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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第一章 三角函数 1.1.2 课时作业]


1.1.2

弧度制

课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念,掌握角的不同度量制度,能对弧度和角度进行正 确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.

1.角的单位制 (1)角度制:规定周角的________为 1 度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制:把长度等于______

__的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,记作________. (3)角的弧度数求法:如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l,那么 l,α,r 之间存在的 关系是:____________;这里 α 的正负由角 α 的________________决定.正角的弧度数是一 个________,负角的弧度数是一个________,零角的弧度数是________. 2.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360° =________ rad 2π rad=________ 180° =______ rad π rad=________ 1° =______rad≈ 1 rad=______≈57° 18′ 0.017 45 rad 3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 R,弧长为 l,α (0<α<2π)为其圆心角,则 度量单位 α 为角度制 α 为弧度制 类别 扇形的弧长 l=________ l=______ 扇形的面积 S=________ S=______=______

一、选择题 π π ? ? ? ? 1.集合 A=?α|α=kπ+2,k∈Z?与集合 B=?α|α=2kπ±2,k∈Z?的关系是(
? ? ? ?

)

A.A=B B.A?B C.B?A D.以上都不对 2.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对的弧长是( ) 2 A.2 B.sin 2 C. D.2sin 1 sin 1 3.扇形周长为 6 cm,面积为 2 cm2,则其中心角的弧度数是( ) A.1 或 4 B.1 或 2 C.2 或 4 D.1 或 5 4.已知集合 A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},则 A∩B 等于( A.? B.{α|-4≤α≤π} C.{α|0≤α≤π} D.{α|-4≤α≤-π,或 0≤α≤π} 11 5.把- π 表示成 θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的 θ 值是( ) 4 π π 3 3 A. B.- C. π D.- π 4 4 4 4 π 6.扇形圆心角为 ,半径长为 a,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) 3 A.1∶3 B.2∶3 C.4∶3 D.4∶9

)

二、填空题 7.将-1 485° 化为 2kπ+α (0≤α<2π,k∈Z)的形式是________. 8.若扇形圆心角为 216° ,弧长为 30π,则扇形半径为____. 7π 9.若 2π<α<4π,且 α 与- 角的终边垂直,则 α=______. 6 π 10. 若角 α 的终边与角 的终边关于直线 y=x 对称, 且 α∈(-4π, 4π), 则 α=________________. 6 三、解答题 11.把下列各角化成 2kπ+α (0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角: 23 (1)-1 500° ;(2) π;(3)-4. 6

12.已知一扇形的周长为 40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少?

能力提升 13.已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长,那么其圆心角的弧度数的绝对值为 ________. 14.已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值 c (c>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积?

1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系:每一个 角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个 角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. π 2. 解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180° =π”这一关系式. 易知: 度数× 180 180 ? =弧度数,弧度数×? ? π ?=度数. 3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,要注意角的单位取 弧度.

1.1.2 弧度制 答案
知识梳理 1 1.(1) (2)半径长 360 2.2π 360° π 180° 3.

1 rad (3)|α|=

l r

终边的旋转方向 正数 负数 0

απR απR2 αR 180 360 作业设计 1.A 1 2 2.C [r= ,∴l=|α|r= .] sin 1 sin 1 3.A [设扇形半径为 r,圆心角为 α, 2r+αr=6 ? ? 则?1 2 , ?2αr =2 ?
?r=1 ?r=2 ? ? 解得? 或? .] ?α=4 ?α=1 ? ? 4.C [集合 A 限制了角 α 终边只能落在 x 轴上方或 x 轴上.] 3 ? 11 3 5.D [∵- π=-2π+? ?-4π?,∴θ=-4π.] 4 6.B [设扇形内切圆半径为 r, r 则 r+ =r+2r=a.∴a=3r,∴S 内切=πr2. π sin 6 1 2 1 π 2 1 π 3 S 扇形= αr = × ×a = × ×9r2= πr2. 2 2 3 2 3 2 ∴S 内切∶S 扇形=2∶3.] 7 7.-10π+ π 4 解析 ∵-1 485° =-5×360° +315° , 7 ∴-1 485° 可以表示为-10π+ π. 4 8.25

π ?180? ° 180 ? π ? 1 2 1 αR lR 2 2

π 6π 6π 解析 216° =216× = ,l=α· r= r=30π,∴r=25. 180 5 5 7 10 9. π 或 π 3 3 7 7 14 7 7 9 20 10 解析 - π+ π= π= π,- π+ π= π= π. 6 2 6 3 6 2 6 3 11π 5π π 7π 10.- ,- , , 3 3 3 3 π π 7 解析 由题意,角 α 与 终边相同,则 +2π= π, 3 3 3 π 5 π 11 -2π=- π, -4π=- π. 3 3 3 3 5π 11.解 (1)-1 500° =-1 800° +300° =-10π+ , 3 5 ∴-1 500° 与 π 终边相同,是第四象限角. 3 23 11 23 11 (2) π=2π+ π,∴ π 与 π 终边相同,是第四象限角. 6 6 6 6 (3)-4=-2π+(2π-4), ∴-4 与 2π-4 终边相同,是第二象限角. 12.解 设扇形的圆心角为 θ,半径为 r,弧长为 l,面积为 S, 则 l+2r=40,∴l=40-2r. 1 1 ∴S= lr= ×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+100. 2 2 ∴当半径 r=10 cm 时,扇形的面积最大,最大值为 100 cm2, l 40-2×10 此时 θ= = =2 rad. r 10 13.4 2 解析 设圆半径为 r,则内接正方形的边长为 2r,圆弧长为 4 2r. 4 2r ∴圆弧所对圆心角|θ|= =4 2. r 14.解 (1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓, π 10π ∵α=60° = ,R=10,∴l=αR= (cm). 3 3 1 10π 1 π 3 S 弓=S 扇-S△= × ×10- ×102×sin 60° =50? - ? (cm2). 2 3 2 ?3 2 ? c-2R (2)扇形周长 c=2R+l=2R+αR,∴α= , R 1 1 c-2R 2 1 1 c c2 ∴S 扇= αR2= · · R = (c-2R)R=-R2+ cR=-(R- )2+ . 2 2 R 2 2 4 16 c c2 当且仅当 R= ,即 α=2 时,扇形面积最大,且最大面积是 . 4 16


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