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《二倍角的正弦、余弦、正切公式》的教案 使用


单县一中

高中数学学科教案

2011.04.14

《3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案
单县一中 教学目标: 1、知识与技能: (1)掌握 S2? , C2? , T2? 公式的推导,明确 ? 的取值范围。
(2)能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。

朱瑞朋<

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2011.04.14

2、过程与方法: (1)通过公式的推导,了解它们的内在联系,培养学生的类比推理能力,自主探究的学习能力。 (2)通过综合运用公式,掌握有关技巧,提高分析问题、解决问题的能力。 3、情感、态度与价值观:让学生自己由和角公式导出倍角公式,领会从“一般”化归为“特殊”的数学思想,
体会公式所蕴含的和谐美,激发学生学习数学的兴趣;引导学生发现数学规律,培养学生思维 的严密性与科学性等思维品质。

教学重点:二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形,二倍角公式的简单应用。 教学难点:二倍角公式,用单角的三角函数表示二倍角的三角函数,二倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关 系式、诱导公式、和角公式的综合应用。 教学方法:类比启发探究式教学方法 教学用具:ppt 课件、学案等。 教学过程:

一、复习旧知,导入新课: (1)默写“两角差”的正弦、余弦、正切公式:
S?? ?? ? : sin ?? ? ? ? ? C?? ?? ? : cos ?? ? ? ? ?
T?? ? ? ? : tan ?? ? ? ? ?
;注: 令? ? ?? 可得 S?? ?? ? : sin ?? ? ? ? ? ; .

C?? ?? ? : cos ?? ? ? ? ?
T?? ? ? ? : tan ?? ? ? ? ?

提示:注意公式的使用范围。 处理方式:让学生默写公式及回答变形公式,目的是让学生熟悉学习过的公式;并让学生自主探究问题,使学生亲身 经历公式的探索过程

问题探究:你能类比两角和的三角函数公式的推导方法,利用S?? ? ? ?、C?? ? ? ?、T?? ? ? ?推导出 sin 2? , cos 2? , tan 2?的公式吗?

二、探究新知、学习新课:
1. 学生自主推导“二倍角”公式:

S 2? : sin 2? = T2? : tan 2? =

C2? : cos 2? =

处理方式:让学生自主完成,学生经过自主思考,发现倍角是和角的特殊情况,从而推导出公式。 师说:这些公式就是我们这节课所要研究的《二倍角的正弦、余弦、正切公式》。 点名课题,然后师生共同给出二倍角公式,板书二倍角公式(同时用课件展示公式):

1

单县一中

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sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
※ 在公式 C2? 中,由于 sin ? ? cos ? ? 1 ,则 C2? 变形为:
2 2

= 提示:注意每个公式的适用范围。

cos 2? =

注意以下三个问题:
(1)公式中的角 ? 是否是任意角? (2) 二倍角公式的作用: 用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数,它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互 化问题。 (3)“二倍角”的广义理解:要理解“二倍角”的含义,即当 ? ? 2? 时, ? 就是 ? 的二倍角, ? 叫做单角。凡是符合二 倍角关系的就可以应用二倍角公式。 师生共同总结,注意以下三点: (1) 上述公式都叫做倍角公式(此处“倍角”专指“二倍角”,遇到三倍角时,“三”字不能省略),它给出了 ? 的三角函数与 2? 的三角函数之间的关系; (2) “倍”是描述两个数量之间关系的, 2? 是 ? 的 2 倍, 4? 是 2? 的 2 倍, 等,这里蕴含着换元的思想; (3) 注意各公式的特点及作用,要注意公式 tan 2? ?

? ? ? ? 是 的 2 倍, 是 的 2 倍等 2 4 8 16

2 tan ? 的使用条件; 1 ? tan 2 ?

2 tan ? 使用条件: tan ? ? ?1且 tan ? 和 tan 2? 都有意义。 1 ? tan 2 ? ? ? k? ? 即? ? k? ? 且? ? k? + 且? ? + (k ? Z ) 4 2 2 4 ? k? ? 即? ? k? + 且? ? + (k ? Z )时才成立,否则不成立。 2 2 4 tan 2? ?
(4) 注意公式的逆用。 写出 S2? , C2? , T2? 公式的以下变形公式:

sin 2? ? 2sin ? cos ?的变形公式为: sin ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ; sin ? ? ? ? ? ? ? ? ; cos ? ? ? ? ? ? ?

cos 2? ? 2cos2 ? ?1变形公式为: cos2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?,1 ? cos 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? 变形公式为: sin 2 ? ? ? ? ? ? ??,1 ? cos 2? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 tan ? tan ? 的变形公式为 ? ?????????? 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?
? ?

--(特点是:降幂升角;降角升幂)

tan 2? ?

2、公式的简单应用 练习1:求值(口答) (1)2sin15 cos15 (2) sin 22.5 cos 22.5
2
? ?

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(3) cos
2

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2 ? 2 ?

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?
8

? sin 2

?
8

(4) 1 ? 2sin 75 (5) 1 ? 2cos 75 (8) cos
2

2 tan 75? 1 ? tan 2 75?

tan15? (7) 1 ? tan 2 15?

5? ? ? sin 2 12 8

处理方式:让学生口答,加强学生的记忆,注意公式的特点及公式的逆向应用。

三、知识应用
例1、 已知 sin 2? ?

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? ,cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

分析:已知条件给出了2?的正弦值。由于4?是2?的二倍角,因此可以考虑用倍角公式
在应用公式时要注意角的取值范围。

12 5 ?5? , 所以 cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 1 ? ? ? ? ? . 解:由 ? ? ? , 得 ? 2? ? ? .又因为 sin 2? ? 4 2 2 13 13 ? 13 ?
于是 sin 4? ? 2sin 2? cos 2? ? 2 ?

?

?

?

2

5 ? 12 ? 120 ? 5 ? 119 ; cos 4? ? 1 ? 2sin 2 2? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ??? ? ? ? 13 ? 13 ? 169 ? 13 ? 169

2

120 ? sin 4? 120 tan 4? ? ? 169 ? ? 119 cos 4? 119 169
思考:还有其他方法吗?

分析: sin 2? ? cos 4? ? sin 4? ? tan 4? 5 119 ? 5 ? 解: sin 2? ? ,? cos 4? ? 1 ? 2 sin 2 2? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 13 169 ? 13 ? 120 ? 119 ? ? ? ? 4? ? 2? ? sin 4? ? ? 1 ? cos 2 4? ? ? 1 ? ? ? ?? 4 2 169 ? 169 ? 120 ? sin 4? 120 tan 4? ? ? 169 ? ? 119 cos 4? 119 169 ?? ?
处理方式:先让学生思考后回答,教师结合课件细致讲解例1;在求 cos 2? 的值时,要讲清楚用同角三角函数的基本 关系式求值时,要注意角的取值范围。 课内练习2:已知 cos
2

?

?

2

?

4 ? ? ? ? ? 且8? ? ? ? 12?,求 sin , cos , tan 的值。 8 5 4 4 4

处理方式:让一位同学板书,其余同学在练习本上独立完成,同时,课件展示出例1的解题过程;目的是让学生模仿, 规范答题;教师点评解答情况,如解题时注意角的范围等;同时也强化学生对公式的应用。

在?ABC中, cos A ? 例2:

提示:角(2A+2B)与角A,角B之间构成怎样的关系?在三角形中的隐含条件是:
3

4 , tan B ? 2, 求 tan ? 2 A ? 2 B ?的值。 5

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A ?? 0, ? ? , B ? ? 0, ? ? , C ? ? 0, ? ? , A ? B ? ? 0, ? ? , A ? C ? ? 0, ? ? , B ? C ? ? 0, ? ? , A ? B ? C ? ? , 可当已知条件使用
处理方式:结合课件师生共同分析解题思路(两种方法) ;然后让两位同学各用一种方法去板书;再用课件展示答案。 介绍两种方法,方法(一)是先求出 tan 2 A, tan 2 B ,再利用两角和的正切公式求出

?cos A ? sin A ? tan A ? tan 2 A? 思路一: ? ? ? tan(2 A ? 2B) ?tan B ? tan 2B ?
4 3 ?4? (法一)解:在?ABC中,由cosA= , 0 ? A ? ? , 得 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? ? ? ? 5 5 ?5? 3 3 2? sin A 5 3 2 tan A 4 ? 24 ? tan A ? ? ? ,? tan 2 A ? ? 2 4 3 cos A 4 1 ? tan A 1 ? ( ) 2 7 5 4 2 tan B 2? 2 4 tan B ? 2 ? tan (2 B) ? ? ?? 1 ? tan 2 B 1 ? 22 3 24 4 ? (? ) tan(2 A) ? tan(2 B) 3 ? 44 ? tan(2 A ? 2 B) ? ? 7 1 ? tan(2 A) ? tan(2 B) 1 ? 24 ? (? 4 ) 117 7 3
方法(二)是先求出 tan? A ? B ? ,再利用二倍角的正切公式求出。
2

?cos A ? sin A ? tan A? 思路二: ? ? ? tan( A ? B) ? tan(2 A ? 2B) ?tan B ?
4 3 ?4? (法二)解:在?ABC中,由cosA= , 0 ? A ? ? , 得 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? ? ? ? 5 5 ?5? 3 sin A 5 3 ? tan A ? ? ? , cos A 4 4 5 3 ?2 tan A ? tan B 11 tan B ? 2 ? tan( A ? B) ? ? 4 ?? 1 ? tan A ? tan B 1 ? 3 ? 2 2 4 11 2 ? (? ) 2 tan( A ? B) 2 ? 44 ? tan(2 A ? 2 B) ? tan ? ? ? 2( A ? B) ? ?? 2 1 ? tan ( A ? B) 1 ? ( ? 11) 2 117 2
点评: (1)你对已知角与未知角关系有怎样的研究方法?就会产生怎样的解法;同学们今后解题时要充分重视已知角 与未知角关系的研究
2

(2)在三角形的背景下研究问题,注意一些隐含条件,如 A ? ? 0, ? ? , B ? ? 0, ? ? , C ? ? 0, ? ? , A ? B ? ? 0, ? ? , A ? C ? ? 0, ? ? , B ? C ? ? 0, ? ? , A ? B ? C ? ?。

? 例2的变式引申:在例2的题目条件不变的情况下, 求tan2C的值。 (提示:要寻找?ABC中三个内角间的关系)
4

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四、巩固练习: (一)课堂练习:
1 ?? ? ) , 则 sin? ? 2? ?等于 ( 3 ?2 ? 9 7 9 7 A、 B、 C、 ? D、 ? 7 9 7 9 2、函数y ? sin x cos x cos 2 x是( ? ? ? ) ? (A)周期为 的奇函数;(B)周期为?的奇函数 2 ? (C)周期为 的偶函数;(D)周期为?的偶函数 2
1、已知 sin ? ? (二)课下能力提升练习

1 , 则 sin 2? ? -------------3 4 ? ? ? 2、已知 x ? ? ? ,0 ?, cos x ? , 则 tan 2 x =-------------------5 ? 2 ?
1、 sin ? ? cos ? ? 3(求值) (1) sin 15 cos75 ? 4、已知 cos? ?
? ?

(2) sin

4

?
8

? cos 4

?
8

?

5 ? 3? ? , ? ? ? ,2? ? ,求 cos 2? , tan 2? 的值。 13 ? 2 ? 5 ? 3? ? sin 3? 的值 , ? ? ? ,2? ? ,求 cos3? , tan 3?, 13 ? 2 ?

(三)思维拓展:已知 cos? ?

提示: 3? ? ? ? 2?,并且3? 是?的三倍角

五、课堂小结:
1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导及其应用,要熟记公式并要注意角的范围。 2、要注意公式正 用 、逆用、变形用

1 sin 2? sin 2? sin 2? ? 2sin ? cos ?的变形公式为:(1)sin ? cos ? ? sin 2?;(2)sin ? ? ;(3)cos ? ? 2 2 cos ? 2sin ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?由于 cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1则 cos 2? 又有下列重要的变形 1 ? cos 2? ( , 2) 1 ? cos 2? ? 2 cos 2 ? 2 1 ? cos 2? ? (二) cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ?的变形公式为:(1) sin 2 ? ? ( , 2) 1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? 2 ??????????????????????????? (特点是 : 降幂升角;降角升幂) ? (一) cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1的变形公式为:(1) cos 2 ? ? tan 2? ? 2 tan ? tan ? 1 的变形公式为 ? tan 2? 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan ? 2

3.本课涉及的思想方法: (1)类比思想; (2)换元思想。 六、布置作业:
1、教材第 138 页习题 3.1 A 组的第 14 题,第 15 题,第 16 题,第 17 题.
5

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七、板书设计

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、二倍角公式及变形公式 三、例 2 四、练习、小结与作业

二、例 1

八、教学心得与反思:(上过课后书写)

备选题目
1、已知 sin ? ?
5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin2?,cos2?,tan2?的值。 13 2

2、已知 sin(

?
4

? ? ) sin(

?
4

??) ?

1 ? , ? ? ( , ? ), 求 sin 4? 的值。 6 2

6


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