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25[1]. 圆锥曲线 专项训练


第二章 圆锥曲线 专项训练
曲线和方程,曲线的交点以及圆的方程 【例题精选】 : 例 1 :求直线 x ? 3y ? 0和3x ? y ? 0 的角平分线方程 解: 设 P x、y 为角平分线上任意一点 根据角平分线的性质 P 到直线 x ? 3y ? 0和3x ? y ? 0 的距离 相等 ∴

?

?

x ? 3y 12 ? 32

?

3x ? y 32 ? 12

∴ x ? 3y ? 3x ? y ∴ x ? 3y ? ??3x ? y? ∴ x ? 3y ? 3x ? y或x ? 3y ? ??3x ? y? ∴ x ? y ? 0或x ? y ? 0 ∴所求角平分线方程为: x ? y ? 0或x ? y ? 0

二、曲线的交点: 两条曲线交点的坐标是两个曲线方程组成的方程组的实数解。 例 2:求直线 y ? x ? 解:

3 1 2 与抛物线 y ? x 的交点 2 2

3 ? y? x? ? ? 2 ? ?y ? 1 x2 ? 2 ?
(1)代入(2)

?1? ?2?

x?

3 1 2 ? x 2 2

∴ x ? 2x ? 3 ? 0
2

∴ ? x ? 3?? x ? 1? ? 0 ∴ x1 ? ?1,x2 ? 3 把 x1 ? ?1,x2 ? 3 代入(1) 得 y1 ?

1 9 ,y 2 ? 2 2

∴所求交点为 ? ?1, ? ;? 3, ?

? ?

1? 2?

? ?

9? 2?

三、圆的方程: 1、圆的标准方程:

? x ? a? 2 ? ? y ? b? 2 ? r 2 ,其中?a,b?为圆心,r为半径
2、圆的一般方程:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

?D

2

? E 2 ? 4F ? 0

?

例 3:已知:两点 P 1 4,9 ,P 2 ?6,3? 求以 P1 P2 为直径的圆的方程。 解: 设圆方程为 ? x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

?

?

4?6 ?5 2 9?3 b? ?6 2 1 1 r ? P1 P2 ? 2 2 a?

?4 ? 6? 2 ? ?9 ? 3? 2
2 2

? 10

∴所求圆的方程为: ? x ? 5? ? ? y ? 6? ? 10 例 4:求以 C (1,3) 为圆心,并且和直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程。 解:

设圆方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? r 2
2 2

∵圆和直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切 ∴圆心 C 到直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的距离等于 r ∴

3?1? 4 ? 3 ? 7 32 ? 4 2
16 5

?r

∴r ?

∴所求圆的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ?
2 2

256 25

例 5 : 一 圆 与 x 轴 相 切 于 点 A?2,0?, 且 过 点

B??1,3? ,求圆方程。
解: 设圆方程为 ? x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

由图可知: a ? 2,b ? r ∴ ? x ? 2? ? ? y ? r ? ? r 2
2 2

……?1?

把 B? ?1,3? 代入(1) ∴ ? ?1 ? 2? ? ?3 ? r ? ? r 2
2 2

解得 r ? 3 ∴所求圆方程为: ? x ? 2? ? ? y ? 3? ? 9
2 2

例 6:半径为 5 的圆与 x 轴交于 A(2,0) ,B?10,0?两点求圆的方程 解: 设圆方程为: ? x ? a? ? ? y ? b? ? 25
2 2

如图∵ AB ? 10 ? 2 ? 8 ∴ AD ? 4 ∵ AC ? 5 ∴ CD ? 3

∴ a ? 6,b ? ?3 ∴所求圆的方程为: ? x ? 6? ? ? y ? 3? ? 25
2 2

或 ? x ? 6? ? ? y ? 3? ? 25
2 2



7















线

x ? 3y ? 5 ? 0和x ? 3y ? 3 ? 0 相切
且圆心在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上的圆方程。 解: 设圆方程为: ? x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

设与两平行直线等距的直线方程为: x ? 3 y ? m ? 0 ∴

m?5 12 ? 32

?

m?3 12 ? 32

解得 m ? ?1

? x ? 3y ? 1 ? 0 4 3 ? 圆心( ? , ) ? 5 5 ?2 x ? y ? 1 ? 0
r? 1 3?5 4 ? 2 12 ? 32 10
2 2

4? 3? 8 ? ? ∴所求圆方程为: ? x ? ? ? ? y ? ? ? ? ? 5? 5? 5
例 8:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆方程。 解: 设圆方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

?F ? 0 ? ∴ ? D ? E ? F ? ?2 ?4 D ? 2 E ? F ? ?20 ?
? D ? ?8 ? ∴ ?E ? 6 ?F ? 0 ?
∴所求圆方程为: x ? y ? 8x ? 6 y ? 0
2 2

例 9:求证:圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 5 ? 0 相外切 证明: 第一个圆方程可化为: ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 5
2 2

∴圆心 o1 (?1,3) ,半径r1 ? 5 第二个圆方程可化为: ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

∴圆心 o2 (31 , ) ,半径r2 ? 5 ∴ o1o2 ?

?3 ? 1? 2 ? ?1 ? 3? 2

?2 5

又∵ r ? r2 ? 2 5 ∴ o1o2 ? r1 ? r2 ∴两圆相外切。 【专项训练】 : (1)已知:A(-1,-1) ,B(3,7) 求线段 AB 的垂直平分线的方程(要求用动点轨迹法) 。 (2)求直线 y ? x ? 1 和双曲线 xy ? 2 的交点。 (3)已知:圆通过 A(0,0) ,B(2,2) ,C(3,1) 求圆的方程。 (4)求以直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 在两坐标轴间的线段为直径的圆方程。 (5)已知:圆过两点(0,0) , (1,2)且圆心在直线 x ? y ? 5 ? o 上, 求圆方程。 (6)求圆心在(3,-1) ,且截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得弦长为 6 的圆方程。 (7)求半径为 1,且与直线 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 相切于点(1,1)的圆方程。 【答 案】 : (1) x ? 2 y ? 7 ? 0

(2)(1,2),(-2,-1) (3) x 2 ? y 2 ? 3x ? y ? 0

(4) ? x ? 2?

2

3? 25 ? ??y? ? ? ? 2? 4
2 2

2

(5) ? x ? ? ? ? y ? ? ?

? ?

5? 2?
2

? ?

5? 2?

25 2

(6) ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 11
2

9? 8? 1? 2? ? ? ? ? (7) ? x ? ? ? ? y ? ? ? 1或? x ? ? ? ? y ? ? ? 1 ? ? ? ? 5? 5? 5? 5?

2

2

2

2


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