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湖南省浏阳一中、攸县一中2016届高三上学期期中联考试题 数学(理)


2016 届高三浏阳一中、攸县一中十一月联考 理科数学试卷
时量:120 分钟 总分:150 分 命题人:钟兴明 审题人:王华海
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的,选出正确选项填在答题卡相应位置) 1.设集合 M A.1

? {?1,0,1} , N

? {a, a 2 } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是(
B.-1 C.0 D.1 或-1

)

2.投掷两颗骰子,其向上的点数分别为 m 和 n ,则复数 (m ? ni) 为纯虚数的概率为(
2



A.

1 3

B.

1 4
n

C.

1 6

D.

1 12


3.设等差数列 A. ?

?an?

前 n 项和为 S

,若 a2

1

B. 1 )

? S3 ? ?4 , a 4 ? 3 C. 3

,则公差为( D.

2

4.下列说法中,正确的是( A. 命题―若 a

? b ,则 am2 ? bm2 ‖的否命题是假命题.
? ? ,则― l ? ? ‖是 ― ? ? ?
‖ 成立的充分不必要条件

B.设 ? , ? 为两个不同的平面,直线 l C.命题―存在 x ? R, x D.已知 x ? R ,则― x
2

? x ? 0 ‖的否定是―对任意 x ? R, x2 ? x ? 0 ‖.
主视图 左视图

? 1 ‖是― x ? 2 ‖的充分不必要条件.
2

5.已知一个空间几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的体积是( A. 2 B. 4 ) C. 6 D. 12

2
俯视图

2

6 . 函 数 ( )

x ?1 的 f ( x)? ? | x ? 5 |? 2

零 点 所 在 的 区 间 是

4
B. (1,2) C. ( 2,3) D. (3,4) (第 5 题图)

A. (0,1)

7.已知双曲线的焦距为 2

3 ,焦点到一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线的标准方程为(
B.



A. x

2

?

y2 ?1 2

x2 ? y2 ? 1 2

y2 x2 2 ? 1或 y ? ? 1 C. x ? 2 2
2

x2 y2 2 ? y ? 1或 ? x2 ? 1 D. 2 2

8. 函数

f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

)(? ? 0)的图象与 x 轴的交点坐标成一个公差为


? 2

的等差数列.要得到函

数 g ( x) ?

A cos ? x 的图象,只需要 f ( x) 的图象(

A.向左平移 C.

? 个单位 6 2? 向左平移 个单位 3

B. 向右平移 D.

? 个单位 3 2? 向右平移 个单位 3
在第二象限,且

9.已知两点 A. ? 1

A(1,0), B(1, 3), O 为 坐 标 原 点 , 点 C ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 等于( ) O C? ? 2 O A? ? O,B ( ? ? R ) 则 , ?
B.2 C.1 其前 n 项和为 Sn , 若 ? ?2013,

?AOC ? 120?

,设

D. ?

2


10. 在等差数列 {an } 中, a1 A.

2013

B. ?2012

S4 1 0 2 2 1 0 2 S ? ? 2, 则 S2013 的值等于 ( 2 0 1 4 2 0 1 2 C. 2012 D. ?2013

11.已知函数 根x ,x

? ? log 2 x , 0 ? x ? 4, 若方程 f ( x ) ? t (t ? R ) 有四个不同的实数 f ( x) ? ? 2 ? ? x ? 12 x ? 34, x ? 4.
3

1

2

,x

,x

4

,则 x

A.

(32,36)

x 2 x 3 x 4 的取值范围为( ) B. (30,36) C. (32,34)
1

D.

(30,34)

12 .已知定义在 R 上的函数

3 f ( x) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?an ? 满足 2
)

a1 ? ?1 ,且

Sn a ? 2 ? n ?1, (其中 S n 为 ?an ? 的前 n 项和) 。则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? ( n n A. ? 3 B. ? 2 C. 3 D. 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 ? ? [

?
2

, ? ],sin ? ?

3 ,则 sin 2? 3

=_______.

?x ? y ? 1 ? 0 ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为__________。 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
15.若函数

? ? f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( , ) 是减函数,则 a 的取值范围是 6 2

.

16.设集合 M=

?a ,a ...a ? (n ? N
1 2 n

?

) ,对 M 的任意非空子集 A,定义 f ( A) 为 A 中的最大元素,当

A 取遍 M 的所有非空子集时,对应的

f ( A) 的和为 Tn ,若 an ? 2n ?1 则:

① T3 =_______________________,② Tn =______________________.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 10 分)

已知 f(x)=sin

2

? ( ? ? x) ( ? >0) ,且函数 y=f(x)的图象的两条相 ? x+ 3 cos ? x?cos
? . 2
2

邻对称轴间的距离为

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f ( x) 的值域.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 ABCD-PGFE 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC,∠ABC =45o,DC=1,AB=2,PA=1. (1)求 PD 与 BC 所成角的大小; (2)求证:BC⊥平面 PAC; (3)求二面角 A-PC-D 的大小.

19. (本小题满分 12 分) 英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习 3 个英语单词;每周五对一周内所学单词随机 抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同) (1)英语老师随机抽了 4 个单词进行检测,求至少有 3 个是后两天学习过的单词的概率; (2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 写对的概率为

4 ,对前两天所学过的单词每个能默 5

3 .若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测,求该学生能默写对的单 5

词的个数 ξ 的分布列和期望.

20. (本小题满分 12 分)

在数列 {an } 中, a1

? 1, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ?

n ?1 an ?1 (n ? N * ). 2

(1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)若存在 n ? N ,使得 an
*

? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值.

21. (本大题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线

x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 (1)求

f ( x) ? ?x 3 ? x 2 , g( x) ? a ln x(a ? 0, a ? R).

f ( x) 的极值;

(2)若对任意 x ? [1,??) ,使得

f ( x) ? g( x) ? ?x 3 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)证明:对 n ? N * ,不等式

1 1 1 2013 ? ??? ? 成立. ln(n ? 1) ln(n ? 2) ln(n ? 2013 ) n(n ? 2013 )

2016 届高三浏阳一中、攸县一中十一月联考理科数学试卷
(参考答案及评分标准) 一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1—5 BCDBB 6 –10 CCACD 11---12 AC 二.填空题:(每大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中的 横线上) 13、 ?

2 2 3

14.

3 2

15。 a ? 2

16. (1)21

(2)

4n ? 1 3

三.解答题(共 70 分) 17、 (10 分) (Ⅰ) f ( x) ?

1 3 ? 1 (1 ? cos2?x) ? sin 2?x ? sin(2?x ? ) ? 2 2 6 2

T?

2? ? ? ,? ? 1 2?
………………5 分

f ( x) ? s i n2 (x ?

?
6

)?

1 2

增区间(kπ -

? ? ,kπ + ) ,k ? Z 6 3

(2)当 x ? [0,

?
2

] 时, ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 3 , 即 f ( x) 的值域是 [ 0, ] 6 2

………………10 分 18. (12 分) (Ⅰ)取的 AB 中点 H,连接 DH,易证 BH//CD,且 BD=CD ………1 分 所以四边形 BHDC 为平行四边形,所以 BC//DH 所以∠PDH 为 PD 与 BC 所成角………………………………………………2 分 因为四边形,ABCD 为直角梯形,且∠ABC=45o, 所以⊥DA⊥AB 又因为 AB=2DC=2,所以 AD=1, 因为 Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH 都为等腰 直角三角形,所以 PD=DH=PH= 2 ,故∠PDH=60o ………………………4 分 (Ⅰ)连接 CH,则四边形 ADCH 为矩形, ∴AH=DC 又 AB=2,∴BH=1 ∴AD=CH=1,AC= 2

在 Rt△BHC 中,∠ABC=45o , ∴CH=BH=1,CB= 2 ∴AC2+BC2=AB2

∴BC⊥AC……6 分 又 PA 平面 ABCD∴PA⊥BC ……7 分

∵PA∩AC=A∴BC⊥平面 PAC ………………………………………8 分 (Ⅲ)如图,分别以 AD、AB、AP 为 x 轴,y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系,则由题设可知: A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(1,0,0),

??? ? ??? ? ∴ AP =(0,0,1), PC =(1,1,-1) ………………………………………… 9 分

??? ? ? m ?AP ? 0 ?c ? 0 ? 设 m=(a,b,c)为平面 PAC 的一个法向量, 则 ? ??? ,即 ? ? ?a ? b ? c ? 0 ? ? m ?PC ? 0

设 a ? 1 ,则 b ? ?1 ,∴m=(1,-1,0) ………………………………………10 分 同理设 n=(x,y,z) 为平面 PCD 的一个法向量,求得 n=(1,1,1) ………11 分 ∴ cos m, n ?

m ?n 1? 1 ? 1? 0 ? 0 ? 1 1 ? ? m ?n 2 2? 2

所以二面角 A-PC-D 为 60o ………………………………………………… 12 分 19. (12 分) (Ⅰ)设英语老师抽到的 4 个单词中,至少含有 3 个后两天学过的事件为 A,则 由题意可得 P ( A) ?
1 4 C3 3 6 C6 + C6 ? 4 C12 11

…………………………………5 分

(Ⅱ)由题意可得ξ 可取 0,1,2,3,则有 P(ξ =0) ? ( )2 ? P(ξ =1) ? C1 ? ? ? ( )2 ? ? 2?

1 5

2 2 ? 5 125

………6 分

4 1 2 1 3 19 , 5 5 5 5 5 125 4 2 4 1 3 56 P(ξ =2) ? ( )2 ? + C1 ,…………………………………9 分 ? ? ? 2? 5 5 5 5 5 125 4 3 48 P(ξ =3) ? ( )2 ? ? …………………………………………………10 分 5 5 125
所以ξ 的分布列为: ξ P 0 1 2 3

2 125

19 125

56 125

48 125

…11 分

故 Eξ =0×

2 19 56 48 11 +1× +2× +3× = ……………………………12 分 125 125 125 125 5

20. (12 分) 解: (1) an ? ? 2

? ?

1, n ? 1
……………… 6 分

? 3n ? 2 , n ? 2 ? ?n

(2) an ? ? n ? 1? ? ? ? ?

an a 2 ? 3n?2 , 由(1)可知当 n ? 2 时, n ? , n ?1 n ? 1 n ? n ? 1?
……………… 8 分

设 f ? n? ?

n ? n ? 1? n ? 2, n ? N * ? ? n 2?3

则 f ? n ? 1? ? f ? n ? ?

2 ? n ? 1??1 ? n ? 1 1 1 1 ? 及 ? 0,? ? ? n ? 2? 又 n ?1 f ? 2? 3 2?3 f ? n ? 1? f ? n ?
……………… 12 分

a1 1 1 ? ,所以所求实数 ? 的最小值为 2 2 3
21. (12 分)(1)解:由题意知 e ? 又b ?
6 1?1

c 1 4 c 2 a 2 ? b2 1 ? ,∴ e2 ? 2 ? ? ,即 a 2 ? b2 2 a 2 3 4 a a

? 3 ,∴ a 2 ? 4, b2 ? 3

故椭圆的方程为

y2 x2 ? ?1 4 3

3分

(2)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4)

? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 y2 ? ? 1 ? 3 ? 4
由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ?

1 4
① 6分

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2

22、 (12 分) (Ⅰ) f ?( x) ? ?3x ? 2x ? 0 , x ? 0或
2

2 ( , ??) ? ,? f ( x)极小 ? f (0) ? 0,f ( x)极大 3

2 2 , f ( x)在( ??, 0) ?, (0, ) ? 3 3 2 4 ? f( )? ………………………4 分 3 27

(Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ? ? x3 ? (a ? 2) x化为a(ln x ? x) ? 2x ? x2

x2 ? 2 x x2 ? 2x 易知 ln x ? x ,? a ? ,设 ? ( x) ? x ? ln x x ? ln x

? ?( x) ?

2 ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) ,设 h( x) ? x ? 2 ? 2ln x , h?( x ) ? 1 ? 2 x ( x ? ln x)

? h( x)在(1, 2) ?,(2, ??) ? ,?h( x)min ? h(2) ? 4 ? 2ln 2 ? 0
?? ?( x) ? 0 ,?? ( x)在[1, ??) 上是增函数, ? ( x)min ? ? (1) ? ?1
? a ? ?1 ………………………………………………………………………8 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知: a ln x ? (a ? 2) x ? x ? 0对x ? 1 恒成立,
2

令 a ? ?1 ,则ln x ? x ? x ,?
2

1 1 1 1 ? ? ? ln x x( x ? 1) x ? 1 x

取 x ? n ? 1,n ? 2, ?, n ? 2013得

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,? , ? ? ln(n ? 1) n n ? 1 ln(n ? 2) n ? 1 n ? 2 ln(n ? 2013) n ? 2012 n ? 2013
相加得:

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ?( ? )?( ? ) ln(n ? 1) ln(n ? 2) ln(n ? 2013) n n ?1 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 2013 ? )? ? ? ………12 分 n ? 2012 n ? 2013 n n ? 2013 n(n ? 2013)

?? ? (


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