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4.3单位圆与诱导公式


1.4.3单位圆与诱导公式

复习回顾

1.在直角坐标系中,给定单位圆,对 于任意角 ? ,终边与单位圆交于点 P(u,v),那么点P的纵坐标v叫作角 ? 的 正弦函数,记作 v ? sin ? ;点P的 P(u,v) 横坐标u叫作角 ? 余弦函数,记作 u ? cos?. 2.公式(1) M

y

/>?
o 1 x

sin(? ? 2k ?) ? sin ? cos(? ? 2k ?) ? cos ? (k ? Z)

13? 11? () ;(2) cos( ? ). 3.练习 求值: 1 sin 4 6

§4.3 单位圆与诱导公式(一)
诱导公式推导:
1、角 ? 与 ?? 的正弦函数、 余弦函数关系:
o
??

y P(u,v)

x

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ?
公式(2)

P'( u,-v )

2、 角 ? 与 2? ? ? 的正弦函

y

数、余弦函数关系:

P(u,v) o
??

sin(2? ? ? ) ? ? sin ? 公式(3) cos(2? ? ? ) ? cos ?
3、角 ? 与 ? ? ? 的正弦函 数、余弦函数关系:

x P'(u,-v)

2? ? ?
y

? ??
公式(4)
P'(-u,-v) o

P(u,v)

sin ?? ? ? ? ? -sin ?
cos ?? ? ? ? ? -cos ?

x

4、 角 ? 与 ? ? ? 的正弦函

数、余弦函数关系:
P'(-u, v)

y

? ??
o

P(u,v)

x

sin ?? ? ? ? ? sin ?
cos ?? ? ? ? ? -cos ?

公式(5)

5、角

?与

?
2

? ? 的正弦函

y
P‵

?
2

数、余弦函数关系:

P'(- v ,u)

??

P(u,v)

sin( ? ? ) ? cos? 2 cos( ? ? ) ? ? sin ? 2
思考:

?

M‵ O

M

x

?

公式(6)

sin( ? ? ) ? cos? ? 2 cos( ? ? ) ? sin ? ? 2

?

?

公式(7)

诱导公式: 公式(1)sin(? ? 2k ?) ? sin ? 公式(2) sin(2?
cos(? ? 2k ?) ? cos ?(k ? Z)

? ? ) ? ? sin ? cos(2? ? ? ) ? cos ? cos(?? ) ? cos ? 公式(3) sin(?? ) ? ? sin ? 公式(4) sin ?? ? ? ? ? -sin ? cos ?? ? ? ? ? -cos ?
公式(5) sin ?? ? ? ? ? sin ? 公式(6) sin(

?

2

? ? ) ? cos?

cos ?? ? ? ? ? -cos ?
记忆方法:

cos( ? ? ) ? sin ? 2
公式(7) sin( ? ? ) ? cos? 2
cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

?

奇变偶不变,符号看象限

?

诱导公式应用:

例1 求下列各角的三角函数值

7 (1) sin( ? ? ) 4
解: (1) sin( ? ? ? sin(2? ? 7 4

2 (2) cos ? 3
? ) ? ? sin
7 4

31 (3) cos(? ? ) 6
?
)? 2 2

?
4

) ? ?( ? sin

?
4

2 ? 1 (2) cos ? ? cos(? - ) ? 3 3 2 31? 31? ? ? 3 (3)cos(? ) ? cos ? cos(5? ? ) ? ? cos ? ? 6 6 6 6 2
练习1.求下列三角函数的值: (1) sin(
11 ?) ; 3

sin( (2) ?

16 ?) 3

.

例2 求下列三角函数值:
(1) sin( 5? 2 5? ?

?

) ; (2) sin( ?

55?

);

4 6 ? 11? 5? (3) sin cos( ? ) ? sin cos 6 4 6 4
解: (1) sin( 5? 2 ?

?
4

) ? sin(

?
2

?

?
4

) ? cos

?
4

?

2 2

5? ? 11? 5? 2 (3)sin cos(? ) ? sin cos ? 6 4 6 4 2
练习2 求值:

55? 55? 7? ? 1 (2) sin(? ) ? ? sin ? ? sin ? sin ? 6 6 6 6 2

sin(?1071? )? cos351? ? sin(?171? )? ?171? ) cos(

例3 化简:
3? sin(2? ? ? ) cos(3? ? ? ) sin( ? ? ) 2 . cos(?? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? )

练习3化简:

cos(180 ? ? ) ? sin(? ? 360 ) ? ? sin(?? ? 180 ) ? cos(? 180 ? ? )
? ?

小 结

作业:

P21 7题(1)、(2)、(4),8题(1)、(2)、(5)


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