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人教B版高中数学(选修2-3)1-3《二项式定理》ppt课件


二 项 式 定 理

温故知新
1、二项式定理: n 0 n 1 n ?1 r n? r r n n (a ? b) ? C n a ? C n a b ? ? ? C n a b ? ? ? C n b 2、通项公式: (展开式的第r +1项)

Tr ?1 ? C a
r n

n? r

/>
b

r

( r ? 0,1, 2,? n)

3、特例: n 1 2 2 r r n n (1 ? x) ? 1 ? C n x ? C n x ? ? ? C n x ? ? ? C n x

(1)对称性: 二项式系数的性质 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值: 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增 大,随后又逐渐减小. n 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数 C n2 取得最大值;当n为奇数时,中间两项的二项式 系数 C
n ?1 2 n

C ?C
m n

n?m n

、C
1 n

n ?1 2 n

相等且同时取得最大值
2 n r n n n n

(3)各二项式系数的和

C ? C ? C ?? ? C ?? ? C ? 2
0 n

例1.

在 ?2x ? 3y ?

10

展开式中
1024 1

(1)求二项式系数的和; (2)各项系数的和;

(3)奇数项的二项式系数和 512 与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项的系数和与偶数项的系数和;

1? 5 2

10

1? 5 2

10

学生活动
1、已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 (2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
4 2

3
3

10

2、若(2 x ? 3) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x , 则
4

1 10 ( 3 ? 1) 2

1 ( a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 ? ______ . 结论:
f (1) ? f ( ?1) 其奇次项系数的和是 2 f (1) ? f ( ?1) 其偶次项系数的和是 2

设f ( x ) ? (a ? bx )

n

学生活动
3.( 1﹣x ) 13 的展开式中系数最小的项是 C ) (

(A)第六项 (D)第九项

(B)第七项

(C)第八项

一、知识复习:
二项式定理:

( a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b
n 0 n n 1 n r n r

n ?1

n?r

n n n

主要研究了以下几个问题: ⑴展开式及其应用; ⑵通项公式及其应用;
0 n 1 n 2 n r n

Tr ?1 ? C a
r n

n?r

b

r

⑶二项式系数及其有关性质.

C ? C ? C ??? C ??? C ? 2
n n

n

C ? C ? ??? ? C ? C ? ??? ? 2
0 n 2 n 1 n 3 n

n ?1

二、基础训练: n

2? ? 1、已知 ? x ? ? 展开式中第五项的系数与 x? ? 第三项的系数比是10 : 1,求展开式中含x的项

变式:求(a ? b ? c ? d )
200 800 900 95

1995

展开式中

a b c d 项的系数
2、如果:  2C ? 2 C ? ? 2 C ? 2187 1+
1 n 2 2 n n n n

求:C ? ? ? C ? ? ? C  的值
1 n r n n n

3、在(a+b)20展开式中,与第五项的系数相同 C). 的项是(
A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项

4、在(a+b)10展开式中,系数最大的项是(

A ).

A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项

5、写出在(a-b)7的展开式中, 系数最大的项? 系数最小的项?

T4 ? ?C a b
3 4 7

3

系数最小 系数最大

T ?Cab
4 7 3 5

4

三、例题讲解:
3

(1 ? x )(1 ? x) 的展开式中, x 5 的系数 例1 ⑴在
10

是多少?

(1 ? x ? x ) 展开式中含 x 5 的项. ⑵求 10 3 10 解:⑴原式= (1 ? x) ? x (1 ? x) 3 10 5 10 可知 x 的系数是 (1 ? x ) 的第六项系数与 ? x (1 ? x)
2 6

的第三项系数之和. 5 2 即:C10 ? C10 ? 252 ? 45 ? 207 2 6 1 ⑵原式= ? ? ?x ? x ?? 其中含
5

? ? ? 20( x ? x 2 )3 ? 15( x ? x 2 ) 4 ? 6( x ? x 2 )5 ? ( x ? x 2 ) 6

x 的项为: 5 5 5 5 20 ? 3x ? 15 ? (?4) x ? 6 x ? 6 x

? 1 ? ? x ?4 ? 例2 已知 ? 3 ? 的展开式中只有第10项 x ? ?
系数最大,求第五项。

n

n 解:依题意, 为偶数,且
? T5 ? T4 ?1 ?
4 C18

n ? 1 ? 10,? n ? 18, 2
18? 4 ?

? x?

?4 ? ?

1 ? ? ? 3060x 4 . x3 ? ?

4

变式:若将“只有第10项”改为“第10项” 呢? n ? 17或18或19. (答案略)

例3 计算 1.997 (精确到0.001)

5

1.997 5 ? (1 ? 0.997 )5

1.997 ? (2 ? 0.003) 解: .9975 ? (2 ? 0.003)5 1
5

5

? 25 ? 5 ? 24 ? 0.003 ? 10 ? 23 ? 0.003 2 ? 10 ? 22 ? 0.0033 ? ?

?1.997 5 ? 32 ? 0.24 ? 0.00072 ? 31.761

例4 写出在(a+2)10的展开式中, 系数 最大的项?
解:设系数最大的项是第 r + 1 项,则

C 2 ≥ C 2 r r r?1 r ?1 C 2 ≥ C 2
r r

r-1
10

r ?1

10

10

10

2(11-r) ≥r

r+1 ≥2(10-r)

19 22 ?r? 3 3

r?7

则系数最大的项是第8项

Ca2
7 3 10

7

例5 求证: 3 > 2 ? (n ? 2) (n∈N,且n≥2) 证明: ? 3n ? (2 ? 1) n
n

n ?1

? 2 ?C ?2
n 1 n

n ?1

?C ?2
2 n

n?2

??? C

n ?1 n

?2?C

n n

2 n n ? 2n?1 (n ? 2) ? (Cn ? 2n ?2 ? ? ? Cn ?1 ? 2 ? Cn )

又∵n≥2,上式至少有三项,且
2 n n Cn ? 2 n ?2 ? ? ? Cn ?1 ? 2 ? Cn >0

∴ 3 >2

n

n ?1

? (n ? 2) (n∈N,且n≥2)

例6 已知a,b∈N,m,n ∈Z ,且2m + n = 0,如果二项 式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数 项,求 a : b 的取值范围。
解:
r r Tr ?1 ? C12 (ax m )12? r (bx n ) r ? C12a 12? r b r x m (12? r )? nr

令m (12 – r )+ nr = 0,将 n =﹣2m 代入,解得 r = 4

故T5 为常数项,且系数最大。

?T5的系数 ? T4的系数 ?? ?T5的系数 ? T6的系数 4 3 ?C12 a 8 b 4 ? C12 a 9 b 3 即? 4 8 4 5 C12 a b ? C12 a 7 b 5 ? 8 a 9 解得 ? ? 5 b 4

四、课堂练习:
1、已知(2x+ 3 )100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各 式的值: (1)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2 ; (2)a0+a2+…+a100 . 2、已知 ( x
2 3

? 3x )

2 n 的展开式中,各项系数和比它的

二项式系数和大992.求展开式中二项式系数最大的项. 3、(1+2x)n展开式中的二项式系数的和为2048,求展

开式中系数最大项.

五、课堂小结:
本节课讨论了二项式定理的应用, 包括组合数的计算及恒等式证明、近似 计算与证明不等式、整除、二项式系数 与系数最大问题等.当然,二项式定理 的运用不止这些,凡是涉及到乘方运算 (指数是自然数或转化为自然数)都可 能用到二项式定理,认真分析题目结构, 类比、联想、转化是重要的找到解题途 径的思考方法.

例三、已知二项式 ( a + b )15
(1)求二项展开式中的中间项; (2)比较T3, T7 , T12 , T13各项系数的大小,并说明理由。

T 解:(1) 中间项有两项: 8

? C a b ? 6435a b
7 15 8 7

8 7

8 T9 ? C15a 7 b 8 ? 6435a 7 b 8

(2)T3, T7 , T12 , T13 的系数分别为:

C ,C ,C ,C ?C
4 ? C 15 , C 3 15 2 15

2 15 11 15

6 15

11 15

12 15 12 15 4 15

3 ? C 15 6 15 6 15

又?C ? C ? C ? C ?C ? C
2 15 12 15

?C

11 15

?C

例四、已知a,b∈N,m,n ∈Z ,且2m + n = 0,如果二项式 ( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项, 求 a : b 的取值范围。 解:
r r Tr ?1 ? C12 (ax m )12? r (bx n ) r ? C12a 12? r b r x m (12? r )? nr

令m (12 – r )+ nr = 0,将 n =﹣2m 代入,解得 r = 4

故T5 为常数项,且系数最大。

?T5的系数 ? T4的系数 ?? ?T5的系数 ? T6的系数 4 3 ?C12 a 8 b 4 ? C12 a 9 b 3 即? 4 8 4 5 C12 a b ? C12 a 7 b 5 ? 8 a 9 解得 ? ? 5 b 4

研究题:求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系 数最大的项,试归纳出求形如( ax + b) n 展开式中系数最大项的方法或步骤。

k ?1 ?C 10 (3 x) k 210? k ?C k 10 (3 x) k ?1 211? k ? ?? k ?1 ? C 10 (3 x) k 210? k ?C k 10 (3 x) k ?1 2 9 ? k ?

? Tk ?1 ? Tk 解:设最大项为Tk ?1 ,则: ? ?Tk ?1 ? Tk ? 2
k ?1 ? C 10 210? k ?C k 10 2 9 ? k ? 即 ? k 10? k ?1 ?C 10 2 ?C k 10 211? k ?

11 ? ?k ? 3 8 11 ?? ,? ? k ? ,? k ? 3 8 3 3 ?k ? 3 ?
3 则展开式中最大项为 T4 ? T3?1 ? 2 7 C10 .

10 ! 1 0! ? ? 210? k ? ? 211? k ? k!(1 0 ? k )! ? ( k ? 1)!(9 ? k )! 即? 10 ! 10 ! ? ? 210? k ? ? 29?k ? k!(1 0 ? k )! ( k ? 1)!(9 ? k )! ?

六、作业布置:
1、求(1 ? x)(1 ? 2 x)(1 ? 3x)? (1 ? nx)的展开式中x项 的系数.
n2 2、设x ? 1,n ? N *且n ? 2,求证:x n ? ( x -1)2 4

3、求(1 ? 2 x)50 展开式中系数最大的项.

小结:
(1)二项式系数的三个性质

对称性
增减性与最大值 各二项式系数和

(2) 数学思想:函数思想 a 图象; b 单调性; c 最值。 (3) 数学方法 : 赋值法 、递推法

例1、求值:
1 5 10 9

(1)1 ? C ? 2 ? C ? 2 ? C ? 2 ? C ? 2 ? C ? 2
2 2 5 4 3 5 7 6 4 5 8 5 5 1 10 8 2 10 3 10 6 4 10 5 5 10

10

(2)3 ? 3 C ? 3 C ? 3 C ? 3 C ? 3 C ? 3 C ? 3 C ? 3 C ? 3C
4 6 10 3 7 10 2 8 10 9 10

例2、求证: (1) 10 ? 1 能被1000整除 99 (2) 51 ? 1 能被7整除 51 (3)n
n ?1

? 1(n ? 3, n ? N )

能被(n ? 1) 整除
2

例3、计算: .997 5(精确到0.001) 1 例4、已知:

(1 ? 3x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a2007 x 求: a1 ? a2 ? ? ? a2007
2007 2

2007

例5、求 (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中 例6、求证:
n ?1

2

? ? ? (1 ? x)

16

x

3

项的系数

3 ? 2 (n ? 2)(n ? N , n ? 2)
n


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