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数学必修一、必修三、必修五期末检测试卷(一)


数学必修一、必修三、必修五期末检测试卷(一)

第一部分选择题(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 M ? x 0 ? x ? 3 , N ? x x ? 2k ? 1, k ? Z , 则图中阴影部分表示的集合是 ( * ) A. ?

C. ? ,3? 1 B. ? ? 1 D. ?0,1,3?

?

?

?

?

M

N

2.下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是( *** )
1

A. y ? x

3

B. y ? x

2

C. y ? x 2

D. y ? x ( * )

?2

3.下列对一组数据的分析,不正确的说法是

A.数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定. B.数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 C.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定 2 4.函数 f(x)=lnx- 的零点一定位于区间( ) x 1 A.( ,1)

e

B.(1,2)

C.(2,e)

D.(e,3)

5.一个不透明的盒子里有质地、大小完全相同的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,甲、 乙两人玩一种游戏: 甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号, 如果 两个编号的和为偶数算甲赢, 否则算乙赢.那么甲赢的概率是( * ) A.

13 25

B.

12 25

C.

1 2

D.以上均不对

6.右图是 2006 年中央电视台举办的挑战主持人大 赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数 和方差分别为( * ). A. 84 , 4.84 B. 84 , 1.6 C. 85 , 1.6 D. 85 , 4 7.右图给出的是计算

7 9 8 4 4 64 7 4 9 3

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 的值的一个 2 4 6 16
C. i ? 16 D. i ? 16

程序框图,其中判断框内应填入的条件是 ( * ) A. i ? 8 B. i ? 8 8.在等比数列 {an} 中, a5 a7 ? 2, a2 ? a10 ? 3, 则

a12 =( * ) a4

第7题

A.2 C.2 或

B.

1 2 1 2


1 2
2

D.-2 或 -

9. 已知函数 f ( x ) ? x ? bx ? c ,且 f (?3) ? f (1) .则( *

A. f (1) ? c ? f ( ?1) C. f (1) ? f ( ?1) ? c
x

B. f (1) ? c ? f ( ?1) D. f (1) ? f ( ?1) ? c
x

10.若函数 f ( x ) ? ?a ? 2 与 f ( x) ? 4 ? a ? 1 的图象有交点,则 a 的取值范围是( * )

A.
C.

a ?2?2 2 或 a ?2?2 2 ?1 ? a ? 2 ? 2 2

B. D.

a ? ?1
a ?2?2 2

第二部分非选择题 (共 100 分)
二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 把答案填在答卷的相应位置. 11. 计算: log 3

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7log7 2 ? (?9.8)0 =***** .

12.某高中高一、高二、高三在校学生人数分别为 900 、1000 、1100 ,现要从中抽取 120 名学生参加周末公益活动,若用分层抽样的方法,则高三年级应抽取 *****人. 13.设 f (x) 是定义在R上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (?2) ? *** .

14.已知等差数列 ?a n ? 中, a2 ? 6, a5 ? 15 ,若 bn ? a2 n ,则数列 ?bn ?的前5项和等于***. 15.函数 y ?

log 1 (4 x ? 3) 的定义域是 *** .
2

16.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰 是由 6 颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰如图 2, 第四 件首饰如图 3, 第五件首饰如图 4, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 , 按 照 这 种 规 律 增 加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六变形,依 此推断第 n件首饰所用珠宝数 为 *****颗.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.ks5u 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?为等差数列,且 a1 ? 2 , a1 ? a2 ? a3
a

? 12 .

(1) 求数列 ?a n ?的通项公式; (2) 令 bn ? 3 n ,求证:数列 ?bn ?是等比数列.

(3)令 cn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n . an an ?1

18. (本小题满分 12 分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其某科 成绩(是不小于 40 不大于 100 的整数)分成六 段 ?40,50 ? ,?50,60 ? … ?90,100 ? 后画出如下频率 分布直方图,根据图形中所给的信息,回答以下 问题: (1)求第四小组 ? 70,80 ? 的频率. (2)求样本的众数. (3) 观察频率分布直方图图形的信息,估计 这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平 均分.

19. (本小题满分 12 分)已知:函数 f ( x) 是 R 上的增函数,且过 (?3,?1) 和 (1,2) 两点,集合 A ? ? x | f ( x) ? ?1或f ( x) ? 2? ,关于 x 的不等

1 式 ( )2 x ? 2? a ? x (a ?R) 的解集为 B . 2
(1)求集合 A; (2)求使 A ? B ? B 成立的实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 10 分)设 f (x) ? 4 x ? 4ax ? 3a ? 4(a ? R) ,若方程 f ( x) ? 0 有两个
2

均小于 2 的不同的实数根,则此时关于 x 的不等式 (a ? 1) x ? ax ? a ? 1 ? 0 是否对一切实
2

数 x 都成立?并说明理由。 21. (本小题满分 12 分)已知甲、乙两个工厂在今年的 1 月份的利润都是 6 万,且乙厂在 2 月份的利润是 8 万元.若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份 x 之间的函数关系式分别

3 符合下列函数模型:f(x)=a1x2—4x+6,g(x)=a2 ? +b2(a1,a2,b2∈R).
x

(1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式; (2)求甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润; (3)在同一直角坐标系下画出函数 f(x)与 g(x)的草图,并根据草图比较今年 1—10 月份甲、 乙两个工厂的利润的大小情况.

22. (本小题满分 12 分)设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,已知 S1 ? 1 , 数, c ? 1, n ? N ),且 a1 , a 2 , a3 成等差数列. (1) 求 c 的值; (2) 求数列 ?a n ?的通项公式; (3) 若数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为 c 的等比数列,记
?

Sn ?1 n ? c ( c 为常 ? Sn n

An ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? ? ? an bn , Bn ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? ? ? ?? 1? an bn , n ? N ?
n ?1

? .求证: A2 n ? 3B2 n ? ?4 , n ? N ). (

数学必修一、必修三、必修五期末检测试卷

答案
一、选择题:一、C DBCA 二、填空题:11. 三、解答题 17.解. (1)∵数列 ?a n ?为等差数列,设公差为 d , 由 a1 ? 2, a1 ? a 2 ? a3 ? 12 ,得 3a 2 ? 12 , a 2 ? 4 , ∴d ? 2, …………………… 3 分 …………………… 4 分 …………………… 5 分 ……ks5u………… 1 分 C ACBD 12.44; 13.0; 14.90; 15.; ?

13 ; 2

?3 ? ,1? ; 16. 2n2 ? n ?4 ?

an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n .
(2)∵ bn ? 3 ∴
an

? 32 n ? 9 n ,


bn ?1 9 n ?1 ? n ?9 bn 9

…………………… 6 分

∴数列 ?bn ?是首项为 9,公比为 9 的等比数列 . (3)∵ cn ?

…………………… 8 分

1 , an ? 2n , an an ?1
…………ks5u… 10 分



cn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) 2n ? 2(n ? 1) 4 n n ? 1

∴ Sn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ? ) ? (1 ? ) ……… 12 分 4 2 4 2 3 4 n n ?1 4 n ?1

18.解: (1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率:

f 4 ? 1 ? (0.025 ? 0.015 ? 2 ? 0.01 ? 0.005) ?10 ? 0.3
(2)样本的众数是 75. (3)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为 (0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75 所以,抽样学生成绩的及格率是 75 %..

利用组中值估算抽样学生的平均分 45 ? f1 ? 55 ? f 2 ? 65 ? f3 ? 75 ? f 4 ? 85 ? f5 ? 95 ? f 6 = 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 =71 估计这次考试的平均分是 71 分 19. 解:由 A ? ? x ? 1 ? f ( x)或f ( x) ? 2} 得 f (?3) ? f ( x)或f ( x) ? f (1)
解得 x ? ?3或x ? 1 ,于是

A ? (??, ?3) ? (1, ??)

4分

又(

1 2x 1 1 ) ? 2? a ? x ? ( ) 2 x ? ( ) a ? x ? 2 x ? a ? x ? x ? a , 2 2 2
8分

所以 B ? (??, a) 因为

A ? B ? B, 所以B ? A ,所以 a ? ?3 ,
12 分

即 a 的取值范围是 (??, ?3] .

?? ? 16a 2 ? 16(3a ? 4) ? 0 ? ?a 20 解: 由题意得 ? ? 2 ?2 ? f (2) ? 16 ? 8a ? 3a ? 4 ? 0 ? 得 a ? ?1 ; ……………………5 分
2

…………ks5u……3 分

若 (a ? 1) x ? ax ? a ? 1 ? 0 对任意实数 x 都成立,则有: (1)若 a ? 1=0,即 a ? ?1,则不等式化为 x ? 2 ? 0 不合题意……………………6 分 (2)若 a ? 1 ? 0,则有 ?

?a ? 1 ? 0
2 ?a ? 4(a ? 1)( a ? 1) ? 0

……………………8 分

得a ? ?

2 3 , 3

…………………9 分

综上可知,只有在 a ? ?
2

2 3 2 时, (a ? 1) x ? ax ? a ? 1 ? 0 才对任意实数 x 都成立。 3
……………10 分

∴这时 (a ? 1) x ? ax ? a ? 1 ? 0 不对任意实数 x 都成立

21.解:(1)依题意:由 f(1)=6,解得:a1=4, ∴f(x)=4x2-4x+6.
?g?1?=6 ?3a2+b2=6 ? ? 由? ,有? , ? ? ?g?2?=8 ?9a2+b2=8

1 解得 a2= ,b2=5, 3

1 - ∴g(x)= ×3x+5=3x 1+5. 3

(2)由(1)知甲厂在今年 5 月份的利润为 f(5)=86 万元,乙厂在今年 5 月份的利润为 g(5)=86 万元,故有 f(5)=g(5),即甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润相等.

(3)作函数图像如下:

从图中可以看出今年 1—10 月份甲、乙两个工厂的利润: 当 x=1 或 x=5 时,有 f(x)=g(x); 当 1<x<5 时,有 f(x)>g(x); 当 5<x≤10 时, 有 f(x)<g(x). 22.解:(1)∵ S1 ? 1 ,

Sn ?1 n ? c c ,∴ an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? Sn , ? Sn n n c c ∴ a1 ? S1 ? 1, a2 ? cS1 ? c, a3 ? S2 ? (1 ? c) . 2 2 c(1 ? c) ∵ a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ 2a2 ? a1 ? a3 ,即 2c ? 1 ? ,∴ c 2 ? 3c ? 2 ? 0 . 2 解得 c ? 2 ,或 c ? 1 (舍去) .…………4 分
2 ) ∵



S1 ? 1



Sn ?1 n ? 2 ? Sn n





Sn ? S1 ?

S S2 3 4 n ? 1 n(n ? 1) ? ? ? n ? 1? ? ? ? ? ? (n ? 2) , S1 Sn ?1 1 2 n ?1 2

∴ an ? Sn ? Sn ?1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) ? ? n(n ? 2) ,ks5u 2 2

又 a1 ? 1 ,∴数列 ?an ? 的通项公式是 an ? n(n ? N? ) .…………7 分 (3)证明:∵数列 ?bn ? 是首项为1,公比为 c ? 2 的等比数列,∴ bn ? 2n ?1 . 又 an ? n(n ? N? ) ,所以

A2 n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ? ? 2n ? 22 n?1 B2 n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ? ? 2n ? 22 n ?1
1 2 2n 将①乘以 2 得: 2 A2 n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2n ? 2

① ② ③

①-③得: ? A2 n ? 2 ? 2 ? ? ? 2
0 1

2 n ?1

? 2n ? 2 2 n ?

1(1 ? 22 n ) ? 2n ? 2 2 n , 1? 2

整理得: A2 n ? 4n (2n ? 1) ? 1 将②乘以 ?2 得: ②-④整理得:

?2 B2 n ? ?1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? 22 n



3B2 n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
0 1 2

2 n ?1

1(1 ? 22 n ) 1 ? 4n 2n ? 2n ? 2 ? ? 2n ? 2 ? ? 2n ? 4 n 1 ? (?2) 3
2n



4 A2 n ? 3B2 n ? (1 ? 4n ) 3 4 4 ? A2 n ? 3B2 n ? (1 ? 4n ) ? (1 ? 41 ) ? ?4 …ks5u…12 3 3


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