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专题3 三角函数与平面向量 (学生版)


2013 年高考文科数学专题复习 3
三角函数与平面向量 一、知识结构

二、题型与方法
1、向量:向量题一般难度不大,多在客观题中考查。主要考查向量的运算(加减、数 乘、数量积) ,平行四边形和三角形法则,平行、垂直、模、夹角、投影、定比分点以及平 移等问题。常与平面几何、解析几何、三角函数等知识相结合。解向量题要注意利用向量的 几何意

义画图求解,若图较难画,应转为坐标法求解。 2、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式:多在客观题中考查,记住相关概念、公式 即不难解决。 3、 三角函数图像变换及求函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的解析式: 函数 y=Asin(ωx+φ)+B 图 像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A、ω、φ 问题是高考的热点,题型既有选择题、填 空题,又有解答题,难度中低档,主要考查识图、用图能力,同时考查利用三角公式进行三 角恒等变换的能力. ▲确定函数 y=Asin(ωx+φ)+B 解析式的方法 (1)给出 y=Asin(ωx+φ)的图像,求解析式,常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把 第一个零点作为突破口,可以从图像的升降找准第一个零点的位置. (2)给出 y=Asin(ωx+φ)+B 的图像求解析式,参数 A,B, 最大值-最小值 最大值+最小值 A= ,B= ;由 T=2∏÷ω 求 ω,最后代点求 φ。 2 2 ▲函数 y=Asin(ωx+φ)的图像变换的技巧及注意事项 (1)函数图像的平移变换规则是“左加右减”. (2)在变换过程中务必分清先相位变换,还是先周期变换. (3)变换只是相对于其中的自变量 x 而言的,如果 x 的系数不是 1,就要把这个系数提取后再 确定变换的单位长度和方向. 4、求值问题:三角函数的求值、求角问题包括: (1)“给角求值”,即在不查表的前提下,通过三角恒等变换求三角函数式的值; (2)“给值求值”,即给出一些三角函数值,求与之有关的其他三角函数式的值; (3)“给值求角”,即给出三角函数值,求符合条件的角. 这类题的主要解法是注意从角、名、结构等方面观察已知条件和求解式的异同,合理选 用三角公式进行三角变换消除已知条件和求解式的差异。 要掌握三角函数恒等变换的基本策略 (1)常值代换.特别是“1”的代换。(2)项的分拆与角的配凑. (3)降次与升次,即半角公式降 次与倍角公式升次.(4)化弦(切)法.将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切). (5)引入辅助角. 求角问题要做完两个步骤 (一是讨论所求角的范围, 二是求出该角的某一种三角函数值) 后才能确定角的值。 5、给出三角函数式,要求研究三角函数的性质(求周期、单调区间、对称轴、对称中 心、奇偶性、求最值等)或图象(作图象或研究图象的变换) 。这类题的一般解法是先化简 三角函数式至 y=Asin( ? x+ ? )+k 的形式, 然后按照固定的套路来解相应的问题即可。 (想想 如何求函数 y=Asin( ? x+ ? )+k 的周期、单调区间、对称轴、对称中心?它要满足什么条件 才具有奇偶性?如何求它在闭区间上的最值?如何用五点法作出它的图象?怎样对它的图 象进行平移,伸缩变换?)化简过程一般会用到和差角公式、二倍角公式、降幂公式和辅助 角公式。 6、研究三角形中的三角函数问题或解三角形(求边求角) 。这类题的解题思路是首先用

正、余弦定理对所给的条件或需求解的式子进行边角互化,通常在边和角这两种元素中 只保留一种(角化边或边化角) 。若去边留角,则通过三角变换(从角、函数名,式子的运 算结构等方面进行变形, 化异为同、 化繁为简) 解决问题; 若去角留边, 则通过代数运算 (将 式子相加减、配方、分解因式、联立方程组求解、对式子使用均值不等式等)来解决问题。 ▲解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边,如已知 A,B 和 c,由 A+B+C=π 求 C,由正弦定理求 a,b. (2)已知两边和这两边的夹角,如已知 a,b 和 C,应先用余弦定理求 c,再应用正弦定理先 求较短边所对的角,然后利用 A+B+C=π 求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角,如已知 a,b 和 A,应先用正弦定理求 B,由 A+B+C=π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c,要注意解可能有多种情况. (4)已知三边 a,b,c,可应用余弦定理求 A,B,C. ▲应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步 (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡 度、仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关 知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案. 7、 三角函数问题往往与其它章节的内容结合在一起考查。 最常见的形式是与向量结合, 与均值不等式结合或与二次函数结合。 与向量结合的问题常要用到向量的数量积公式、 平行、 垂直的充要条件、 夹角公式等。 与均值不等式结合或与二次函数结合的问题通常是最值问题。 不管三角函数题以何种面目出现,它的难度都不会太大。考试中要耐心计算,确保这个 题得高分。 三角式化简是否正确是这道题成败的关键。 化简后记得一定要代一两个特殊角进 行检验,确保无误。

三、典型例题 (一)客观题
1、.【2012 高考重庆文 5】

1 1 sin 47 ? sin17 cos 30 3 3 (A) ? (B) ? (C) (D) 2 2 cos17 2 2

2. (2008 全国理 8)为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ( ) A.向左平移

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像 3?

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6 4? , 0) 中心对称,那么 ? 3、 (2009 全国文 10) 如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( 3
B.向右平移 的最小值为 (A)

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

0?? ?? , 4. 【2012 高考新课标文 9】 已知 ω>0, 直线 x ?
π 图像的两条相邻的对称轴,则 φ=(A) 4 π (B) 3

?
4

和x ?

5? 是函数 f(x)=sin(ωx+φ) 4
(D) 3π 4

π (C) 2

5.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于

A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4
2

6.【2012 高考江西文 9】已知 f ( x) ? sin ( x ? A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1

?

1 ) 若 a=f(lg5) , b ? f (lg ) 则 4 5

7.【2012 高考四川文 7】设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 )A、| a |?| b | 且 a // b B、 a ? ?b

a b 成立的充 ? |a| |b|
D、 a ? 2b

分条件是(

C、 a // b

8、(2011 全国理 12) 设向量 a ,b ,c 满足| a |?| b |? 1 ,a ? b ? ? 则 c 的最大值等于 (A)2 9、 (2009 全国理 16)若 (B) 3

1 ,? a ? c, b ? c ?? 60? , 2
(D)1 .

(c) 2
3

?
4

< X<

?
2

,则函数 y ? tan 2x tan x 的最大值为

? ?? 4 ? 10. 【2012 高考江苏 11( 】5 分) 设 ? 为锐角, 若 cos ? ? ? ? ? , 则 sin( 2a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
11. 【 2012 高 考 江 西 文 12 】 设 单 位 向 量 m= ( x , y ) , b= ( 2 , -1 ) 。若 =_______________ 12. 【2012 高考湖南文 15】 如图 4, 在平行四边形 ABCD 中 , AP⊥BD, 垂足为 P, AP ? 3 ,则

且 AP AC =

.

(二)三角函数求值问题
1.【2012 高考广东文 16】 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A cos ?

?x ?? ? ? , x?R , ?4 6?

且 f?

4 ? 30 ?? ? ? ? ?? ( 2 ) 设 ? ? ? ? ?0, ? , f ? 4? ? ? ? ? ? , ?? 2 (1)求 A 的值; 3 ? 17 ?3? ? ? 2?

2 ? 8 ? f ? 4? ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 ? 5 ?

2. (2011 年高考四川卷文科 18)(本小题共 12 分)已知函数

7? ? f ( x) ? sin ? x ? 4 ?

3? ? ? ? ? cos ? x ? 4 ? ?

? ? , x ? R (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; ?

(Ⅱ)已知 cos ? ? ? ? ? ?

4 4 ? 2 , cos ? ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ? ,求证:? f ( ? ) ? ? 2 ? 0 . 5 5 2

3. ( 2009 广 东 卷 理 )已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

(二)三角函数的图像与性质
1.【2012 高考湖南文 18】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

2.【2012 高考重庆文 19】 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)设函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ?
象与 x 轴的相邻两个交点的距离为

?
6

处取得最大值 2,其图

? ( I ) 求 f ( x ) 的 解 析 式 ; ( II ) 求 函 数 2

g ( x) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域。

3. (2011 年高考重庆卷文科 18)(本小题满分 13 分, (I)小问 7 分, (II)小问 6 分) 设函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos(? ? x)cos x( x ? R). (II)若函数 y ? f ( x) 的图象按 b ? ? (1) 求 f ( x ) 的最小正周期;

?? 3 ? ?4, 2 ? ? 平移后得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 ? ?

y ? g ( x) 在 (0, ] 上的最大值。 4

?

(三)解三角形
1.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........

?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,其对边 a 、 b 、 c 满足 2b2 ? 3ac ,求 A 。

2.(2011 年高考全国卷文科 18)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 (Ⅱ)若 A ? 750 , b ? 2, 求a与c a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B, (Ⅰ)求 B;

D 为边 BC 上的一点, ?ABC 中, BD ? 33 , sin B ? 3、 (2010 全国 2)
求 AD 。

5 3 cos ?ADC ? , , 13 5

4. (07 全国卷 1 理 17)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,

a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

5. 【 2008 年全国Ⅰ理】 设 △ ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a,b,c ,且

a cos B ? b cos A?

3 c. (Ⅰ )求 tan A cot B 的值; (Ⅱ )求 tan( A ? B) 的最大值. 5

6. (2011 年高考陕西卷文科 18)(本小题满分 12 分)叙述并证明余弦定理。

(四)应用题
1. (2008 高考湖南理 19)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为 警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的 船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B ,经过 40 分钟又测得该船 已行驶到点 A 北偏东 45 ? ? (其中 sin ? ?

26 , 0 ? ? ? 90 )且与点 A 相距 10 13 26

海里的位置 C . (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ; (2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.


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