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圆锥曲线--椭圆


椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)
高三数学备课组


1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角.



PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去 长轴的两个端点.

>3. 4. 5.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 0 2 a b a b 2 2 x y 6. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线 0 a b x0 x y0 y 方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 7. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F PF2 ? ? ,则椭圆 1 a b ? 2 的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b tan . 2 2 2 x y 8. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相 应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M, A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即 K AB

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB ? ? 2 , a2 b a 2 b x ?? 2 0 。 a y0

xx y y x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 02 ? 02 ? 02 ? 02 . a2 b a b a b 2 2 2 2 xx y y x y x y 13. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 02 ? 02 . 0 a b a b a b
12. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0

双曲线
1. 2. 3. 4. 5. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0

xx y y x2 y 2 ? 2 ?1 (a>0,b>0) 则过 P 的双曲线的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 上, 0 2 a b a b
1

6.

7.

8.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、 a 2 b2 xx y y P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o) 的左右焦点分别为 F1, 2, P 为双曲线上任意一点 ?F PF2 ? ? , F 点 1 a b ? 2 则双曲线的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b co t . 2 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a . 1
若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 11. AB 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 a b b2 x b2 x K OM ? K AB ? 2 0 ,即 K AB ? 2 0 。 a y0 a y0
12. 若 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 0

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a 2 b2

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b
13. 若 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 0

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 a 2 b2

x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
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2 2



1.

2.

x y ? 2 ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 2 a b x2 y 2 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C a b b2 x 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数). a y0
椭圆 若 P 为椭圆

3.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a 2 b2
2

?PF2 F1 ? ? ,则
4. 设椭圆

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在 a 2 b2 sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F F2 P ? ? ,则有 1

5.

若椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时, a 2 b2

可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则 a 2 b2

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7. 椭 圆

( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a2 b2 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .

8.

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ .(1) a b 4a 2b2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ; 2) ( |OP| +|OQ| 的最大值为 2 ; 3)S?OPQ 的最小值是 2 ( . a ? b2 a ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平 a 2 b2 | PF | e ? . 分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2
过椭圆

9.

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a a x2 y 2 11. 设 P 点是椭圆 2 ? 2 ? 1 a>b>0) ( 上异于长轴端点的任一点,F1、 2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? , F a b
10. 已知椭圆 则(1) | PF1 || PF2 |?

? 2b2 2 .(2) S ?PF1F2 ? b tan . 2 1 ? cos ?

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , a 2 b2 2ab2 | cos ? | ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 2 .(2) a ? c co s2 ? 2a 2 b 2 cot ? . tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ? 2 b ? a2 x2 y 2 13. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相 a b
12. 设 A、B 是椭圆
3

交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
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双曲线
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 a 2 b2 x2 y 2 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 2. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C a b b2 x 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 0 (常数). a y0
1. 双曲线 3. 若 P 为双曲线

x2 y 2 ? ?1 (a>0,b>0) (或左) 右 支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a 2 b2

?PF2 F1 ? ? ,则
4. 设双曲线

c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点, a 2 b2 sin ? c ? ?e. ?(sin ? ? sin ? ) a

在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F F2 P ? ? ,则有 1

5.

若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 ? 1 时, a 2 b2

可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 双 曲 线 内 一 定 点 , 则 a 2 b2

| AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.
4

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 . a 2 b2 x2 y 2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . ,O a b 4a 2b 2 a 2b 2 1 1 1 1 (1) ;(3) S?OPQ 的最小值是 2 . ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为 2 b ? a2 b ? a2 | OP |2 | OQ |2 a b
7. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直 a 2 b2 | PF | e 平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2
9. 过双曲线

x2 y 2 10. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交 a b a 2 ? b2 a 2 ? b2 于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? , a b 2 ? 2b 2 则(1) | PF1 || PF2 |? .(2) S ?PF1F2 ? b cot . 2 1 ? cos ? 2 2 x y 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, ?PAB ? ? , a b 2ab2 | cos ? | ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 2 . | a ? c co s2 ? | 2a 2 b 2 2 cot ? . (2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB ? 2 b ? a2 x2 y 2 13. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与双 a b
曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必

与切线垂直. 15. 16. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 18. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

5

第十三单元 直线与圆锥曲线的位置关系
一.选择题 (1) ( A3
2

椭 )



x2 y2 ? ?1 上 的 点 到 直 线 16 4
B

x ? 2y ? 2 ? 0 的 最 大 距 离 是
C 2 2 D 10

11

(2) 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的 直线 ( ) A 有且仅有一条 B 有且仅有两条 C 有无穷多条 D 不存在

x2 y2 3 c, (3) 设双曲线 2 ? 2 ? 1 (0<a<b)的半焦距 c, 直线 l 过(a, 0), (0, b)两点. 已知原点到直线 l 的距离为 a b 4
则 ( 双 ) A 2 (4) 如果椭圆 B 曲 线 的 C 离 心 D ( 率
2 3 3



3

2

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 36 9 A x ? 2y ? 0 B x ? 2y ? 4 ? 0 C 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D x ? 2y ? 8 ? 0

)

(5)过双曲线 2x2-y2-8x+6=0 的由焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点, 若|AB|=4, 则这样 的直线有 ( ) A4条 B3条 C2条 D1条 (6) 已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是 ( ) A

1 2

B

3 2

C

7 2

D5

(7) 直线 l 交椭圆 4x2+5y2=80 于 M、 两点, 椭圆的上顶点为 B 点, 若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦 N 点 上 , 则 直 线 l 的 方 程 是 ( ) A 5x+6y-28=0 B 5x+6y-28=0 C 6x+5y-28=0 D 6x-5y -28=0 (8) 过抛物线 y ? ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、q,
2

则 ( A2a (9) 已知双曲线 ( A ) ) B

1 1 ? p q
1 2a
C 4a





D

4 a

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1⊥x 轴,则 F1 到直线 F2M 的距离为 6 3

3 6 5

B

5 6 6

C

6 5

D

5 6

(10) 点 P(-3,1)在椭圆

线 y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 A

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上,过点 P 且方向为 a ? (2,?5) 的光线,经直 a2 b2
( ) D

3 3

B

1 3
6

C

2 2

1 2

二.填空题

x2 y2 ? ? 1 的两焦点为 F1,F2,一直线过 F1 交椭圆于 P、Q,则△PQF2 的周长为 ___________. 25 9 (12) 若直线 l 过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点,并且与 y 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则
(11) 椭圆 a=_______ (13) 过点 M (3,?1) 且被点 M 平分的双曲线
x2 ? y 2 ? 1 的弦所在直线方程为 4

.

x2 2 (14) 已知 F1 、F2 是椭圆 +y =1 的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF1|·|PF2|的最大值 4
是 . 三.解答题 (15) 如图,O 为坐标原点,过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线 y2=2x 于 M(x1,y1),N(x2, y2)两点. (1)写出直线 l 的方程; (2)求 x1x2 与 y1y2 的值; (3)求证:OM⊥ON. l 交抛物线

(16) 已知椭圆 C:

x2 y2 + 2 =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率为 e. 直线 a2 b

l:y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的 对称点,设 AM =λ AB . (Ⅰ)证明:λ =1-e2; (Ⅱ)若 ? ?

3 ,△PF1F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程. 4

(17) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( 3,0) (1)求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B, OA ? OB ? 2 且 (其中 O 为原点) . 求 k 的取值范围.

(18) 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上, 左准线 l 与 x 轴的交点为 M, MA1|∶|A1F1|=2∶1. | A1 A2 的长为 4, (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若点 P 为 l 上的动点,求∠F1PF2 最大值

P

l
M A1 F1

y

长 轴

l1
7

o

F2 A2 x

参考答案 一选择题: 1.D [解析]:设椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 P(4cosθ ,2sinθ ) 16 4 则点 P 到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的距离 ? | 4 2 sin(? ? ) ? 2 | | 4 cos ? ? 4 sin ? ? 2 | 4 ? d= 5 5

? 10 5 2 2.B ; [解析]:过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,
若直线 AB 的斜率不存在,则横坐标之和等于 2,不适合。 故设直线 AB 的斜率为 k,则直线 AB 为 y ? k ( x ? 1) 代入抛物线 y 2 ? 4 x 得, k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 ∵A、B 两点的横坐标之和等于 5,∴

d max ?

| ?4 2 ? 2 |

4 2(k 2 ? 2) ? 5,k 2 ? 2 3 k

3.A;

则这样的直线有且仅有两条 [解析]:直线 l 过(a, 0), (0, b)两点. 即为: bx ? ay ? ab ? 0 ,故原点到直线 l 的距离
2 2 2

| ?ab |

a (c ? a ) 3 2 3 ? c = c, 2 2 16 c2 4 a ?b
∴e = 2 3 或 2,
3

1?

1 3 ? e2 2 16 e

又 0<a<b,故 e ?
2

c2 a2 ? b2 a2 ? a2 ? ? ?2 a2 a2 a2

∴e = 2 4.D ;[解析]:用‘点差法’ 这条弦的两端点位 A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为 k,则 :

? x1 2 y1 2 ? ?1 ? x ? x2 y ? y2 ? 36 9 ?k 1 ?0 两式相减再变形得 1 ? 2 2 36 9 ? x2 ? y 2 ? 1 ? 36 9 ? 1 又弦中点为(4,2),故 k= ? 2 1 故这条弦所在的直线方程 y-2= ? (x-4) 2
5.B ; [解析]:过双曲线 2x -y -2=0 的由焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点, 若 l ? x轴, AB 为通径,而通径长度正好是 4,故直线 l 交双曲线于同支上的 A、B 两点 则 且|AB|=4,这样的直线只有一条, 若 l 经过顶点,此时|AB|=2, 故直线 l 交双曲线于异支上的 A、B 两点且|AB|=4,这样的 直线有且只有两条, 故选 B。 6.C ; [解析]:已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则点 P 的轨迹是以 A、B 为左右焦 点的双曲线的右支,
2 2

8

故|PA|的最小值是 A 到右顶点的距离,为 2+

3 7 ? 2 2

7.D [解析]:设 M(x1,y1) 、N(x2,y2), 而 B(0,4), 又△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点(2,0) 上, 故 x1+ x2=6,y1+ y2=-4,又 A、B 在椭圆上,故得

?6 x1 ? 5 y1 ? 28 ? 0 ? ?6 x2 ? 5 y 2 ? 28 ? 0 则直线 l 的方程是 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 8.C [解析]:过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点, 1 1 , q ? y2 ? 设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2),则 p= y1 ? 4a 4a 1 设直线 PQ 为 y ? kx ? ,联立直线方程与抛物线方程可得 4a 1 1 ? 2k 2 , y1 ? y 2 ? y1 ? y2 = a 16 a 2 1 y1 ? y 2 ? 1 1 2a ? = =4 a 1 1 p q y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 4a 16a 2 x2 y2 6 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1⊥x 轴,M(3, 9.C [解析]:已知双曲线 )则 6 3 2 6 6? F1 F2 ? MF1 6 5 6 6 2 ?6 ? MF1= ,故 MF2= 2 6 ? ,故 F1 到直线 F2M 的距离为 ? MF2 5 2 2 2 5 6 2 2 2 2 x y a ?3 10.A[解析]: 点 P(-3,1)在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上, 故 c a b 点 P(-3,1)关于直线 y ? ?2 的对称的点为 Q,则 Q(-3,-5) ,设椭圆的左 5 5 焦点为 F,则直线 FQ 为 y ? ? ( x ? 5) ,故 5 ? ( ?c ? 3) 2 2 ∴ c ? 1, a ? 3
二填空题: 11. 20 ;[解析]:△PQF2 的周长=4 a 12.

1 1 ;[解析]:l 被抛物线截得的线段长 即为通径长 4 a

,故

1 =4, a

13. 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 ;[解析]:

参考选择题(4) ,由‘点差法’ 可得斜率为 ?
2 2 2

14. 4 .; [解析]:由焦半径公式|PF1|= a ? ex ,|PF2|= a ? ex |PF1|·|PF2|=( a ? ex ) a ? ex )= a ? e x ( 则|PF1|·|PF2|的最大值是 a =4. 三解答题 (15)解(Ⅰ)解:直线 l 的方程为
2

3 4

y ? k ( x ? 2)
(Ⅱ)解:由①及 y2=2x 消去 y 可得

(k ? 0)



② 点 M,N 的横坐标 x1 与 x2 是②的两个根,
9

k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 1) x ? 4k 2 ? 0.

由韦达定理得 x1 x2 ?

4k 2 ? 4. k2 2 2 由y1 ? 2 x1 , y 2 ? 2 x2

得( y1 y 2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 ? 4 ? 16, 注意到y1 y 2 ? 0, 所以y1 y 2 ? ?4.
(Ⅲ)证明:设 OM,ON 的斜率分别为 k1, k2,

则k1 ?

y1 y , k2 ? 2 . x1 x2 y1 y 2 ? 4 ? ? ?1, x1 x 2 4

相乘得k1 k 2 ?

(16) (Ⅰ)证法一:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,

所以OM ? ON.

? y ? ex ? a, ? x ? ?c, a ? 2 ? 2 2 所以 A、B 的坐标分别是 (? ,0), (0, a). ? x 由 得? y2 b 2 这里c ? a ? b . e ? 2 ? 2 ? 1, ? y ? . a b ? ?a 2 b a b2 a 所以点 M 的坐标是( ? c, ). 由 AM ? ? AB得(?c ? , ) ? ? ( , a). a e a e a ?a ?e ? c ? ? e ? 即? 2 解得? ? 1 ? e 2 b ? ? ?a ?a ?
证法二: 因为 A、 分别是直线 l:y ? ex ? a 与 x 轴、 轴的交点, B y 所以 A、 的坐标分别是 ( ? B 设 M 的坐标是 ( x0 , y 0 ),由AM ? ? AB得( x0 ?

a ,0), (0, a ). e

a a , y 0 ) ? ? ( , a), e e
2 2 x0 y 0 ? 2 ? 1, a2 b

a ? ? x0 ? (? ? 1) 所以 ? e ? y 0 ? ?a. ?

因为点 M 在椭圆上,所以

a [ (? ? 1)]2 (?a) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 即 e ? 2 ? 1, 所以 ? ? 1. a2 b e2 1 ? e2 e 4 ? 2(1 ? ? )e 2 ? (1 ? ? ) 2 ? 0, 解得 e 2 ? 1 ? ? 即? ? 1 ? e 2 . 1 3 (Ⅱ)当 ? ? 时, c ? ,所以 a ? 2c. 由△MF1F2 的周长为 6,得 2a ? 2c ? 6. 2 4 x2 y2 2 2 2 ? ? 1. 所以 a ? 2, c ? 1, b ? a ? c ? 3. 椭圆方程为 4 3 x2 y2 (17) 解: (Ⅰ)设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0). a b 2 由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1. x2 ? y 2 ? 1. 故双曲线 C 的方程为 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. (Ⅱ)将 y ? kx ? 2代入 3
10

?1 ? 3k 2 ? 0, ? 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? ?? ? (6 2k ) 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0. ? 1 2 2 即 k ? 且k ? 1. ① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则 3 6 2k ?9 x A ? xB ? , x A xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A x B ? y A y B ? 2, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 而 x A xB ? y A y B ? x A xB ? (kxA ? 2 )(kxB ? 2 ) ? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2k ?2? 2 . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1 3k 2 ? 7 ? 3k 2 ? 9 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 于是 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 1 ? k 2 ? 3. ② 3 1 ? k 2 ? 1. 由①、②得 3 3 3 故 k 的取值范围为 (?1,? ) ? ( ,1). 3 3 ? (k 2 ? 1)
(18)解 (Ⅰ)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? ,半焦距为 c ,则 a 2 b2

MA1 ?

a2 ? a, A1 F1 ? a ? c c

? a2 ? c ? a ? 2?a ? c? ? ? ? 由题意,得 ?2a ? 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?

a ? 2, b ? 3, c ? 1

x2 y 2 ? ? 1. 4 3 (Ⅱ) 设P ? ?4, y0 ? , y0 ? 0 故椭圆方程为
设直线PF1的斜率k1 ? ? ? ? y0 y ,直线PF2的斜率k2 ? ? 0 3 5

0 ? ?F1 PF2 ? ?PF1 M ? ?F1 PF 为锐角。

?
2

,

? tan ?F1 PF2 ?

2y 2 y0 k2 ? k1 15 ? 2 0 ? ? . 1 ? k1k2 y0 ? 15 2 15 y0 15

当 y0 ? 15,即y0 = ? 15时, ?F1 PF2 取到最大值,此时?F1 PF2 最大, tan 故?F1 PF2的最大值为arctan 15 . 15

11


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