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轴扭转计算


第5章
5.1
5.1.1、扭转的概念





扭转的概念及外力偶矩的计算

在工程实际中,有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示 5.1,常用的螺丝刀拧螺钉。

图 5.1 图示 5.2,用手电钻钻孔,螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。

图 5.2 图示 5.3,载重汽车的传动轴。

图 5.3

1

图示 5.4,挖掘机的传动轴。

图 5.4 图 5.5 所示,雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成(图 5.5a) ,雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来 均布力矩, 根据平衡条件, 雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、 方向相反的反力矩 (图 5.5b) , 雨蓬梁处于受扭状态。

图 5.5 分析以上受扭杆件的特点,作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形,称扭转变形。 变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度,称为扭转角,用 ? 表示,如图 5.6 所 示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。

2

图 5.6 本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。 5.1.2、外力偶矩的计算 工程中常用的传动轴(图)是通过转动传递动力的构件,其外力偶矩一般不是直接给出 的,通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式,可导出外力偶矩、功率 和转速之间的关系为:

m ? 9550
式中

N n

(5.1)

m----作用在轴上的外力偶矩,单位为 N ? m ; N-----轴传递的功率,单位为 kW ; n------轴的转速,单位为 r/min。

图 5.7

3

5.2
5.2.1 扭矩

圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图

已知受扭圆轴外力偶矩,可以利用截面法求任意横截面的内力。图 5.8a 为受扭圆轴,设 外力偶矩为 M e ,求距 A 端为 x 的任意截面 m ? n 上的内力。假设在 m ? n 截面将圆轴截开, 取左部分为研究对象(图 5.8b) ,由平衡条件 ?M x ? 0 ,得内力偶矩 T 和外力偶矩 M e 的关系

T ? Me
内力偶矩 T 称为扭矩。 扭矩的正负号规定为:自截面的外法线向截面看,逆时针转向为正,顺时针转向为负。

图 5.8 图示 5.8 的 b 和 c,从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是 N ? m 或 kN ? m 。 5.2.2 扭矩图

为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律, 以便于确定危险截面, 常用与轴线平行的 x 坐标 表示横截面的位置,以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩,把计算结果按比例绘在图上, 正值扭矩画在 x 轴上方,负值扭矩画在 x 轴下方。这种图形称为扭矩图。 例题 5.1 图示传动轴,转速 n ? 300 r min ,A 轮为主动轮,输入功率 N A ? 10 kW ,B、

4

C、D 为从动轮,输出功率分别为 N B ? 4.5 kW , NC ? 3.5 kW , N D ? 2.0 kW ,试求各段 扭矩。 解:1、计算外力偶矩

M eA ? 9549?

NA 10 kW ? 9549? ? 318.3 N ? m n 300 r min NB 4.5 kW ? 9549? ? 143.2 N ? m n 300 r min NC 3.5 kW ? 9549? ? 111.4 N ? m n 300 r min ND 2.0 kW ? 9549? ? 63.7 N ? m n 300 r min

M eB ? 9549?

M eC ? 9549?

M eD ? 9549?

2、分段计算扭矩,设各段扭矩为正,用矢量表示,分别为

T1 ? M eB ? 143.2 N ? m (图 c) T2 ? M eB ? M eA ? 143.2 N ? m - 318.3N ? m ? -175 N ? m (图 d) T3 ? ?M eD ? ?63.7 N ? m
(图 e)

T2 , T3 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图

T max ? 175N ? m

5

例题 5.1 图

5.3
5.3.1

等直圆轴扭转时横截面上的切应力

实心圆轴横截面上的应力

工程中要求对受扭杆件进行强度计算,根据扭矩 T 确定横截面上各点的切应力。下面用 实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。 1、变形几何关系 取一实心圆轴,在其表面等距离地画上圆周线和纵向线,如图 5.9(a)所示,然后在圆 轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 M e ,使圆轴产生扭转变形,如图 5.9(b) 所示,可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变,仅是绕圆轴线作了相对

6

转动;各纵向线均倾斜了一微小角度 ? 。

图 5.9 根据观察到的现象,由表及里作出如下假设。 ⑴ 变形后,圆轴上所有的横截面均保持为平面,即平面假设; ⑵ 横截面上的半径仍保持为直线; ⑶ 各横截面的间距保持不变。 圆轴扭转时,横截面上的切应力非均匀分布,仅依靠静力方程无法求出,必须利用变形 条件建立补充方程,即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。 根据上述假设,从圆轴中取相距为 dx 的微段进行研究,如图 5.10(a)所示。

图 5.10 设半径 R,根据平面假设,可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则

7

由图可知变形后,纵向线段 AB 变为 AB? , AB 和 AB? 的夹角为 ? (切应变) , BB 对应横截 面的圆心角 d? ,在小变形的条件下可以建立如下关系。

?

? BB? ? ?dx ? R ? d? d? ? ?R dx
为了研究横截面上任意点的切应变,从圆轴截面内取半径为 ? 的微段,如图 5.10(b)所 示。同理可得

?? ? ?

d? dx

(5.2)

上式表明,横截面上任意点的切应变同该点到圆心的距离 ? 成正比关系。 2、物理关系 根据剪切胡克定律,在剪切比例极限之内(或弹性范围以内)切应力和切应变成正比关 系

? ? G?
将(5–2)式代入上式,得

? ? ? G? ? ? G?

d? dx

(5.3)

上式表明,圆轴扭转时,横截面上任意点处的切应力 ? ? 与该点到圆心的距离 ? 成正比, 其分布如图 5.11 所示,式中

d? 可利用静力方程确定。 dx

图 5.11

8

3、静力学关系 根据图 5.11 所示,横截面上任意点的切应力 ? ? 和扭矩有如下静力学关系

?
将(5.3)式代入

A

?? ? dA ? T

G
式中,

d? dx

?A ?

2

dA ? T

?

A

? 2 dA ? I p 称截面的极惯性矩,代入上式,得
d? T ? dx GI p
(5.4)

将(5.4)式代入(5.3)式,得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式

?? ?

T ?? Ip

(5.5)

当 ? ? R 时,表示圆截面边缘处的切应力最大

? max ?

T T ? I p Wp R

(5.6)

式中, Wp 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。 5.3.2 极惯性矩和抗扭截面系数

极惯性矩 I P 和抗扭截面系数 W P 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。 对于图5.12(a)实心圆轴,可在圆轴截面上距圆心为 ? 处取厚度为 d? 的环形面积作为 微面积dA ,于是 dA ? 2??d? ,从而可得实心圆截面的极惯性矩为

I P ? ? ?A dA ? 2? ? ? 3 d? ?
2 A

D 2 0

?D 4
32

抗扭截面系数为

9

I WP ? P ? D/2

? D4

32 ? ? D D 16 2
D

3

如为图(b)空心圆轴,则有

I P ? ? ?A2 dA ? 2? ?d2 ? 3 d? ?
A 2

?
32

(D 4 ? d 4 ) ?

?D 4
32

(1 ? ? 4 )

式中 ? ?

d 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为 D

WP ?

IP ?D 3 ? (1 ? ? 4 ) D/2 16
4 4

极惯性矩 I P 的量纲是长度的四次方,常用的单位为 m m 或 m 。抗扭截面系数 W P 的 量纲是长度的三次方,常用单位为 m m 或 m 。
3 3

(a) 图 5.12

(b)

5.4
5.4.1

等直圆轴扭转时的强度计算

圆轴扭转强度条件

工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ?? ? ,即

? max ? ? ?

?T ? ? ? ?? ? ? W p ? ?max

10

对于等截面圆轴,表示为

? max ?
上式称为圆轴扭转强度条件

Tmax ? ?? ? Wp

试验表明,材料扭转许用切应力 ?? ? 和许用拉应力 ?? ? 有如下近似的关系。 塑性材料 脆性材料

?? ? ? 0.5 ~ 0.6?? ? ?? ? ? 0.8 ~ 1.0?? ?
汽车的主传动轴,由 45 号钢的无缝钢管制成,外径 D ? 90 mm ,壁厚

例题 5.2

? ? 2.5 mm ,工作时的最大扭矩 T ? 1.5 N ? m ,若材料的许用切应力 ?? ? ? 60 MPa ,试校
核该轴的强度。 解:1、计算抗扭截面系数 主传动轴的内外径之比

??
抗扭截面系数为

d 90 ? 2 ? 2.5 ? ? 0.944 D 90

Wp ?

? D3
16

(1 ? ? 4 ) ?

? ? (90)3
16

(1 ? 0.9444 ) mm3 ? 295 ?102 mm3

2、计算轴的最大切应力

? max ?
3、强度校核

T 1.5 ?106 N ? mm ? ? 50.8 MPa Wp 295 ?102 mm3

? max ? 50.8 MPa ? ?? ?
例题 5.3

主传动轴安全

如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴,要求它与原来的空心轴强度相同,试

确定实心轴的直径,并比较空心轴和实心轴的重量。

11

解:1、求实心轴的直径,要求强度相同,即实心轴的最大切应力也为 51 MPa ,即

??

T 1.5 ?106 N ? mm ? ? 51MPa πD13 Wp 16
3

D1 ?

1 6? 1 . ? 5 6 1 0 ?N m m ?53.1 mm π ? 5 1M P a

2、在两轴长度相等、材料相同的情况下,两轴重量之比等于两轴横截面面积之比,即

π 2 2 A空 4 ( D ? d ) 902 ? 852 ? ? ? 0.31 π 2 A实 53.12 D1 4
讨论: 由此题结果表明, 在其它条件相同的情况下, 空心轴的重量只是实心轴重量的 31%, 其节省材料是非常明显的。这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布,圆 心附近的应力很小,这部份材料没有充分发挥作用,若把轴心附近的材料向边缘移置,使其 成为空心轴,就会增大 I p 或 Wp ,从而提高了轴的强度。然而,空心轴的壁厚也不能过薄,否 则会发生局部皱折而丧失其承载能力(即丧失稳定性) 。

5.5
5.5.1

等直圆轴扭转时的变形及刚度条件

圆轴扭转时的变形

轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角表示,由(5.4)式

d? T ,可求 dx 段的相对 ? dx GI p

扭转角。

d? ?

T dx GI p

当扭矩为常数,且 GI p 也为常量时,相距长度为 l 的两横截面相对扭转角为

12

? ? ? d? ? ?
l

T Tl dx ? l GI GI p p

r a d(弧度)

(5.7)

式中, GI p 称为圆轴扭转刚度,它表示轴抵抗扭转变形的能力。 相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定,即正扭矩产生正扭转角,负扭矩产生负扭转 角。 若两横截面之间 T 有变化,或极惯性矩 I p 变化,亦或材料不同(切变模量 G 变化) ,则 应通过积分或分段计算出各段的扭转角,然后代数相加,即:

? ??

Ti li i ?1 Gi I pi
n

在工程中,对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率 d? dx 来度量, 用 ? 表示,称为单位长度扭转角。即:

??
5.5.2

d? T ? dx GI p

(5.8)

圆轴扭转刚度条件

工程中轴类构件,除应满足强度要求外,对其扭转变形也有一定要求,例如,汽车车轮 轴的扭转角过大,汽车在高速行驶或紧急刹车时就会跑偏而造成交通事故;车床传动轴扭转 角过大,会降低加工精度,对于精密机械,刚度的要求比强度更严格。下式即为刚度条件

? max ? ?? ?

(5.9)

在工程中, ?? ? 的单位习惯用 ( ? ) m (度/米)表示,将上式中的弧度换算为度,得

? max ? ? ?
对于等截面圆轴,即为

? T ? ? ? 180 ? ?? ? ? ? GIp ?max π

? max ?

Tmax 180 ? ? ?? ? GI p π

13

许用扭转角 ?? ? 的数值,根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定,对一般 传动轴, 对于精密机器的轴, ?? ? 为 0.5 ( ? ) m ~1 (? ) m , ?? ? 常取在 0.15 (? ) m ~ 0.30 (? ) m 之间。 例题 5.4 扭转角。 图示轴的直径 d ? 50 mm ,切变模量 G ? 80 GPa ,试计算该轴两端面之间的

例题 5.4 图 解:两端面之间扭转角 ? AD 为

? AD ? ? AB ? ? BC ? ? CD
1、作扭矩图(图 b) 2、分段求扭转角

? AD ?

TABl TBC l TCD l l ? ? ? (2TAB ? TBC ) GI p GI p GI p GI p

式中,

Ip ?

πd 4 π ? ? (50)4 mm 4 ? 61.36 ?104 mm 4 32 32

? AD ?

500 mm (2 ? 2 ?106 N ? mm ? 1?106 N ? mm) ? 0.051 rad 4 4 80 ?10 MPa ? 61.36 ?10 mm
3

例题 5.5

主传动钢轴,传递功率 P ? 60 kW ,转速 n ? 250 r min ,传动轴的许用切

应力 ?? ? ? 40 MPa,许用单位长度扭转角 ? ? ? ? 0.5 ( ? ) m ,切变模量 G ? 80 GPa ,试计算

14

传动轴所需的直径。 解:1、计算轴的扭矩

60 kW T ? 9549 ? 2292 N ? m 250 r min
2、根据强度条件求所需直径

??

T 16T ? ? ?? ? Wp π d3

d?

3

16T 16 ? 2292 ?103 N ? mm ?3 ? 66.3 mm π ?? ? π ? 40MPa

3、根据圆轴扭转的刚度条件,求直径

??

T 180 ? ? ?? ? GI p π

d?

4

32T 32 ? 2292 ?103 N ? mm ? ? 76 mm Gπ ?? ? 4 80 ?103 MPa ? 0.5 ( ) 103mm ? π ? π 180

故应按刚度条件确定传动轴直径,取 d ? 76 mm 。

本章小结
1、圆轴扭转横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正比,在圆心处为零。最大剪应 力发生在截面外周边各点处,其计算公式如下:

?? ?

T T? , ? max ? max Ip Wp

2、圆轴扭转的强度条件为:

? max ?

Tmax ? ?? ? Wp

利用它可以完成强度校核、确定截面尺寸和许可荷截等三类强度计算问题。 3、圆轴扭转变形的计算公式为:

15

??

Tl GI p

圆轴扭转的刚度条件是:

? max ?

T 180 ? ? [? ] GI p ?

思 考 题
5.1 直径相同,材料不同的两根等长的实心圆轴,在相同的扭矩作用下,其最大切应力

? max 和最大单位扭转角 ? max 是否相同?
5.2 大? 横截面面积相同的空心圆轴和实心圆轴相比,为什么空心圆轴的强度和刚度都较


5.1 试作下列各轴的扭矩图。



题 5.1 图 5.2 图示传动轴,转速 n ? 300 r min ,A 轮为主动轮,输入功率 PA ? 50 kW ,B、C、

D 为从动轮,输出功率分别为 PB ? 10 kW , P C ? P D ? 20 kW 。⑴试作轴的扭矩图;⑵如

16

果将轮 A 和轮 C 的位置对调,试分析对轴受力是否有利。

题 5.2 图 5.3 5.4

题 5.3 图

T 为圆轴横截面上的扭矩,试画出截面上与 T 对应的切应力分布图。 图示圆截面空心轴,外径 D ? 40 mm ,内径 d ? 20 mm ,扭矩 T ? 1 kN ? m ,试

计算 ? ? 15 mm 的 A 点处的扭转切应力 ? A 以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。

题 5.4 图 5.5 一直径为 90 mm 的圆截面轴,其转速为 45 r min ,设横截面上的最大切应力为

50 MP a,试求所传递的功率。
5.6 将直径 d ? 2 mm ,长 l ? 4 m 的钢丝一端嵌紧,另一端扭转一整圈,已知切变模量

G ? 80 GPa ,求此时钢丝内的最大切应力 ? max 。
5.7 某钢轴直径 d ? 80 mm ,扭矩 T ? 2.4 kN ? m ,材料的许用切应力 ?? ? ? 45 MPa ,

单位长度许用扭转角 ? ? ? ? 0.5 ( ? ) m ,切变模量 G ? 80 GPa ,试校核此轴的强度和刚度。 5.8 阶梯形圆轴直径分别为 d1=40mm,d2=70mm,轴上装有三个皮带轮,如图所示。已知 由轮 3 输入的功率为 N3=3kW, 轮 1 输出的功率为 N1=13kW, 轴作匀速转动, 转速 n=200r/min,

17

材料的许用切应力 ?? ? ? 60 MPa, G ? 80 GPa ,许用扭转角 ?? ? ? 2 度和刚度。

?

m =。试校核轴的强

题 5.8 图 5.9 一 钢 轴 受 扭 矩 T ? 1.2 kN ? m , 许 用 切 应 力

?? ? ? 50 MPa , 许 用 扭 转 角

?? ? ? 0.5 ?
5.10

m ,切变模量 G ? 80 GPa ,试选择轴的直径。
桥式起重机题 5.10 图所示。若传动轴传递的力偶矩 M e ? 1.08kN ? m ,材料的许

用切应力 ?? ? ? 40 MPa, G ? 80 GPa ,同时规定 [? ] ? 0.5°/m。试设计轴的直径。

题 5.10 图 5.11 某空心钢轴,内外径之比 ? ? 0.8 ,转速 n ? 250 r min ,传递功率 N ? 60 kW , 已知许用切应力 ?? ? ? 40 MPa,许用扭转角 ? ? ? ? 0.8 ( ? ) m ,切变模量 G ? 80 GPa ,试设 计钢轴的内径和外径。 5.12 某传动轴,横截面上的最大扭矩 T ? 1.5 kN ? m ,许用切应力 ?? ? ? 50 MPa ,试按

下列两种方案确定截面直径:⑴横截面为实心圆截面;⑵横截面为 ? ? 0.9 的空心圆截面。 5.13 横截面面积相等的实心轴和空心轴,两轴材料相同,受同样的扭矩 T 作用,已知实

心轴直径 d1 ? 30 mm ,空心轴内外径之比值 ? ?

d ? 0.8 。试求二者最大切应力之比及单位 D

18

长度扭转角之比。 5.14 钢质实心轴和铝质空心轴(内外径比值 ? ? 0.6 )的横截面面积相等,钢轴许用应

力 ?? 1 ? ? 80 MPa ,铝轴许用应力 ?? 2 ? ? 50 MPa,若仅从强度条件考虑,哪一根轴能承受较 大的扭矩? 5.15 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起,已知轴的转速 n ? 100 r min ,传

递功率 N ? 7.5 kW ,材料的许用切应力 ?? ? ? 40 MPa ,试选择实心轴直径 d1 和内外径比值

? ? 0.5 的空心轴外径 D2 。

题 5.15 图 5.16 已知传动轴的功率分别为 N A ? 300 kW , N B ? 200 kW , NC ? 500 kW ,若

AB 段和 BC 段轴的最大切应力相同,试求此两段轴的直径之比及两段轴的扭转角之比。

题 5.16 图 5.17 已知轴的许用切应力 ?? ? ? 21 MPa ,切变模量 G ? 80 GPa ,许用单位扭转角

?? ? ? 0.3 (? )
总可满足。 5.18

m ,试问此轴的直径 d 达到多大时,轴的直径应由强度条件决定,而刚度条件

长度、材料、外力偶矩相同的两根圆轴,一根是实心轴,直径为 d1 ,另一根为空

19

心轴,内外径之比 ? ? d 2 D2 ? 0.8 ,试求两轴具有相等强度时的重量比和刚度比。 5.19 图示圆轴承受集度为 m 的均匀分布的扭力矩作用, 已知轴的抗扭刚度 GI p 和长度 l,

试求 B 截面的扭转角 ? B 。

题 5.18 图 5.20

题 5.19 图

传动轴外径 D ? 50 mm ,长度 l ? 510 mm , l1 段内径 d1 ? 25 mm , l 2 段内径

d 2 ? 38 mm ,欲使轴两段扭转角相等,则 l 2 应是多长。

20


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