当前位置:首页 >> 数学 >>

极坐标系


猴哥,从教学楼 去办公楼 要怎么走啊?

汗啊!幸亏我 手里有地图

实 验 楼

图 书 馆

听着!从教学楼 向北偏西400走50米。

120m 40度 60度 50m 教 学 楼 60m 体 育 馆

办 公 楼

请分析上面这

句话,他告诉了问路人什么?
从教学楼向北偏西400走50米! 出发点 方向 (角度) 距离

在生活中人们经常用一个基点、参照方 向和距离来表示一点的位置 ——它直观、方便 这种用一个基点、参照方向和距离表示平面

上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。

试一试? 请大家回忆直角坐标系的建立过 程,试着建立一个用一个参照点、 距离与角度确定平面上一点位置 的坐标系。

一、极坐标系的概念:
在平面内取一个定点O,叫做极点。 自极点引一条射线OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位(一般用 弧度制)及它的正方 O X 向(通常取逆时针方 向)。 这样就建立了一个极坐标系。

二、极坐标的表示方法:
对于极坐标平面上任意一点M: ?表示线段OM的长度,叫做点M的极径; ?表示以OX为始边,射线OM为终边的角, ? 叫做点M的极角; 有序数对(?,?)就叫做点M的极坐标。 ? O 特别强调:?表示线段OM的长度,即点M到 X 极点O的距离;?表示从OX到OM的角度, 即以OX(极轴)为始边,OM 为终边的角。 不做特殊说明时,?≥0,?∈R 当M在极点时,极坐标?=0,?可以取任意值。 M

例1:如图,用点A,B,C,D,E分别表示教学楼, 体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立 适当的极坐标系,写出各点的极坐标. D C 解:如图所示, 取点A为 极点O, AB所在射线 为极轴(单位长度为 1m),建立极坐标系 120m E 45度 60度 50m
A(O) 60m B A

x

练习:1.(1)说出下图中各点的极坐标
?
?
4
C E D O B A X

2
5? 6

?
4? 3

F

G

5? 3

练习:(2)在图中标出 5? ? ? 点 H (3, ), P(4, ), Q(6,? ) 6 2 3 ?
2
5? 6

?
4

P
C E

?
4?

H

D O

B

A X

F

G

5? Q 3

在同一极坐标系中,有如下极坐标: 探讨: ? 5? 11? 7?

1:这些极坐标之间有何异同? 极径相同,极角不同。

(6,? ), (6, ), (6, ), (6,? ) 3 3 3 3

2:这些极角有何关系? 极角的始边相同,终边也相同, 即:它们是终边相同的角。 3:这些极坐标所表示的点有什么关系? 它们表示同一个点。

想一想?

①平面上一点的极坐标是否唯一?

②若不唯一,坐标不唯一是由谁引起的?
③若不唯一,那有多少种表示方法?

④同一点的极坐标是否可以写出统一表达式?

三、点的极坐标的统一表达式:
一般地:极坐标 ? ? ,? ?与? ? ,? ? 2k? ?? k ? Z ? 表示同一个点 特别地:极点O的坐标为 ? 0,? ? ?? ? R?
M ? ?

O

X

四、极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况: P [1]给定(?,?),就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M (ρ,θ)… X

O

[2]给定平面上一点M,但 却有无数个极坐标与之对 应。 原因在于:极角有无数个。

? ?? 练习:2.已知点M的极坐标为 ? 5, ?,下列所给 ? 3?
出的四个坐标中能表示点M的坐标是( )

5? ? ? ? ? 5, ? 3 ? ? ? 3.在极坐标系中,已知三点 M (2,? ), N (1,0), 3 ? P (2 3 , ) 判断M,N,P 三点是否在一条直线上. 6
D.

?? ? 5, ? ? ? 3? 2? ? ? C. ? 5, ? ? ? 3?
A. ?

B.

4? ? ? ? 5, ? ? 3?

一般地: 若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ) (k∈Z)都可以作为它的 极坐标.

如果规定:?

? 0,? ? [0,2? )

那么:平面内的点(除极点外)和 极坐标就可以一一对应了.

交流平台:

你能从中体会: 极坐标与直角 坐标在刻画点的位置时的区别 吗?

五、极坐标与直角坐标的区别:
平面直角坐系 极坐标系
定位 横坐标、纵 角度和距离 方式 坐标 点与极坐标 点与 点与坐标一 不一一对应 坐标 一对应 要素 原点,x,y轴 极点,极轴,长度 长度单位和正 单位;角度单位和 正方向 方向 本质 两直线相交定点 圆与射线相交定点

思考?

点M的极坐标为 (5, ) ,其直角坐 3 标如何表示?

?

在极坐标系中, 以极点作为原点, 极轴作为x轴的正半轴, 并且两种坐标系中取 相同的长度单位。

Y
M

点M的极坐标为 (5, ) 5 5 3 3 M( , ) 设点M的直角坐标为(x,y) 2 2 ? 5 ? 5 3 x ? 5 cos ? y ? 5 sin ? 3 2 3 2

?

O

H

x

极坐标与直角坐标的互化公式:
设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
x ? ? cos? , y ? ? sin ?
y ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) x
2 2 2

互化公式的三个前提条件:
1、极点与直角坐标系的原点重合;

2、极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3、两种坐标系的单位长度相同,直角坐标化 极坐标时,先确定tan ? 的值,再确定 ? 所 在的象限,求出符合条件的极角。

2? 例2: 将点M的极坐标( ?2, ) 3

化成直角坐标.

解:

2? x ? ?2 cos ?1 3 2? y ? ?2 sin ?? 3 3

所以, 点M的直角坐标为

(1,? 3 )

已知下列点的极坐标,求它们的直 角坐标。

A ( 3, ) 6

?

B ( 2, ) 2

?

C (1,? ) 2

?

3 ? 3? D ( , ) E ( 2, ) 2 4 4

3? F (0, ) 4

例3:将点M的直角坐标 化成极坐标.

(? 3, ?1)

解:

? ? (? 3) ? (? 1) ? 2
2 2

7? 因为点在第三象限, 所以 ? ? 6 7? 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6

?1 3 tan? ? ? ? 3 3

练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.

A ( 3,? 3 )

B (1, 3 )

C (5,0) E ( ?3,?3)

D (0,?2)

F (?3,0)





1、极坐标系的四要素 极点;极轴;长度单位;角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 ? ? 0,? ? [0,2? ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) x

x ? ? cos? , y ? ? sin?


相关文章:
极坐标系的概念
极坐标系的概念_数学_高中教育_教育专区。高二数学组 张春玲 二、极坐标系的概念教学目标:知识与技能:理解极坐标的概念,掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 过程与...
高考数学极坐标系典型题目训练
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 6、选修 4—4:在直角坐标系中,以原点为极点, 过点 点. 的直线 ( 为参数)与曲线 相交于点 两 (1)求曲线 的...
极坐标系教案
极坐标系》教学设计方案教学目标 知识与技能 1.认识极坐标,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置; 2.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别,能进行极坐标和直角...
极坐标系练习题
? π? ? 5. 在极坐标系中, 已知点 A?1,4π ?, B?2, ?,则 A、 B 两点间的距离为___. ? ? ? 4? 解析 答案 利用极坐标系中两点间距离公式...
极坐标系与参数方程
极坐标系与参数方程_高二数学_数学_高中教育_教育专区。数学极坐标系与参数方程 极坐标系与参数方程编稿:侯彬 审稿:安东明 责编:辛文升 一、基础知识回顾 1.极...
《极坐标系》教案
极坐标系》教案_数学_高中教育_教育专区。广州市白云中学数学科公开课教学设计※执教教师:杨璐 ※授课地点:博学楼 301 ※课型:新授课 ※课题:《极坐标系》 ※...
极坐标及极坐标方程的应用
极坐标及极坐标方程的应用_数学_自然科学_专业资料。极坐标及极坐标方程的应用 1. 极坐标系的建立 在平面内取一个定点 O,叫作极点,引一条射线 OX,叫做极轴,...
极坐标系学案
,记为 ; 例 1、 在极坐标系中,写出点 A、B、C、D 的极坐标,并标出点 E ( 2, 所在的位置 5? 6 ), F ( 4, ? ? 3 ), G (5, 1 3? 6 ...
直角坐标与极坐标的区别与转换
直角坐标与极坐标的区别与转换_数学_自然科学_专业资料。直角坐标与极坐标的区别与转换 共同交流 一起进步、 【爱文库】核心用户上传 直角坐标直角坐标系在数学中...
极坐标系的概念
§ 2 2. 1 极坐标系极坐标系的概念 1.了解极坐标系的概念. 课标解读 2.理解点的极坐标的不唯一性. 3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 1.极坐标...
更多相关标签:
球坐标系 | 极坐标 | 极坐标系与参数方程 | 极坐标系与直角坐标系 | 极坐标系ppt | 极坐标方程 | 坐标系 | 勒洛三角形 |