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数学考前10天每天必看系列材料


数学考前 10 天每天必看系列材料
一、 基本知识篇

(一)集合与简易逻辑

1.研究集合问题,一定要抓住集合的代表元素,如:





2.数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象 的代数问题具体化、形象化、直观化

,然后利用数形结合的思想方法解决;

3.一个语句是否为命题,关键要看能否判断真假,陈述句、反诘问句都是命题,而祁使句、疑问句、感叹 句都不是命题;

4. 判断命题的真假要以真值表为依据。 原命题与其逆否命题是等价命题 , 逆命题与其否命题是等价命题 , 一真俱真,一假俱假,当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假;

5.判断命题充要条件的三种方法:(1)定义法;(2)利用集合间的包含关系判断,若

,则 A

是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件;(3)等价法:即利用等价关系 判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法;

6.(1)含 n 个元素的集合的子集个数为

,真子集(非空子集)个数为

-1;

(2)

(3)



二、 思想方法篇

函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方 式,是很重要的数学思想。

1.函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间的相互制约关 系,最后解决问题,这就是函数思想;

2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤:(1)根据题 意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题;(2)根据需要构造函数,利用函数的相关 知识解决问题;(3)方程思想:在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常 列出这些变量的方程或(方程组),通过解方程(或方程组)求出它们,这就是方程思想;

3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用函数的知识和 方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思 想。

三、 回归课本篇:高一年级上册(1)

(一)选择题

1.如果 X = {x|x>-1},那么(一上 40 页例 1(1))

A.0 ? x B.{0}∈x C.φ∈x D.{0} ? x

2.ax2 + 2x + 1 = 0 至少有一个负实根的充要条件是(一上 43 页 B 组 6)

A.0<a≤1 或 a<0< C.a≤1 B.a

3.命题 p:―a、b 是整数‖,是命题 q:― x

2

+ ax + b = 0 有且仅有整数解‖的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.若 y =

x + b 与 y = ax + 3 互为反函数,则 a + b =

A.-2 B.2 C.

D.-10

(二)填空题

9.设 A =

,B =

,则 A∩B =_______.(一上 17 页例 6)

10.不等式

的解集是_______. (一上 43 页例 5(2))

11.已知 A = {x||x-a|<4},B = {x||x-2|>3},且 A∪B = R,则 a 的取值范围是________. (一上 43 页 B 组 2)

12.函数 y =

的定义域是______;值域是______. 函数 y =

的定义域是______;值域

是______. (一上 106 页 A 组 16)

(三)解答题

16.如图,有一块半径为 R 的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状,它的下底 AB 是⊙O 的直径, 上底 CD 的端点在圆周上.写出这个梯形周长 y 和腰长 x 间的函数式,并求出 它的定义域. (一上 90 页 例 1)

17.已知函数 y =

(x∈R)

(1)求反函数 y = f 1(x) ;



(2)判断函数 y = f 1(x) 是奇函数还是偶函数.(一上 102 页例 2)



18.已知函数 f(x) = loga (a>0, a ≠ 1) .

(1)求 f(x)的定义域;

(2)求使 f(x)>0 的 x 取值范围。(一上 104 页例 3)

《回归课本篇》(高一年级上册(1))参考答案

1—4 DCBC

9.{(1,2)}

10.(-? ,-3)∪(2,5)

11.(1,3)

12.

;(0,1)∪(1,+∞) 。{x|x≥0};[0,1]

16.答案:看课本 90 页例 1

17.答案:看课本 P102 例 2

18.答案:参看课本 P104(应做相应变化)

四、错题重做篇

(一)集合与简易逻辑部分

1.已知集合 A={x|x2+(p+2)x+1=0, p∈R},若 A∩R+=φ。则实数 P 的取值范围为 。

2.已知集合 A={x| -2≤x≤7 }, B={x|m+1<x<2m-1},若 A∪B=A,则函数 m 的取值范围是_________ ________。

A.-3≤m≤4 B.-3<m<4 C.2<m<4 D. m≤4

3.命题―若△ABC 有一内角为

,则△ABC 的三内角成等差数列‖的逆命题是( )

A.与原命题真值相异 B.与原命题的否命题真值相异

C.与原命题的逆否命题的真值不同 D.与原命题真值相同

(二)函数部分

4.函数 y=

的定义域是一切实数,则实数 k 的取值范围是_____________

5.判断函数 f(x)=(x-1)

的奇偶性为____________________

6.设函数 f(x)= ________

,函数 y=g(x)的图象与函数 y=f 1(x+1)的图象关于直线 y=x 对称,则 g(3)=_____



7.方程 log2(9

x-1

-5)-log2(3

x-1

-2)-2=0 的解集为___________________-

【参考答案】

1. P

(-4,+∞) 2.D 3.D

4.k

5.非奇非偶 6.g ( 3 ) =

7.{x|x = 2}

四、 基本知识篇

(二)函数

1.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法:若已知 f(x)的定义域为[a,b],其复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出即可;若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值域(即 f(x)的定 义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由―同增异减‖判定;

2.函数的奇偶性

(1)若 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(-x)=f(|x|);

(2)若 f(x)是奇函数,0 在其定义域内,则 f(0)=0(可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)± f(-x)=0 或

(f(x)≠0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明图像 C1 与 C2 的对称性,即证明 C1 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在 C2 上,反之 亦然;

(3)曲线 C1:f(x,y)=0,关于 y=x+a(y=-x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(y-a,x+a)=0(或 f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数 y=f(x)对 x∈R 时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则 y=f(x)图像关于直线 x=a 对称;

(6)函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x=

对称;

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对 x∈R 时,f(x +a)=f(x-a) 或 f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数;

(2)若 y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 2︱a︱的周期函数;

(3)若 y=f(x)奇函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 4︱a︱的周期函数;

(4)若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则 f(x)是周期为 2|a-b|的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(a≠b)对称,则函数 y=f(x)是周期为 2|a-b|的周期函数;

(6)y=f(x)对 x∈R 时,f(x+a)=-f(x)(或 f(x+a)=

,则 y=f(x)是周期为 2|a|的周期函数;

5.方程 k=f(x)有解

k∈D(D 为 f(x)的值域);

6.a≥f(x) 恒成立

a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立

a≤[f(x)]min;

7.(1)

(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

(2)log

a

N=

( a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)log

a

b 的符号由口诀―同正异负‖记忆;

(4)a

log a N

= N ( a>0,a≠1,N>0 );

8.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。

9.判断对应是否为映射时,抓住两点:(1)A 中元素必须都有象且唯一;(2)B 中元素不一定都有原象, 并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象;

10.对于反函数,应掌握以下一些结论:

(1)定义域上的单调函数必有反函数;

(2)奇函数的反函数也是奇函数;

(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

(4)周期函数不存在反函数;

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

(6)y=f(x)与 y=f-1(x)互为反函数,设 f(x)的定义域为 A,值域为 B,则有 f[f- 1(x)]=x(x∈B),f- 1[f(x)]=x(x ∈A).





11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用―两看法‖:一看开 口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

12.恒成立问题的处理方法:(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;

13.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:

(或

(或

);

14.掌握函数

的图象和性质;

函数 (b - ac≠0) 定义域

值域 奇偶性 非奇非偶函数 奇函数

当 b-ac>0 时:分别在 单调性 减;

上单调递

在 增;

上单调递

当 b-ac<0 时:分别在

上单调递增;在

上单调递减;

图象

15.实系数一元二次方程

的两根

的分布问题:

根的情况

等价命题



上有两根



上有两根





上各有一根

充要条件

注意:若在闭区间[m,n]讨论方程 f(x)=0 有实数解的情况,可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况,得出 结果,在令 x=n 和 x=m 检查端点的情况。

五、 思想方法篇

(二)数形结合思想

数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对应几何的性质使 问题得以解决(以形助数);或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决 (以数助形),这种解决问题的方法称之为数形结合。

1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相 辅相成,扬长避短。

2.恩格斯是这样来定义数学的:―数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学‖。这就是说:数形结 合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此,数学学习中突出数形结合思想 正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。

3.数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质。

4.华罗庚先生曾指出:―数缺性时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非。‖数形结 合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形:或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于 形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.

5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查(即用代 数方法研究几何问题)。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。

6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领:

(1)对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可;

(2) 对于研究函数、 方程或不等式 (最值) 的问题, 可通过函数的图象求解 (函数的零点, 顶点是关键点) , 作好知识的迁移与综合运用;

(3)对于以下类型的问题需要注意:

可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆 x2+y2= 1 上的点(cosθ,sinθ)及余弦定理进行转化达到解题目的。

六、 回归课本篇:高一年级上册(2)

(一)选择题

5.已知 x + x

– 1

= 3,则

+

的值为

A.

B.

C.

D.

6.下列函数中不是奇函数的是

A.

B.

C.

D.

7.下列四个函数中,不满足

的是

A. f(x) = ax + b B. f(x) = x2 + ax + b C. f(x) =

D. f(x) = - lnx

8.已知数列{an}的前 n 项的和 Sn= an - 1(a 是不为 0 的实数),那么{an}

A.一定是等差数列 B.一定是等比数列

C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列

(二)填空题

13. 已知数列{an}的通项公式为 a

n

= pn + q, 其中 p, 是常数, 那么这个数列是否一定是等差数列? q 且,

______ 如果是,其首项是______,公差是________. (一上 117 页 116)

14.下列命题中正确的是 。(把正确的题号都写上)

(1)如果已知一个数列的递推公式,那么可以写出这个数列的任何一项;

(2)如果{an}是等差数列,那么{an2}也是等差数列;

(3)任何两个不为 0 的实数均有等比中项;

(4)已知{an}是等比数列,那么{

}也是等比数列

15.顾客购买一件售价为 5000 元的商品,如果采取分期付款,那么在一年内将款全部付清的前提下,商店又提 出了下表所示的几种付款方案,供顾客选择:

方案类 分几次付清 别 1 3次

付款方法

每期所付款额

付款总额

与一次性付款差 额

购买后 4 个月第一次付款, 再过 4 个月第二次付款,在过 4 个月第三次付款

2

6次

购买后 2 个月第一次付款, 再过 2 个月第二次付款…… 购买后 12 个月第 6 次付款.

3

12 次

购买后 1 个月第 1 次付款, 过 1 个月第 2 次付款……购 买后 12 个月第 12 次付款.



规定月利率为 0.8%,每月利息按复利计算

说明:1.分期付款中规定每期所付款额相同.

2.每月利息按复利计算,是指上月利息要计入下月本金.(一上 133 页研究性学习)

(三)解答题

19.已知 Sn 是等比数列 {an} 的前项和 S3,S9,S6,成等差数列,求证 a2,a8,a5 成等差数列。(一上 13 2 页例 4)

20.在数列{an}中,a1 = 1,an+1 = 3Sn(n≥1),求证:a2,a3,┅,an 是等比数列。(一上 142 页 B 组 5)

《回归课本篇》(高一年级上册(2))参考答案

5—8 BACC

13. 是、p + q、p

14. (1)(4)

15. 答案:看课本 P134

19. 答案:看课本 P132 例 4

20.略

四、错题重做篇

(三)数列部分

8.x=

是 a、x、b 成等比数列的( )

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a∈R,a≠0),则数列{an}_______________

A.一定是 A· B.一定是 G· P P

C.或者是 A· 或者是 G· D.既非等差数列又非等比数列 P P

10.A· n}中, a1=25, S17=S9,则该数列的前__________项之和最大,其最大值为_______。 P{a

【参考答案】

8. D 9. C 10. 13 , 169

七、 基本知识篇

(三)数列

1.由 Sn 求 an,an={

注意验证 a1 是否包含在后面 an 的公式中, 若不符合要单独列

出。一般已知条件中含 an 与 Sn 的关系的数列题均可考虑用上述公式;

2.等差数列 ;

3.等比数列



4.首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式

解决;

5.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式,在用等比数列前 n 项和公式时,勿忘分类讨论 思想;

6. 在等差数列中,



; 在等比数列中,

;

7. 当

时,对等差数列有

;对等比数列有



8.若{an}、{bn}是等差数列,则{kan+pbn}(k、p 是非零常数)是等差数列;若{an}、{bn}是等比数列,则{kan}、 {anbn}等也是等比数列;

9. 若数列

为等差(比)数列,则

也是等差(比)数列;

10. 在等差数列 (即 );

中,当项数为偶数 2n 时,

;项数为奇数 2n-1 时,

11.若一阶线性递归数列 an=kan-1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形式:

(n≥2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;

八、 思想方法篇

(三)分类讨论的数学思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类, 然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答。

1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种:

(1)涉及的数学概念是分类讨论的;

(2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的;

(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性;

(4)数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的;

(5)较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的。

2.分类讨论是一种逻辑方法,在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法,但分 类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏 ,包含各种情况,同时要有利于问题研究。

九、 回归课本篇:高一年级下册(1)

1、若一个 6000 的角的终边上有一点 P(-4 , a),则 a 的值为

(A)

(B)

(C)

(D)

2、

(A)

(B)

( C)

(D)

3、

(P38 例 3)

(A)

(B)

(C)

(D)

4、cosa +

sina = (P39 例 5)

(A) 2sin(

+ a ) (B) 2sin(

+ a ) (C) 2cos (

+ a ) (D) 2cos(

-a )

5、tan200 + tan400 +

tan200 tan400 = _________。 (P40 练习 4(1))

6、(1 + tan440)(1 + tan10) = ______;(1 + tan430)(1 + tan20) = ______;(1 + tan420)(1 + tan30) = ___ ___;(1 + tana )(1 + tanb ) = ______ (其中 a + b = 45 0)。 (P88A 组 16)

7、化简 sin500(1 +

tan100) 。(P43 例 3)

8、已知 tana =

,则 sin2a + sin2a = __________。

9、求证(1)1 + cosa =2cos2

;(2) 1-cosa =2sin2

;(3) 1 + sina = (sin

+cos

)2 ;

(4) 1-sina = (sin

-cos

)2 ;(5)

= tan2

. (P45 例 4)(以上结论可直接当公式使用,主

要用来进行代数式的配方化简)。

10、cos(

p + a ) + cos(

p -a )(其中 k ? Z) = _________。(P84 例 1)

11、已知 cos(

+ x) =



<X<

,求

的值。(P91B 组 10)

12、如图,三个相同的正方形相接,则 a +b = .

(P88A 组 17)

13、已知函数 y = 3sin(2x +

),x ? R。

(1) 用五点作图法画出简图;(2) 如何变化可以得到函数 y = sinx 的图象;(3) 写出其递

减区间;(4) 写出 y 取得最小值的 x 的集合;(5)写出不等式 3 sin(2x +

)>

的解集。

(P63 例 4)

14、已知函数 y = Asin(w x + j ),x ∈R (其中 A>0,w >0)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点(函数取最 大值的点)为 M(2, ),与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0),求这个函数的解析式。(P84 例 3)

《回归课本篇》(高一年级下册(1))参考答案

1~4、BBDA;5、

;6、2;7、1;8、1;10、(-1)k (cosa -

sina ),k ? Z;

11、-

;12、45° ;

13、解:(1) 参考课本答案(求周期-列表-描点);(2)参考课本答案(注意做相应变化);(3)递减区间是[kp

+

,kp +

],k ? Z;(4) y 取得最小值的 x 的集合是

;(5)



14、y =

sin(

x +

)

四、错题重做篇

(四)三角函数部分

11.设

=tanθ-secθ 成立,则 θ 的取值范围是_______________

12.函数 y=sin4x+cos4x- 为____________。

的相位____________,初相为__________ 。周期为_________,单调递增区间

13.函数 f(x)=

的值域为______________。

14.若 2sin2α

的取值范围是______________

15.已知函数 f (x) =2cos(

)-5 的最小正周期不大于 2,则正整数 k 的最小值是___________

【参考答案】

11.

12.

13.

14. [0 ,

]

15. 13

十、 基本知识篇

(四)三角函数

1.三角函数符号规律记忆口诀:一全正,二正弦,三是切,四余弦;

2.对于诱导公式,可用―奇变偶不变,符号看象限‖概括;

3.记住同角三角函数的基本关系,熟练掌握三角函数的定义、图像、性质;

4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等 于 1800,一般用正余弦定理实施边角互化;

5.正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点; 正(余) 切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与 x 轴的交点,但没有对称轴。

6.(1)正弦平方差公式:sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B);(2)三角形的内切圆半径 r=

;(3)

三角形的外接圆直径 2R=

(五)平面向量

1.两个向量平行的充要条件,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ 为实数。(1)向量式:a∥b(b≠0) 式:a∥b(b≠0) x1y2-x2y1=0;

a=λ b;(2)坐标

2.两个向量垂直的充要条件, 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)向量式:a⊥b(b≠0) b x1x2+y1y2=0;

a· b=0; (2)坐标式:a⊥

3.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b= 投影的乘积;

=x1x2+y1y2;其几何意义是 a· 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的 b

4.设 A(x1,x2)、B(x2,y2),则 S⊿AOB=



5.平面向量数量积的坐标表示:

(1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· 1x2+y1y2; b=x

;

(2)若 a=(x,y),则 a2=a· 2+y2, a=x

;

十一、 思想方法篇

(四)向量法

向量法是运用向量知识解决问题的一种方法,解题常用下列知识:

(1)向量的几何表示,两个向量共线的充要条件;

(2)平面向量基本定理及其理论;

(3)利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题;

(4)两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式

十二、 回归课本篇:高一年级下册(2)

15、下列各式能否成立?为什么?

(A) cos2x =

(B) sinx-cosx =

(C) tanx +

= 2 (D) sin3x =

(P89A 组 25)

16、求函数 y =

的定义域。(P91B 组 12)

17、如图是周期为 2p 的三角函数 y = f (x) 的图象,则 f (x) 可以写成 (A) sin [2 (1-x)] (B) cos (1-x) (C) sin (x-1) (D) sin (1-x)

18、与正弦函数 y=sinx(x∈R)关于直线 x =

p 对称的曲线是

(A)y=sinx (B)y=cosx (C)y=-sinx (D)y=-cosx

19、 x cos 1-y sin 1=0 的倾斜角是

(A) 1 (B) 1+

(C) 1-

(D) -1+

20、函数 上

在区间[a,b]是减函数,且 f(a)=-A,f(b)=A,则函数

(A)可以取得最大值-A (B)可以取得最小值-A

(C)可以取得最大值 A (D)可以取得最小值 A

21、已知

,

为两个单位向量,下列四个命题中正确的是(P149A 组 2) 与 平行,则

(A)

=

(B) 如果

=

(C)

· = 1 (D)

22、和向量

= (6,8)共线的单位向量是__________。(P150A 组 17)

23、 已知

= (1,2),

= (-3,2), k 为何值时, 当 (1)k

+



-3

垂直?(2) k

+



-3

平行?

平行时它们是同向还是反向?(P147 例 1)

24、已知 |

|=1,|

|=



(I)若

//

,求

· ;

(II)若



的夹角为 135° ,求 |



| .(2004 广州一模)

《回归课本篇》(高一年级下册(2))参考答案

15、(A) 否 (B) 否 (C) 能 (D) 能

16、(-

+ kp,

+ kp)∪(

+ kp,

+ kp), k ? Z

17~21、DADDD

22、(

,

),(

,

)

23、(1)k = 19;(2)k =

,反向。

24、解:(I)∵

//



①若



共向,则

· =|

|?|

|=



②若



异向,则

· =-|

|?|

|=-



(II)∵



的夹角为 135° ∴ ,

· =|

|?|

|?cos135° =-1,

∴|

|2=(



)2 =

2



2

+2

· =1+2-2=1,





四、错题重做篇

(五)平面向量部分

16.已知向量

=(a,b),向量







的坐标可能的一个为( )

A.(a,-b) B.(-a,b) C.(b,-a) D.(-b,-a)

17.将函数 y=x+2 的图象按

=(6,-2)平移后,得到的新图象的解析为_____________

18.若 o 为平行四边形 ABCD 的中心,

=4

1,

等于( )

A.

B.

C.

D.

19.若

,且(



,则实数 λ 的值为____________.

【参考答案】

16. C 17. y = x-8 18. B 19. λ=

十三、 基本知识篇

(六)不等式

1.掌握不等式性质,注意使用条件;

2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分 类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法;

3.掌握用均值不等式求最值的方法,在使用 a+b≥

(a>0,b>0)时要符合―一正二定三相等‖;注意均值

不等式的一些变形,如



十四、 思想方法篇

(五)配方法

配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式,其基本形式是:ax2+bx+c=

.高考中常见的基本配方形式有: (1) a2+b2= (a + b)2- 2a b = (a -b) 2+ 2 ab;

(2) (2) a2+ b2+ ab =

;

(3) (3)a2+ b2+c2= (a+b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc;

(4) (4) a2+ b2+ c2- a b – bc – a c =

[ ( a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2];

(5)

;

配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论,求解与证明及二次曲线的讨论。

十五、 回归课本篇:高二年级上册(1)

(一)选择题

1、下列命题中正确的是 (A) ac2>bc2 ? a>b (B) a>b ? a3>b3

(C)

? a + c>b + d (D) loga2<LOGb2<0 ? 0<A<B<1< P>

2、如果关于 x 的不等式 ax2 + bx + c<0 的解集是
2

(m<N<0),则关于 X 的不等式 CX

-bx + a>0 的解集是 (二上 31 页 B 组 7)

(A)

(B)

(C)

(D)

3、若 x<0,则 2 + 3x +

的最大值是 (二上 11 页习题 4)

(A) 2 +

(B) 2±

(C) 2-

(D) 以上都不对

(二)填空题

7、当点(x,y)在以原点为圆心,a 为半径的圆上运动时,点(x + y,xy)的轨迹方程是_______。

(二上 89 页 B 组 10)

8、过抛物线 y2 = 2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点,自 A、B 向准线作垂线,垂足分 别为 A/、B/。则∠A/FB/ = _________。 (二上 133 页 B 组 2)

(三)解答题

11、两定点的坐标分别为 A(-1,0),B(2,0),动点满足条件∠MBA = 2∠MAB,求动点 M 的轨迹方程。(二 上 133 页 B 组 5)

12、设关于 x 的不等式

的解集为 A,已知

,求实数 a 的取值范围。

《回归课本篇》(高二年级上册(1))参考答案

(一)选择题 1~3 BAC(注意符号)

(二)填空题

7、x2 = a2 + 2y(- B/(

a≤x≤

a)8、证明: 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则 A/(

,y1)、

,y2)。

∴ kA/F·B/F = k



又 ∵ y1y2 = -p2 ,

∴ kA/F·B/F = -1, k

∴ ∠A/FB/ = 900 .

(三)解答题

11、解:设∠MBA = a ,∠MAB = b (a >0,b >0),点 M 的坐标为(x,y)。

∵ a = 2b ,∴ tana = tan2b =

.

当点 M 在 x 轴上方时,tana =

,tanb =



所以

=

,即 3x2-y2 = 3。

当点 M 在 x 轴下方时,tana =

,tanb =

,仍可得上面方程。

又 a = 2b ,∴ | AM |>| BM | .

因此点 M 一定在线段 AB 垂直平分线的右侧,所求的轨迹方程为双曲线 3x2-y2 = 3 的右支,且不包括 x 轴上的点。

12、解:



时,



时,





时,



四、错题重做篇

(六)不等式部分

20.设实数 a,b,x,y 满足 a2+b2=1,x2+y2=3, 则 ax+by 的取值范围为_______________.

21.-4<k<o 是函数 y=kx2-kx-1 恒为负值的___________条件

22.函数 y=

的最小值为_______________

23.已知 a,b

,且满足 a+3b=1,则 ab 的最大值为___________________.

【参考答案】

20. [-

] 21. 充分非必要条件 22.

23.

十六、 基本知识篇

(七)直线和圆的方程

1.设三角形的三顶点是 A 1,y1) B(x2,y2)、(x3,y3) (x 、 C ,则⊿ABC 的重心 G 为 (

) ;

2.直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0;

3.两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是



4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件 :A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2-4AF>0;

5.过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2;

6.以 A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0;

7.求解线性规划问题的步骤是:(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;(2)作出可行域,写出目标 函数;(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解;

十七、 思想方法篇

(六)换元法

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式) ,对新的变量求出结果之后, 返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来,或者把隐含的条件显示出 来,或者把条件与结论联系起来,或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法 主要有以下两类:

(1)整体换元:以―元‖换―式‖; (2)三角换元 ,以―式‖换―元‖;

(3)此外,还有对称换元、均值换元、万能换元等;换元法应用比较广泛。如解方程,解不等式,证明不 等式,求函数的值域,求数列的通项与和等,另外在解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注 意新元的约束条件和整体置换的策略。

十八、 回归课本篇:高二年级上册(2)

(一)选择题

4、已知目标函数 z=2x+y,且变量 x、y 满足下列条件:

,则(广州抽测)

(A) z 最大值=12,z 无最小值 (B) z 最小值=3,z 无最大值

(C) z 最大值=12,z 最小值=3 (D) z 最小值=

,z 无最大值

5、将大小不同的两种钢板截成 A、B 两种规格的成品,每张钢板可同时解得这两种规格的成品的块数如下 表所示:

规格类型

A 规格

B 规格

钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 2 1 1 3

若现在需要 A、B 两种规格的成品分别为 12 块和 10 块,则至少需要这两种钢板张数(广州二模) (A)6 (B) 7 (C) 8 (D) 9

6、 函数 f(q ) =

的最大值和最小值分别是(二上 82 页习题 11)

(A) 最大值

和最小值 0 (B) 最大值不存在和最小值

(C) 最大值

和最小值 0 (D) 最大值不存在和最小值

(二)填空题

9、 人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆。设地球半径为 R,卫星近地点、远地点离地面 的距离分别是 r1,r2,则卫星轨道的离心率 = _________。(二上 133 页 B 组 4)

10、已知 a>b>0,则 a2 +

的最小值是_________。16 (二上 31 页 B 组 3)

(三)解答题

13、已知△ABC 的三边长是 a,b,c,且 m 为正数,求证

。(二上 17 页习题 9)

14、已知关于 x 的不等式

的解集为 M。

(1)当 a=4 时,求集合 M;

(2)若

,求实数 a 的取值范围。

《回归课本篇》(高二年级上册(2))参考答案

(一)选择题 4~6 B(注意虚实)B(注意整点)A(注意横纵坐标不要搞颠倒)

(二)填空题

9、e =

10、解:由 a>b>0 知 a-b>0,

∴ b(a-b) =



∴ a2+



上式中两个―≥‖号中的等号当且仅当 a2 =

,b = a-b 时都成立。

即当 a =

,b =

时,a2 +b2 取得最小值 16。

(三)解答题

13、证明:∵ f(x) = 且在△ABC 中有 a + b > c>0,

在(0, + ? )上单调递增,

∴ f(a + b)>f(c),





又∵ a,b ? R*,









另解:要证



只要证 a(b + m)(c + m) + b(a + m)(c + m)-c(a + m)(b + m)>0,

即 abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2-abc-acm-bcm-cm2>0,

即 abc + 2abm + (a + b-c)m2>0,

由于 a,b,c 为△ABC 的边长,m>0,故有 a + b> c,即(a + b-c)m2>0。

所以 abc + 2abm + (a + b-c)m2>0 是成立的,

因此



14、 解:(1)

时,不等式为

,解之,得

(2)

时,

时,不等式为

, 解之,得





, ∴

满足条件

综上,得



四、错题重做篇

(七)直线和圆

24.已知直线

与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等,且过二直线

:3x-y-1=0 和

:x+y-3=0 的交点,则直线

的方程为_______________________

25.有一批钢管长度为 4 米,要截成 50 厘米和 60 厘米两种毛坯,且按这两种毛坯数量比大于 样截最合理?________________-

配套,怎

26.已知直线 x=a 和圆(x-1)2+y2=4 相切,那么实数 a 的值为_______________

27.已知圆(x-3)2+y2=4 和直线 y=mx 的交点分别为 P,Q 两点,O 为坐标原点,则|OP|· |OQ|的值为 。

【参考答案】

24.x-6y+11 = 0 或 x+2y-5 = 0 25. 50 厘米 2 根,60 厘米 5 根

26. a = 3 或 a =-1 27. 5

十九、 基本知识篇

(八)圆锥曲线方程

1.椭圆焦半径公式:设 P(x0,y0)为椭圆 (e 为离心率);

(a>b>0)上任一点,焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则

2.双曲线焦半径公式:设 P(x0,y0)为双曲线

(a>0,b>0)上任一点,焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),

则:(1)当 P 点在右支上时,



(2)当 P 点在左支上时,

;(e 为离心率);

另:双曲线

(a>0,b>0)的渐近线方程为



3.抛物线焦半径公式:设 P(x0,y0)为抛物线 y2=2px(p>0)上任意一点,F 为焦点,则

;y

2

=2px(p<0)上任意一点,F 为焦点,则



4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题;

5.共渐进线

的双曲线标准方程为

为参数,λ≠0);

6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式,

一般地,若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB, A、B 两点分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦长

,这里体现了解析几何―设而不求‖的解题思想;

7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为

,焦准距为 p=

,抛物线的通径为 2p,焦准距为 p; 双曲线

(a>0,b>0)的焦点到渐进线的距离为 b;

8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax2+Bx2=1;

9.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为 AB,A(x1,y1)、B(x2,y2),则有如下结论:(1)|AB|=x1

+x2+p;(2)y1y2=-p2,x1x2=

;

10.过椭圆

(a>b>0)左焦点的焦点弦为 AB,则 ;

,过右焦点的弦

11.对于 y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为(

,y0),以简化计算;

12.处理椭圆、 双曲线、 抛物线的弦中点问题常用代点相减法, A(x1, 1)、 2,y2)为椭圆 设 y B(x

(a>

b>0)上不同的两点,M(x0,y0)是 AB 的中点,则 KABKOM=

;对于双曲线

(a>0,b>0),

类似可得:KAB.KOM=

;对于 y2=2px(p≠0)抛物线有 KAB=

13.求轨迹的常用方法:

(1)直接法:直接通过建立 x、y 之间的关系,构成 F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法;

(2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可;

(3)代入法(相关点法或转移法):若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1)的变化而变化,并且 Q(x1,y1) 又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代数式表示 x1、y1,再将 x1、y1 带入已知曲线得要求的轨迹方程;

(4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程;

(5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 x、y 均 用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。

二十、 思想方法篇

(七)向量法

向量法是运用向量知识解决问题的一种方法,解题常用下列知识:

(1)向量的几何表示,两个向量共线的充要条件;(2)平面向量基本定理及其理论;

(3)利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题;

(4)两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式。

二十一、 回归课本篇:高二年级下册(1)

1、 确定一个平面的条件有:__________________________________________。

2、 ―点 A 在平面 a 内,平面内的直线 a 不过点 A‖表示为________________________。

3、异面直线所成的角的范围是__________;直线与平面所成角的范围是_________________;二面角的范 围是______________;向量夹角的范围是________________。

4、 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在______;经过一个角 的顶点引这个角所在平面的斜射线,设它和已知角两边的夹角为锐角且相等,这条斜线在平面内的射影是_ _____。(P23 例 4、P25 习题 6)

5、 四面体 ABCD 中,若 AB⊥CD,AC⊥BD,则 AD____BC;若 AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB,则 A 在平面 BCD 上的射影是△BCD 的_____心;若 AB⊥AC,AC⊥AD,则 AD____AB;若 AB = AC = AD, 则 A 在平面 BCD 上的射影是△BCD 的_____心;若四面体 ABCD 是正四面体,则 AB_____CD。

6、 已知 a∩b = CD,EA⊥a ,垂足为 A,EB⊥b ,垂足为 B,求证(1)CD⊥AB;(2)二面角 a -CD-b + ∠AEB = p 。(P25 习题 4) (如果两异面直线与二面角的两个面分别垂直,则异面直线所成的角与二面 角相等(二面角为锐角或直角时)或互补(二面角为钝角时))

7、 对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,试问满足向量关系式 + y + z = 1)的四点 P、A、B、C 是否共面?(P30 例 2)

(其中 x

8、 a 在 b 上的射影是__________;b 在 a 上的射影是__________。

9、 已知 OA、OB、OC 两两所成的角都为 600,则 OA 与平面 BOC 所成角的余弦为_____。

10、已知两条异面直线所成的角为 q ,在直线 a、b 上分别取 E、F,已知 A/E = m,AF = n,

EF = l,求公垂线段 AA/的长 d。

11、已知球面上的三点 A、B、C,且 AB = 6cm,BC = 8cm,AC = 10cm,球的半径为 13cm。求球心到 平面 ABC 的距离。(P79 例 3)

12、 如果直线 AB 与平面 a 相交于点 B,且与 a 内过点 B 的三条直线 BC、BD、BE 所成的角相等,求证 AB⊥a 。(P80A 组 6)

13、一条线段夹在一个直二面角的两个面内,它和两个面所成的角都是 300,求这条线段与这个二面角的棱 所成的角。(P80A 组 7)

14、P、A、B、C 是球面 O 上的四个点,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA = PB= PC = 1,求球的体积和 表面积。(P81 B 组 7)

《回归课本篇》(高二年级下册(1))参考答案

1、不共线的三点、一直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线。

2、A ? a ,A ? a,a ? a

3、(0,

);[0,

];[0,p];[0,p]

4、这个角的平分线上;这个角的平分线

5、⊥;垂心;⊥;外心;⊥

7、解:原式可变为







∴ 点 P 与 A、B、C 共面。

8、

9、

10、d =

11、12cm

13、解:a-l-b 是直二面角,作 AC⊥于 l 于 C,BD⊥l 于 D,则∠ABC = ∠BAD = 300,

























,∴



14、

p ; 3p

四、错题重做篇

(八)圆锥曲线部分

28.过圆外一点 P(5,-2)作圆 x2+y2-4x-4y=1 的切线,则切线方程为__________。

29.已知圆方程为 x2+y2+8x+12=0,在此圆的所有切线中,纵横截距相等的条数有____________

30.双曲线实轴在 x 轴上,且与直线 y=2x 有且只有一个公共点 O(0,0),则双曲线的离心率 e=___________ ___。

31.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________

32.过双曲线 x2- __条。

的右焦点作直线交双曲线于 A、B 两点,且|AB|=4,则这样的直线有_________

33.经过抛物线 y2 = 4x 的焦点弦的中点轨迹方程是( )

A.y2=x-1 B.y2=2(x-1) C.y2=x-

D.y2=2x-1

【参考答案】

28. 3x+4y-7 = 0 或 x = 5 29. 4 30.

31. 0 < k < 1 32. 3 33. B

二十二、 基本知识篇

(九)直线、平面、简单几何体

1.从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上;

2. 已知:直二面角 M-AB-N 中,AE 的角为 θ,则

M,BF

N,∠EAB=

,∠ABF=

,异面直线 AE 与 BF 所成

3.立平斜公式:如图,AB 和平面所成的角是 ;

,AC 在平面内,AC 和 AB 的射影 AB 成

,设∠BAC

=

,则 cos

cos

=cos

4.异面直线所成角的求法:

(1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;

(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容 易发现两条异面直线间的关系;

5.直线与平面所成的角

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上 的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键;

6.二面角的求法

(1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用 定义法时,要认真观察图形的特性;

(2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面 角;

(3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平 面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直;

(4)射影法:利用面积射影公式 S 射=S 原 cosθ,其中 θ 为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;

特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其 要考虑射影法)。

7.空间距离的求法

(1)两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算;

(2)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解;

(3)求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已知面的垂面是关键;二 是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解;

8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 θ,则 S 侧 cosθ=S 底;

9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 α,β,γ 因此有 cos2α+cos2β+cos2γ =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 α,β,γ 则有 cos2α+cos2β+cos2γ =2;

10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长;

11.欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为 V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F-E=2;并且棱数 E=各顶点连着 的棱数和的一半=各面边数和的一半;

12.球的体积公式 V=

,表面积公式

;掌握球面上两点 A、B 间的距离求法:(1)计算

线段 AB 的长,(2)计算球心角∠AOB 的弧度数;(3)用弧长公式计算劣弧 AB 的长。

二十三、 思想方法篇

(八)分析法、综合法

(1)分析法是从所求证的结果出发, 逐步推出能使它成立的条件, 直至已知的事实为止; 分析法是一种―执 果索因‖的直接证法。

(2)综合法是从已经证明的结论、公式出发,逐步推出所要求证的结论。综合法是一种―由因导果‖,叙述 流畅的直接证法。

(3)分析法、 综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。分析法―执果索因‖的分析方法,思路清晰, 容易找到解题路子,但书写格式要求较高,不容易叙述清楚,所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、 综合法应用很广,几乎所有题都可以用这两个方法来解。

回归课本篇:高二年级下册(2)

15、求证:

(P96 习题 10)

16、

= ________。 (P111 习题 10)

17、

= _________(n 为偶数) 。

18、甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 P1,乙解决这个问题的概率 P2,那么其中至 少有 1 人解决这个问题的概率是 (A) P1 + P2 (B) P1·P2 (C) 1-P1·P2 (D) (1-P1 )(1-P2)

19、(1 + x)2n(n ? N*)的展开式中,系数最大的项是

(A) 第

+ 1 项 (B) 第 n 项 (C) 第 n + 1 项 (D) 第 n 项与第 n + 1 项

20、已知

,求

.(P 142A 组 4(1))

21、(1)求

展开式中常数项;(2)已知的展开式中的第 9 项、第 10 项、第 11 项的二项式系

数成等差数列,求 n;(3)(1 + x + x2)(1-x)10 求展开式中 x4 的系数。(P 143A 组 12)

22、填空:(1)有面值为 1 元、2 元、5 元的邮票各 2 张,从中任取 3 张,其面值之和恰好是 8 元的概率是_ ______;

(2) 将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成 27 个同样大小的小正方体,从这些小正方体中任取 1 个,其 中恰有 2 面涂有颜色的概率是_______;

(3) 在数学选择题给出的 4 个答案中,恰有 1 个是正确的,某同学在做 3 道数学选择题时,随意地选定其 中的正确答案,那么 3 道题都答对的概率是________;

(4) 对于一段外语录音,甲能听懂的概率是 80%,乙能听懂的概率是 70%,两人同时听这段录音,其中至 少有一人能听懂的概率是______;

(5) 某人每天早晨乘坐的某一斑次公共汽车的准时到站率为 90%,他在 5 天乘车中,此班次公共汽车恰好 有 4 天准时到站的概率是________。(P 144A 组 16)

23、填空:(1)已知

= 21,那么 n = _______;

(2)一种汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,且 2 个英文字母不能相同,不同牌照号码的个数 是_______,(P 145B 组 1)

24、选择题:(1) 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 -6 (D) -12

(A)

(B)

(C)

(2) 在的展开式中,各项系数的和是 (A) 1 (B) 2n (C) -1 (D) 1 或-1

25、求证:(1) n· = (n + 1)!-n!; n!

(2)



(3)



《回归课本篇》(高二年级下册(2))参考答案

16、1

17、2n 1-1



18、D

19、D

20、28

21、T13 = 18564;n = 14 或 23;x4 的系数是 135。

22、





;0.94;0.328

23、6;

× 4 10

24、DD

四、错题重做篇

(九)直线、平面与简单几何体

34.已知二面角 α-AB-β 为 120° ,CD EF 所成角的余弦值为

α,CD⊥AB,EF

β,EF 与 AB 成 30° 角,则异面直线 CD 与

35.棱长为 1 的正四面体内有一点 P,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为 d1,d2,d3,d4,则 d1+d2 +d3+d4 的值为

36.直二面角 α-

-β 的棱

上有一点 A,在平面 α、β 内各有一条射线 AB,AC 与

成 450,AB

,则∠BAC= 。

37.直线

与平面 α 成角为 300,

则m与

所成角的取值范围是

38.一凸多面体的面数为 8,各面多边形的内角总和为 16π,则它的棱数为( )

A.24 B.22 C.18 D.16

它的顶点个数为 。

【参考答案】

34.

35.

36. 600 或 1200

37. [ 300 , 900] 38. D 10

二十四、 基本知识篇

(十)排列组合二项式定理和概率

1.排列数公式: 1;

=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=

(m≤n,m、n∈N*),当 m=n 时为全排列

=n(n-1)…2

2.组合数公式:

(m≤n),



3.组合数性质:



4.常用性质:n.n!=(n+1)!-n!;即

(1≤r≤n);

5.二项式定理:(1)掌握二项展开式的通项:

(2)注意第 r+1 项二项式系数与第 r+1 系数的区别;

6.二项式系数具有下列性质:

(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等;

(2) 若 n 为偶数, 中间一项 (第 +1 项)的二项式系数最大;

+1 项) 的二项式系数最大; n 为奇数, 若 中间两项 (第



(3)

7.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为 f(1);奇数项系数和为

;偶数项的系数和为



8.等可能事件的概率公式:(1)P(A)=

;(2)互斥事件分别发生的概率公式为:P(A+B)=PA.+

PB.;(3)相互独立事件同时发生的概率公式为 P(AB)=PA.PB.;(4)独立重复试验概率公式 Pn(k) (5)如果事件 A、B 互斥,那么事件 A 与 、 与 及事件 与 也都是

=

互斥事件;(6)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个不发生的概率是 1-P(AB)=1 -PA.PB.;(7)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个发生的概率是 1-P( =1-P( )

·

)P(

);

(十一)抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差

1.掌握抽样的二种方法:(1)简单随机抽样(包括抽签符和随机数表法);(2)分层抽样,常用于某个 总体由差异明显的几部分组成的情形;

2.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大,这 种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图;

3.总体特征数的估计:(1)学会用样本平均数 (2) 学会用样本方差 估计总体方差 及总体标准差;

去估计总体平均数; 去

二十五、 思想方法篇

(九)反证法

反证法是数学证明的一种重要方法,因为命题 p 与它的否定非 p 的真假相反,所以要证一个命题为真,只 要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题(即命题的否定)为假进而证明命题为真的证明方法叫做反 证法。

㈠ 反证法证明的一般步骤是:

(1)反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;

(2)归谬:从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果;

(3)结论:有矛盾判定假设不正确,从而肯定的结论正确;

㈡ 反证法的适用范围:(1)已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题;

(2)结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题,特别是结论是否定形式(―不是‖、―不可能‖、―不可 得‖)等的命题;(3)涉及各种无限结论的命题;(4)以―最多(少)、若干个‖为结论的命题;(5)存 在性命题;(6)唯一性命题;(7)某些定理的逆定理;

(8)一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。

㈢ 反证法的逻辑依据是―矛盾律‖和―排中律‖。

三、回归课本篇:《回归课本篇》(选修Ⅱ)

(一)选择题

1、下列命题中不正确的是 A. 若 x ~B(n,p),则 Ex = np,Dx = np(1-p) B. E(ax + b) = aEx + b

C. D(ax + b) = a Dx D. Dx = Ex 2-(Ex )2

2、下列函数在

处连续的是 (2004 广州一模)

(A)

(B)

(C)

(D)

3、已知



的值是

(A)-4 (B) 0 (C) 8 (D) 不存在

(二)填空题

7、

= _______。(三选修 102 页例 2)

(三)解答题

9、一次考试出了 12 个选择填空题,每个题有四个可供选择的答案,一个是正确的,三个是错误的,某同 学只知道其中 9 个题的正确答案,其余 3 个题完全靠猜测回答。求这个同学卷面上正确答案不少于 10 个的 概率。

10、(1)求

导数。(三选修 102 页 B 组 1(4))

(2)求 y = sin2x-x,x ? [-



]的最值。(三选修 102 页 B 组 5(4))

《回归课本篇》(选修Ⅱ)参考答案

(一)选择题 CAC

(二)填空题 7、-3

(三)解答题

9、解:―这个同学卷面上正确答案不少于 10 个‖等价于 3 个选择题的答案中正确答案的个

数不少于 1 个,该事件是 3 次独立重复试验,在每次试验中选中正确答案的概率为 1/4。

∴ 所求事件的概率为







10、(1)

;(2)





四、错题重做篇

(十)排列、组合、二项式定理、概率

39.计算 C

+C

的值

40.编号为 1,2,3,4,5 的五个人,分别坐在编号为 1,2,3,4,5 的座位上,则至多有两个号码一致 的坐法种数为( )

A.120 B.119 C.110 D.109

41.已知(

)9 的开展式中 x3 的系数为

,则常数 a 为 。

42.定义:

,其中 i,n

且 i≤n。若 f ( x ) =

,则

的值为

A.2 B.0 C.-1 D.-2

43.12 张分别标以 1,2,…,12 的卡片,任意分成两叠,每叠 6 张。

(1)若 1,2,3 三张在同一叠的概率为

。其中

、m 为互质的正整数,则

等于( )

A.2 B.3 C.5 D.7 E.11

m 等于( )

A.11 B.12 C.15 D.35 E.77

(2)若 1,2,3,4 四张中,每叠各有两张的概率为

。其中 n、m 为互质的正整数,则 n=( )

A.2 B.3 C.5 D.7 E.11

45.已知 A、B、C 为三个彼此互相独立事件,若事件 A 发生的概率为

,事件 B 发生的概率为

,事

件 C 发生的概率为

,则发生其中两个事件的概率为 。

46.一箱磁带最多有一盒次品。每箱装 25 盒磁带,而生产过程产生次品带的概率是 0.01。则一箱磁带最 多有一盒次品的概率是 。

【参考答案】

39. 466 40. D 41. 4 42. D 43.(1)A A (2)C

45.

46. C

(0.01)· (0.99 )24+C

( 0.99 )25

二十六、 基本知识篇

(十二)导数及应用

1.导数的定义:f(x)在点 x0 处的导数记作



2.根据导数的定义,求函数的导数步骤为:(1)求函数的增量

(2)求平均变化



;(3)取极限,得导数

;

3.导数的几何意义:曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是

相应地,切线方程是

4.常见函数的导数公式:

5.导数的应用: (1)利用导数判断函数的单调性:设函数 y=f(x)在某个区间内可导,如果 那么 f(x)为增函数;如果 常数; 那么 f(x)为减函数;如果在某个区间内恒有 那么 f(x)为

(2)求可导函数极值的步骤:①求导数

;②求方程

的根;③检验

在方程

根的左右的符号,如果左正右负,那么函数 y=f(x)在这个根处取得最大值;如果左负右正,那 么函数 y=f(x)在这个根处取得最小值;

(3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求 y=f(x)在(a,b)内的极值;②将 y=f(x)在各极值点的极值与 f (a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值。

二十七、 思想方法篇

(十)7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.

三、回归课本篇:《回归课本篇》(选修Ⅱ-2)

(一)选择题

4、

(1<| a |<| b |) = (三选修 102 页例 2)

A. 0 B. a C. b D.

5、下列命题中正确的是

A. a· = c· ? a = c B. z2 = | z |2 (z ? C) b b

C. a2 = | a |2 D. z +

= 0 ? z ?R

6、已知 z 是虚数,则方程 z3 = |

| 的解是(三选修 235 页 B 组 3(2))

A.

B.

, z = 0, z = ± 1

C.

D.

(二)填空题

8、已知复数

,则| z | = ______。(三选修 224 页习题 9)

(三)解答题

11、已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且使 MG = 2GN,用基向量 , , 表示向量 。(考试大纲 110 页 26 题)

《回归课本篇》(选修Ⅱ-2)参考答案

(一)选择题 ACA

(二)填空题 8、400

(三)解答题

11、证明:

四、错题重做篇

(十一)统计与概率

47.一个单位有职工 80 人,其中业务人员 56 人,管理人员 8 人,服务人员 16 人,为了解职工和某种情况, 决定采取分层抽样的方法。抽取一个容量为 10 的样本,每个管理人员被抽到的概率为( )

A.

B.

C.

D.以上都不对

48.如果 c 是(1+x)5 的展开式中 x3 的系数而在总体中抽出一个样本:2,3,4,6,7,S2 表示该样本的

方差,S

表示

[(2-c)2+(3-c)2+(4-c)2+(6-c)2+(7-c)2],则 S2 与 S

的大小关系为

49. 为了了解某地参加计算机水平测试的 5008 名学生的成绩, 从中抽取了 200 名学生的成绩进行统计分析。 运用系统抽样方法抽取样本时,每组的容量为 。

(十二)导数

50.若 f ( x ) = x3,f ′( x0) =3,则 x0 的值为( )

A.1 B.-1 C.± D.3 1

51.若,f ′( x0) =-3,则

=( )

A.-3 B.-6 C.-9 D.-12

52.垂直于直线 2x-6y+1=0 且与曲线 y = x3+3x-5 相切的直线方程是 。

53.若 f ( x ) = ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数,则 a、b、c 的关系式为(等式或不等式(组))是 .

54.设 f ( x ) = x3-

x2-2x+5,当 x∈[-1,2] 时,f(x) < m 恒成立,则实数 m 的取值范围为 .

55.函数 y = f ( x ) = x3+ax2+bx+a2,在 x = 1 时,有极值 10,则 a = ,b = 。

【参考答案】

47. C 48. S2 < S

49. 25 50. C 51. D

52. 3x+y+5 = 0 53. b2 < 3ac 且 a > 0 54. m > 7

55. a = 4 b = -11


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