?C D ? ? 1? ? ? U 2 ? ? A? B? ? ?U1 ? ? A? B? ? ?? I ? ? ?C ? D?? ? I ? ,T ? ?C ? D?? 称为第二类传输矩阵。 ?? 1 ? ? ? ? 2? ?

5 ? ZOC、YSC 与 H 的关系:P104 表3 ? 1 ? 1,P105( )、(2)、(3) 1
6.复合多口网络:
( )n口网络并联: 1 两个n口网络N1、N 2 所有对应端口均按 并联的方式连接在 一起,并联后 N1、 N 2 的端口条件仍成
1`b 1`a Us 1b 1a 2a

N1

2`a Us

N2

2b 2`b

立称为 N1、N 2的并联。并后的n端口网络称为复合n端口网络。

I11 + + U11 - U1 - I1 +

I 21

U 21 -

N1

N2
I1n + U1n - + Un - - In + U 2n I 2n

?U1 ? U 2 ? U 并前:I1 ? YSC1U1,I 2 ? YSC 2U 2,并后: ? ? I1 ? YSC1U1 ,I 2 ? YSC 2U 2

若并联后 N1、N 2的端口条件仍成立,则复合n端口网络: I ? I1 ? I 2 ?(YSC1 ? YSC2 U,I ? YSCU , ) YSC ? YSC1 ? YSC2 连接有效性的判定:
检验联接后端口条件的电路实验方法如下(以二端口网络为例, 亦可直接观察):
1a 2a 1a

1`a
Us 1b 1`b

N1

2`a
V V

1`a 1b

N1
Us

N2

2b 1`b

N2

V

2`b



V

=0,左边端口条件成立。

=0,右边端口条件成立。

例如对图示网络
Z
1

Z
2

Z
1

Z
2

Z
3

Z
3

Z
4

Z
5

V

V

Z
6

Z
4

Z 6Z
5

V

=0,左边端口条件成立

V

≠0,左边端口条件不成立

例: 两个二端口并联时,其端口条件可能被破坏此时上述 关系式就不成立。
2A 4A
1A

1A
5? 10?

1A
2.5?

+
10V

2A
4A 2A
2.5?

1A

+
5V

?

4A

1A 2A

1A

?

0A

2.5?

0A

并联后端口条件破坏。

(2) n端口网络串联: 两个n 端口网 N1、N 2 所有端口按串联方 式相连,且相连后 N1、N 2 的端口条件仍 成立,则称 N1、N 2 为串联,串后称为复 合n端口网络。
In

+ I1 U11

U1

U21

N1
U1n

? ? ?
Un

N2
U2n

串联前:U1 ? Z OC1I1,U 2 ? Z OC 2 I 2 , ? U1 ? Z OC1I1 串联后:I ? I1 ? I 2 ? , ZOC ? ZOC1 ? ZOC 2 ?U 2 ? Z OC 2 I 2 ?U ? U1 ? U 2 则:复合n口网络: , ? ? U ? Z OC I

+

-

复合n端口的开路阻抗参数等于其开路阻抗参数之和, 检验端口条件的实验电路(以二口网络为例)如下。

1a
1`a Is 1b 1`b

2a

N1

2`a V=0 V 2b
V V=0

N1
Is

N2

2`b

N2
右侧端口条件成立

左侧端口条件成立

Z
1 3

Z
2

Z
1 3

Z
2

Z
V

Z Z
4
6

Z
5

V

Z
4

Z 6Z
5

Z
≠0,左边端口条件不成立。

V

=0,左边端口条件成立。

V

例题

(3) n口网混联:设n口网N a N b电压 和电流端口的数目分别相等,电流 端口做串联连接,电压端口做并联 联接,且连接后N a N b的端口条件成 立,则N a N b为混联。 (串、并联)

a
b

?U1a ? ? I1a ? ?U1b ? ? I1b ? ? U1 ? U1a ? U1b,I1 ? I1a ? I1b 联前: ? ? H a ? ?, ? ? H b ? ? 联后: ? ?I ?I ? 2a ? ?U 2 a ? ? 2b ? ?U 2b ? ?U 2 ? U 2 a ? U 2b,I 2 ? I 2 a ? I 2b
?U1a ? ?U1a ? U1b ? ? I1 ? ?U1b ? ? I1 ? ? I1 ? 代入上式? ? ? H a ? ?, ? ? H b ? ?,相加得: ( ?I ? I ? I ? ? H a ? H b)U ? ? I 2a ? U 2 ? ? 2b ? U2 ? ? ? ? 2? ? ? 2 a 2b ?

H ? H a ? Hb
若电压端口串、电流端口并(并、串联),则为第二类混合参数 矩阵之和。

? ? H ? ? Ha ? Hb

1a
1`a Is 1b 1`b

1a

N1
1`a

N1
Us

V

V=0

V=0 V 1b

N2

N2
1`b

左侧端口条件成立
?

右侧端口条件成立

复合n口网络可直接用电路分析和计算化简,也可用复合双口 网络分析 成立
Z4 Z1 Z2 Z5 Z1 Z2 U1 Z4 Z6 Z5 U2 Z3

Z3
Z6

? 在工程实际中,为保证连接有效,可在连接端口之间用1:1 变压器隔离(保证各自的端口条件成立)。

§3-2 含(独)源多口网络 1.含源多口网络的表示方法:

U1

把所有端口电压看成激励,电流看成响应,短路导纳 U2 把激励分成两组:所有端口电压源;所有内部独立源 则可以用叠加定理处理

……

N 含独

所有端口电压源单独作用:I ? ? YSCU(N中全部独立源不作用)

所有N中独立源单独作用:I ?? ? I SC (所有端口短路时的电流)

所端口电压源不作用(短路),
叠加得 I ? I ? ? I ?? ? YSCU ? I SC , I ? YSCU ? I SC 同理可得 U ? ZOC I ? U OC
?U1 ? ? H11 ? I ? ? ?H ? 2 ? ? 21 H12 ? ? I1 ? ?U1OC ? ? ?U ? ? ? I ? H 22 ? ? 2 ? ? 2 SC ?

同理可得

2. 含源n端口U OC 与I SC的关系 : P109 ? P111

3. 复合含源多口网络
前面讨论了复合非含源多口网络

N1 : I1 ? Y1SCU1 ? I1SC ,N 2 : I 2 ? Y2 SCU 2 ? I 2 SC ? ( 则N1与N2并联 I ? [Y ? Y ]U ? I ? I )
1SC 2 SC 1SC 2 SC

设N1与N2端口条 件成立。

则N1与N2串联

U ? Z1OC ? Z 2OC)I ? U1OC ? U 2OC) ( (

?U1 ? ? I1 ? ?U a1OC ? U b1OC ? 混(串并) ? ? ? H a ? H b) ? ? ? ( ?U I a 2 SC ? I b 2OC ? I2 ? ? ? 2? ? ? ? I1 ? ?U1 ? ? I a1OC ? I b1OC ? ? ? 混(并串) ? ? ? H a ? H b) ? ? ? ( ? U2 ? I 2 ? ?U a 2 SC ? U b 2OC ? ? ? ?
与非含源一样,也存在有效性问题

P112
例:求图 (a)所示含源三口网络的Z参数方程。


???
1

4?

3V

6?

24?



3

12?

Ix 1'

0. 4A 12?

12?

12?

1A
3'

12?

8?

4.5Ix 2 2'

(a)

1

12?

Ix 1'

0. 4A 12?

12?

12?

12?

解 图 (a)三口网络可看作由图 (b) 和(c)两个三口网络 串联而成。

8?

2

1

???

12?

12?

12?

0.4A 12? 1' 3'

???

8?

2

(b)



4?

3V

6? 3

1 1A

1'

2'



???

4?

3V

6?

24?

4.5Ix 2'



3

1A
3'

3



12?

3'

4.5Ix 2 2'

(c)

将图(b)独立电源置零值,可得图(d)所示网络,通过 Δ-Y变换可得图(e)。
4? 6?
4? 6?

1

3

1

3

12

4?
4?
4
3'
1' 3'

? 12

?

12?
1'

2

2'

(d)

z11 ? 4 ? 3 ? 12
z21 ?

2

?

U ? 4I 2 z12 ? 1 ? ? ?4 I 2 I1 ? 0 I2
I3 ?0

8?

U2 ? 4 I1 ? ? ?4 I1 I 2 ? 0 I1
I3 ?0

8?
2'

(e)

12?

0.4A 12? 3'

1'

将图(b)中三个端口开路,由叠加定 理可得 :

8?

2

12?

1 12 ? 24 U1oc ? ? ? 3 ? ? 0.4 ? 2.2 V 3 12 ? 24 1 1 12 ? 24 U 2oc ? ? ? 3 ? ? ? 0.4 ? ?2.6 V 3 2 12 ? 24 1 1 12 ? 24 U 3oc ? ? 3 ? ? ? 0.4 ? 2.6 V 3 2 12 ? 24



由图(e)可得图(b)所示网络的Z参数 矩阵 Zb为 ? 12 ? 4 4 ? 1 ? ? 4 16 4 ? ? Zb ? ? ? ? 4 4 14? ? ?

4?

3V

6? 3


2'

则图(b)所示网络的开路电压列向量Uboc为 :

U boc ? ?2.2 ? 2.6 2.6?

T

对于图(c)所示三口网络,可直接写出其端口伏 安关系为 :
1 3

???

12?

U1 ? 6 I 1 U 2 ? 12 I 2 ? 12 ? 4.5 ? U 3 ? 24 I 3 ? 24

???

1A 3'

1'

12?

1 I1 ? 27 I1 ? 12 I 2 2
2

4.5Ix 2'

所以,图(c)所示三口网络的Z参数矩阵 Zc为 : ?6 0 0?

Z c ? ? 27 12 0 ? ? ? ? ? 0 0 24? ? ?

开路电压列向量Ucoc为 : 则图(a)所示三口网络的Z参数矩阵Zoc 和开路电压列向量Uoc分别为 :

U coc ? ?0 0 24?

T

U oc ? U boc ? U coc ? ?2.2 ? 2.6 26.6?

?18 ? 4 4 ? Z oc ? Z b ? Z c ? ? 23 28 4 ? ? ? ? ?4 4 38? ? ?

T

因此,所求的Z参数方程为 :
?U 1 ? ?18 ? 4 4 ? ?U ? ? ? 23 28 4 ? ? 2? ? ? ?U 3 ? ? 4 4 38? ? ? ? ? ? I 1 ? ? 2 .2 ? ? I ? ? ? ? 2 .6 ? ? 2? ? ? ? I 3 ? ? 26.6 ? ? ? ? ?

§3-3

多口网络的等效电路
U1

一、含源多口网络的等效电路
就是把含源多口网络表 示画成电路,I ? YSCU ? I SC ?U1 ? ? H11 U ? Z OC I ? U OC, ? ? ? ? ? I 2 ? ? H 21
1 I1sc U1 U1oc

……
U2

N 含独

H12 ? ? I1 ? ?U1OC ? ? ?? ? ? ? I H 22 ? ?U 2 ? ? 2 SC ?
1 I1sc I1 U1oc

1
U1 1` n Unoc Un n`

N 无独

1` n Insc n` Up Upoc

N 无独

1`

n
Insc n`

N 无独

I2

广义诺顿定理

广义等效电源定理

广义戴维南定理

二、 星 — 网变换:(Y ? ?的推广)(罗森定理) . 设一个由n个二端元件(导纳)组 成的星型电路(n个端子), n 与一个有n个端子 (n ? 1 ? C n 个元件的网络等效。即 ) 2 : 2 把一个星形网络变换为 一个多边形网络。等效 原则: 对应端子的电压电流相 等,则有相同的端口特 性。 设I n ? Y星iU n,J n ? Y网iU n Un 节点电位 ()星 — 网(完全): 1 星:I1 ? y(u1 ? u 0),I 2 ? y(u 2 ? u 0) 1 2 I 3 ? y(u 3 ? u 0),I 4 ? y(u 4 ? u 0),I1 ? I 2 ? I 3 ? I 4 ? 0 3 4 y1u1 ? y 2 u 2 ? y3u3 ? y 4 u 4 ? y1 ? y 2 ? y3 ? y 4)U 0 (
2

辐射状
1 y1 y2 0 y3 3 Y12 Y41 Y31 Y42 Y23 Y34 y4 4

YY ?

? y ,U
K K ?1

n

0

?

?y
K ?1

n

KU K

YY

,I i ?

( K yi ui K ?1,K ? i n

?y

n

? u K)

?y
K ?1

K

网形:I i? ?

iK K ?1,K ? i

? y (u ? ? u ? )让端子电压和电流对应相等。
i K

n

yik ?

yi y k

?y
K ?1

n

,? i ? K ? n 1

星-网变换公式

K

变换的目的:星网变换和负荷移植是为了等值地改变电网的 连接形态,以便于分析处理。 华中科大(华工) 何仰赞 电力系统分析 P37





y1

y12
y4


y41 y13


图中各元件导纳为:



y2
0



y24 y23


y3


y34

y 12 ? y 34 ?

y 1y 2 y1 ? y 2 ? y 3 ? y 4 y 3y 4 y1 ? y 2 ? y 3 ? y 4

y 23 ? y 41 ?

y 2y 3 y1 ? y 2 ? y 3 ? y 4 y 4y1 y1 ? y 2 ? y 3 ? y 4

y 1y 3 y 13 ? y1 ? y 2 ? y 3 ? y 4

y 24

y 2y 4 ? y1 ? y 2 ? y 3 ? y 4

(n ? 1 n ) (2)网—星:网( )星(n)元件参数不唯一,专业书有相 2 应的公式端子电压电流的关系是唯一的。书P116 ? P118

? 网形连接的导纳集 : T ? ?Y
令: x i ? ln( Yi / Yy ) 将 y ik ?

星形连接的导纳集 : S ? Y1 ,
12

Y2 , ... , Yn

?

, Y13 , ... , Yn ?1,n

?

i=1,2,… ,n

式中 Yy ? Y1 ? Y2 ? ... ? Yn

yiyk

?y
j? 1

n

yiyk ? 取对数: y 1 ? y 2 ? ... ? y n

j

xi ? xk ? ln Yik 定理: 对应于一个连通dendroid图的一组如上 式所表示的方程组是唯一地确定S中各导纳值的 充分必要条件。

构造一个dendroid图G
图中共有n个节点,每个节点对应s中的一个导纳;每个支路 对应T中的一个导纳,节点与支路的关系符合, ? yi y k yik n 而图G中每个连通的部分恰好有一个回路, yj 其支路数为大于或等于3的奇数。 j ?1

?

连通的dendroid图有且只有一个回路!
例 如图为一个dendroid图G,它的5个节点对应于S中全部导 纳Y1、Y2、Y3、Y4、Y5,而5个支路为T中的一部分导纳Y12、 Y14、Y15、 Y25、Y34,其中支路Y12、 Y15和Y25构成一个回路, Y12 支路Y14和Y34构成与该回路相连的分树。Y1 Y

xi ? ln

Yi

YY

x j ? ln

Yj

2

YY
Y3 Y34

Y14 Y4

Y15

Y25

xi ? xk ? ln Yik

Y5

对应于该dendroid图G的方程组为
?1 ?0 ? ?1 ? ?1 ?0 ? 1 0 0 0? 1 1 0 0? ? 0 1 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 1 1? ? ? x1 ? ? ln Y12 ? ? x ? ?ln Y ? ? 2 ? ? 25 ? ? x5 ? ? ? ln Y15 ? ? ? ? ? ? x 4 ? ? ln Y14 ? ? x3 ? ?ln Y34 ? ? ? ? ?

Y1

Y12

Y2 Y25

由子方程 (回路部分)

?1 1 0? ? x1 ? ? ln Y12 ? ?0 1 1? ? x ? ? ?ln Y ?Y ? ? ? 2 ? ? 25 ? ?1 0 1? ? x5 ? ? ln Y15 ? ? ? ? ? ? ?

Y14 Y34 Y4

Y15

3

Y5

可求得:
1 x1 ? ?ln Y12 ? ln Y25 ? ln Y15 ? 2 1 x 2 ? ?ln Y12 ? ln Y25 ? ln Y15 ? 2 1 x 5 ? ?? ln Y12 ? ln Y25 ? ln Y15 ? 2

?1 ?0 ? ?1 ? ?1 ?0 ?

1 0 0 0? 1 1 0 0? ? 0 1 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 1 1? ?
Y1

? x1 ? ? ln Y12 ? ? x ? ?ln Y ? ? 2 ? ? 25 ? ? x5 ? ? ? ln Y15 ? ? ? ? ? ? x 4 ? ? ln Y14 ? ? x3 ? ?ln Y34 ? ? ? ? ?
Y12 Y2 Y25

再由方程(除回路外的剩余部分) ? x1 ? ?1 1 0? ? ? ? ln Y14 ? ?0 1 1 ? ? x 4 ? ? ?ln Y ? Y 3 ? ? ? ? ? 34 ? ? x3 ?

Y14 Y34 Y4

Y15

Y5

可求得
1 1 1 x 4 ? ln Y14 ? x1 ? ln Y14 ? ln Y12 ? ln Y25 ? ln Y15 2 2 2 1 1 1 x 3 ? ln Y34 ? x 4 ? ln Y34 ? ln Y14 ? ln Y12 ? ln Y25 ? ln Y15 2 2 2
x 然后利用 x i ? xk ? ln Yik 和 YY ? ? Yi / YY ? ? e i ?1 i ?1 n

?

?

n

i

可进一步求得Y1,Y2,……,Yn

Yi ? YY e xi
n xk xi

YY ? ? Yi / YY ? ? e xi
i ?1 i ?1

n

?

?

n

Yi ? (? e )e
k ?1

i ? 1, 2?, n

为便于分析,把网络节点分类(P137) ?

可及(达)节点:可加电压、电流源,可测电压、电流的节点。 外部节点 ? 半可及(达)节点:可加电压源,可测电压的节点。可连接 不可移动 ? 不可及(达)节点:不能测电压、电流的节点。内部节点。 例 在图(a)所示网络中,节点1、2、3、4为可及节点, 节点5和6为不可及节点,试消去不可及节点。 解: 利用Y-Δ变
1

G1

5

G4

3

换首先消去不可及
节点5,得图(b)所示 网络,其中:
2

G2

G3

G5
4 6

图(a)

G6

G1G4 G7 ? G1 ? G2 ? G4 G1G2 G8 ? G1 ? G2 ? G4 G 2G 4 G9 ? G1 ? G2 ? G4
利用星网变换消去不可
1

1

G7

3
9

2

G3

G

G5
4

6

图(b)
G 11 G 15
4 3

及节点6,可得图所示网


G 10
2

G

14

G
G 12

图(c)

G6
13

G
8

1

G7

3

1

G 11 G 15

3

2

G3

G

9

G 10
4

G6

G5

G

14

G
G 12

13

G
8

2

6

4

其中 :
G10 G12 G14

G3G8 ? G3 ? G5 ? G8 ? G9 G3G5 ? G3 ? G5 ? G8 ? G9 G3G9 ? G3 ? G5 ? G8 ? G9

G8G9 G11 ? G7 ? G3 ? G5 ? G8 ? G9 G5G8 G13 ? G3 ? G5 ? G8 ? G9 G5G9 G15 ? G6 ? G3 ? G5 ? G8 ? G9

§3-4

散射(参数)矩阵(P118)

前面介绍了多口网络的Zoc,Ysc,H,T这些参数均为开短路参数, 在高频,理想的开短路是困难的(分布参数)。
此外有很多场合人们关心的是功率的输出。在这些场合,不需要开短路测试 又与功率传输密切相关的散射参数更便利有效。 所谓散射参数表示实际上就是一种把各端口电压和电流分解为入射波和反射 波的一种表达方式。类似于传输线的分析方法。它可以通过多口网络端口负 载的条件来描述网络,是一种数字变换。 1 单口网络的散射参数 (1)Ui(Ii)和Ur(Ir)表达:把端口电压和电流看成是入射波和反射波 两部分来组成的。

?U ? U i ? U r ?U i ? RI i 令: ,与传输线同。,令? ,R称为端接电阻,相当于 ? ?U r ? RI r ? I ? Ii ? I r 传输线的特性阻抗波阻抗Zc,但不是网络N固有的,因此不能叫特性阻抗

( ? U i ? 1 U ? IR) 2 ? 1 ( Ui Ur ? U r ? 2 U ? IR) 而称为端接阻抗。 ? ? R,解出U iU r I i I r, ,当R给定后 ? ?1 1 Ii Ir ? I i ? 2 R (U ? IR) 1 ? I r ? 1 R ?(U ? IR) 2 ? 端口电压U,电流I与入射波,反射波是一一对应的,因此研究U,I就变成了 研究入射波和反射波的关系,最终结果再变回去就行了。
对图示的单口网络端口串接电阻R外接电源U S 设 一端口网络的输入阻抗为Z则 U ? ZI 。
R Us I + U -

若Z ? R ? R,由最大功率传输定理,单口网络获 得的最大功率 。

?

N 无独

1 1 1 ?1 则在匹配条件下,U i ? (U ? U) U ? U S,I i ? R (RI ? RI) I ? ? 2 2 2

可见入射电压和入射电流就是匹配情况下的端口电压和电流; 而反射电压和电流就是失配情况下,偏离匹配情况电压和电流 的度量,失配越严重反射量就越大。
( )散射参数(相当于反射参数),U ? ZI,RI i ? RI r ? Z(I i ? I r), 2 Z ?R Z ?R I i,令 S ? ,与反射系数形式相同 称为散射参数 。把上图 Z?R Z?R 的R归入单口网络形成的增广单口网络,则:输入阻抗为:Z ? R,输入 Ir ? 1 (Z ? R) 1 ? 2Ya R ? Z?R ()归一化散射变量表示:电压和电流与入射波和反射波成比例,因此只 3
? ? 导纳(Z ? R)1,记Ya ? Z ? R)1,S ? (

研究一个入射波和一个反射波就可以了。为此作好如下的变换。 ?U i ? RI i ? R ?1/ 2U i ? R1/ 2 I i ? a ?? ?1/ 2 ,称为归一化散射变量 或叫做波变量 ? 1/ 2 ?U r ? RI r ? R U r ? R I r ? b a:入射散射变量,b:反射散射变量,R:归一化数或基准电阻,本节 用下标 n 表示归一化变量,则前述各关系为:

? U n ? R ?1/ 2U,I n ? R1/ 2 I 1 ? ? ? U sn ? R ?1/ 2U S,Rn ? R ?1/ 2 RR ?1/ 2 ? 1 ? a ? R ?1/ 2U i ? (U n ? I n)U n ? a ? b,I n ? a ? b ? ? 2 , 1 ? ? ?U n ? Z n I n,I n ? YnU n 1 Z n ? R ?1/ 2 ZR ?1/ 2,Yn ? ? R1/ 2YR1/ 2 ? ?1 / 2 ? ? b ? R U tr ? (U n ? I n) Zn b ? Sa ? 2 ? ? Yan ? R ?1/ 2Ya R ?1/ 2 ?
2 Z ? R R ?1/(Z ? R)R ?1/ 2 S? ? ? 1 ? 2Yan,不变 2 Z ? R R ?1/(Z ? R)R ?1/ 2

P120

(4)平均功率的入、反射变量表示:把单口网络吸收的功率看成入射波功率与反射 波功率之差。 匹配:(U r ? I r ? 0,P ? Pmax
? ? 2 U S ? R ?1/ 2U S ? 1 2 ? ?? ? a ,U i ? U S ? U,一般情况: ? 4R ? 2 ? 2 2

2 2 2 ? ] P ? Re[U I ] ? Re[U n I n ] ? Re[ a ? b) a — b)? a ? b ? Pmax 1 ? S ) ( ? ? ( ( 1/ Pr ? b ? S Pi,a,b直接与功率相关量纲为(伏安)2,称为功率 2 2

波。对无源单口网络P ? 0,P / Pmax ? 1,S ? 1

2. 多口网络的散射参数矩阵:P121把单口推广到多口, 定义端口K的归一化入射散射,反射散射变量分别为:

? RK 1 1 aK ? (U kn ? I kn) ? UK ? IK ? 2 2 2 RK ? ,RK 称为K端口的归一化数或 ? RK 1 ?b ? 1 U ? I ) ( ? UK ? IK ? K 2 kn kn 2 2 RK ? 基准电阻,(可任选)看P121 ? P123,得 U n ? R ?1/ 2U ? a ? b,I n ? R ?1/ 2 I ? a ? b,R1/ 2 ? diag[ R1 ?? Rn ],b ? Sa

? S11 S12 ? S!n ? ?S S 22 ? S 2 n ? ? 称为对应基准电阻R ?? R 的散射参数矩阵。 S ? ? 21 1 n ? ? ? ? ? ? ? ? S n1 S n 2 ? S nn ? ? S KK,SiK 求法物理意义见P122 ? P123 3其他多口网络参数阵与S的关系:为同一对象的不同表达,当然可互相 表示。P124 — P125

§3-5

多口网络的统一表示法(P129!)

多口网路的矩阵表示有无穷多种,不同的表示法在数学上相当 于不同坐标系间的线性变换,下面引入统一表示法。 设η和θ为两个n维列向量,称为广义端口坐标(变量),令
?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?U ? ?1 ?U ? ??I ? ?? ?I ? ? ?? ? ? ?

?U ? ?a b ? ?? ? ?? ? ? I ? ? ? c d ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?

其中α、β、γ、δ和a、b、c、d都是任一n阶实常数方阵, Ω ??1 任一2n阶实常数方阵,称为坐标变换阵, 是Ω的逆矩阵。
? 设η、θ和 ? ? 、? 分别为网络两种不同端口的广义坐标, Ω和 ?? 分别为它们对应的坐标变换阵,即 ?? ? ?? ?? ?1 ?U ? ?1 ?U ? ?? ? ? ? ? I ? ?? ?? ? (??) ? I ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?U ? ?? ? ? I ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

?U ? ?? ?? ? I ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?

则有 同理

?? ? ?? ?? ?1 ?U ? ?1 ?? ? ? ? ? I ? ? ? ???? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?1 ?U ? ?1 ?? ? ?? ?? ? (??) ? I ? ? (??) ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

这就是两种广义坐标之间的关系。
设网络两种不同参数矩阵分别为 ?和?? ,则有 ? ? ??
?1

? ? ? ??? ?

?? ? ? ?? ?a b ? ?? ?a ? ? ?c ? ?b ? ? ?d ? (??) ? ? ? ? ? c d ? ? ? ? ? ? ? ?c ? ? ? ? ?d ? b ?? ? ? ? ? ? ? ? a ? ?? ?a ? ? ?c ? ?b ? ? ?d ? ?? ? ?? ?? ?1 ?U ? ?1 ?? ? ?? ?? ? (??) ? I ? ? (??) ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?c ? ? ? ? ?d ? ?? ? b ?? ? ? ? ? ? ? ? ? a

? ? ? ?(? ?a ? ? ?c)? ? (? ?b ? ? ?d )? ? ? ?(? ?a ? ? ?c)(?? ) ? (? ?b ? ? ?d )? ?
? ? ? ?(? ?a ? ? ?c)? ? (? ?b ? ? ?d )??

? ? ? ?(? ?a ? ? ?c)? ? (? ?b ? ? ?d )??

? ? ? ?(? ? ? ? ?c)? ? (? ? ? ? ?d )? ? ? ?(? ? ? ? ?c)(?? ) ? (? ? ? ? ?d )? ? a b a b

由于这两种参数都存在,有

? ? ?(? ?a ? ? ?c)? ? (? ?b ? ? ?d )??1? ?

把上式代入 ? ? ? ?(? ?a ? ? ?c)? ? (? ?b ? ? ?d )??
? ? ? ?(? ?a ? ? ?c)? ? (? ?b ? ? ?d )??(? ?a ? ? ?c)? ? (? ?b ? ? ?d )??1? 有

与? ? ? ??? ? 对比,有 ?1 ?? ? ?(? ?a ? ? ?c)? ? (? ?b ? ? ?d )??(? ? ? ? ?c)? ? (? ? ? ? ?d )? a b 利用这一关系可以由一种参数求出另一种参数。 ?网络性质与表示法无关的性质 定义特征矩阵(Characteristic Matrix)K(s)和耗散矩阵D(s)
K ( s) ? ?c?( s) ? d ? ?a?( s) ? b?
T

D( s) ? ?c?( s) ? d ?

H

?a?(s) ? b?

由K(s)和D(s)可以证明以下结论(P131!)

§3-6 全节点方程与不定导纳阵(P131)
1.全节点方程
本科时所列的节点方程,是以选定网络N内某一节点为参考 点而列写的: YnU n ? I n
?

Y 其方程数等于独立节点数(n-1), n 称为定导纳阵。
?

-1 非奇异,Yn 存在

若把电位参点改在电路N的外部,则得到电路的全部节点为 变量的n个方程。

YiU n ? I n 称为全节点方程。求法与原来 相同。
T (Yi)?n ? AaYb Aa (U n)?1 (I n)?1 , , n n n

显然Yi的行是线性相关的,det(Yi)=0, Yi是奇异的,Yi-1 不存在,称为不定导纳阵。 此不定意指参考点任意选定

2.意义(应用)
由于参考点选在电网络N外,全节点方程和不定导纳阵非 常灵活,可用于不同的网络的连接和同一网络的变换。

例如,划去Yi 的 k行k列得 Yn,从Un中去掉Uk、 In中去掉Ink,就得到以网络N中k节点为参考点的节点
电压方程

YnU n ? I n

I1 I2 In

设N中不含独立源且零状态 各端U1,U2,U3……Un作为激励, N (数值上等于各节点电压) 各端电流作为零状态响应 I1, I2, …… In 按线性叠加,可以得到n个端电流 表达式 YiU n ? I n (U n)?1 ,(I n)?1 n n

+U1

+U2

+Un

?Y11 Y12 ?Y Y Yi ? ? 21 22 ? ? ? ? ?Yn1 Yn 2

?? Y1n ? ?? Y2 n ? ? ?? ? ? ? ?? Ynn ?

I1 I2

+U1 +U2

N
In

y jk ?

Ij Uk
U i ?0 i?k

j , k ? 1,2, ? , n

+Un

称为n端网络的不定导纳参数,其物理意 义:j=k,短路驱动点导纳;j不=k,短 路转移导纳

与多口网络的短路导纳相似,但又有不 同。一个是口电流、口电压;这里是端 电压、端电流。若 U i ? 0(i ? k ) 是除第k 端外,其余各端都与参考点短接

3.不定导纳阵Yi的基本性质
n 个端子可对应原网络的n个节点,各端子可与网络外的参考 点之间施加电压源(参考点可能与N相连,也可能不与N相连)
?? Y1n ? ?? Y2n ? ?,Y U ? J i ?? ? ? ? ?? Ynn ?

?Y11 Y12 ?Y Y ( )Yi的零和特性:Yi ? ? 21 22 1 ?? ? ? ?Yn1 Yn 2

I1 I2

+U1

N
In

+U2

1) 2)

?Y
k ?1 n k ?1

n

kj

? 0,每列之和 ? 0,每行之和

+Un

?Y

jk

Yi 称为零和矩阵 0

?

?U1 ? ? ? n n n n U I k ? 0,( Yk1 ?? Yk 2 ?? Ykn)U ? 0 由于U ? ? 2 ?的任意性 ?? ? k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 ? ? 每列之和为零 ?U n ? ? ?

0

0

?

?

?

? Y11 Y12 ? ? Y21 Y22 ?? ? ? ?Y Y ? n1 n 2

? Y1n ?? U1 ? ? I1 ? ?? ? ? ? ? Y2 n ??U 2 ? ? I 2 ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? Ynn ??U n ? ? I n ? ?? ? ? ?
n

I1 ? Y11U1 ? Y12U 2 ?? ? Y1nU n ? ? Y1KU k
K ?1

?I
K ?1

n

k

? ? Y1kU k ? ? Y2 kU k ? ?? ? ? YnkU k
K ?1 n K ?1 K ?1

n

n

n

? (? Y1k ? ? Y2 k ??)U K
K ?1 K ?1

n

j端子接电压U j , 在j 端子和外参考点之间, 其余开路,由于N中无独源, Ij ?0 (电流无通路), 有(

?Y
k ?1

n

jk

)U j ? 0 ? U j 任意 ?

?Y
k ?1

n

jk

?0

( )Yi 为奇异阵 det Yi) 0,Yi ?1不存在,所以称不定导纳 2 ( ? ()Yi的等余因特性:任意两个元素的代数余因式相等 3 ?det Yi ? Y j1? j1 ? ??Y jk ? jk ? ??Y jn ? jn ? 0 ? n ? Y ? ? Y (由前式得,带入上式得) jk ? j1 k ?2 ? ?det Yi ? Y j(? j 2 ? ? j1 ) ? ?Y jk (? jk ? ? j1 ? ?Y jn ? jn-? j1 ) ? 0 ) ( 2 ? 由于Y jk 无论取何值上式均成立,则:? ij ? ?11 ? ? ? nn,i ? 1? n

Yi 为零和阵,因此其所有一阶代数余子式相等,称为等余因子特性。

?

J行的代数余因式

4.不定导纳阵的运算:
端子接地与浮地 短路收缩

开路抑制
网络并联

求定导纳阵

1

2

1

2

N
3

N
3

(1)端子接地与浮地 端子接地 将n端网络的第k个端子选为参考点,相当于把对应的不 定导纳矩阵Yi的第k行和第k列删除,得到一个(n-1)阶 方阵Y。 det Y不再为“零”,故称为定导纳矩阵。 例. 三端网络的不定导纳矩阵为: 以端子3为公共端构成双口网络:
?y Ysc ? ? 11 ? y 21 y12 ? ? ? Yn y 22 ?

? y 11 Yi ? ?y 21 ? ?y 31 ?

y 12 y 22 y 32

y 13 ? y 23 ? ? y 33 ? ?

端子浮地

1

2

1

2

N
3

N
3

? y11 y12 ? Y ?? ? ? y21 y22 ?
1 ? y11 y12 ? y11 ? y12) ? ( ? ? Yi ? 2 ? y21 y22 ? y21 ? y22) ? ( 3 ?? y11 ? y21 ? y12 ? y22) y11 ? y12 ? y21 ? y22 ? ) ( ?( ?

例 某非含源线性三端网络N,以3端作为公共接地端。当2 端短路,1端施以单位冲激电压源时,1端和2端电流的冲 激响应分别为?
i1 (t ) ? e?t ? (t )A, i2 (t ) ? ?0.75e ?t ? (t )A

而当1端短路,2端施以单位阶跃电压源时,两个端子电 流的阶跃响应分别为?
i1 (t ) ? 0.25 ? e ?t ? 1? ? (t )A, i2 (t ) ? 0.0625 ? 4 ? 3e ?t ? ? (t )A

现以2端作为公共端,并在3端和公共端之间跨接2Ω电 阻,1端施以单位阶跃电压源,试求此时端子1和3电流的单 位阶跃响应 。

例题图释
① i1 + ? (t )V -

N


i2 ②

① i1

N


i2 ② + ? (t )V -

i1 (t ) ? e?t? (t )A

i1 (t ) ? 0.25 ? e ?t ? 1? ? (t )A

i2 (t ) ? ?0.75e?t? (t )A
① i1 + ? (t )V -

i2 (t ) ? 0.0625 ? 4 ? 3e ?t ? ? (t )A

N


i3 ③
2?



i1 ? ?
i3 ? ?



(1)

U1 ( s) ? 1, U 2 ( s) ? 0 时 1 0.75 I1 (s) ? , I2 ? ? s ?1 s ?1
1 0.75 Y11 ? , Y21 ? ? s ?1 s ?1

(2) U1 (s) ? 0, U 2 ( s) ? 1/ s 时
1? 0.25 ? 1 I1 ( s ) ? 0.25 ? ? ??? s ( s ? 1) ? s ?1 s ? 4 3 s?4 I 2 ( s) ? ? ? 16 s 16( s ? 1) 16 s( s ? 1)

1 s?4 Y12 ? ? , Y22 ? 4( s ? 1) 16( s ? 1)
则3端为公共端时的Y参数矩阵为
1 ?1 ? ? ? S ?1 (S ? 1 ? 4 ) Y3 ? ? ? S ?4 ? ? ?3 ? (S ? 1 16 S ? 1 ? ) ( ) ?4 ?

则三端网络的不定导纳矩阵为
? 1 ? s ?1 ? ? ?3 Yi ? ? ? 4( s ? 1) ? ?1 ? ? 4( s ? 1) ?1 4( s ? 1) s?4 16( s ? 1) ?s 16( s ? 1) ?3 ? 4( s ? 1) ? ? 8? s ? ? 16( s ? 1) ? s?4 ? ? 16( s ? 1) ?

因此,以2端为公共端时的Y参数矩阵为

1 3 ? ? ? ? s ?1 4( s ? 1) ? ? Y2 ? ? 1 s?4 ? ? ? ? 4( s ? 1) 16( s ? 1) ? ? ?
以2端为公共端时的Y参数方程为
? I1 ( s ) ? ?U1 ( s ) ? ? I ( s ) ? ? Y2 ?U ( s ) ? ? 3 ? ? 3 ?

当3端与公共端之间跨接2Ω电阻时 并且
U1 ( s) ? 1 s

I 3 ( s) ? ?0.5U 3 ( s)

联立解得
1 1? 1 1? ? ? ? ? 9s( s ? 4 / 3) 6 ? s ? 4 / 3 s ?

I 3 ( s) ? Y31 ( s)U1 ( s) / ? 2Y33 ( s) ? 1? ?

I1 ( s) ? Y11 ( s)U1 ( s) ? 2Y13 ( s) I 3 ( s) ?

1 3?1 1 ? ? ? ? ? s( s ? 4 / 3) 4 ? s s ? 4 / 3 ?

取拉斯反变换可得零状态响应分别为

i1 (t ) ? 0.75(1 ? e

4 ? t 3

)? (t )A

1 ? 4t i3 (t ) ? (e 3 ? 1)? (t )A 6

由不定导纳阵 短路导纳阵:划去相应于 公共端的行、列,成为共点(n-1)口网络; ? 若由短路导纳阵 不定导纳阵:根据零和 特性,加上与公共端对应的行、列后,即 得将公共端“浮地”后所形成得n端网络的 不定导纳阵 这种方法能从一种共点组态过渡到另外一种 共点组态 例:共集电极、共基极三极管
?

(2)短路收缩(同一网络,又称端子缩并):将两个或
多个端子连接起来形成一个新的端子,相应的行和列相加
?Y11 Y12 Yi ? ?Y21 Y22 ? ?Y31 Y32 ? Y13 ? Y23 ? ? Y33 ? ?

I1? ? I1 ? I 3 U1? ? U1 ? U 3

1′

1 2

N
3

?Y11 ? Y31 Y12 ? Y32 Y13 ? Y33 ? Yi? ? ? Y21 Y22 Y23 ? ? ? ? Y31 Y32 Y33 ? ? ?
?Y11 ? Y31 ? Y13 ? Y33 Y12 ? Y32 ? Yi ? ? Y21 ? Y23 Y22 ? ? ?

?Y11 ? Y31 ? Y13 ? Y33 Y12 ? Y32 Y13 ? Y33 ? Yi??? ? Y21 ? Y23 Y22 Y23 ? ? ? ? Y31 ? Y33 Y32 Y33 ? ? ?

降阶了!

U1? I1?

1

I1 I2

假定把端子1和2短接
N
KVL
U1 ? U 2 ? U1?

2 I3 3 n In

对应列相加

规则:将原网络的不定导纳矩阵第2列 加到第1列,再将第2列划去,或者将 第1列加到第2列,再将第1列划去
KCL:
I1? ? I1 ? I 2

对应行相加

规则:将原网络不定导纳矩阵的第2行加到第1行,再将
第2行划去,或者将第1行加到第2行,再将第1行划去。

? I1 ? y11U1 ? y12U 2 ? ?? ? y1nU n ? ? I 2 ? y21U1 ? y22U 2 ? ?? ? y2nU n ? ?? ? I n ? yn1U1 ? yn 2U 2 ? ?? ? ynnU n ? ? U1 ? U 2 ? U1代入上式 ? ? I1 ? ( y11 ? y12 )U1 ? y13U 3 ? ?? ? y1nU n ? ? ? I 2 ? ( y21 ? y22 )U1 ? y23U 3 ? ?? ? y2nU n ? ?? ? I n ? ( yn1 ? yn 2 )U1 ? yn3U 3 ?? ? ynnU n ? ?

? I1 ? I1 ? I 2代入 ? ? ? I1 ? ( y11 ? y12 ? y21 ? y22 )U1 ? ( y13 ? y23)U 3 ? ? ?? ? y1nU n ? ? ? ? I 3 ? ( y31 ? y32 )U1 ? y23U 3 ? ?? ? y2nU n ?? ? ? ? I n ? ( yn1 ? yn 2 )U1 ? yn3U 3 ?? ? ynnU n ?
得到1,2短接后所形成的n-1个端子的不定导纳矩阵 应用:电力系统双母线母联开关合上,两节点合并为一个节点

这种情况相当于令两节点电压相等,新节点注入电流等于原两个
节点地注入电流之和。

例 四端网络的不定导纳矩阵为

? y 11 ?y Yi ? ? 21 ?y 31 ? ?y 41

y 12 y 22 y 32 y 42

y 13 y 23 y 33 y 43

y 14 ? y 24 ? ? y 34 ? ? y 44 ?

如果将端子2和4短路收缩为新端子2′,则

? y 11 Y' i ? ?y 21 ? y 41 ? ? y 31 ?

y 12 ? y 14 y 22 ? y 24 ? y 44 ? y 42 y 32 ? y 34

? y 23 ? y 43 ? ? y 33 ? ? y 13

(3)开路抑制(开路扼制、端子的删减、端子的封禁):
将一个或多个端子开路,其对应的端电流限定为零,端子变成不 可及节点。抑制的端钮压进网络内,切断端钮与外部电路的联系
1 2
1 2

I1
要开路抑制的端子电流、 电压列向量分别记为I2和U2, 其它端子电流、电压列向量 分别记为I1和U1

N
I3 U 3
3

I2

I1

N
I3=0
3

I2 U3

? I1 ? ?Y11 Y12 ? ?U1 ? 把Yi U I 分块, ? ? ? ,设删除的节点为K个(其端口电流为零) ?I Y21 Y22 ? ?U 2 ? ? 2? ? ?? ?
? I1 ? Y11U1 ? Y12U 2 , 0 ? Y21U1 ? Y22U 2,Y22U 2 ? ?Y21U1,U 2 ? ?Y221Y21U1,

? ? I1 ? (Y11 ? Y12Y221Y21 )U1 ,Yi n?k ? Y11 ? Y12Y221Y21 ( )仍为不定导纳阵

开路抑制(抑制了k个端子)后网络的不定导纳矩阵为
? Yi n ?k ? Y11 ? Y12Y221Y21 ( )

如果开路抑制网络的一个端子

1 Y ? Y11 ? Y12 Y21 y22
' i

在开路抑制端子k的情况下,划去原网络不定导纳矩 阵Yi的第k行和第k列,其他行和列的元素作如下变化:

? yij ? yij ?

yik ykj ykk

1 yij ? ykk ykj

yik ykk

若某节点无注入电流(浮游节点),可将其消去;或网络化简也需 要消去某些节点。节点消去,导纳矩阵将降阶,但奇异性不变。

P137 例3-6-3 对于图示四端网络,将端子4接地,端子1和2 分别与端子4构成一个端口。这样就改造成了一个共地 双口网络,求该双口网络的Y参数矩阵。
C1

C1 ① I1 G1 I3 ③
① I1
G1 G2 I2



G2

I2 ②
C2

C2 I4 ④


I4



C1 ① I1 G1 I3 ③ G2

I2 ②

解 图中四端网络的不定导纳矩阵为
?G 1 ? sC1 ? ? sC 1 Yi ? ? ? ? G1 ? 0 ? ? sC1 G 2 ? sC1 ? G2 0 ? G1 ? G2 G 1 ? G 2 ? sC2 ? sC2

C2 I4 ④

0 ? 0 ? ? ? sC2 ? ? sC2 ?

划去Yi 的第4行和第4列,得端子4接地的定导纳矩阵 ? ? sC1 ?G1 ?G1 ? sC1 ? ? Y ? ? ? sC1 G2 ? sC1 ?G2 ? ? ? ?G1 ?G2 G1 ? G2 ? sG2 ? ? ?

? sC1 ?G1 ?G1 ? sC1 ? ? Y ? ? ? sC1 G2 ? sC1 ?G2 ? ? ? ?G1 ?G2 G1 ? G2 ? sG2 ? ? ?

为了得到双口网络,必须开路抑制端子3。将 Y 分块
?sC1 ? ?G11 ? sC1 Y11 ? ? ? sC1 G2 ? sC1 ? ? ? Y21 ? ? ?G1 ? G2 ? ? ?G1 ? Y12 ? ? ?G2 ? ? ? y22 ? G1 ? G2 ? sC2

则双口网络的Y参数矩阵为
Y ? Y11 ? Y12Y21 / y22

sC1 ? ?G1 ? sC1 1 ?? ? ? G ? G ? sC G2 ? sC1 ? ? ? sC1 1 2 2

? ?G1 ? ? ?G ? ? ?G1 ? 2?

?G2 ?

? s 2C1C2 ? s?C1 ?G 1 ? G 2 ? ? C2G 1 ? ? G 1G 2 ? s 2C1C2 ? sC1 ?G 1 ? G 2 ? ? G 1G 2 ? ? ? sC2 ? G 1 ? G 2 sC2 ? G 1 ? G 2 ? ?? 2 2 s C1C2 ? s?C1 ?G 1 ? G 2 ? ? C2G 2 ? ? G 1G 2 ? ? ? s C1C2 ? sC1 ?G 1 ? G 2 ? ? G 1G 2 ? ? sC2 ? G 1 ? G 2 sC2 ? G 1 ? G 2 ? ?
C1

① I1

G1

G2

I2



C2 I4





(4)网络并联
定义: 指网络N1和N2具有公共的参考点,且N1和N2的 对应端子相连接

I11 I12

I1 1 I2 2

I 21 I 22

N1
I1n In
n

N2
I 2n

KCL

? I1 ? ? I11 ? ? I 21 ? ?I ? ?I ? ? I ? ? 2 ? ? ? 12 ? ? ? 22 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? I n ? ? I1n ? ? I 2 n ?

简记为
KVL

I ? I1 ? I 2
?U1 ? ?U11 ? ?U 21 ? ?U ? ?U ? ?U ? ? 2 ? ? ? 12 ? ? ? 22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? U n ? ?U1n ? ?U 2 n ? ?

简记为

U ? U1 ? U 2

N1和N2的不定导纳矩阵方程分别为
I1 ? Yi1U1


I 2 ? Yi 2 U 2

I ? I1 ? I 2 ? Yi1U1 ? Yi 2U 2
I ? Yi1U ? Yi 2U ? ? Yi1 ? Yi 2 ? U ? YU i

U 由KVL: ? U1 ? U 2得

Yi ? Yi1 ? Yi 2
总网络的不定导纳矩阵等于各个并联网络的 不定导纳矩之和。

①两n端网络并联:
?Y11 Y12 Y13 ? ?Y ? I1 Yi1 ? ? 21 Y22 Y23 ? ?Y31 Y32 Y33 ? ? ? ? ? ? ?Y11 Y12 Y13 ? ?? ? Y ? Yi 2 ? ?Y21 Y22 ?23 ? ? ? Y ? ? ?Y Y 31 32 33 ? ?
1 2 1 2

N1
I3 U 3
3

I2

N2
3

并后,Yi ? Yi1 ? Yi 2

? ? ? ?Y11 ? Y11 Y12 ? Y12 Y13 ? Y13 ? ? ? Y ?Y ? Y ?Y ? ? Y I1 ? Y1iU1 ,I 2 ? Y2iU 2 ,U1 ? U 2, i ? ?Y21 ? Y21 22 22 23 23 ? ? ? Y ?Y ? ? ?Y ? Y Y ? Y I ? I1 ? I 2 ? Y1iU1 ? Y2iU1 31 31 32 32 33 33 ? ?


②n端网络与m端网络并联( n> m )

当相并联的两个网络的端子数目不等时,需先 对端子数目少的网络补充孤立节点,在原不定导纳 矩阵 中插入零行和零列,形成增广不定导纳矩阵 , 然后再相加。

1

2

N1

3

N2

增广网络

补零法

将 m 阶增广到n阶后相加

1

G1

3

G2
G3

2

1

C

2

3 4

4

? G1 ? 0 Yi1 ? ? ?? G1 ? ? 0

0 G2 ? G2 0

? G1 ? G2 G1 ? G2 ? G3 ? G3

0 ? 0 ? ? ? G3 ? ? G3 ?

? SC ? SC ? Yi 2? ? ? SC SC ? ? ?

? SC ? SC ?? SC SC Yi?2 ? ? ? 0 0 ? 0 ? 0

0 0? 0 0? ? 0 0? ? 0 0?

? G1 0 ? ?G1 ? SC ? SC ? ? SC G ? SC ? G1 0 ? 2 ? Yi ? Yi1 ? Yi?2 ? ? ? ? G1 ? G2 G1 ? G2 ? G3 ? G3 ? ? ? 0 ? G3 G3 ? ? 0
可以把一个复杂的n端网络写成由n个二端网络n次并联生成的

5.几种常用元件的不定导纳阵
P139-P141作为作业验证几个

短路导纳矩阵(多口网络的赋定关系或约束)端口电流与电压的

6. 由不定导纳阵求多端口网络的短路导纳矩阵 P141~P144
i1
u1

? I1 ? ? y11 ?I ? ? y ? 关系为: 2 ? ? ? 21 ??? ? ? ? ? ? ? I n ? ? yn1

y12 ? y1n ? ?U1 ? y22 ? y2 n ? ?U 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? yn 2 ? ynn ? ?U n ? Ii I ? YSCU,Yij ? U k ?0,k ? j Uj

?
?

N
?
?

u n in

直接按定义求,并不好求。 为 j 端口加电压源 U j,其余端口短路。 下面介绍借助于不定导纳阵求短路导纳阵的方法。

设多端口网络N的不定导纳阵为Yi 则相应的全节点方程为 J ? YiU n 这里用J表示In。

?

? U1

1

I1

N
无 独 立 源

(3-6-8)

?
?

2 2m ?1

Um Im
2m

设网络N可以构成m个端口,对应原来的2m个端子 (相当于2m个节点),如图所示。 该m端口网络(短路)导纳参数为Ysc,相应的方程为 (3-6-9) 所谓由不定导纳阵求短路导纳阵就是把 J ? YiU n ? 端口电压与端钮电压的关系为
U1 ? U n1 ? U n 2
?????

I ? YscU

I ? YscU

U 2 ? U n3 ? U n 4
U m ? U n( 2m?1) ? U n( 2m)

(3-6-10)

端口电流与端钮电流的关系为
I1 ? J1 ? 1 ? I1 ? ( J1 ? J 2 ) ? I1 ? ? J 2 ? 2 I2 ? J3 ? 1 ? ? I 2 ? ( J 3 ? J 4 ) (3-6-11) I2 ? ?J4 ? 2
?????
?

? U1

1

I1

N
无 独 立 源

?
?

2 2m ?1

Um Im
2m

I m ? J 2 m ?1 ? 1 ? ? I m ? ( J 2 m ?1 ? J 2 m ) I m ? ? J 2m ? 2 1 由(3-6-11)还可得 ( J1 ? J 2 ) ? 0 2 1 (J3 ? J 4 ) ? 0 2 ?????

(3-6-12)

1 ( J 2m?1 ? J 2m ) ? 0 2

把(3-6-11)、 (3-6-12)写成矩阵形式
? I1 ? ? 1 ?1 0 0 ?I ? ? 0 0 1 ?1 ? 2? ? ??? ?? ? ? ? 记为I ? ? ? Im ? ? ?0 0 0 0 ? — ? ? 1 ?— — — — ? ? 2? ?0? ?1 1 0 0 ?0 0 1 1 记为0 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ?0? ?0 0 0 0 ? ? ? 0? ? 0 0 0 0? ? ? ? ? ? ?? ? 0 0 0 1 ? 1? — — — — —? ? ? 0 0 0 0? ? 0 0 0 0? ? ? ? ? ? ?? 0 0 0 1 1? ? ? 0 0 0 ? J1 ? ? J ? ? 2 ? ? ? ? ? ? Jm ? ? ? — ? 记为J ? ? ? J m ?1 ? ?J ? ? m?2 ? ? ? ? ?J ? ? 2m ?

该矩阵记为K1 上式简写为
K1 ? 0
?1 ,K 1

?I ? ?0? ? K1J ? ?
?
? T K1 1 ? 2K1

(3-6-14)

人为引入下列变量

H1 ? U n1 ? U n 2
H 2 ? U n3 ? U n 4
?????

(3-6-13)

H m ? U n ( 2 m?1) ? U n ( 2 m )

把(3-6-10)、 (3-6-13)写成矩阵形式
? U1 ? ? 1 ? 1 0 0 ?U ? ? 0 0 1 ?1 ? 2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?U m ? ? 0 0 0 0 ? — ? ? ?— — — — ? ? ? ? H1 ? ? 1 1 0 0 ?H ? ? 0 0 1 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?H ? ? 0 0 0 0 ? m? ? 0? ? 0 0 0 0? ? ? ? ? ? ?? ? 0 0 0 1 ? 1? — — — — —? ? ? 0 0 0 0? ? 0 0 0 0? ? ? ? ? ? ?? 0 0 0 1 1? ? ? 0 0 0 ? U n1 ? ? U ? ? n2 ? ? ? ? ? ? ? U nm ? ? — ? ? ? ?U n ( m ?1) ? ?U ? n ( m? 2) ? ? ? ? ? ?U ? ? n(2m) ?

? U1 ? ? 1 ? 1 0 0 ?U ? ? 0 0 1 ?1 ? 2? ? ? ? ? 记为U ? ? ? ? ? ? ? ? ?U m ? ? 0 0 0 0 ? — ? ? ?— — — — ? ? ? ? H1 ? ? 1 1 0 0 记为H ? H 2 ? ? 0 0 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?H ? ? 0 0 0 0 ? m? ?

0? ? 0 0 0 0? ? ? ? ? ? ?? ? 0 0 0 1 ? 1? — — — — —? ? ? 0 0 0 0? ? 0 0 0 0? ? ? ? ? ? ?? 0 0 0 1 1? ? ? 0 0 0

? U n1 ? ? U ? ? n2 ? ? ? ? ? ? ? U nm ? ? — ?记为Un ? ? ?U n ( m ?1) ? ?U ? n ( m? 2) ? ? ? ? ? ?U ? ? n(2m) ?

该矩阵记为K2=2 K1 上式简写为
?U ? ? H ? ? K 2 U n ? 2K 1U n ? ?

(3-6-15)

?I ? ?0? ? K1J ? ? ?U ? ? H ? ? K 2 U n ? 2K 1U n ? ?

(3-6-14) (3-6-15)

由(3-6-15)式得
Un ? K -1 2

?U ? 1 -1 ?U ? 1 T ?U ? ? K 1 ? ? ? ( 2K 1 ) ? ? ? K T 1 ?H ? 2 H? 2 H? ? ? ? ?

?U ? ?H ? ? ?

(3-6-18)

把(3-6-8)式

J ? Yi U n

代入(3-6-14)得

把(3-6-18)式代入上式得
利用0列向量,回代消 去H

?I ? ?0? ? K 1Yi U n ? ?

?I ? ?1 ? U ? ?0? ? K1Yi K 2 ?H ? ? ? ? ? ?I ? T ?U ? ?0? ? K1Yi K 1 ?H ? ? ? ? ?

I ? YscU

(3-6-17)

(P6习题2-16) 图a为一个有公共端的三端口网络,它的Y参数方程是:
? I1 ? ? 5 ? 1 ? 2? ?U1 ? ? I ? ? ? ? 3 6 ? 1? ?U ? ? 2? ? ? ? 2? ? I 3 ? ?? 2 ? 1 4 ? ?U 3 ? ? ? ? ?? ?

如果将1F电容器接在端子(1)与(2)之间,如图b所 示,求这个二端口网络的短路导纳矩阵
1F

1 + U1 -

I1

I2

N
4
(a)

I3 3 + U3 -

+ U2 -

2
+

Ia

Ib
+

Ua -

N
(b)

Ub

-

? I1 ? ? 5 ? 1 ? 2? ?U1 ? ? I ? ? ? ? 3 6 ? 1? ?U ? ? 2? ? ? ? 2? ? I 3 ? ?? 2 ? 1 4 ? ?U 3 ? ? ? ? ?? ?

当然以原4端为接地端,抑 制3端可以,另法作业

解:(1)分析 这是一个共地三端口 络。 网
设 4 节点为电位参考点,则:U1 ? U n1,U 2 ? U n 2,U 3 ? U n3

则原方程可以当做节点电压方程。其系数矩阵为定导纳阵Yn。 因为改接后的二端口网络没有公共端,显然不能通过3端子的 开路抑制来实现。下面应用P143公式(3-6-17)的方法处理。
1 + U1 4
(a)

I1

I2

1F

N

I3 3

+ U2 -

2
+

Ia

Ib
+

+ U3 -

Ua -

N
(b)

Ub

-

(2)求解

? J1 ? ? 5 ? 1 ? 2? ?U n1 ? ? J ? ? ? ? 3 6 ? 1 ? ?U ? ? 2? ? ? ? n2 ? ? J 3 ? ?? 2 ? 1 4 ? ?U n3 ? ? ? ? ?? ?

做4端子浮地运算(由不 定导纳阵的零和特性) I1 I2

? J1 ? ? 5 ? 1 ? 2 ? 2? ?U n1 ? ? J ? ? ? 3 6 ? 1 ? 2? ?U ? ? 2? ? ? ? ? n2 ? ? J 3 ? ?? 2 ? 1 4 ? 1? ?U n3 ? ? ? ? ?? ? J 4 ? ? 0 ? 4 ? 1 5 ? ?U n 4 ? ?
S

1

2

1

S

2

N
4 4

I3 3 3 4

1

I1

I2
2

N
(a)图变为
I4 4

I3

3

把电容改画为接地4端网络,其不定导纳阵为 :
? s ?s ?? s s ? ?0 0 ? 0 ?0 0 0? 0 0? ? 0 0? ? 0 0?

做二网络并联,电路变为:

? 1 ? s) ( ? J1 ? ? 5 ? s ? J ? ?? 3 ? s) 6 ? s ? 2? ? ? ( ? J3 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ?4 ?J4 ? ? 0

? 2 ? 2? ?U n1 ? ? 1 ? 2? ?U n 2 ? ? ?? 4 ? 1? ?U n3 ? ? ?? U n4 ? ?1 5 ??

要把该电路改造成(b)电路,必须满足相应的端口条件:
可根据式(3-6-17)求解: 先写出K1
1F

?I ? T ?U ? ?0? ? K1Yi K 1 ?H ? ? ? ? ?
S

Ia
+

Ib
+

1

I1

I2 2

Ua -

N
(b)

Ub

N
I4 4

I3 3

-

?1 ? 1 ?0 0 1 K1 ? ? 2 ?1 1 ? ?0 0

0? 1 ? 1? ? 0 0? ? 1 1? 0
1

?1 0 ?? 1 0 1 KT ? ? 1 2?0 1 ? ? 0 ?1

1 0? 1 0? ? 0 1? ? 0 1?

先化简 K 1Yi K T
?1 ? 1 ? 1 ?0 0 K 1Yi K T ? 1 2 ?1 1 ? ?0 0 0? 1 ? 1? ? 0 0? ? 1 1? 0

? 5? s ? 0 ? ? ? 3 ? s) ( ? ? ?2

? 2 ? 1 ? s) ? 2 ? ( 5 ?4 ? 1? K T ? 1 ?2 6?s ? 1? ? ?1 ?1 4?
1 0? 1 0? ? 0 1? ? 0 1?

?7 3? s ? 1? ? 1 0 ? 5? s ? s?7 ? 5? 1 ? ? 1 0 1 ? ? (1 ? s ) ? 1 ? ? ? 3 ? (5 ? s ) ? 3? 2 ? 0 1 2 ? 5? s ? ? ? 3 ? ? 0 ?1 ?? (5 ? s ) ? 3 (5 ? s )

?7 3? s ? 1? ? 1 0 ? 5? s ? s?7 ? 5? ? ? 1 0 1 ? ? (1 ? s ) ? 1 ? ? ? 3 ? (5 ? s ) ? 3? ? 0 1 4 ? 5? s ? ? ? 3 ? ? 0 ?1 ?? (5 ? s ) ? 3 (5 ? s ) 4?s s?2 ? ( s ? 2) ? ? s ? 12 ? s ? 12 ? ( s ? 2) ( s ? 2) ? 1? ?s ? ? 4 ? ( s ? 2) ? ( s ? 2) ( s ? 8) ? ( s ? 8) ? ? ? ?? ( s ? 2) ( s ? 2) ? ( s ? 8) ( s ? 8) ?

1 0? 1 0? ? 0 1? ? 0 1?

?I ? T ?U ? 把上式代入 ? ? ? K1Yi K 1 ? ? 得 ?0 ? ?H ?

与H1、H2对应块

4?s s?2 ? ( s ? 2)? ? U1 ? ? I1 ? ? s ? 12 ? ? ?I ? ? s ? 12 ? ( s ? 2) ( s ? 2) ? ?U 2 ? 1 ? ?s ? 2? ? ? ? 0 ? 4 ? ( s ? 2) ? ( s ? 2) ( s ? 8) ? ( s ? 8) ? ? H1 ? ? ? ? ?? ? ?0? ?? ( s ? 2) ( s ? 2) ? ( s ? 8) ( s ? 8) ? ? H 2 ?

上式第三行与第四行是线性相关的,任取一行,有
H1 ? H 2 ? s?2 (?U1 ? U 2 ) s ?8

代入前式化简得

H1、H2对应 块

? 20( s ? 5) ? I1 ? 1 ? s ? 8 ? I ? ? 4 ? 4(1 ? s) ? 2? ? ? s ?8

4(7 ? S ) ? s ? 8 ? ?U1 ? 4(4s ? 23) ? ?U 2 ? ?? ? s ?8 ?

? I1 ? 1 ?5( s ? 5) (7 ? S ) ? ?U1 ? ?I ? ? s ? 8 ? 1 ? s 4 s ? 23? ?U 2 ? ? ?? ? ? 2?

大家可以验证,上面的求解过程是较简单的,因为有固定的公 式。还有校验功能,即如果在计算中H1、H2对应块不一致或后 一半行不是线性相关的,则计算有问题!

? ( s ? 2) ?? H1 ? ? I1 ? 1 ? s ? 12 4 ? s ?? U1 ? 1 ? s ? 2 ? ?? ? ?? ? ? ? ?? U ? 4 ? ? ( s ? 2) ( s ? 2) ?? H ? ?? ?I ? 4? ?s ? s ? 12 ?? 2 ? ? ? ?? 2 ? ? 2? 1 ? s ? 12 4 ? s ?? U1 ? ( s ? 2) ? H1 ? H 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?s ?? U ? ?? H ? H ? ? s ? 12 ?? 2 ? 4? 4 ? 1 2?
? I1 ? 1 ? s ? 12 4 ? s ?? U1 ? ( s ? 2) ? H1 ? H 2 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? U ? ?I ? 4? ?s ?? H ? H ? ? s ? 12 ?? 2 ? 4 ? ? 1 2? ? 2? 1 ? s ? 12 4 ? s ?? U1 ? ( s ? 2) ( s ? 2) ? U1 ? U 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?s ?? U ? ? ?U ?U ? ? s ? 12 ?? 2 ? 4? 4 ( s ? 8) ? 1 2?

s?2 H1 ? H 2 ? (?U1 ? U 2 ) s ?8

小结
1、 非含源(独立源)多口网络的常见矩阵表示法 2、 含(独)源多口网络表征方程 3、 含源多口网络的等效电路
含源多口 罗森定理

4、 散射(参数)矩阵(不要求)

5、 不定导纳阵
1) 定义
(1)

2) 基本性质
n kj

?Y
k ?1 n k ?1

? 0,每列之和 ? 0,每行之和

( 2)

?Y

jk

()Yi 为奇异阵 det Yi) 0,Yi ?1不存在,所以称不定导 3 ( ? 纳 ( )Yi的等余因特性:任意两 4 个元素的代数余因式相 等

3) 运算:
端子接地与浮地; 短路收缩(同一网络); 开路抑制(端口删减): 网络并联:两n端网络并联,n端网络与m端网络并联( n> m ) 由不定导纳阵求多端口网络的短路导纳矩阵

本章结束!

? I1 ? ? 5 ? 1 ? 2? ?U 1 ? P 6习题2 ? 16 ? I 2 ? ? ? ? 3 6 ? 1 ? ?U 2 ? ? ? ? ?? ? ? I 3 ? ?? 2 ? 1 4 ? ?U 3 ? ? ? ? ?? ?

1 + U1 -

I1

I2

N
4

I3 3

+ U2 -

2

+ U3 -

解:( )为共地三端口设 4 为电位参点,则:U1 ? U n1,U 2 ? U n 2,U 3 ? U n3 1
I1
+ U1 I2
1F

1

N
4
(a)

I3 3 + U3 -

+ U2 -

2
+

Ia

Ib

Ua
-

N
(b)

+ -

Ub

? I1 ? ? 5 ? 1 ? 2? ?U n1 ? ? I ? ? ? ? 3 6 ? 1? ?U ? ? 2? ? ? ? n2 ? ? I 3 ? ?? 2 ? 1 4 ? ?U n3 ? ? ? ? ?? ?

? I1 ? ? 5 ? 1 ? 2 ? 2? ?U n1 ? ? I ? ? ? 3 6 ? 1 ? 2? ?U ? ? ? n2 ? 做浮地运算得: 和 特性) ? 2 ? ? ? (由零 ? I 3 ? ?? 2 ? 1 4 ? 1? ?U n3 ? ? ? ? ?? ? I 4 ? ? 0 ? 4 ? 1 5 ? ?U n 4 ? ?
S 1 S 2

(a)图变为 1 I1 I2

2

N
4 4

I3 3 3 4

1

I1

I2 2

N
I4 4

I3 3

? s ?s ?? s s ? 把电容改画为接地4端网络,其不定导纳阵为: ?0 0 ? 0 ?0

0 0? 0 0? ? 做二网络并联的电路变为: 0 0? ? 0 0?


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