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湖州市2014年高一数学竞赛卷答案


2014 湖州市高一数学竞赛卷答案
一、选择题(每小题 6 分,共 48 分) 1.已知集合 A ? ? x x ? Z且

(2014.5.18)

? ?

3 ? ? Z ? ,则集合 A 中的元素个数为( C ) 2? x ?
C. 4 D.5

A.2 线

r />B.3

2. 已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列不等式中,正确的是 A. log 2 a ? 0 C. 2 b
a b ? a



D



B. 2

a ?b

?

1 2

?4

D. log 2 a ? log 2 b ? ?2

3. 将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移

?
4

个单位,再向上平移 1 个单位后得到 C )

准考证号



的函数对应的表达式为 y ? 2 sin x ,则函数 f ( x) 的表达式可以是 (
2

A. 2 sin x C. sin 2 x 4.下列函数中,与函数 f ( x ) ? 2 x ?1 ? A. y ? e
x

B. 2 cos x D. cos 2 x

1 的奇偶性、单调性均相同的是( B ) 2 x ?1

B. y ? ln( x ?
2

x 2 ? 1)

C. y ? x

D. y ? tan x
?

姓名

5.在 ?ABC 中,点 M 是 BC 中点.若 ?A ? 120 , AB ? AC ? ? 则 AM 的最小值是

??? ? ????

???? ?

1 , 2
( D )

A.

2

B.

2 2

C.

3 2

D.
2

1 2
( C )

学校



6.在各项均为正数的等比数列 {a n } 中, ( a1 ? a3 )(a5 ? a 7 ) ? 4a 4 ,

则下列结论中正确的是 A.数列 {a n } 是递增数列
B.数列 {a n } 是递减数列 C.数列 {a n } 既不是递增数列也不是递减数列 D.数列 {a n } 有可能是递增数列也有可能是递减数列

湖州市高一数学竞赛—1

7.已知函数 f ( x) ? log a x ? 1 ( a ? 0, a ? 1) ,若 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,

且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则
A.

1 1 1 1 ? ? ? ? x1 x2 x3 x4



A



2

B.

4

C. 8

D. 随 a 值变化

8.如图,函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? 与坐标轴的三个交点 P 、 Q 、 R 满足 P (?2?,?0?) , ?PQR ? 为 QR 的中点, PM ? 2 5 , 则 A 的值为 A. (

?
2

) y

?
4

,M )

B

8 3 3

B.

16 3 3

P O M R

Q x

C.8

D.16

二、填空题(每小题 6 分,共 42 分)

第 8 题图

9.在平面直角坐标系中,△ ABC 的顶点坐标分别为 A(1 , 2) , B ( ?7 , 3) ,点 C 在直线 y ? 4 上运动, O 为坐标原点, G 为△ ABC 的重心,则 OG ? OC 的最小值为__________. 9 10.数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a n ? 1 ? n cos

n? * (n? N ) ,则 S 2014 ? 2

. 1006

11.若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 [0,??) 上是单调增函数。如果实数 t 满足

1 1 f (ln t ) ? f (ln ) ? 2 f (1) 时,那么 t 的取值范围是__________. [ , e] t e 2 12 . 在 ?ABC 中 , 边 AC ? 1 , AB ? 2 , 角 A ? ? , 过 点 A 作 AP ? BC 于 点 P , 且 3 ??? ? ??? ? ???? . 10 AP ? ? AB ? ? AC ,则 ?? ? 49 ?2 x ? a , x ? 0 13.已知函数 f ( x) ? ? ,若方程 f ( x) ? x ? 0 有且仅有两个解,则实数 a 的取值 ? f ( x ? 1), x ? 0
范围是 . a?2

14. 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c ,三 边 a, b, c 成 等 差 数 列 , 且 B ?

?
4

,则

cos A ? cos C 的值为

.? 4 2

湖州市高一数学竞赛—2

15.已知等比数列 {a n } 的首项为

4 1 1 ,公比为 ? ,其前 n 项和为 S n ,若 A ? S n ? ? B 对任 3 3 Sn
.

意 n ? N * 恒成立,则 B ? A 的最小值为

59 72

三、解答题(每小题 20 分,共 60 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 得分 评卷人 16.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且有 (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 b ? 2 , c ? 3 , D 为 BC 上一点 ,且 CD ? 2 DB ,求 AD 的长. 16 解: (1)∵

tan A ? tan C sin B . ? 3 cos C

??? ?

??? ?

tan A ? tan C sin B ? 3 cos C



sin A sin C 3sin B …………4 分 ? ? cos A cos C cos C

∴ 3sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C ) ? sin B …………8 分 ∵ sin B ? 0 ∴ ∴ 3cos A ? 1 ……………………………10 分 ∴ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 9 ………………14 分

1 cos A ? 3

(2)∵ b ? 2 , c ? 3 ∴ a?3

∴ 由题意可得, DC ? 2 , cos C ? ∴ AD 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 cos C ? ∴ AD ?

1 3
………………18 分

16 3

4 3 3

……………………20 分

得分

评卷人

17.若函数 f ( x ) 满足:集合 A ? { f ( n) | n ? N* } 中至少存在三个不同的数构成 等比数列,则称函数 f ( x ) 是等比母函数.

(Ⅰ)判断下列函数:① y ? x 2 ;② y ?

1 ;③ y ? log 2 x 中,哪些是等比母函数?(不需证明) x

(Ⅱ)判断函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 是否为等比母函数,并证明你的结论; (Ⅲ)证明:对任意的 k , b ? N* ,函数 g ( x ) ? kx ? b 都是等比母函数. 解: (Ⅰ)①②③都是等比母函数. (Ⅱ)函数 f ( x) ? 2 x ? 1 不是等比母函数. …………6 分 ………………8 分

湖州市高一数学竞赛—3

证明如下: 假设存在正整数 m, n, k 且 m ? n ? k ,使得 f ( m), f ( n ), f ( k ) 成等比数列,

(2n ? 1) 2 ? (2m ? 1)(2k ? 1) ,整理得 22 n ? 2n ?1 ? 2m ? k ? 2m ? 2k ,………………10 分
等式两边同除以 2 m , 得 22 n ?m ? 2n ?m ?1 ? 2k ? 2k ?m ? 1 . 因为 n ? m ? 1, k ? m ? 2 ,所以等式左边为偶数,等式右边为奇数, 所以等式 22 n ?m ? 2n ?m ?1 ? 2k ? 2k ?m ? 1 不可能成立, 所以假设不成立,说明函数 f ( x) ? 2 x ? 1 不是等比母函数. ………………13 分 (Ⅲ)法 1: 因为对任意的 k , n ? N* ,都有 g (n ? 1) ? g (n) ? k , 所以对任意的 k , b ? N* ,数列 {g ( n )} 都是以 g (1) 为首项公差为 k 的等差数列. 对任意的 k , b ? N* , g (1), g (1)(1 ? k ), g (1)(1 ? k ) 2 成等比数列,………………16 分 因为 g (1)(1 ? k ) ? g (1) ? ( g (1) ? 1 ? 1)k ? g[ g (1) ? 1] ,

g (1)(1 ? k ) 2 ? g (1) ? (2 g (1) ? g (1)k ? 1 ? 1)k ? g[2 g (1) ? g (1)k ? 1] ,
所以 g (1), g [ g (1) ? 1], g [2 g (1) ? g (1)d ? 1] ? {g ( n ) | n ? N*} , 所以对任意的 k , b ? N* ,函数 g ( x) ? kx ? b 都是等比母函数. ………………20 分 (Ⅲ)法 2: 因为对任意的 k , b ? N* ,都有 g (n ? 1) ? g (n) ? k , 所以对任意的 k , b ? N* ,数列 {g ( n )} 都是以 g (1) 为首项公差为 k 的等差数列. 由 g 2 (m) ? g (1) ? g (l ) , (其中 1 ? m ? l )可得

[ g (1) ? (m ? 1)k ]2 ? g (1) ? [ g (1) ? (l ? 1)k ] ,整理得 (m ? 1)[2 g (1) ? (m ? 1)k ] ? g (1)(l ? 1) ,
令 m ? g (1) ? 1 ,则 g (1)[2 g (1) ? g (1)k ] ? g (1)(l ? 1) , 所以 l ? 2 g (1) ? g (1)k ? 1 , 所以对任意的 k , b ? N* ,数列 {g ( n )} 中总存在三项 g (1), g[ g (1) ? 1], g[2 g (1) ? g (1)k ? 1] 成等比 数列.故对任意的 k , b ? N* ,函数 g ( x) ? kx ? b 都是等比母函数. ………………20 分 ………………16 分

湖州市高一数学竞赛—4

得分

评卷人

18. 数列 {a n } 的首项为 a ( a ? 0 ) ,前 n 项和为 S n ,且 S n ?1 ? t ? S n ? a (
? .设 bn ? S n ? 1 , c n ? k ? b1 ? b2 ? ? ? bn ( k ? R ) . t ? 0)

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; 求 a 的取值范围;

(Ⅱ)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N ,| bn |?| b3 | 恒成立,
*

(Ⅲ)当 t ? 1 时,试求三个正数 a , t , k 的一组值,使得 {c n } 为等比

数列,且 a , t , k 成等差数列. 解: (Ⅰ)因为 S n ?1 ? t ? S n ? a 当 n ? 2 时, S n ? t ? S n ?1 ? a ① ②,
n ?1

① ? ②得, a n ?1 ? t ? a n ( n ? 2 ) ,又由 S 2 ? t ? S1 ? a ,得 a 2 ? t ? a1 , 所以, {a n } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列,所以 a n ? a ? t (Ⅱ) 当 t ? 1 时, a n ? a , S n ? na , bn ? na ? 1 , 由 | bn |?| b3 | ,得 | na ? 1 |?| 3a ? 1 | , ( n ? 3) a[(n ? 3) a ? 2] ? 0 当 a ? 0 时, n ? 3 时, (*)不成立; 当 a ? 0 时, (*)等价于 ( n ? 3)[(n ? 3) a ? 2] ? 0 (**)成立. n ? 3 时, (**) ( *) (n?N ) .…………6 分
*

2 2 恒成立,所以 a ? ? . n?3 7 1 2 n ? 1 时,有 4a ? 2 ? 0 , a ? ? . n ? 2 时,有 5a ? 2 ? 0 , a ? ? . 2 5 2 2 ? ? 综上, a 的取值范围是 ?? , ? ? . ………………13 分 7? ? 5
n ? 4 时,有 (n ? 3)a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?
(3)当 t ? 1 时, S n ?

a (1 ? t n ) a (1 ? t n ) a at n ?1 ? 1? ? , bn ? , 1? t 1? t 1? t 1? t

cn ? k ? n ?

an at (1 ? t n ) at n ?1 1? a ? t k (1 ? t ) 2 ? at , ? ? ? ? n ? 1? t 1? t (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2

?1 ? a ? t ?0, ?a ? t ? 1 , ? ? 1? t ? 所以,当 ? 时,数列 {c n } 是等比数列,所以 ? t 2 k? , ? k (1 ? t ) ? at ? 0 ? t ? 1 ? 2 ? ? (1 ? t )
又因为 a , t , k 成等差数列,所以 2t ? a ? k ,即 2t ? t ? 1 ? 解得 t ?

t , t ?1

5 ?1 5 ?1 5 ?3 . 从而, a ? ,k ? . 2 2 2 5 ?1 5 ?1 5 ?3 ,t ? ,k ? 时,数列 {c n } 为等比数列.………………20 分 2 2 2

所以,当 a ?

湖州市高一数学竞赛—5


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