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第四讲 三角函数(学生)


专题二
【高考真题感悟】

三角函数、解三角形、平面向量
三角函数的图象与性质

第1讲

π? (2011· 北京)已知函数 f(x)=4cos xsin? ?x+6?-1. (1)求 f(x)的最小正周期; π π? (2)求 f(x)在区间? ?-6,4?上的最大值和最小值.

/>考题分析 本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式化简求解三角函数的解析式,并求三角函数在给定 区间上的值域.考查了考生分析问题与解决问题的能力和运算求解能力. 易错提醒 (1)对三角恒等变换公式掌握不牢,化简方向不明确.(2)求 f(x)在给定区间上的值域,易忽视对 函数单调性的讨论.

【热点分类突破】
题型一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 例 1 已知点 P(-3,4)是角 α 终边上的一点. 3π? ?3π sin? sin? 2 -α? tan2(2π-α)tan(π-α) ?α+ 2 ?· ?· 求: 的值. π ? ?π+α? -α · cos? cos ?2 ? ?2 ? 变式训练 1 3π 3π 已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为________. 4 4

三角函数图象变换及函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 π 例 2 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的一段图象(如图所示),求其解析式. 2 题型二

变式训练 2 π 5π (2010· 天津改编)右图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间[- , ]上的图象.为了 6 6 得到这个函数的图象,只要将 y = sin x(x ∈ R) 的图象上所有的点向左平移 ________个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的________倍,纵坐 标不变.

题型三

三角函数图象与性质的综合应用 π? 1 3 3 ,且 f(0)= ,f? ?4?=2. 2 2

例 3 已知函数 f(x)=2acos2x+bsin xcos x-

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间; (3)函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原点对称?
【专题二 三角函数、解三角形、平面向量】 第1页

变式训练 3 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) (0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称 π 轴间的距离为 . 2 π ? (1)求 f? ?8?的值; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵 6 坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

【规律方法总结】
1.求函数 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ),或 y=Atan(ωx+φ))的单调区间 (1)将 ω 化为正. (2)将 ωx+φ 看成一个整体,由三角函数的单调性求解. 2.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式 ymax-ymin ymax+ymin (1)A= ,B= . 2 2 2π (2)由函数的周期 T 求 ω,ω= . T (3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求 φ. 3.函数 y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点. 4.求三角函数式最值的方法 (1)将三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,进而结合三角函数的性质求解. (2)将三角函数式化为关于 sin x,cos x 的二次函数的形式,进而借助二次函数的性质求解.

【名师押题我来做】
1.关于函数 f(x)=sin 2x-cos 2x 有下列命题: π ? π ①y=f(x)的周期为 π;②x= 是 y=f(x)的一条对称轴;③? ?8,0?是 y=f(x)的一个对称中心;④将 y 4 π =f(x)的图象向左平移 个单位,可得到 y= 2sin 2x 的图象,其中正确命题的序号是______(把你认 4 为正确命题的序号都写上). π π? ? ? 2.求函数 y=sin? ?3+4x?+cos?4x-6?的周期、单调区间及最大、最小值.

第2讲
【高考真题感悟】

三角变换与解三角形

cos A-2cos C 2c-a (2011· 山东)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cos B b sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4

【专题二 三角函数、解三角形、平面向量】

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【热点分类突破】
题型一 三角变换及求值 π β 1 α 2 例 1 (1)已知 0<β< <α<π,且 cos(α- )=- ,sin( -β)= ,求 cos(α+β)的值; 2 2 9 2 3 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α-β 的值. 2 7 变式训练 1 sin 7° +cos 15° sin 8° (1) =________; cos 7° -sin 15° sin 8° π? 1 2 ?π ? (2)已知 tan(α+β)= ,tan? ?β-4?=4.求 tan?4+α?的值. 5 题型二 正、余弦定理 例 2 (2011· 大纲全国)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 变式训练 2 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 题型三 正、余弦定理的实际应用 例 3 如图所示,为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度,在海岸上选取距 离为 1 km 的两个观察点 C,D,在某天 10∶00 观察到该航船在 A 处,此时 测得∠ADC=30° , 3 min 后该船行驶至 B 处, 此时测得∠ACB=60° , ∠BCD =45° ,∠ADB=60° ,则船速为______km/min. 变式训练 3 在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶上有一个观察站,上午 11 时,测得一 轮船在岛的北偏东 30° ,俯角 30° 的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛的北偏 西 60° ,俯角 60° 的 C 处,则轮船航行速度是______千米/小时. cos B b =- . cos C 2a+c

【规律方法总结】
1.证明三角恒等式的常用方法 (1)从一边开始证它等于另一边,一般由繁到简. (2)证明左右两边都等于同一个式子(或值). (3)运用分析法,证明其等式成立. 2.三角恒等变形的基本思路 (1)“化异为同” , “切化弦” , “1”的代换是三角恒等变换的常用技巧. “化异为同”是指“化异名为同名” , “化异次为同次” , “化异角为同角” . (2)角的变换是三角变换的核心,如 β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β)等. 3.已知两边及其一边的对角,判断三角形解的情况 以已知 a,b,A 为例 (1)当 A 为直角或钝角时,若 a>b,则有一解;若 a≤b,则无解. (2)当 A 为锐角时,如下表: a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b
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a≥b

【专题二 三角函数、解三角形、平面向量】

无解

一解

两解

一解

4.三角形中的常用结论 (1)三角形内角和定理:A+B+C=π. (2)A>B>C?a>b>c?sin A>sin B>sin C. (3)a=bcos C+ccos B. 5.在△ABC 中,三边分别为 a,b,c(a<b<c) (1)若 a2+b2>c2,则△ABC 为锐角三角形. (2)若 a2+b2=c2,则△ABC 为直角三角形. (3)若 a2+b2<c2,则△ABC 为钝角三角形.

【名师押题我来做】
π -2α? sin? 2 ? ? π 12 π ? ? 1.已知 cos?4-α?= , -α 是第一象限角,则 的值是________. 13 4 π +α? sin? ?4 ? 押题依据 同角三角函数的基本关系式,诱导公式及倍角公式都是高考的热点,本题题点设置恰当,难度 适中,体现了对基础和能力的双重考查,故押此题. 押题级别 ★★★★★ π ? 5 π 解析:∵ -α 是第一象限角,∴sin? ?4-α?=13, 4 π ? ?π ? sin? ?2-2α? sin 2?4-α? π 10 -α?= . 于是 = =2sin? ?4 ? 13 π ? ?π ? sin? ?4+α? cos?4-α? 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,已知 2sin A= 3cos A. (1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值. 押题依据 本题将三角函数、 余弦定理及基本不等式巧妙地结合在一起, 突出了对重点知识的重点考查. 体 现了高考题在知识的交汇处出题的理念,故押此题. 押题级别 ★★★★★ 1 解:(1)∵ 2sin A= 3cos A,∴2sin2A=3cos A,即 2cos2A+3cos A-2=0,解得 cos A= 或-2(舍去), 2 π 又 0<A<π,∴A= . 3 m 由余弦定理,知 b2+c2-a2=2bccos A.又 a2-c2=b2-mbc,可得 cos A= ,∴m=1. 2 π (2)由余弦定理及 a= 3,A= ,可得 3=b2+c2-bc, 3 1 1 π 3 3 3 再由基本不等式 b2+c2≥2bc,∴bc≤3,∴S△ABC= bcsin A= bcsin = bc≤ , 2 2 3 4 4 3 3 故△ABC 面积的最大值为 . 4

第3讲
【高考真题感悟】

平面向量

→ → → → → (2010· 天津)如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC= 3BD,|AD|=1,则AC· AD= ________.
【专题二 三角函数、解三角形、平面向量】 第4页

解析:方法一 设 BD=a,则 BC= 3a,作 CE⊥BA 交 BA 的延长线于 E, 可知∠DAC=∠ACE, 1 1 在 Rt△ABD 中,sin B= = . BD a 1 在 Rt△BEC 中,CE=BC· sin B= 3a·= 3, a 3 ∴cos ∠DAC=cos ∠ACE= . AC → → → → 3 ∴AD· AC=|AD|· |AC|cos ∠DAC=AD· AC· = 3. AC → → → → → → → → → → 方法二 ∵AC=AB+BC=AB+ 3BD=AB+ 3(BA+AD)=(1- 3)AB+ 3AD → → → → → → → → ∴AC· AD=[(1- 3)AB+ 3AD]· AD=(1- 3)AB· AD+ 3AD2= 3. 考题分析 本题考查了平面向量的线性运算、平面向量的数量积.若从深层考虑,又考查了平面几何的基 本方法,体现了知识与能力的考查.是平面向量考查的一个重要方向. 易错提醒 (1)从方法一的角度看,易忽视作辅助线,将问题分解. → → → (2)从方法二的角度看,不能把AC用AB、AD线性表示. → → → (3)忽视AB· AD=0,AD2=1 这些隐含条件的应用.

【热点分类突破】
题型一 向量的有关运算问题 → → → → → → → 例 1 已知|OA|=1,|OB|= 3,OA· OB=0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30° ,设OC=mOA+nOB (m, m n∈R),则 =________. n → → → → 解析:方法一 |OA|=1,|OB|= 3,OA· OB=0,不妨假设点 C 在 AB 上,且∠AOC=30° . 以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴,OB 所在直线为 y 轴,建立直角坐标系,则 A 点坐标为 → → → 3 3 (1,0),B 点坐标为(0, 3),C 点坐标为? , ?,OC=mOA+nOB (m,n∈R),所以存在 ?4 4 ? 3 1 m m= ,n= 使假设成立,此时 =3. 4 4 n → → → → 方法二 由条件|OA|=1,|OB|= 3,OA· OB=0,可建立以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴,OB 所 → → → → → → 在直线为 y 轴的直角坐标系, 则OA=(1,0), OB=(0, 3).由OC=mOA+nOB,得OC=(m, 3n 1 n 1 m 3n).又因为∠AOC=30° ,点 C 在∠AOB 内,可得 =tan 30° = , = ,即 =3. m n 3 m 3 → → 探究提高 (1)由OA· OB=0 知 OA⊥OB,所以建立坐标系是解决此类题目的关键. (2)熟练掌握向量的线性运算等. (3)向量坐标化,使实数运算得以体现. 变式训练 1 → → → → → → → 如图,已知|OA|=2,|OB|=1,|OC|=4,OA与OB的夹角为 120° ,OA与OC的 → → → → 夹角为 30° ,用OA,OB表示OC,则OC=________________. → → → → 解析:以 O 为原点,OA所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,那么OA=(2,0),OC=(2 3,2),OB=
【专题二 三角函数、解三角形、平面向量】 第5页

→ → → ?-1, 3?,设OC=nOA+mOB,即(2 3,2)=?2n-1m, 3m?, 2 2 ? ? 2 2? ? 1 所以 2 3=2n- m, 2 3 2= m. 2 ① ②

→ 4 3→ 4 3→ 4 将①②联立解得 m=n= 3,所以OC= OA+ OB. 3 3 3 题型二 有关向量的平行、垂直问题 例 2 已知 a=(1,0),b=(2,1). (1)求|a+3b|; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行?平行时它们是同向还是反向? 解:(1)因为 a=(1,0),b=(2,1),故 a+3b=(7,3),所以|a+3b|= 72+32= 58. (2)据题意,有 ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3). 因为 ka-b 与 a+3b 平行, 1 所以 3(k-2)+7=0,解得 k=- . 3 7 ? 此时 ka-b=? ?-3,-1?,a+3b=(7,3), 则 a+3b=-3(ka-b),即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反. 探究提高(1)把向量坐标化,利用向量的坐标进行运算,使实数运算得以体现. (2)注意区别向量共线与向量垂直的坐标运算的不同,混淆两者的运算是丢分的一个重要因素. 变式训练 2 → → 1→ → → → 已知点 O(0,0), A(2, 1), B(-2,7), OP=OA+ BA, 又OQ⊥OP, 且|OQ|=2, 则 Q 点的坐标为_______________ 2 → → 1→ 1 解析:设 Q(x,y),P(x1,y1).由OP=OA+ BA,得(x1,y1)=(2,1)+ (4,-6)=(4,-2). 2 2 2 5 x= , → → → ?4x-2y=0, 5 ? ? ∵OQ⊥OP,且|OQ|=2,∴ 2 2 解得 ? ?x +y =4, 4 5 y= 5 ∴Q 点的坐标为? 2 5 4 5? ? 2 5 4 5? 或 . ? 5 , 5 ? ?- 5 ,- 5 ?

? ? ?

?x=-2 5 5, 或? 4 5 ?y=- 5 .

题型三 向量与三角函数的综合应用 例 3 已知向量 a=(sin x,cos x),b=( 3cos x,cos x)且 b≠0,定义函数 f(x)=2a· b-1. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若 a∥b,求 tan x 的值; (3)若 a⊥b,求 x 的最小正值. 思维启迪(1)根据已知求 f(x)的解析式,再由三角函数的单调性求 f(x)的单调递增区间; (2)由向量平行的充要条件求 tan x 的值; (3)a⊥b?a· b=0,得到关于 x 的三角等式,进而求出 x 的最小值. π 解:(1)f(x)=2a· b-1=2( 3sin xcos x+cos2x)-1= 3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+ ). 6 π π π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 6 2 3 6 π π ∴f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 3 6 2 (2)由 a∥b,得 sin xcos x- 3cos x=0,∵b≠0,∴cos x≠0. ∴tan x- 3=0,∴tan x= 3. (3)若 a⊥b,则 a· b=0.∴ 3sin xcos x+cos2x=0. ∵b≠0,∴cos x≠0.
【专题二 三角函数、解三角形、平面向量】 第6页

∴ 3tan x+1=0,即 tan x=- 5π ∴x=kπ+ ,k∈Z. 6

3 . 3

5π ∴当 k=0 时,x 有最小正值 . 6 探究提高向量与三角函数结合是高考命题的一大热点,在解决有关向量的平行、垂直问题时,先利用向量 的坐标运算,再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程. 变式训练 3 已知 θ 为向量 a 与 b 的夹角,|a|=2,|b|=1,关于 x 的一元二次方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根. (1)求 θ 的取值范围; (2)在(1)的条件下,求函数 f(θ)=2sin θcos θ-2 3cos2θ+ 3的最值. 解:(1)由已知条件,可得|a|2=4,a· b=|a|· |b|cos θ=2cos θ,θ∈[0,π], 2 ∵关于 x 的一元二次方程 x +|a|x+a· b=0 有实根, π ? 1 2 ∴Δ=|a| -4a· b=4(1-2cos θ)≥0,得 cos θ≤ ,解得 θ∈? ?3,π?. 2 π? (2)f(θ)=2sin θcos θ-2 3cos2θ+ 3=sin 2θ- 3(2cos2θ-1)=sin 2θ- 3cos 2θ=2sin? ?2θ-3?, π ? π ?π 5π? ∵θ∈? ?3,π?,∴2θ-3∈?3, 3 ?, π? 得 sin? ?2θ-3?∈[-1,1], 5π 11π ∴当 θ= 时,f(x)max=2;当 θ= 时,f(x)min=-2. 12 12

【规律方法总结】
1.利用数量积研究向量的平行和垂直 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 位置关系 a∥b a⊥b 2.利用数量积研究夹角问题 a· b 设〈a,b〉=θ,则 cos θ= , |a||b| 数量积的符号 a· b>0 a· b=0 a· b<0 3.利用数量积求向量的长度(或模) 条件 a=(x,y) A(x1,y1),B(x2,y2) 夹角 θ 的大小或范围 θ 为锐角或零角 θ=90° θ 为钝角或平角

向量式 |a· b|=|a|· |b| a· b=0

坐标式 x1y2-x2y1=0 x1x2+y1y2=0

计算公式 |a|= a2= x2+y2 → |AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2

【名师押题我来做】
5 a- b?,则 a 与 b 的夹角为________. 1.已知平面向量|a|=2,|b|=1,且(a+b)⊥? ? 2 ? 押题依据 本题主要考查向量的数量积、 向量垂直的充要条件等基础知识及运算能力, 属于中等偏易题. 高 考基本上每年都会涉及此类试题,且题型变化不大,大多以基本概念的考查形式命制,所以在
【专题二 三角函数、解三角形、平面向量】 第7页

备考中掌握基础知识,能熟练运算即可. 押题级别 ★★★★★ 5 ? 3 2 5 2 解析:因为(a+b)⊥? b=0. ?a-2b?,所以 a -2b -2a· 2 2 又因为|a|=2,|b|=1,所以 a =4,b =1, 5 3 所以 4- - a· b=0,所以 a· b=1. 2 2 1 又 a· b=|a|· |b|cos〈a,b〉=1,所以 cos〈a,b〉= . 2 π 又 a 与 b 的夹角范围为[0,π],所以 a 与 b 的夹角为 . 3 2.已知向量 a=(2cos α,2),b=(2,2sin α). (1)若 a⊥b,求 α 的取值集合; (2)求|a+b|的最大值及相应的 α 的取值集合. 押题依据 向量的垂直、 平行是向量的重点内容, 而向量与三角函数综合的题目是高考的一类热点题型. 本 题主要考查了向量垂直的充要条件,向量模的最值及灵活应用三角公式解决问题的能力,故押 此题. 押题级别 ★★★★★ 解:(1)由 a⊥b,得 a· b=(2cos α,2)· (2,2sin α)=4cos α+4sin α=0, π ∴tan α=-1.∴α=- +kπ,k∈Z. 4 π 故 α 的取值集合为{α|α=- +kπ,k∈Z}. 4 (2)由 a=(2cos α,2),b=(2,2sin α),得 a+b=(2cos α+2,2sin α+2), π ∴|a+b|= (2cos α+2)2+(2sin α+2)2= 12+8 2sin(α+ ). 4 π π 当 sin(α+ )=1,即 α= +2kπ(k∈Z)时, 4 4 |a+b|取得最大值为 2 2+2. 故|a+b|的最大值为 2 2+2, π 相应的 α 的取值集合为{α|α= +2kπ,k∈Z}. 4

【专题二 三角函数、解三角形、平面向量】

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