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学案


三角函数,解三角形习题课学案
一、教学目的:
1.三角恒等变换 (1)公式:同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式、正余弦定理. (2)公式应用:注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧,观察三角函数式中 角之间的联系,式子之间以及式子和公式间的联系. (3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围. 2.三角函数的性质 (1)研究三角函数的性质,一般要化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,其特征:一角、 一次、一函数. (2)在讨论 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质时,要重视两种思想的应用:整体思想 和数形结合思想,一般地,可设 t=ωx+φ,y=Asin t,通过研究这两个函数的 图象、性质达到目的. 3.解三角形 解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考查,通过三角变换 化简,然后运用正、余弦定理求值;二是与平面向量结合(主要是数量积),判 断三角形形状或结合正、余弦定理求值.试题一般为中档题,客观题、解答题 均有可能出现.

二、教学方法
学生自练,教师点拨,探究互动。

三、教学手段
多媒体教学

教学过程

热身训练:
1.若函数 f(x)=sinwx-coswx 的最小正周期是π ,则 w=_________.
2. 函数f

? x ? ? sinx ?

3cosx( x ? [?? , 0])的单调

递增区间是

1 3.函数 y=cosx﹣ cos 2x(x∈R)的最大值与最小值之和是 2
4.函数y ? 程为 为 3 x 1 x sin ? cos 的对称轴方 2 2 2 2 ;对称中心



5.为了使函数 y=sinwx(w>0)在区间[0,1]上出 现 50 次最大值,则 w 的最小值为_________
1

6.(2012 湖南高考)在△ABC 中,AC= B=60°,则 BC 边上的高等于( ). A.

7 ,BC=2,

3 3 C. 6 3 2 D. 2 2 2 7.设α , β , γ ∈ (0, π /2 ) , 且 sin α +sin γ =sin β , cos β +cos γ =cos α , 则β - α 等于( ) A.-π /3 B. π /6 C. π /3 或-π /3 D. π /3
B.

3 2

考点定位(1)三角函数的最大值与最小值
【例1】 求下列函数的最值.

?1? y=cos 2 x+sinx,x ? [- ? 2 ? y=

? ?

, ]; 4 4

1 3 cos 2 x+ sinxcosx+1,x ? R; 2 2 ? 3? y=x+2sinx,x ? [0,? ].

【变式练习】 1 sin x cos x 若x ? [0,? ),求y= 的值域. 1 ? sin x ? cos x

考点定位(2)与辅助角公式有关的三角函数问题
例 2 (2013 湖南,理 17)(本小题满分 12 分)已知函数

π? π? x ? ? f (x) ? sin ? x ? ? ? cos ? x ? ?, g ( x) ? 2 sin 2 6? 3? ? ? 2
(1)若α 是第一象限角,且 f(α )=

3 3 5

,求 g(α )的值;

(2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合.

2

考点定位(3)正余弦定理应用
【例 3】(12 分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B. (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

试试看:
2014 湖南理科高考 18 题(本小题满分 l2 分) 如图 5,在平面四边形 ABCD 中, AD ? 1, CD ? 2, AC ? 7 (I) 求 cos ?CAD 的值 (II)若 cos ?BAD ? ? 求 BC 的长
17 21 ,sin ?CBA ? 14 6

3

巩固练习:
x 1.函数f ? x ?=sinx+2cos 2 的一个单调 2 增区间是_______________________

2. 函数y=(tanx+ 3)cosx, ( x ? [0, ))的 2 最大值为_____________
3.设函数f ? x ?=cos? x( 3sin? x+cos? x ) (其中0 ? ? ? 2).若函数f ? x ?的图象的一 条对称轴为直线x= ,那么?=_______ 3

?

?

kx ? + ),k ? 0. 5 3 ?1? 写出f ? x ?的最大值M,最小值m与最 5.设三角函数f ? x ?=sin( 小正周期T;

  4.已知函数f ? x ?=sin2x,g ? x ?=cos(2x+ ), 6 直线x=t (t ? R )与函数f ? x ? 、g ? x ?的图象分 别交于M 、N 两点.

?

? 2 ? 试求最小的正整数k,使得当自变量
x在任意两个整数间(包括整数本身)变化 时,函数f ? x ? 至少有一个值是M 与一个 值是m.

?1?当t=

?
4

时,求 MN 的值;

? 2 ? 求 MN 在t ? [0, ]时的最大值.
2

?

4



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