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高一数学必修二成才之路本册综合能力检测


必修二综合能力检测
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.直线 3x+ 3y-1=0 的倾斜角为( A.60° B.30° ) C.120° D.150°

[答案] C 斜率 k=- 3,由 tanα= 3,0° <α<90° 知 α=60° ,∴倾斜角为 180° -60° =120° . 2.设 E

、F、G 分别为四面体 ABCD 的棱 BC、CD、DA 的中点,则此四面体中与过 E、F、G 的截面平行的棱 有( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条

[答案] C[解析] 如图,显见 EF 是△BCD 中位线,BD∥EF, ∴BD∥平面 EFG,同理 AC∥平面 EFG. 3.直线 3x+4y-13=0 与圆(x-2)2+(y-3)2=1 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.相切 ) D.无法判定

[答案] C[解析] 圆心(2,3)到直线 3x+4y-13=0 的距离 d=1,圆半径为 1,∴直线与圆相切. 4.已知 A(0,8),B(-4,0),C(m,-4)三点共线,则实数 m 的值是( A.-6 B.-2 C.2 ∴m=-6.故选 A. ) ) D.6

8-0 0+4 [答案] A[解析] kAB= =2,kBC= ∵k =k 0+4 -4-m AB BC

5.已知 m、n 是两条不同直线,α、β、γ 是三个不同平面.下列命题中正确的是( A.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n D.若 m∥α,m∥β,则 α∥β

[答案] B[解析] 如图(1)α∩β=l,l⊥γ,则 α⊥γ,β⊥γ,故 A 错;由线面垂直的性质知 B 正确; 如图(2)β∥α,m?β,n?β,则 m∥α,n∥α,但 m 与 n 可相交,故 C 错; 如图(3),α∩β=l,m?α,m?β,m∥l,有 m∥α,m∥β,∴D 错. 6.下列说法中正确的个数有( )

①两平面平行,夹在两平面间的平行线段相等; ②两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行; ③两条直线被三个平行平面所截,截得的线段对应成比例; ④如果夹在两平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面平行. A.1 个 [答案] B [解析] ①②可类比夹在平行线间的线段.①正确,如图(一),∵AB∥CD,∴AB 与 CD 确定一个平面 γ,γ∩α =AC,γ∩β=BD,而 α∥β,∴AC∥BD,∴四边形 ABDC 是平行四边形,∴AB=CD; ②错,如图(一)设 C 在 β 内射影为 O,以 O 为底面圆心,CD 为母线的圆锥任一母线长度都等于 AB,但只在 CD 位置,有 AB∥CD; B.2 个 C.3 个 D.4 个

③正确,如图(二)平面 α∥β∥γ,直线 l1 与三个平面交于 A、B、C,l2 与三个平面交于 D、E、F,连结 AF 交 β AB AM DE 于 M(或连结 DC),则由平行平面的性质及相似三角形知识有: = = ;也可过 A 作直线 l∥l2 分别交 β,α 于 BC MF EF AB AK DE K,S,同理 = = (或过 B,C 作直线与 l2 平行,或过 D、E、F 中任一点作直线与 l1 平行均可).(可类比平行 BC KS EF 线截得比例线段定理); ④错,如图(三),∵AB 綊 CD 綊 EF, ∴四边形 ABDC,CDFE,ABFE 均为平行四边形,从而 AC∥BD,CE∥DF, ∴AC∥α,CE∥α,又 AC∩CE=C,∴β∥α. 但在图(四)情形下 A1C1 綊 A2C2 綊 AC,但两平面 ABB1A1 与 BCC1B1 相交. 7.若 a>0,b<0,c<0,则直线 ax+by+c=0 必不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.第四象限

[答案] B[解析] 直线 ax+by+c=0 化为截距式为 y c c + =1∵a>0,b<0,c<0,∴- >0,- <0,故直线过一、三、四象限,故选 B. c c a b - - a b 8.三条直线 l1:x-y=0;l2:x+y-2=0;l3:5x-ky-15=0 围成一个三角形,则 k 的取值范围( A.k≠± 5 且 k≠1 C.k≠± 1 且 k≠0 [答案] B [解析] l1 与 l2 相交,交点 P(1,1),若围成三角形,则 P 不在 l3 上,∴5-k-15≠0,∴k≠-10; 5 -k 5 -k 由 l3∥l1,即 = ,∴k=5,由 l3∥l2,即 = ,∴k=-5. 1 -1 1 1 因此欲围成三角形,则 k≠± 5 且 k≠-10,∴选 B. 9.若圆心在 x 轴上,半径为 5的圆 C 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 C 的方程是( A.(x- 5)2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5 B.(x+ 5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5 |a| ,∴|a|=5,a<0,∴a=-5,∴方程为(x+5)2+y2=5. 5 ) ) B.k≠± 5 且 k≠-10 D.k≠± 5 ) x

[答案] D[解析] 设圆心 C(a,0),由题意 r= 5=

10.直线 y=kx+3 与圆(x-3)2+(y-2)2=4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 3,则 k 的取值范围是( 3 A.[- ,0] 4 C.[- 3 3 , ] 3 3 3 B.(-∞,- ]∪[0,+∞) 4 2 D.[- ,0] 3

[答案] A[解析] 如图,设 MN 中点为 H,连 CH,CN,则△CHN 为 Rt△,又 HN≥ 3.R=2,故 CH≤1. 由圆心到直线的距离等于 CH 可得: |3k+1|
2

3 3 ≤1.解得- ≤k≤0,故斜率范围是[- ,0],选 A. 4 4 k +1

11.在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,过对角线 BD′的一个平面交 AA′于 E、交 CC′于 F,则以下结论 中错误的是( )

A.四边形 BFD′E 一定是平行四边形

B.四边形 BFD′E 有可能是正方形 C.四边形 BFD′E 有可能是菱形 D.四边形 BFD′E 在底面投影一定是正方形 [答案] B [解析] 平面 BFD′E 与相互平行的平面 BCC′B′及 ADD′A′交线 BF∥D′E, 同理 BE∥D′F, 故 A 正确.

特别当 E、F 分别为棱 AA′、CC′中点时,BE=ED′=BF=FD′,四边形为菱形,其在底面 ABCD 内的投 影为正方形 ABCD,∴选 B. 12.如图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面△ABC 中,∠A=90° ,且 BC1⊥AC,过 C1 作 C1H⊥底面 ABC, 垂足为 H,则点 H 在( A.直线 AC 上 C.直线 BC 上 [答案] B ) B.直线 AB 上 D.△ABC 内部

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底 a 面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=__________. 3 [答案] 2 2 a[解析] 上、下底面平行与截面相交的交线 PQ∥MN,又 MN∥A1C1∥AC,∴PQ∥AC, 3

2a 2a 2 2 ∵DP= ,∴DQ= ,∴PQ= a. 3 3 3 14.与直线 2x+3y+5=0 平行,且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是________. [答案] 10x+15y-36=0[解析] 设方程为 2x+3y+m=0 m m 36 由已知得:- - =6 ∴m=- 方程为 10x+15y-36=0. 3 2 5

15.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列结论: (1)若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β; (2)若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; (3)设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直;

(4)直线 l 与 α 垂直等价于 l 与 α 内的两条直线垂直. 其中正确结论的序号是________. [答案] (1)(2) [解析] (1)若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线, 则 α∥β 是正确的; (2)由线面平行判定定理知(2) 正确;(3)由 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,不能推出 α 和 β 垂直;(3)不正确;(4)直线 l 与 α 垂直 能够推出 l 与 α 内的两条直线垂直,而 l 与 α 内的两条直线垂直不能推出直线 l 与 α 垂直,∴(4)不正确. 16.(2010· 浙江理,12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是________cm3. [答案] 144 [解析] 由三视图知,该几何体是一个正四棱台和一个正四棱柱的组合体, 四棱台下底面边长为 8,上底面边长为 4,高为 3,上面正四棱柱底面边长为 4, 1 高为 2,则体积为 V= (42+82+4×8)×3+4×4×2=144cm3. 3 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)如图所示,已知 A(1,3),B(-1,-1),C(2,1).求△ABC 的 BC 边上的高所在的直线方 程. 1-(-1) 2 1 3 [解析] 设 BC 边上的高为 AD,∵kBC= = ,∴kAD=- =- , kBC 2 2-(-1) 3 3 ∴高线 AD 所在直线方程为 y-3=- (x-1)即 3x+2y-9=0. 2 18.(本小题满分 12 分)如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q 分别是 AD1、BD 上的点,且 AP=BQ, 求证:PQ∥平面 DCC1D1. [解析] 解法 1:过 P 作 PM∥AD 交 D1D 于 M,过 Q 作 QN∥BC 交 CD 于 N.∵正方体中 AP=BQ,∴D1P=DQ, PM D1P DQ QN QN 由作法知: = = = = , AD D1A DB BC AD ∴PM=QN,又 PM∥QN,∴四边形 PQNM 为平行四边形,∴PQ∥MN,又 PQ?平面 CDD1C1,MN?平面 CDD1C1,∴PQ∥平面 DCC1D1. 解法 2:过 P 作 PK∥D1D 交 AD 于 K,连 QK,可证平面 PQK∥平面 DCC1D1,于是 PQ∥平面 DCC1D1. 解法 3:连结 AQ 并延长交直线 CD 于 E,可证 PQ∥D1E 得证. 19.(本小题满分 12 分)(09~10 学年湖南邵阳市高一期末)已知圆 C:(x-1)2+y2=9 内有一点 P(2,2),过点 P 作 直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. (1)当直线 l 过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当直线 l 的倾斜角为 45° 时,求弦 AB 的长. [解析] (1)圆心 C(1,0),因为直线 l 过点 P(2,2)与圆心,所以直线 l 的方程为 0. (2)直线 l 的方程为:x-y=0 圆心到直线 l 的距离 d= 又圆的半径 r=3,∴弦 AB 的长=2 r2-d2=2 |1-0| 2 = , 2 2 y-0 x-1 = ,化简得:2x-y-2= 2-0 2-1

1 9- = 34. 2

20.(本小题满分 12 分)直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 a 的值; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零,当然相等 a-2 ∴a=2,方程即 3x+y=0;若 a≠2,则 =a-2,即 a+1=1 a+1 ∴a=0 即方程为 x+y+2=0,∴a 的值为 0 或 2.

? ? ? ?a+1=0 (2)∵过原点时,y=-3x 经过第二象限不合题意,∴直线不过原点,故? 或?a-2 ?a-2<0 >0 ? ?
a-2<0

?a+1

∴a≤-1. 21.(本小题满分 12 分)如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB 1 1 =90° ,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 2 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (3)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥平面 CDE. [解析] (1)由题设知, 1 1 FG=GA,FH=HD,所以 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD,故 GH 綊 BC, 2 2 所以四边形 BCHG 是平行四边形. 1 (2)C、D、F、E 四点共面.理由如下:由 BE 綊 AF,G 是 FA 的中点知,BE 綊 GF, 2 所以 EF∥BG,由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共面. 又点 D 直线 FH 上,所以 C、D、F、E 四点共面. (3)连结 EG,由 AB=BE,BE 綊 AG,及∠BAG=90° 知 ABEG 是正方形, 故 BG⊥EA.由题设知,FA、AD、AB 两两垂直,故 AD⊥平面 FABE, ∴BG⊥AD,∴BG⊥平面 ADE,∴BG⊥ED. 又 EC∩EA=E,所以 BG⊥平面 ADE. 由(1)知,CH∥BG,所以 CH⊥平面 ADE.由(2)知 F∈平面 CDE,故 CH?平面 CDE,得平面 ADE⊥平面 CDE.

22.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=4,AB =2.以 BD 的中点 O 为球心、BD 为直径的球面交 PD 于点 M. (1)求证:平面 ABM⊥平面 PCD; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角的正切值; (3)求点 O 到平面 ABM 的距离. [解析] (1)证明:依题设,M 在以 BD 为直径的球面上,则 BM⊥PD.

因为 PA⊥平面 ABCD,则 PA⊥AB,又 AB⊥AD. 所以 AB⊥平面 PAD,则 AB⊥PD,因此有 PD⊥平面 ABM, 所以平面 ABM⊥平面 PCD. (2)设平面 ABM 与 PC 交于点 N,因为 AB∥CD,所以 AB∥平面 PCD,则 AB∥MN∥CD, 由(1)知,PD⊥平面 ABM,则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影 PD ∴∠PNM 就是 PC 与平面 ABM 所成的角,且∠PNM=∠PCD,tan∠PNM=tan∠PCD= =2 2. DC (3)因为 O 是 BD 的中点,则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半. 由(1)知,PD⊥平面 ABM 于 M, 则|DM|就是 D 点到平面 ABM 的距离. 因为在 Rt△PAD 中,PA=AD=4,PD⊥AM, 所以 M 为 PD 中点,DM=2 2, 则 O 点到平面 ABM 的距离等于 2.


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