当前位置:首页 >> 数学 >>

基于数学史的平均数


1 6

数学通报          2 0 1 3年 第5 2卷 第1 1期

基于数学史的平均数 、 中位数和众数的理解
吴   骏            黄青云
( ) ( ) 曲靖师范学院数学与信息科学学院  6 云南省曲靖市麒麟区第一中学  6 5 5 0 1 1 5 5 0 0 0



平均数是统计学中的重要概念 . 陈希孺指出 , 如果我们从理论的角度走一点极端 , 则可以说 , 一 部数理统计学 的 历 史 , 就是从纵横两个方向对算
1] 实际上 , 描 术平均数进行不断深入研究的历史 [ .

少, 否则所得总数将会变得太大或太小 . 用现代术 语来说 , 选择枝条的一个 代 表 值 a, 再乘以枝条的 数目 n, 得到总数 n×a = 上的树叶和果实数 . 这个例子启发我们 , 在教学设计时 , 应该把大 通过教学活动 数估计问题作 为 学 生 的 认 知 起 点 , 让学生再现这 种 方 法 , 以培养他们对平均数的直 觉能力 . 教师只 有 在 学 生 已 经 发 展 了 代 表 性 的 思 才教给他们平均数的计算方法 , 而不是让 想之后 , 学生掌握了平 均 数 的 计 算 公 式 以 后 , 再来理解平 均数的代表性 . 2  中点值是算术平均数的前概念 算术平均数的 前 概 念 可 能 是 中 点 值 , 即两个 极端值的算术平均数 . 中点值在 9 世纪至 1 1 世纪 冶金和航海中有广泛的应用 . 托 阿拉伯人的天文 、 , 在《 天 文 学 大 成》 中指 勒密 ( P t o l e m 1 0 0-1 7 0) y
4] 出: 取最大 值 和 最 小 值 的 平 均 数 是 一 条 法 则 [ .

∑x ,其 中 x




是枝条

述一组数据的 平 均 水 平 , 除了应用较为广泛的平 均数外 , 还有中位数和众数 , 这三个概念各有优缺 点, 存在不同的适用范围 . 对于统计概念的学习而 言, 重要的不是统计量的计算 , 而是对其意义的理 那么 , 统计概念的理解到底体现在哪些方面 解. 呢?纵观这三个 概 念 的 历 史 起 源 , 这无疑为我们 本文从数学史视角来探讨 开启了一扇新 的 窗 口 . 中位数和众数的理解 , 以期能对中学统 对平均数 、 计教学有所裨益 . 1  利用平均数估计大数 在历史上 , 平均数最早是用来估计大数的 . 公 在古印度有一个估计果树上树叶和果 元4 世 纪, 实数目的故事 : 一棵 枝 叶 茂 盛 的 大 树 长 有 两 条 大 的 树 枝 , R t u a r n a需要估 计 这 两 条 树 枝 上 树 叶 和 果 实 的 p 他首先估 计 了 根 部 的 一 条 细 枝 上 树 叶 和 果 数目 . 实的数目 , 然后乘以树枝上所有细枝的数目 , 得到 估计值为 2 经 过 一 夜 的 计 数, 证明 R 0 9 5. t u a r n a p
2-3] 的估计十分接近实际的数目 [ .

这样做的目的 是 为 了 降 低 观 察 值 的 误 差 , 使所得 的结果介于最 大 值 和 最 小 值 之 间 . 一个雅典指挥 , 官T 在《 伯罗奔 尼 撒 人 战 争 的 历 史 》 一 h u c d i d e s y 书讲述了利用中点值估计船员人数的问题 : 并 指 出, H o m e r给出了船的 数 目 是 1 2 0 0 条, 两种不同 的 船 分 别 有 1 我猜 2 0名和5 0 名 船 员. 想, 他的意思是 表 明 了 各 种 船 中 容 纳 船 员 的 最 大 数目是 1 最小数目是5 因此可以取最 2 0人, 0 人, 大和最小数目 的 平 均 数 , 作为每条船上船员的平 均人数 , 再乘以船只的数量 , 以此估算出全体船员
5] 的人数 [ .

在这个例子中 , 尽管我们不能确定 R t u a r n a p 如何选择细枝 , 但可以猜想他可能选择了一条平 均大小的细枝 , 由此得到了恰当的估计 . 平均大小 的细枝具有代 表 性 , 这可能是算术平均数的直觉 因为所选的细枝代表了其余的所有细枝 , 其 使用 , 中间 ” 位置 , 应该不是太多 , 也不可能太 数量处于 “


( ) 基金项目 : 云南省教育厅科学研究基金 “ 数学史融入中学统计概念教学的理论与实践 ” 编号 : 2 0 1 2 Y 4 1 1

2 0 1 3年 第5 2卷 第1 1 期           数学通报 直到 1 算术平均数才被推广到 n 个数 6 世纪 , 1 的情形 : a = ∑x 1 5 8 5 年, S t e v i n发明的小 i. n 数为这种计算提供了便利 . 在当时 , 天文学家计算 多个观测值的 平 均 数 是 行 之 有 效 的 , 如在估计行 星的位置和月 球 的 直 径 时 , 平均数能把误差降低 到一个相对较小的程度 . 从现代的观点 来 看 , 中点值不是一个很有用 的平均数 , 因为它对极端值太敏感 . 学生在开始学 可能会把中点值的计算作为求平均 习平均数时 , 数的原始方法 . 因此 , 教师可以把中点值的教学作 为学生探究平均数的基本策略 . 例如 , 某公共汽车 由 2 0 个班次载客量的人数在 4 1≤x≤6 1 范围内 , , 于不知道每个 班 次 的 具 体 人 数 因 此 不 能 求 出 平 1+6 1 也无 法 确 定 中 位 数 和 众 数, 只 能 取4 均数 , 2 作为这个区间人数的估计值 , 称为组中值 , 这样就 解决了公共汽车在该区间的平均载客量问题 . 3  重复测量取平均数可以减小误差 对观测数据取平均数以减小误差这种方法在 第谷( 天文学中得到 了 发 展 . 1 6 世 纪 末 期, T c h o y , ) 把对一个对象重复观察以及 1 5 4 6-1 6 0 1 B r a h e 把观察数据分组的技 巧 引 人 到 天 文 学 中 . 1 5 8 2年 至1 他对某一天文量进行重复观测得到一 5 8 8年, 组观 察 值 . 他先从1 挑选了3 5 8 2 年 的 观 察 值 中, 个数据 ; 其把 1 两个 5 8 2至1 5 8 8年的2 4 个 数 据, 求 出 平 均 数, 得到1 最 数据组成 一 组 , 2 个 数 据; 后, 第谷求出这 1 5 个数据的平均数作为真实值的 估计值
[ 6]

1 7

直到 ± 6 处为 0, 即 后在两边按比例下降 , } …, P{ x= i =( 6-| i r, i=0, ±1,± 2, |) 其中r= 1 . ±5. 3 6 根据 所 给 的 分 布 , 可算得单个误差不超过 1 6 4 秒的 概 率 为1 不 超 过 2 秒 的 是2 =0. 4 4 4, = 3 6 3 6 为比较起见 , 他又计算出6个误差的平均 0. 6 6 7. 数不超过 1 秒 的 概 率 是 0. 不超过2秒的是 7 2 5, 可见 , 平均数的估计优于单个值 . 这个结果 0. 9 6 7. 可视为第一次 在 一 个 特 定 情 况 下 , 严格从概率角
1] 度证明了算术平均数的优良性 [ .

, ) 高斯 ( 在 1 8 0 9年, C. F. G a u s s 1 7 7 7-1 8 5 5 天 体 运 动 理 论》 中指 其数学和 天 体 力 学 的 名 著 《 出: 如果在相同的条件下并具有同样的认真程度 , 任何一个对象 通 过 几 次 直 接 的 观 测 而 确 定 , 那么 观测值的算术 平 均 数 提 供 了 最 可 能 的 取 值 , 即使 不是太严格 , 但至少十分接近 , 使得它总是一个最
4] 安全的取值 [ .

现在 , 人们已 经 习 惯 于 把 高 斯 的 这 个 观 点 当 在学生理解平均数的过程中 , 重复测 作一个公理 . 此外 , 重复测量这 量可能是一个有用的教学活动 . 种方法也 被 广 泛 运 用 于 物 理 和 数 学 的 其 它 分 支 中. 反之 , 历史和物理也可以为引入平均数概念提
7] 供有益的帮助 [ .

4  平均数的补偿性 在希腊几何中 , 数的大小用线段来表示 . 如图 最长的线段长度为 1 最短的线段长度为 2, 中 1, 0, , 间线段的长度为 6. 亚里斯多德 ( A r i s t o t l e 3 8 4- 给出了平均数的 几 何 定 义 : 3 2 2B C) a 和c 中 间 的 数b 称为算 术 平 均 数 , 当 且 仅 当 b-a= 他 c-b. 说, 平均数的数量既不能 太 多 也 不 能 太 少 . 在图1 中, 中间的线段 不 太 长 , 也 不 太 短, 正好补偿了其 余两条线段的过长和过 短 , 而且1 因 0-6=6-2, 此, 数的线段表 6是1 0和 2 这 两 个 数 的 平 均 数. 征直观地显示 了 平 均 数 介 于 两 个 极 值 之 间 , 是利 用补偿策略求平均数的脚手架 .

由 此 可 知, 第谷使用算术平均数来消 .

除系统误差 . 辛普森 ( 在 T h o m a s S i m s o n, 1 7 1 0—1 7 6 1)   p 在应用天文学中取若 1 7 5 5 年向皇家学会宣读的 《 干个观测值的平均数的好处 》 文章中指出 , 在天文 学界 , 取算术平均的做法并没有为多数人所接受 . 当时 , 人们认为 , 当 有 多 个 观 测 值 时, 应选择其中 那个 “ 谨慎的观 测 ” 所 得 的 值, 认为这比平均数可 靠. 辛普森试图证明 , 若以观测值的平均数估计真 误差将比单个观测值要小 , 且随着观测次数的 值, 增加而减小 . 辛普森对一种极特殊的误差分布证 明了其结论 . 他假定在一次天文测量中以秒来度 量的误差只能取 0,± 1,± 2,±3,± 4,± 5 这1 取 这 些 值 的 概 率 则 以 在 0 处 最 大, 然 1个 值,

图 1  希腊几何中数的线段表征

我国 《 九章算 术 》 方 田 章 第 6 题: 今有三分之

1 8

数学通报          2 0 1 3年 第5 2卷 第1 1期 在遭遇暴风雨袭击时 , 小船需要 易就已经存在了 . 扔掉一些超重 的 货 物 , 以避免船翻或保全其余的 货物 , 这种行为称为 “ 抛弃货物 ” 从公元前 7 . 0 0年 开始 , 商人和船 主 就 认 为 货 物 和 轮 船 的 损 失 应 该 由他们共同平 等 地 分 担 . 这种做法已经成为了惯 例, 并写进了罗 马 法 律 , 其 中 一 项 条 款 是: 为了减 必须扔掉超重的货物 , 这个损失应 轻船体的重量 , 该由货主共同分担 . 对于在具体情景中如何处理 , 如“ 应该按照什 ” 么比例进行补偿? 的问题 , 罗马法案规定 : 应该把 保存下来和已经丢弃的货物按照价值进行平均分 配. 对于损失的 货 物 , 应 该 计 算 其 购 买 价 格, 对于 保存下来的货物 , 应该估计其销售价格 . 如果货物 那么公平分配的计算就会变得 的价格不好确 定 , 很复杂 . 当时 , 这种平均数的计算由被称作所谓的 “ ( ) 海损调解员 ” 来 负 责, 这是一 a v e r a e a d u s t e r   g j 种严肃的会计 职 业 , 在1 9世纪和2 0世纪初英国 海损调解员协会 ” 甚至还成立了 “ . 平均数在海事法案中指 “ 在通常的事故中 , 平 ” 即把每个成员的一系列不等量 等分配财产损失 . 的财产累加起来 , 再进行平均分配 , 让他们获得共
9] 同的或平均的数量 [ .

一, 三分之二 , 四 分 之 三. 问: 减 多 益 少, 各几何而 平?答曰 : 减四分之三者二 , 三分之二者一 , 并, 以 益三分之 一 , 而 各 平 于 十 二 分 之 七. 又有二分之 一, 三分之二 , 四 分 之 三. 问: 减 多 益 少, 各几何而 减三分之二者一 , 四分之三者四 , 并, 以 平?答曰 : 而各平于三十六分之二十三 益二分之一 ,
[ 8]



该题采用平分 法 来 求 解 . 平分指当各个分数 参差不齐时 , 为使它们齐等 , 可减那个分数所多的 部分 , 增益这个分数所少的部分, 即所谓的“ 移多 补少 ” 方法 . 第 一 问 的 解 法 是: 从 3 减去 2, 从2 4 3 1 2 减去 1 , 将 2 + 1 加 到 1 上, 使得这三个数的平 3 1 2 1 2 1 2 第二问解法同理可得 . 均数为 7 . 1 2 由此可见 , 借助 于 数 据 的 线 段 表 征, 采用“ 移 多补少 ” 的策略 可 以 直 观 地 体 现 出 平 均 数 的 补 偿 例如 , 图 2 给出了一组数据的线段 表 示, 如何 性. 估计这组数据的平均数呢?可以选择一个中间位 如在横坐标为4 置的数据作为平均数的 估 计 值 , 0 这个点处做一 条 垂 线 , 尽管这组数据的平均数比 可在该点把右 边 线 段 中 多 余 的 部 分 补 4 0 多一点 , [ 5] 到左 边 线 段 上 , 见图3 .平 均 数 补 偿 性 的 价 值 , 主要体现在学 生 为 了 估 计 数 据 的 平 均 数 时 , 需要 清楚数据是如何分布的 .

可见 , 平均数 的 公 平 分 享 起 源 与 人 们 直 觉 中 公正 、 平 等 是 相 互 联 系 的, 这就意味着公 的公平 、 平分享的背景 对 于 理 解 平 均 数 的 意 义 是 合 适 的 , 它能有效消除 平 均 数 产 生 的 误 导 , 如为了客观反 平均数就不是一个很好的指 映居民的收入 水 平 , 标, 因为 少 数 高 收 入 者 拉 高 了 居 民 收 入 的 平 均 水平 . 在现实情境下不一定 6  平均数是总体的代表值 , 具有实际意义 历史 上 使 用 的 平 均 数 是 用 来 估 1 9 世纪以前 , 计真实值的 , 如估计大数问题 、 在天文学和测地学 在这些例子中 , 取平均 中利用平均数减小误差等 . 数作为一种方法出现 . 然而 , 平均数作为总体的一 个代表值或代 替 值 却 经 历 了 很 多 年 的 发 展 . 1 8 3 1 , 年, 魁特奈特( 提出了 A.Q u e t e l e t 1 7 9 6-1 8 7 4)

图 2  数据的线段表示

图 3  平均数的补偿性

“ ( ) 平均人 ” 的概念 , 这是 发 明 者 虚 拟 a v e r a e m a n   g
1 0] “ 平均人” 定 义 为 这 样 一 个 人, 他在 的一个人 [ .

5  平均数的公平分享 平均数还起源 于 贸 易 、 保险和海事法案背景 中的公平分享 . 公元前1 地中海的航海贸 0 0 0 年,

一切重要的指标上都具有某群体中一切个体相应 指标的平均值 . 这种人在现实中不存在 , 但给人真 因为确有接近这种状况的典型 . 魁特奈 实的感觉 ,

2 0 1 3年 第5 2卷 第1 1 期           数学通报 特是首次使用平均数作为总体某一个方面代表值 的科学家 , 这种 从 真 实 值 到 统 计 意 义 下 代 表 值 的 转换是一个重 要 的 观 念 性 改 变 . 在他汇编的统计 资料中 , 不仅涵盖了个体的身高 、 体重这些物理特 征, 还包括了伦理特征 , 如犯罪倾向 、 酗酒倾向等 . 由此他提出可 以 建 立 在 给 定 时 间 、 给定社会中的 即“ 平 均 人” 当 然, 按不同 代表 性 人 物 这 种 概 念 , . 年龄 、 不同国家和不同阶级 , 可以分为不同的平均 使用 “ 平 均 人” 的目的是为了理顺人 男人或女人 . 们在社会中存 在 的 各 种 差 异 , 并在某种程度上归 即一种 “ 社会物理学 ” 纳出社会的正常规律 , . 从教学现象学 来 看 , 学生在具体问题中得到 的平均数可能 与 现 实 情 境 并 不 吻 合 , 使得学生理 也就是说 , 平均数 解平均数的代表性产生了困难 . 可能是一个在 现 实 情 境 中 没 有 意 义 的 小 数 . 如对 “ 平均每个人每 天 看 1. 5小时电视和平均每个家 庭有 2. 的 理 解, 显 然, 这是两个不同的情 5 个 人” 半小时是存在的 , 而半个人却不存在 . 境, 7  中位数的稳健性 在历史上 , 中位数几乎是作为平均数的代替 , 品而 出 现 的 . 费歇尔( 1 8 7 4 年, G.T.F e c h n e r ) 借助于天文学中行之有效的方法 , 使 1 8 0 1-1 8 8 7 , 年 高 尔 用中 位 数 来 描 述 社 会 和 心 理 现 象 . 1 8 8 2 , 顿( 第一次使用“ 中位 F.G a l t o n 1 8 2 2-1 9 1 1) 这个术语 . 与数学和统计历史经常发生的情况 数” 一样 , 高尔顿在 使 用 这 个 术 语 之 前 就 已 经 知 道 了 但 他 使 用 其 他 的 术 语, 如“ 最中间的 这 个 概 念, , “ 值” 中等的 ” 等, 他在 1 8 7 4 年的一次演讲中给出 “ 一个占据中间位置的物体具有这 了下列的描述 : 样的性质 , 即比 它 多 的 物 体 的 数 目 等 于 比 它 少 的 ” 物体的 数 目 . 与高尔顿同时代的埃其渥斯( F. 发现平均数对极端 1 8 4 5-1 9 2 6) Y. E d e w o r t h, g , 值的敏感 性 而 中 位 数 比 平 均 数 更 稳 健 ( r o b u s t - ) ( , 稳健性用于描述对极端值的不 敏 感 性 ) 因 n e s s 此选择了中位 数 代 替 平 均 数 . 这可能源于埃其渥 而经济学中大多是一些不规 斯对经济学的 兴 趣 , 则的数据 . 现在 , 中位数的稳健性是使用它的主要 原因 . 第一 个 可 能 使 用 中 位 数 的 例 子 出 现 在 他 E d w a r d W r i h t关 于 航 海 的 著 作 中 . 1 5 9 9 年,   g 在该书中描述了用指南针确定位置的方法 . 在海上航行 , 指南针是一个重要的航海工具 ,

1 9

可以用来确定 轮 船 在 海 上 的 位 置 . 由于海浪的影 响, 在轮船甲板 上 观 察 指 南 针 得 到 的 数 据 会 有 很 大的差异 , 而尽 可 能 保 证 数 据 的 准 确 性 是 很 重 要 的, 因此 , 可以把 指 南 针 得 到 的 观 察 值 列 成 表 格 , 在各种不同的 数 据 中 , 位于最中间位置的数据是
4] 最可能接近真实值的数据 [ .

不幸的 是 , E d w a r d W r i h t在 他 的 论 著 中 没   g 有给出任何数据的运用 , 因此 , 不可能绝对确信他 使用了中位数 , 然而他在文中写到 “ 一个又一个的 , 这说明他可能采用了最中间的观 数据被拒绝了 ” 测值 , 即中位数 . 在实际应用中 , 学生对中位数的理解比平均 数据 的 分 布 是 决 定 使 用 平 均 数 和 中 位 数更困难 . 数的关键所在 , 而大多数学生还没有形成数据呈 现偏态分布的意识 , 因此 , 他们对平均数的选择使 在教学中 , 中位数的引入应该 用往往优于中位数 . 遵循历史发展 顺 序 , 例如可以采用一组带有极端 激发学生论证中位数代替平均 值的不规则数 据 , 数的合理性 , 从而达到对中位数的深刻理解 . 8  众数表示重复计数中的准确值 相对来说 , 众数容易理解 , 它的历史也比较简 单. 第一个使用众数的例子 , 可能出现在雅典和斯 巴达战争中发生的事 . 在公元前 4 普拉铁阿人被伯罗奔 2 8 年 冬 天, 尼撒人和皮奥夏人包围 . 不久 , 他们开始出现粮食 短缺 , 处于绝望之中 . 由于从雅典人那里获得援助 也看不到其他安全突围的方法 , 已经没有希望了 , 普拉铁阿 人 和 被 包 围 的 一 些 雅 典 人 计 划 弃 城 而 去, 他们打算做梯子翻过敌人的城墙 . 由于梯子的 为此 , 可以数敌人 高度要与敌人城墙的高度一样 , 城墙上砖块的 层 数 来 计 算 城 墙 的 高 度 . 在相同的 时间 , 很多人数 了 砖 块 的 层 数 , 有 些 可 能 数 错 了, 但大多数人可 能 得 到 一 个 真 实 的 数 目 , 特别是那 能看清城墙的人多次数的结 些距离城墙不 太 远 , 果. 然后再猜测出一块砖的厚度 , 从而计算出了梯
9] 子的高度 [ .

我们可以看出 , 在这个例子中 , 普拉铁阿人已 经使用了众数的含义 . 在本例的情境中 , 很多人去 也就是对砖块重复计数 , 出现 数城墙砖块的层数 , 在 这 里, 众数意指“ 大 频率最高的 值 就 是 正 确 的 . , 多数 ” 也就是 出 现 次 数 最 多 的 那 个 数 , 但不一定 超过一半 .

2 0

数学通报          2 0 1 3年 第5 2卷 第1 1期 算术平均数是对最小二乘 德发明了最小 二 乘 法 . 法 最 简 单 的 解 释, 即对于一组观测数据x 使 i,

9  众数是非数字类型数据集中趋势的代表 还有一个众数 使 用 的 例 子 , 即关于选举的问 题. 在古希腊和意大利 , 选举机构已经作为一个基 本形式存在很 长 的 历 史 时 期 了 . 在原始的君主统 治时期 , 往往通 过 一 些 喧 闹 的 聚 会 来 记 录 他 们 的 随着政治的发展 , 这些国家已经牢固建立了 观点 . 政府行事采纳 大 多 数 人 意 愿 的 原 则 . 根据他们的 几乎 每 一 个 重 要 的 法 案 都 要 通 过 正 式 宪法规定 , 的投票来决定 . 由此可见 , 当一组数据呈现明显的集中趋势 时, 宜采用众数作为代表 , 并且众数还是测量非数 字类型的统计 量 . 由于非数字类型数据在现实生 因此 , 适当拓展众数的应用范 活中的普遍存在性 , 围是有 必 要 的 . 如美国 P e a r s o n P r e n t i c e H a l l出     , 版社 2 0 0 8 年 出 版 的 初 中 数 学 教 材 中 指 出, s a d , ,m , a d s a d 的众数是 s a d和 g l a d l a d l a d . g g 1 0  算术平均数到一组观测数据的距离之平方和 最小 ,中位数到一组观测数据的距离之和最小 早期的 数 学 家 对 天 文 学 和 测 地 1 8 世纪后期 , 学中观察误差数据的处理已经做出一些重要的工 作了 . 曾经一度 流 行 的 方 法 是 由 所 要 寻 找 的 估 计 值和测量的观 察 误 差 值 建 立 方 程 , 根据一个方程 解一个未知数的道理组合出未知数个数与方程个 由于总方程的系统比原始方程 数相等的方程 组 , 的系统更稳定 , 因此最后求出这样一个总方程组 得到真实值的估计值 . 大约 1 波斯科 的解 , 7 5 5年, 维奇 ( 在研究地球真 R. B o s c o v i c h, 1 7 1 1-1 7 8 7) 才指出上述研究方法的不 实形状的有关 问 题 时 ,
[1] 足, 并于 1 他对 7 6 0 年提出了最小一乘法准则 1 .

x -a) 达到最小的 a 是 这 组 数 据 的 算 术 平 ∑(




均数 . 可见 ,算术平均数到一组观测 数 据 的 距 离 之 平方和最小 ,中位数到一组观测数据的 距 离 之 和 最小 . 在最小二乘法中 , 体现了平均数是一组数据 平衡位置的物理特征 ; 在最小一乘法中 , 体现了中 位数的稳健性特征 . 综上所述 , 历史现象学为我们理解平均数 、 中 位数和众数概念提供了丰富的素材 . 然而 , 历史教 学现象学和教 学 现 象 学 却 是 不 同 的 , 其差异主要 而且他们 体现在学生缺 乏 相 关 的 历 史 背 景 知 识 , 也拥有了前人未知的一些知识 , 因此 , 在实际教学 教师需要遵循学生的认知发展规律 , 把历史现 中, 象转化为教学 现 象 , 采用自然的方式呈现所教的 知识 .
参考文献 数理统计学简史 [ 长沙 : 湖南教育出版社 , 1  陈希孺 . M] . 2 0 0 2 , 2  H a c k i n I .T h e E m e r e n c e o f P r o b a b i l i t .A P h i l o s o h i c a l         g g y p , o f E a r l I d e a s a b o u t P r o b a b i l i t I n d u c t i o n a n d S t a t i s t i S t u d           - y y y     : C c a l n f e r e n c e [M ] . C a m b r i d e a m b r i d e n i v e r s i t  I  U g g y , P r e s s 1 9 7 5 ,A.T 3 B a k k e r h e e a r l h i s t o r o f a v e r a e v a l u e s a n d i m l i c a           - y y g p     [ ] , t i o n s f o r e d u c a t i n o J . J o u r n a l o f S t a t i s t i c s E d u c a t i o n 2 0 0 3,           ( ) : 1 1 1 1-2 4 ,C.“ 4 E i s e n h a r t T h e d e v e l o m e n t o f t h e c o n c e t o f t h e b e s t               p p m e a n o f a s e t o f m e a s u r e m e n t s f r o m a n t i u i t t o t h e r e s e n t                   q y p   ” [ R] . 1 9 7 1 Am e r i c a n S t a t i s t i c a l A s s o c i a t i o n P r e s i d e n t i a l d a       y , , A d d r e s s u n u b l i s h e d m a n u s c r i t 1 9 7 4   p p ,A.& K , a k k e r o e n o P. E. A n h i s t o r i c a l o f 5 B h e n o m e n o l o     p g y   , m e a n a n d m e d i a n[ J] .E d u c a t i o a l S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s           ( ) : 2 0 0 6, 6 2 2 1 4 9–1 6 8 ,R.L. “ , 6  P l a c k e t t T h e o f t h e a r i t h m e t i c m e a n” r i n c i l e           p p [ S t u d i e s i n t h e H i s t o r o f S t a t i s t i c s a n d P r o b a b i l i t M] .V o l .             y y   , L : 1, e d s . E. P e a r s o n n d e n d a l l o n d o n  a  M. G. K , G r i f f i n 1 9 7 0 ,C.& K ,M.“ 7 T z a n a k i s o u r k o u l o s M a h i s t o r a n d h s i c s   y y p y     ?” r o v i d e a u s e f u l a i d f o r i n t r o d u c i n b a s i c s t a t i s t i c a l c o n c e t s               p g p   [ R] . P r o c . o f t h e H PM  S a t e l l i t e M e e t i n o f I CME-1 0  &t h e         g   4 t h S u mm e r U n i v e r s i t o n t h e H i s t o r a n d E i s t e m o l o i n           y y p g y       , S. K , A. M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n. F. F u r i n h e t t i a i s e r   g j ) ,U , V r e t b l a d( e d s s a l l a 2 0 0 4 p 九章算术译注 [ 上海 : 上海古籍出版社 , 8  郭书春 . M] . 2 0 0 9

一组观测值的最佳拟合直线方程附加了一个约束 条件 : 绝对误差 之 和 最 小 . 简 单 说, 即对于一组观 测 数据 x 使 i, 这就是最小 ∑ |x -a|达到最小 ,


一乘法 , 其中 a 是这组数据的中位数 . , 勒让德 (A.M. 不 L e e n d r e 1 7 5 2-1 8 3 3) g 而是考虑误差 是致力于找出 几 个 方 程 再 去 求 解 , 在整体上的平 衡 , 即不使误差过分集中在几个方 程内 , 而是让它们比较均匀地分布于各个方程 . 勒 “ 让德认为 : 赋予误差的平方和为最小 ,则 意 味 着 在这些误差间建立了一种均衡性 ,它阻止 了 极 端 情形所施加的 过 分 影 响 , 这非常好地适用于揭示
1 2]   ” 勒让 最接近真 实 情 形 的 系 统 状 态 [ . 1 8 0 5 年,

( 下转第 2 1 页)

2 0 1 3年 第5 2卷 第1 1 期           数学通报

2 1

圆锥曲线中的伴随曲线与相关点线问题再探讨
季福根
( ) 江苏南京市江浦高级中学 2 1 1 8 0 0

充分研究了曲线中的点与线的    高 考 命 题 中 , 位置和数量关系 . 在教学研究中 , 对曾经出现的一 以及一些相关命题的研究 , 些曲线与方程的讨论 , 能够对教学中的命题与解题教与学起到事半功倍 的效果 . ) 张元方 ( 研究 了 椭 圆 在 特 殊 情 况 下 的 一 2 0 1 2
] 1 , ) 个性质[ 李迪淼( 研究了圆锥曲线的几个伴 2 0 0 0 ] 2 随曲线[ 本文就一些相关问题再作进一步研究 . .

得  x 2=

2 2 2 2 ( a - b k) x a k y 0 +2 0 , 2 2 2 a+ bk 2 2 2 2 ( - a + b k) b k x y 0 +2 0 ; y 2= 2 2 2 a+ bk

从而求得
2 2 2 2 2 2   ( b a k  a a k x b k x y y 0- 0+ 0+ 0) k . A B= 2 2 2 2 2 2   a( bx ak bk bk  x y y 0+ 0+ 0- 0) 所以由方程 2 2 2 2 ) -( a k- b b k x y 0 -2 0 2 2 2 ak + b 2 2 2 2 2 2   ( b a k  a a k x b k x y y 0- 0+ 0+ 0) · = 2(2 2 2 2 2   a bx ak bk bk  x y y 0+ 0+ 0- 0)

1  点与点的伴随及伴随曲线
2 2 y , ( b>0) 上 命题一  P 是椭 圆x 2 + 2 =1 a> a b 任意一点 , 则动弦 P A, P B 是两 条 互 相 垂 直 的 弦,

  y-

A B 过定点 . , 证明   不失一般性 , 设 P( 且 x y 0, 0)
, P A: k( x-x y- y 0= 0) 1( , x-x 0) k

2 2 2 2 ( ) a k- b x a k y 0 -2 0 2 2 2 ak + b 对任意实数 k, 直线总过定点



x-



P B: y- y 0 =-

2 2     c x - c y 0 0 , , 2 2 2 2 a+ b a+ b 只与点 P( 有关 . x y 0, 0)

P ′





2 2 2 2   2  2 b x+ a a b y= , 解方程组  烄 烅 - = ( x-x y y 0 k 0) 烆 2 2 2 2 ( ) a k- b x a k y 0 -2 0 , 解得  x 1= 2 2 2 ak + b 2 2 2 2 ) -( a k- b b k x y 0 -2 0 ;   y 1= 2 2 2 ak + b

注: ( ) 如 果 P 取 遍 椭 圆 周 上 所 有 点, 得到 P 1 ′轨
2 2 2 2 c y 2 2 , 迹也为椭 圆x 其 中c =a - 2 2 2+ 2 = a+ b a b 2 , 即在此伴随方式下 , 两曲线为伴随曲线 . b





bx + ay = ab 烄 同理由方程组  烅 1( x-x y- y 0 =- 0) k 烆

2   2

2  2

2 2

( ) 当 P 在椭圆的左顶点时 , 就为 《 2 2 0 1 1 年无 》 锡市高三期末考试数学 中的第 1 8题. 类似地

( 上接第 2 0 页)
, A.D —O 9  B a k k e r e s i n R e s e a r c h i n S t a t i s t i c s E d u c a t i o n n         g ,T S m b o l i z i n a n d C o m u t e r T o o l s[ D] .P h. D. t h e s i s h e     y g p   ,U , I n i s t i t u t e t r e c h t 2 0 0 4 F r e u d e n t h a l   , 1 0 S t i l e r S.M. S t a t i s t i c s o n t h e T a b l e .T h e H i s t o r o f S t a           - g y   ,MA:H t i s t i c a l C o n c e t s a n d M e t h o d s[ M] . C a m b r i d e a r       - p g , v a r d U n i v e r s i t P r e s s 1 9 9 9   y  

,C.“ 1 1  E i s e n h a r t B o s c o v i c h a n d t h e c o m b i n a t i o n o f o b s e r v a           - ” , ) , t i o n s i n M. G. K e n d a l l a n d R. L. P l a c k e t t( e d s . S t u d i e s       i n t h e H i s t o r o f S t a t i s t i c s a n d P r o b a b i l i t M] .V o l .2,           y y[   , , C h a r l e s G r i f ? n L o n d o n 1 9 7 7   , t i l e r S.M. T h e H i s t o r o f S t a t i s t i c s . T h e M e a s u r e m e n t 1 2 S       g y   ,MA:H U n c e r t a i n t B e f o r e 1 9 0 0[ M] . C a m b r i d e a r v a r d o f     y g   , P r e s s 1 9 8 6 U n i v e r s i t y  


相关文章:
平均数的概念
平均数的概念_数学_小学教育_教育专区。《平均数的概念》教学设计 教学内容:人教...新教材更重视让学生理解平 均数的意义。基于这一认识,我在设计中突出了让学生...
平均数案例
平均数案例_数学_小学教育_教育专区。三年级下册《平均数》教学设计 实验小学 ...基于这一认识,我在设计中突出了让学生在具 体情境中体会为什么要学习平均数,...
平均数教学案例--市级优质课一等奖
平均数教学案例--市级优质课一等奖_初二数学_数学_初中教育_教育专区。《平均数...基于以上分析,可以确定本节课的教学重点为:理解数据的权和加权 平均数的概念. ...
《平均数》教学设计
平均数》教学设计 教学内容: 《义务教育课程标准实验教科书数学》三年级下册 ...基于这一认识, 我在设计中突出了让学生在具体情境中体会为什么要 学习平均数, ...
2期复习参考中学数学教与学2008年第11
谈谈人教版高中数学教材中的轨迹探究题/彭翕成//0127 教学设计基于数学史的平均数和中位数的教学案例设计/徐章韬//0128 考试研究高考数学复习要理顺 4 个方面的...
国家政策对中学数学教与学2008年第112期
谈谈人教版高中数学教材中的轨迹探究题/彭翕成//0127 教学设计基于数学史的平均数和中位数的教学案例设计/徐章韬//0128 考试研究高考数学复习要理顺 4 个方面的...
平均数教学实录
平均数教学实录_四年级数学_数学_小学教育_教育专区。《平均数》教学设计 教学...基于这一认识,我在设计中突出了让学 生在具体情境中体会为什么要学习平均数,...
平均数
基于“一个 主体的几次成绩”这样一组数据,求平均数,从数学角度毫无问题, 且优势明显。的确,在小朋友的生活经验中,“快慢”之经验十分丰 富。正因有了这一份...
平均数的说课稿
平均数的说课稿_其它课程_初中教育_教育专区。四年级数学下册《平均数》的说课稿。 一.教学内容 人教版小学数学四年级下册第 90 页《平均数》 二.教材分析 随着...
五年级数学下册《平均数的再认识》说课稿
五年级数学下册《平均数的再认识》说课稿 五年级数学下册《平均数的再认识》...基于这样的认识我们定 为: 知识目标:使学生进一步理解平均数的含义,掌握求算术...
更多相关标签: