当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

09年中国奥数国家集训队训练题(一)


2009 年中国数学奥林匹克国家集训队协作体练习题(一)答案
1、已知非负实数 x , y , z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3z ? 最大值与最小值. 解:由①式及均值不等式,得
27 ? 1? 3? 1 ? 2 2 ? ? x ? ? ? ? y ? 1? ? ? z ? ? ? ? x ? y ? z ? 3? , 4

2? 2? 3 ? ? 3 1 ∴ x ? y ? z ? ,当且仅当 x ? 1 , y ? , z ? 0 时等号成立 2 2 3 故 x ? y ? z 的最大值为 . 2 1 3 由于 x ? y ? z 的最大值是在“中值” ,即 x ? ? y ? 1 ? z ? 时取得,故 2 2 22 ? 3 可猜测其最小值应在“边值” ,即 x ? y ? 0 , z ? 时取得,下面 2 利用局部调整法求解.
2 2

13 ①,求 x ? y ? z 的 4

1? 27 ? 3? ? 固定 z ,并记 ? x ? ? ? ? y ? 1?2 ? ,则 ? ? z ? ? ? A (常数) 2? 4 ? 2? ? 2 1 1? ? ? ? ? x ? ? y ? 1? ? A ? 2? x ? ?? y ? 1? . 2 2? ? ? ? 将 x , y 调整为 0, x ? y 因为有 1? 1? ? ? 2? x ? ?? y ? 1? ? 2? 0 ? ??x ? y ? 1? 2? 2? ? ? 1 ? ? ∴调整后, ? x ? ? y ? 1? 不增,即 x ? y 不增 2 ? ? x ? 0 ,则由①式可得 于是,可令
2

2

2

? y ? 1? ? ? z ? 3 ? ? 26 . ? ? 2? 4 ? 类似地,再将 y , z 调整为 0, y ? z ,仍可得 y ? z 也不增.
2

2

22 ? 3 22 ? 3 时, x ? y ? z 取得最小值 . 2 2 22 ? 3 22 ? 3 另解:当 x ? y ? 0 , z ? 时, x ? y ? z ? 2 2 又由 x , y , z ? 0 及①式,可得

故当 x ? y ? 0 , z ?

? x2 ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3z ? 2?xy ? yz ? zx ? ? 2x ? y 13 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3z ? , 4 13 2 即 ?x ? y ? z ? ? 3?x ? y ? z ? ? 4

?x ? y ? z ?2 ? 3?x ? y ? z ?

? 3 ? 22 ? 3 ? 22 或x? y?z ? (舍去) 2 2 22 ? 3 综上所述, x ? y ? z 的最小值为 . 2

解得 x ? y ? z ?

2、设常数 n ? N , n ? 2 ,求最大的实数 ? ,使不等式 2 an ? ??a1 ? a2 ? ?? an?1 ? ? 2an 对所有正整数 a1 ? a2 ? ? ? an 成立. 解: (先猜后证)当 ai ? i ?1 ? i ? n? 时,由①式可得 ? ? 下面证明
an ?
2


2n ? 4 . n ?1

2n ? 4 ?a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? ? 2an ② n ?1 对所有正整数 a1 ? a2 ? ? ? an 成立. 由整数的疏密性,知 ak ? an ? ?n ? k ? , 1 ? k ? n ,所以

2n ? 4 n ?1 2n ? 4 n ?1 ak ? ? ??ak ? ?n ? k ?? n ? 1 k ?1 n ? 1 k ?1 2n ? 4 ? n?n ? 1?? ? ??n ? 1?an ? 2 ? n ?1 ? ? ? ?2n ? 4?an ? n?n ? 2?
2

2 2 ? ??an ? an ? 1? ? ?an ? 1? (∵ n ? an ? an ? 1 )

? ??n ? an ? 1? ? 4an ? ?an ? 1?
2

2

? an ? 2an
此即②式. 综上所述, ?max ?
2n ? 4 . n ?1

3、设 a1 , a2 ,?, a6 ; b1 , b2 ,?, b6 ; c1 , c2 ,?, c6 都是 1,2,3,4,5, 6 的排列,求 ? aibi ci 的最小值.
i ?1 6

解:记 S ? ? a i bi c i ,则
i ?1

6

S ? 6 ? 6 ? a i bi c i = ? 6 ? 6 ?6!? = ? 6 6! ? 72 5 ? 160 .
6
3

i ?1

下面证明: S ? 161 . 注 意 到 a1b1 c1 , ?, a 2 b2 c 2 这 6 个 数 的 几 何 平 均 值 为 12 5 , 且

26 ? 12 5 ? 27 .所以这 6 个数中必有一个不小于 27,也必有一个不大于 26. 又 1,2,3,4,5,6 中任三个数(允许重复)之积都不等于 26. ∴其中的不大于 26 的数必不大于 25. 不妨设 a1b1 c1 ? 27 , a 2 b2 c 2 ? 25 ,则

S?

? 27 ? 25? ? 2 a b c a b c ? ?3 3 ? 5 ? ? 2 ? 3 ? ? a b c ? ?3 3 ? 5? ? 72 5
?
2 1 1 1 2 2
2 6 6 i ?1 i i i
2

?

a1b1 c1 ? a 2 b2 c 2

?

2

? 2 a1b1 c1 a 2 b2 c 2 ? ?a 3 b3 c 3 ? a 4 b4 c 4 ? ? ?a 5 b5 c 5 ? a 6 b6 c 6 ?
2

? 2 a 3 b3 c 3 a 4 b4 c 4 ? 2 a 5 b5 c 5 a 6 b6 c 6

? 52 ? 72 5 ? 30 3 ? 161 故由整数的疏密性,知 S ? 162 . 另 一 方 面 , 当 ?a1 , ?a6 ? ? ?1,2,3,4,5,6? , ?b1 , ?b6 ? ? ?5,4,3,6,1,2? , ?c1 , ?c6 ? ? ?5,4,3,1,6,2? 时, S ? 162 . 故 S min ? 162.
4、给定正整数 k ? 3 ,记集合 S ? xk ? yk ? z k x、y、z是非负整数 ,将集合 S 中 的数从小到大排列,得到一个数列 ?a n ? ,即有

?

?

0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n?1 ? ? .
求证: a n ?1 ? a n ? 8 ? a
k ? 1? ? 1? ? k? n?
3

, n ? 3,4,5, ? .

分析:要适当处理数列中的项与 x k ? y k ? z k 之间的关系.——利用 x 、 y 、z 的存在性得到. k 证明:对于 a n?1 ? 0 , ?x ? N ,使 x k ? an?1 ? ?x ? 1? . ① 对于 an?1 ? x k ? 0 , ?y ? N ,使 y k ? an?1 ? x k ? ? y ? 1? .
k k


k

对于 an?1 ? x k ? y k ? 0 , ?z ? N ,使 z k ? an?1 ? x k ? y k ? ?z ?1? . ③ 即 ?x, y, z ? N ,使 x k ? y k ? z k ? an?1 ? x k ? y k ? ?z ? 1? . 再由数列的定义,知 a n ? x k ? y k ? z k . ∴ an?1 ? an ? ?z ?1? ? z k .
k

且由①、②、③知, z k ? ? y ? 1? ? y k , y k ? ?x ? 1? ? x k . 又 n ? 3 ,∴ a n ?1 ? 2 .于是由①知 x ? 1 .
k k

1 ∴ ?x ?1? ? x k ? x k ?1 Ck ? Ck2 ? ?? Ckk ? x k ?1 ? 2 k . 当 y ? 1 且 z ? 1 时,同理有 k

?

?

k ? y k ?1 ? 2 k , ?z ? 1? ? z k ? z k ?1 ? 2 k ∴ z k ? y k ?1 ? 2 k , y k ? x k ?1 ? 2 k .

? y ? 1?k ? y k

∴ a n ?1 ? a n ? ?z ? 1? ? z k ? z k ?1 ? 2 k ? y k ?1 ? 2 k
k

?

?

k ?1 k

? 2k

?y ?x

?k ?1??1? ?
?

1? ? k? 1? ? k?
2

?2

k ?1

?2 ? x
k 1 k

?

k ?1

?2

k

?

1 ? 1? ??k ?1?? 1? ? k ? k?

? 2 k ?1 ? 2 k

?k ?1??1? ?
?

?2

k ?2?
2

? 2 k ?1 ? 2 k

. ? 2 ?x ? 且当 y ? 0 或 z ? 0 时,上式也成立,故
3k

?k ?1??1? ?

1? ? k?

a n ?1 ? a n ? 2 3k ? x

? k ?1?? 1? ?
?

1? ? k?

2



又由 a n ? x ? y ? z ? x ,
k k k k

∴ a n ?1 ? a n ? 8 ? a
k

? 1? ? 1? ? k? n?

3



5 、 设 k 为 正 整 数 , A ? Z , 若 存 在 x1 , x 2 , ?, x k ? Z , 使 得 对 ?i ? j , 有

?xi ? A? ? ?x j ? A? ? ? ,则称 A 为一个 k 集,其中 x ? A ? ?x ? a a ? A?.

证 明: 若 A1 , A2 , ?, At 分别为 k1 , k 2 , ?, k t 集,且 A1 ? A2 ? ?? At ? Z ,则 1 1 1 ? ??? ? 1. k1 k 2 kt 证明:定义 PA ?x ? ?

? x ? ,这里 0 ? x ? 1 . ? ?
?A, ? 0
2

由 A1 ? A2 ? ?? At ? Z ,知
1 ① 1? x i ?1 对每一个 Ai ,由于 Ai 是 k i 集,所以存在整数 Si1 , Si2 ,?, Sik ,使得
Ai

? P ?x ? ? 1 ? x ? x
iu

t

?? ?

?S

? Ai ? Siv ? Ai ? ? , ?u ? v
PAi ?x ? ? x i1 ? x
S

? ?

?

i

* ○
Sik

不妨设 Siw ? 0 ( 1 ? w ? ki ) ,则由○知 *

?

Si2

??? x
2

i

?


展开式中的项两两不同,从而
PAi ?x ? ? x i1 ? x
S

?

Si2

??? x

Sik

i

1 ?? 1? x ? x ?? ? 1? x

由①、②得

?1 Si x ? x ? ? ? x ki 在③式中,让 x ? 1? ,则有 t 1 ? k ? 1. i ?1 i
i ?1 S i1 S i2

?

t

1



2009 年中国数学奥林匹克国家集训队协作体练习题(四)
13 ①,求 x ? y ? z 的 4

1、已知非负实数 x , y , z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3z ? 最大值与最小值.

2、设常数 n ? N , n ? 2 ,求最大的实数 ? ,使不等式

an ? ??a1 ? a2 ? ?? an?1 ? ? 2an
2



对所有正整数 a1 ? a2 ? ? ? an 成立.

3、设 a1 , a2 ,?, a6 ; b1 , b2 ,?, b6 ; c1 , c2 ,?, c6 都是 1,2,3,4,5, 6 的排列,求 ? aibi ci 的最小值.
i ?1 6

4、给定正整数 k ? 3 ,记集合 S ? xk ? yk ? z k x、y、z是非负整数 ,将集合 S 中 的数从小到大排列,得到一个数列 ?a n ? ,即有

?

?

0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n?1 ? ? .
求证: a n ?1 ? a n ? 8 k ? a n ? ?
? 1? 1? ? k?
3

, n ? 3,4,5, ? .

5 、 设 k 为 正 整 数 , A ? Z , 若 存 在 x1 , x 2 , ?, x k ? Z , 使 得 对 ?i ? j , 有

?xi ? A? ? ?x j ? A? ? ? ,则称 A 为一个 k 集,其中 x ? A ? ?x ? a a ? A?.
证 明:若 A1 , A2 , ?, At 分别为 k1 , k 2 , ?, k t 集,且 A1 ? A2 ? ?? At ? Z ,则

1 1 1 ? ??? ? 1. k1 k 2 kt


相关文章:
2008IMO中国国家集训队平面几何练习题
2008IMO中国国家集训队平面几何练习题_学科竞赛_高中...(01 年保加利亚) 证明( 1 )因为 ?AC1 A2 ∽ ...2009年中国国家集训队几... 5页 免费 国家集训队...
六年级奥数练习题
六年级奥数练习题一.计算题 2 5 1 2 ? 5 ? ...三队按这 种方法进行循环赛,比赛中途统计每个队的...文档贡献者 李泉泓4 贡献于2014-01-09 专题推荐 ...
2003年中国国家集训队测试
在2003 年中国国家集训队测试第 1 次 2003.3.12 8:00~11:30 1. 设正...(李 胜宏供题) 6.设实数列 ??? 满足:??0 = 0,??2 = 1 3 2??1...
奥数练习题
小学五年级奥数训练题(1) 1.十个连续自然数的和不大于 100,共有___组这样的自然数。 2.有四个不同的自然数 a、b、c、d,对它们两两求和,可以得到 6 个...
小学六年级奥数题:竞赛训练100题(一)
小学六年级奥数题:竞赛训练100题(一)_六年级数学_数学_小学教育_教育专区。1.甲、乙、丙三人在 A、B 两块地植树,A 地要植 900 棵,B 地要植 1250 棵....
一年级下册奥数练习题
一年级下册奥数练习题_数学_小学教育_教育专区。奥数练习题一 班级: 姓名: 1、小虎学写毛笔字,第一天写 6 个,以后每天比前一天多写 3 个,四天一共 写了...
四年级奥数综合训练试题一
四年级奥数综合训练试题一 ㈠填空题 ⑴哥哥把自己的书送 8 本给妹妹, 这样妹妹还是比哥哥少 7 本, 哥哥比妹妹原来多 ( 本书。 ⑵青蛙白天向上爬 3 米,...
2008IMO中国国家集训队平面几何练习题
2008IMO 中国国家集训队平面几何练习题 1. 一圆 O 切于两条平行线 l1 , l2 , 第二个圆 ? O1 切 l1 于 A , 外切 ? O 于 C , 第三个圆 ? O2...
09年暑期一升二奥数入学测试题
学而思 09 年暑期一升二奥数入学测试题 各位家长和同学: : 45 分钟完成,共 12 道题,一定要独立完成! 试卷说明:答案完全正确的得分,多解、漏解、错解都不...
2013年五年级奥数题练习及答案(55题)
2013 年五年级奥数题练习(55 题) 1、(1 +2 +8 )÷(1 +2 +8 )= 2、奥运吉祥物中的 5 个“福娃”取“北京欢迎您”的谐音:贝贝、京京、欢欢、 迎迎...
更多相关标签: