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椭圆知识点归纳总结和经典例题


椭圆的基本知识
1.椭圆的定义:把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为 2c) . 2.椭圆的标准方程:
y M c c F1 O F2 x
y F2

c
Oc F1

M

r />x

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1 ( a > b >0) a2 b2

焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0, n>0)不必考虑焦点位置,求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法

解: (相关点法)设点 M(x, y), 则 x=x0,
2 2

例1如图,已知一个圆的圆心为坐标原点, 半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线 段PP ?, 求线段PP ?中点M的轨迹. y
点 P(x0, y0), y=

y0 2


得 x0=x, y0=2y. x +(2y) =4,
2 2

P

M
O P?

∵x0 +y0 =4, 即

x ? y 2 ? 1. 所以点 M 的轨迹是一个椭圆. 4

x

4.范围. x2≤a2,y2≤b2,∴|x|≤a,|y|≤b. 椭圆位于直线 x=±a 和 y=±b 围成的矩形里. 5.椭圆的对称性 椭圆是关于 y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 6.顶点 只须令 x=0, y=±b, B1(0,-b)、 2(0, b)是椭圆和 y 轴的两个交点; y=0, 得 点 B 令 得 x=±a,点 A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和 x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点:A1(-a, 0)、 A2(a, 0)、B1(0, -b)、B2(0, b).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. 线段 A1A2、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于 2a. 短轴的长等于 2b.a 叫做椭圆的 y 长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长. B2 |B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|=a. b a A 在 Rt△ OB2F2 中,|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2, A1 2 即 c2=a2-b2. x F O cF
1 2

B1

1. 若椭圆的连个焦点把长 轴分成三等份,则椭圆 的离心率为( B



A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 无法确定

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)的左焦点为 1 ( ? c ,0),A( ? a ,0)、B(0, b)是两个顶点, F a 2 b2 b 4 如果F1到直线AB的距离为 ,则椭圆的离心率 ? e . 5 7 2. 椭圆
x2 y2 3. 求经过点 (1,2),且与椭圆 ? M ? 1有相同的离心率的椭圆 的标准方程 . 12 6 y
(1)当e越接近1时,c越接近a,从而b ? a 2 ? c 2 越小,因此椭圆越扁;
O x

( 2)当e越接近0时,c越接近0,从而b越接近a, 因此椭圆越接近于圆;
( 3)当且仅当 ? b时,c ? 0,两焦点重合,图形变 a 为圆,方程成为 2 ? y 2 ? a 2 . x
.

2. 已知P为椭圆 (1) 求S ?PF1F 2 ; ( 2) 求P点坐标.

x2 y2 ? ? 1上的点, 1,F2 为左右焦点, 1 ? PF2, F PF 45 20

2. 椭圆

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个 4 )

交点为P,则 PF2 ? (

椭圆典型例题
例 1 已知椭圆 mx ? 3 y ? 6m ? 0 的一个焦点为(0,2)求 m 的值.
2 2

分析:把椭圆的方程化为标准方程,由 c ? 2 ,根据关系 a ? b ? c 可求出 m 的值.
2 2 2

解:方程变形为

x2 y2 ? ? 1 .因为焦点在 y 轴上,所以 2m ? 6 ,解得 m ? 3 . 6 2m
2

又 c ? 2 ,所以 2m ? 6 ? 2 , m ? 5 适合.故 m ? 5 .

例 2 已知椭圆的中心在原点,且经过点 P?3,? , a ? 3b ,求椭圆的标准方程. 0

分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数 法, 求出参数 a 和 b (或 a 和 b )的值,即可求得椭圆的标准方程.
2 2

x2 y2 解:当焦点在 x 轴上时,设其方程为 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? . a b
由椭圆过点 P?3,? ,知 0

9 0 ? 2 ? 1 .又 a ? 3b ,代入得 b 2 ? 1 , a 2 ? 9 ,故椭圆的方 2 a b

程为

x2 ? y2 ? 1. 9
y2 x2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a2 b2

当焦点在 y 轴上时,设其方程为

0 由椭圆过点 P?3,? ,知
的方程为

9 0 ? 2 ? 1 .又 a ? 3b ,联立解得 a 2 ? 81 , b 2 ? 9 ,故椭圆 2 a b

y2 x2 ? ? 1. 81 9

例 3 ?ABC 的底边 BC ? 16 , AC 和 AB 两边上中线长之和为 30,求此三角形重心 G 的 轨迹和顶点 A 的轨迹. 分析: (1)由已知可得 GC ? GB ? 20 ,再利用椭圆定义求解. (2)由 G 的轨迹方程 G 、 A 坐标的关系,利用代入法求 A 的轨迹方程. 解: (1) BC 所在的直线为 x 轴, 中点为原点建立直角坐标系. G 点坐标为 ?x,y ? , 以 设 BC

由 GC ? GB ? 20 , G 点的轨迹是以 B 、C 为焦点的椭圆, 知 且除去轴上两点. a ? 10 , 因

c ? 8 ,有 b ? 6 ,
故其方程为

x2 y 2 ? ? 1? y ? 0? . 100 36 x? 2 y ? 2 ? ? 1? y? ? 0? . 100 36


(2)设 A?x,y ? , G?x?,y?? ,则

x ? ? x? ? 3 , x2 y2 ? 由题意有 ? 代入①, A 的轨迹方程为 得 其轨迹是椭圆 (除 ? ? 1? y ? 0? , y 900 324 ? y? ? ? 3 ?
去 x 轴上两点) . 例 4 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 过 P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

4 5 2 5 和 , 3 3

解 : 设 两 焦 点 为 F1 、 F2 , 且 PF1 ?

4 5 2 5 , PF2 ? .从椭圆定义知 3 3

2a ? PF1 ? PF2 ? 2 5 .即 a ? 5 .
从 PF1 ? PF2 知 PF2 垂 直 焦 点 所 在 的 对 称 轴 , 所 以 在 Rt?PF2 F1 中 ,

s i n PF1 F2 ? ?

PF2 PF1

?

1 , 2

可求出 ?PF1 F2 ?

?
6

, 2c ? PF1 ? cos

?
6

?

2 5 10 2 2 2 ,从而 b ? a ? c ? . 3 3

∴所求椭圆方程为

x2 3y2 3x 2 y 2 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 10 5

例 5 已知椭圆方程

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? ,长轴端点为 A1 , A2 ,焦点为 F1 , F2 , P 是椭 a2 b2

圆上一点, ?A1 PA2 ? ? , ?F1PF2 ? ? .求: ?F1 PF2 的面积(用 a 、 b 、 ? 表示) .

分析:求面积要结合余弦定理及定义求角 ? 的两邻边,从而利用 S ? ?

1 ab sin C 求面积. 2

解:如图,设 P?x,y ? ,由椭圆的对称性,不妨设 P?x,y ? ,由椭圆的对称性,不妨设 P 在 第一象限.由余弦定理知:

F1 F2 ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ·PF2 cos? ? 4c 2 .①
2 2 2

由椭圆定义知: PF1 ? PF2 ? 2a

②,则 ② -① 得
2

PF1 ? PF2 ?

2b 2 . 1 ? cos?

故 S ?F1PF2 ?

1 2b 2 1 ? sin ? ? b 2 tan . PF1 ? PF2 sin ? ? 2 1 ? cos? 2 2

?x 例 6 已知动圆 P 过定点 A?? 3,? ,且在定圆 B: ? 3? ? y ? 64 的内部与其相内切,求动 0
2 2

圆圆心 P 的轨迹方程. 分析:关键是根据题意,列出点 P 满足的关系式. 解:如图所示,设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M .动点 P 到两定点, 即定点 A?? 3,? 和定圆圆心 B?3,? 距离之和恰好等于定圆半径, 0 0 即 PA ? PB ? PM ? PB ? BM ? 8 .∴点 P 的轨迹是以 A , B 为两焦点, 半长轴为 4,半短轴长为 b ?

4 2 ? 32 ? 7 的椭圆的方程:

x2 y2 ? ? 1. 16 7

说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方 程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法. 例 7 已知椭圆

x2 ? y2 ? 1 2
?1 1? ? 2 2?

(1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程;

1? (3)过 A?2, 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
(4)椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 kOP ? kOQ ? ? 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.

1 , 2

分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为 M ?x1,y1 ? , N ?x2,y2 ? ,线段 MN 的中点 R?x,y ? ,则

? x12 ? 2 y12 ? 2, ? 2 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2, ? ? x1 ? x2 ? 2 x, ? y ? y ? 2 y, ? 1 2

① ② ③ ④

①-②得

?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 .

由题意知 x1

? x2 ,则上式两端同除以 x1 ? x2 ,有 ?x1 ? x2 ?2? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? 0 , x1 ? x2 y1 ? y2 将③④代入得 x ? 2 y ? 0 .⑤ x1 ? x2

(1) x ? 将

y ? y2 1 1 1 ,y ? 代入⑤, 1 得 故所求直线方程为: 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . ⑥ ?? , x1 ? x2 2 2 2
2 2

将⑥代入椭圆方程 x ? 2 y ? 2 得 6 y 2 ? 6 y ?

1 1 ? 0 , ? ? 36 ? 4 ? 6 ? ? 0 符合题意, 4 4

2 x ? 4 y ? 3 ? 0 为所求.
(2)将

y1 ? y2 ? 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x1 ? x2 y1 ? y2 y ? 1 ? 代入⑤得所求轨迹方程为: x1 ? x2 x ? 2

(椭圆内部分) x ? 4y ? 0 .

(3)将 部分)

x2 ? 2 y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 . (椭圆内

(4)由①+②得 :

2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 ? 2 , ⑦, 2

?

?

将③④平方并整理得

2 x12 ? x2 ? 4 x 2 ? 2 x1 x2 ,

⑧,

2 y12 ? y2 ? 4 y 2 ? 2 y1 y2 ,



将⑧⑨代入⑦得:

4 x 2 ? 2 x1 x2 ? 4 y 2 ? 2 y1 y2 ? 2 , 4

?

?



再将 y1 y2 ? ?

1 x1 x2 代入⑩式得: 2

? 1 ? 2 x 2 ? x1 x2 ? 4 y 2 ? 2? ? x1 x2 ? ? 2 , ? 2 ?



x2 ?

y2 ? 1. 1 2

此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决. 例 8 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m .
2 2

(1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

解: (1)把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆方程 4 x ? y ? 1 得
2 2
2

4 x 2 ? ?x ? m? ? 1 ,
2 2

即 5x 2 ? 2mx ? m2 ? 1 ? 0 . ? ? ?2m? ? 4 ? 5 ? m ? 1 ? ?16 m ? 20 ? 0 , 解 得
2

?

?

?

5 5 . ?m? 2 2

(2) 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 ,x2 , (1) x1 ? x2 ? ? 由 得
2

m2 ? 1 2m ,x1 x2 ? . 5 5

m 2 ? 1 2 10 ? 2m ? ? 根据弦长公式得 : 1 ? 1 ? ? ? .解得 m ? 0 .方程为 ? ? 4? 5 5 ? 5 ?
2

y ? x.
说明: 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题, 采用的方法与处理直线和圆的 有所区别. 这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式 ? ;解决弦长问题,一般应用弦长 公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系) ,可大大简化运算过程.

例 9 以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点,过直线 l:x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆,要使所 12 3

作椭圆的长轴最短,点 M 应在何处?并求出此时的椭圆方程. 分析: 椭圆的焦点容易求出, 按照椭圆的定义, 本题实际上就是要在已知直线上找一点, 使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.

解:如图所示,椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 ?? 3,? , F2 ?3,? . 0 0 12 3

点 F1 关于直线 l:x ? y ? 9 ? 0 的对称点 F 的坐标为(-9,6) ,直线 FF2 的方程为

x ? 2y ? 3 ? 0 .
解方程组 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 得交点 M 的坐标为(-5,4) .此时 MF1 ? MF2 最小. ?x ? y ? 9 ? 0

所求椭圆的长轴: 2a ? MF1 ? MF2 ? FF2 ? 6 5 ,∴ a ? 3 5 ,又 c ? 3 ,

∴b ? a ?c ? 3 5
2 2 2

? ? ?3
2

2

? 36 .因此,所求椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 45 36

例10

已知方程

x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,求 k 的取值范围. k ?5 3? k

?k ? 5 ? 0, ? 解:由 ?3 ? k ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,且 k ? 4 . ?k ? 5 ? 3 ? k , ?
∴满足条件的 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 ,且 k ? 4 .

说明:本题易出现如下错解:由 ?

?k ? 5 ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,故 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 . ?3 ? k ? 0,

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a ? b ? 0 这个条件, a ? b 时, 当 并不表示 椭圆. 已知 x sin ? ? y cos? ? 1 (0 ? ? ? ? ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 ? 的取值范
2 2

例11

围. 分析:依据已知条件确定 ? 的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出 ? 的 取值范围. 解:方程可化为

x2 y2 1 1 ? ? 1 .因为焦点在 y 轴上,所以 ? ? ?0. 1 1 cos? sin ? sin ? cos?

因此 sin? ? 0 且 tan? ? ?1 从而 ? ? (

? 3

, ?). 2 4

1 1 ? 0,? ? 0 ,这是容易忽视的地方. sin ? cos? 1 1 2 2 (2)由焦点在 y 轴上,知 a ? ? ,b ? . (3)求 ? 的取值范围时,应注意题目 cos? sin ? 中的条件 0 ? ? ? ? .
说明:(1)由椭圆的标准方程知

例 12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点的椭圆方 程 分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见, 可设其方程为 mx ? ny ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,
2 2

直接可求出方程. 解:设所求椭圆方程为 mx ? ny ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ).由 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点
2 2

在椭圆上可得

?m ? ( 3 ) 2 ? n ? (?2) 2 ? 1, ?3m ? 4n ? 1, 1 1 ? 即? 所以 m ? ,n ? . 故所求的椭圆方程为 ? 2 2 15 5 ?m ? (?2 3 ) ? n ?1 ? 1, ?12 m ? n ? 1, ?
x2 y2 ? ? 1. 15 5

例 13 已知长轴为 12, 短轴长为 6, 焦点在 x 轴上的椭圆, 过它对的左焦点 F1 作倾斜解为 的直线交椭圆于 A , B 两点,求弦 AB 的长.
2 分析:可以利用弦长公式 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?

? 3

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 求得,

也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 解:(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] . 因为 a ? 6 , ? 3 , 所以 c ? 3 3 . 因 b
为焦点在 x 轴上, 所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,左焦点 F (?3 3 , 0) ,从而直线方程为 y ? 3 x ? 9 . 36 9
2

由直线方程与椭圆方程联立得: 13 x ? 72 3x ? 36 ? 8 ? 0 .设 x1 , x2 为方程两根,所以

x1 ?x2 ? ?

72 3 13



x1x2 ?

36 ? 8 13



k? 3







AB ? 1 ? k 2 x1? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1? x2 ) 2 ? 4 x1x2 ] ?
(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解. 由题意可知椭圆方程为

48 . 13

x2 y2 ? ? 1 , 设 AF1 ? m , BF1 ? n , 则 AF2 ? 12 ? m , 36 9

BF2 ? 12 ? n .


?AF1 F2





AF2 ? AF1 ? F1F2 ? 2 AF1 F1 F2 c

2

2

2

?
3

o

, s



1 (12 ? m) 2 ? m 2 ? 36 ? 3 ? 2 ? m ? 6 3 ? ; 2
所以 m ?

6 6 48 .同理在 ?BF1 F2 中,用余弦定理得 n ? ,所以 AB ? m ? n ? . 13 4? 3 4? 3

(法 3)利用焦半径求解. 先根据直线与椭圆联立的方程 13 x ? 72 3x ? 36 ? 8 ? 0 求出方程的两根 x1 , x2 ,它们分
2

别是 A , B 的横坐标. 再根据焦半径 AF1 ? a ? ex1 , BF1 ? a ? ex2 ,从而求出 AB ? AF1 ? BF1 .

例 14 椭圆

x2 y2 则 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 为 MF1 的中点, ON ( O 为 25 9
坐标原点)的值为 A.4 B.2 C.8 D.

3 2

解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为 F2 ,由椭圆第一 定 义 得

MF1 ? MF2 ? 2a ? 10







MF2 ? 10 ? MF1 ? 10 ? 2 ? 8 ,
又 因 为 ON 为 ?MF1 F2 的 中 位 线 , 所 以

ON ?

1 MF2 ? 4 ,故答案为 A. 2

说明:(1)椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭 圆. (2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即 MF1 ? MF2 ? 2a ,利用这个等式可以解决椭 圆上的点与焦点的有关距离.

例 15 已知椭圆 C: ?

x2 4

y2 ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y ? 4 x ? m ,椭 3

圆 C 上有不同的两点关于该直线对称. 分析:若设椭圆上 A , B 两点关于直线 l 对称,则已知条件等价于:(1)直线 AB ? l ;(2)

弦 AB 的中点 M 在 l 上. 利用上述条件建立 m 的不等式即可求得 m 的取值范围. 解: 1)设椭圆上 A( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) 两点关于直线 l 对称, (法 直线 AB 与 l 交于 M ( x0 , y0 ) B 点.
y ? ? x ? n, 1 ? 4 ∵ l 的斜率 kl ? 4 , ∴设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? n . 由方程组 ? 消去 y 得 ? 2 2 4 x y ? ? ? 1, ?4 3 ? ? 1

13 x 2 ? 8nx ? 16n2 ? 48 ? 0

① 。 ∴ x1 ? x2 ?

8n x ? x2 4 n . 于 是 x0 ? 1 , ? 13 2 13

1 12 n , y0 ? ? x0 ? n ? 4 13 4n 12 n 4n 即点 M 的坐标为 ( , ) .∵点 M 在直线 y ? 4 x ? m 上,∴ n ? 4 ? ? m .解得 13 13 13 13 n ? ? m. ② 4
将式②代入式①得 13 x ? 26mx ? 169 m ? 48 ? 0
2 2


2 2

∵ A , B 是 椭 圆 上 的 两 点 , ∴ ? ? (26 m) ? 4 ?13(169 m ? 48) ? 0 . 解 得

?

2 13 2 13 ?m? . 13 13

(法 2)同解法 1 得出 n ? ?

13 4 13 m ,∴ x0 ? (? m) ? ?m , 4 13 4 1 13 1 13 y0 ? ? x0 ? m ? ? ? (?m) ? m ? ?3m ,即 M 点坐标为 (?m , ? 3m) . 4 4 4 4

(?m) 2 (?3m) 2 ? ?1 .解得 ∵ A , B 为椭圆上的两点,∴ M 点在椭圆的内部,∴ 4 3
? 2 13 2 13 ?m? . 13 13

(法 3)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是椭圆上关于 l 对称的两点,直线 AB 与 l 的交点 M 的坐标 为 ( x0 , y0 ) .

x y x y ∵ A , B 在 椭 圆 上 , ∴ 1 ? 1 ?1 , 2 ? 2 ?1 . 两 式 相 减 得 4 3 4 3

2

2

2

2

3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,

即 3 ? 2 x0 ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? 0 .∴

3x y1 ? y2 ? ? 0 ( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 4 y0
①。

又∵直线 AB ? l ,∴ k AB ? kl ? ?1 ,∴ ? 又 M 点在直线 l 上,∴ y0 ? 4 x0 ? m

3x0 ? 4 ? ?1 ,即 y0 ? 3x0 4 y0

②。由①,②得 M 点的坐标为 (?m , ? 3m) .以

下同解法 2. 说明:涉及椭圆上两点 A , B 关于直线 l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列 参数满足的不等式: (1)利用直线 AB 与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得 到的一元二次方程的判别式 ? ? 0 ,建立参数方程. (2)利用弦 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部, 满足 建立参数不等式. 例 17 在面积为 1 的 ?PMN 中,tan M ?

x0 y ? 0 ? 1 , x0 ,y0 利用参数表示, 将 a b

2

2

1 ,tan N ? ?2 , 建立适当的坐标系, 求出以 M 、 2

N 为焦点且过 P 点的椭圆方程.

解:以 MN 的中点为原点, MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标系, 设 P( x , y ) .
? y ? x ? c ? ?2, ? 1 ? y ? , ? ?x ?c 2 ?cy ? 1. ? ?



5 ? ? x ? 3c ? ∴ ? ? y ? 4 c且c ? 3 ? 3 2 ?



P(

5 2 3

,

2 ) 3



4 ? 25 15 ?12 a 2 ? 3b 2 ? 1, ?a 2 ? , ? ? 得? 4 ? ?b 2 ? 3. ?a 2 ? b 2 ? 3 , ? ? 4 ?
∴所求椭圆方程为

4x2 y 2 ? ?1 15 3

x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点,求直线 l 的方程. 例 18 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆 36 9

分析: 本题考查直线与椭圆的位置关系问题. 通常将直线方程与椭圆方程联立消去 y (或 x ), 得到关于 x (或 y )的一元二次方程, 再由根与系数的关系, 直接求出 x1 ? x2 ,x1 x2 (或

y1 ? y2 , y1 y 2 )的值代入计算即得.
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经 常采用的. 解:方法一:设所求直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 4) .代入椭圆方程,整理得

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8k (4k ? 2) x ? 4(4k ? 2) 2 ? 36 ? 0



设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 、 x2 是 ① 的 两 根 , ∴

x1 ? x2 ?

8k (4k ? 2) 4k 2 ? 1

∵ P(4 , 2) 为 AB 中 点 , ∴ 4 ?

x1 ? x2 4k (4k ? 2) 1 , k ? ? .∴所求直线方程为 ? 2 2 4k ? 1 2

x ? 2y ?8 ? 0 .
方法二: 设直线与椭圆交点 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) . P(4 , 2) 为 AB 中点, x1 ? x2 ? 8 , ∵ ∴

y1 ? y2 ? 4 .
又 ∵ A , B 在 椭 圆 上 , ∴ x1 ? 4 y1 ? 36 , x2 ? 4 y2 ? 36 两 式 相 减 得
2 2 2 2

( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 ,
2 2 2 2

即 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 . ∴ 为 x ? 2y ?8 ? 0 .

y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) 1 ? ?? . ∴直线方程 x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 2

方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为 A( x , y ) ,另一个交点 B(8 ? x , 4 ? y) . ∵ A 、B 在椭圆上, x ? 4 y ? 36 ∴
2 2

①。

(8 ? x) 2 ? 4(4 ? y) 2 ? 36



从而 A , B 在方程①-②的图形 x ? 2 y ? 8 ? 0 上,而过 A 、 B 的直线只有一条,∴直线方 程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题, “设而不求”的方法是处理 此类问题的有效方法. 若已知焦点是 (3 3 , 0) 、(?3 3 , 0) 的椭圆截直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 所得弦中点的横坐标是 4,

则如何求椭圆方程?


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