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2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (3)


2015 年全国高中数学联赛河北省预赛
一、 填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分,请将答案填在答题卡的相应位置.

1 a 2 2 2 2.设 A, B 两点分别在抛物线 y ? 6 x 和圆 C : ( x ? 2) ? y ? 1 上,则 | AB | 的取值范围是
1.已知函数 f ( x) ? ln( 1 ?

a 2 x 2 ? ax) ? 1(a ? 0) ,则 f (ln a ) ? f (ln ) ? 3.若 tan ? ? 3 tan ? (0 ? ? ? ? ?

?
2

) ,则 ? ? ? 的最大值是

4.已知 ?ABC 为等腰直角三角形,其中 ?C 为直角, AC ? BC ? 1, 过点 B 作平面 ABC 的垂线 DB ,使 得 DB ? 1 ,在 DA, DC 上分别取点 E , F ,则 ?BEF 周长的最小值为 5. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x , 对任意的 m ?[?2, 2], f (mx ? 8) ? f (2x ) ? 0 恒成立 ,则正实数 x 的取值 范围是 6. 已知向量 a, b , c 满足 : | a |:| b |:| c |? 2: k : 3(k ? N * ) , 且 (b ? a) ? 2(c ? b ) , 若 ? 为 a , c 的夹角 , 则 cos? 的值为 7.现有一个能容纳 10 个半径为 1 的小球的封闭正四面体容器,则该容器的棱长的最小值是 8.将 10 个小球(5 个黑球和 5 个白球)排成一行,从左边第一个小球开始向右数小球,无论数几个小球, 黑球的个数总不少于白球个数的概率为 二、 本大题共 6 小题,共 86 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9(本小题满分 14 分) ? 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,向量 p ? (sin A ? sin C,sin B) ,向量 ? ? ? q ? (a ? c, b ? a) ,且满足 p ? q. (Ⅰ)求 ?ABC 的内角 C ; (Ⅱ)若 c ? 2, 2sin 2 A ? sin(2B ? C ) ? sin C, 求 ?ABC 的面积.

? ? ?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

10(本小题满分 14 分) 2 已知数列 {an } 满足: a1 ? 2, an?1 ? an ? 2an . (Ⅰ)求证:数列 {lg( an ?1)} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ?

1 1 ,且数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn .求证: Sn ? 1 . ? an an ? 2

11(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? a .
x

(Ⅰ)若 f ( x) ? 0 对一切 x ? ?1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求证: (
1 ? 2015 1008 ) ? e 2. 2016

12(本小题满分 14 分) 如图,两个圆交于 A, B 两点, C , D 为一条外公切线 ,切点分别为 C , D ,过 A 任意作一条直线分别交两 圆于 E , F , EC 交 FD 于点 P . 求证: PB 平分 ? EBF .

13(本小题满分 15 分) 已知正实数 x, y 满足 x3 ? y3 ? x ? y, 求使 x2 ? ? y 2 ? 1恒成立的实数 ? 的最大值.

14(本小题满分 15 分)

x2 1 ? y 2 ? 1 及点 P (1, ) , 过点 P 作直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点 ,过 A, B 两点分别作 2 2 C 的切线交于 Q 点. (Ⅰ)求 Q 点的轨迹方程; (Ⅱ)求 ?ABQ 的面积的最小值.
已知椭圆 C :


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