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广东省广州市2016年高考备考冲刺阶段训练材料数学(文)试题


2016 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料 (文科)
说明: 1.本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编 写,共 41 题,请各校教师根据本校学生的实际情况选择使用. 2.本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用,希望在 5 月 31 日之前完成. 3. 本训练题与市高三质量抽测、 一测、 二测等数学试题在内容上相互配套, 互为补

充. 四 套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法. 因此, 希望同学们在 5 月 31 日至 6 月 6 日之间, 安排一段时间,对这四套试题进行一次全面的回顾总结,同时,将高中数学课本中的基本知 识(如概念、定理、公式等)再复习一遍. 希望同学们保持良好的心态,在高考中稳定发挥,考取理想的成绩!

1.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( x ?

?

) cos( x ? ) ? sin 2 x ? a 的最大值为1 . 4 4

?

(Ⅰ)求常数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅲ)若将 f ( x) 的图象向左平移

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 6

[0, ] 上的最大值和最小值. 2

?

π 2.某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的图象时, 2

列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?
x

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6



A sin(? x ? ? )

0

5

?5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? (? ? 0) 个单位长度,得到 y ? g ( x ) 的图 象. 若 y ? g ( x ) 图象的一个对称中心为 (
5π , 0) ,求 ? 的最小值. 12

3.已知△ABC 中,内角 A,B,C 满足 (

3 sin B ? cos B)( 3 sin C ? cosC) ? 4 cos B cosC

(Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 sinB=psinC,且△ABC 是锐角三角形,求实数 p 的取值范围.

4.如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线 段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0,

? >0) x ? [0,4]的图象,且图象的最高点为
y 2 3 S M

S(3,2 3 );赛道的后一部分为折线段 MNP,为 保证参赛运动员的安全,限定 ? MNP=120 (I)求 A ,
o

?
O 3 4

N P 8 x

? 的值和 M,P 两点间的距离;

(II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?

5 . 在 ?ABC 中 , 点 M 是 BC 的 中 点 , ?AMC 的 三 边 长 是 连 续 的 三 个 正 整 数 , 且

1 . tan ?BAM (Ⅰ)判断 ?ABC 的形状; (Ⅱ)求 ?BAC 的余弦值. tan ?C ?

6. 如图,在平面直角坐标系中,锐角 ? 、 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. 3 5 (Ⅰ)如果 tan ? ? , B 点的横坐标为 ,求 cos ?? ? ? ? 的值; 4 13 (Ⅱ)若角 ? ? ? 的终边与单位圆交于 C 点,设角 ? 、 ? 、

? ? ? 的正弦线分别为 MA、NB、PC,求证:线段 MA、NB、
PC 能构成一个三角形;
(III)探究第(Ⅱ) 小题中的三角形的外接圆面积是否为定值? 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

7.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an ?2

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

8.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 ?1 ? q ? Sn ? qan ? 1,且 q ? q ?1? ? 0 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 S3 , S9 , S6 成等差数列,求证: a 2 , a8 , a5 成等差数列.

9.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2Sn ? n ? n2 , n ? N? . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

?2an ,?????????????????????n ? 2k ? 1, ? ? (Ⅱ)设 bn ? ? ( k ?N ) ,求数列 {bn } 的前 2 n 项和 T2 n . 2 , n ? 2 k . ? (1 ? a )(1 ? a ) n n?2 ?

10.已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn (n ? N * ) ,且满足 an ? Sn ? 2n ? 1 . (Ⅰ)求数列 {an} 的通项公式; (Ⅱ)求证:

1 1 1 1 ? 2 ??? n ? . 2a1a2 2 a2a3 2 an an?1 3

1 11.已知首项为 的等比数列{an}是递减数列,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S2+a2,S3+a3 2 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; Tn+2 1 (Ⅱ)若 bn=an·log2 an ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求满足不等式 ≥ 的最大 n 值. n+2 16

12.已知 ?bn ?为单调递增的等差数列, b3 ? b8 ? 26, b5b6 ? 168,设数列 ?an ?满足

2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ? ? ? ? ? 2n an ? 2bn (Ⅰ)求数列 ?bn ?的通项 ;
(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 。

13.如图,茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去 ? 图书馆学习的次数和乙组 4 名同学寒 假假期中去 ? 图书馆学习的次数, 乙组记录中有一个数据模糊, 无法确认, 在图中以 x 表示.

(Ⅰ)如果 x ? 7 ,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差; (Ⅱ)如果 x ? 9 ,从学习次数大于 8 的学生中等可能地选 2 名同学,求选出的 2 名同学恰好 分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20 的概率.

14.某班 50 名学生在一次数学测试中,成绩全部介于 50 与 100 之间,将测试结果按如下方 式分成五组:第一组 ?50,60 ? ,第二组 ? 60,70 ? ,?,第五组 [90,100] .下图是按上述分组方法 得到的频率分布直方图.

(Ⅰ)由频率分布直方图估计 50 名学生数学成绩的中位数和平均数; (Ⅱ)从测试成绩在 ?50, 60 ? ? [90,100] 内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分 别为 m, n ,求事件“ | m ? n |? 10 ”概率.

15. 某高校在 2015 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组, 得到的频率分布表如下图所示.

(Ⅰ)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,再在答题纸上完成频率分布直方图; (Ⅱ)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3,4,5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,高校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生由 A 考官进行面试, 求第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率.

16.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研 究, 他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的 发芽数,得到如下资料:

日期 温差 x/摄氏 度 发芽数 y/颗

12 月 1 日 10 23

12 月 2 日 11 25

12 月 3 日 13 30

12 月 4 日 12 26

12 月 5 日 8 16

该农科所确定的研究方案是: 先从这 5 组数据中选取 2 组, 用剩下的 3 组数据求线性回归方 程,再用被选取的 2 组数据进行检验。 (Ⅰ)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天的数据的概率;

(Ⅱ)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的 2 组数据,请根据 12 月 2 日至 4 日的数据,求

? ?a ? ? bx ? ,并判断该线性回归方程是否可靠(若由线性回归方 出 y 关于 x 的线性回归方程 y
程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过 2 颗, 则认为得到的线性回归方程是 可靠的) 。

17.随着“全面二孩”政策推行,我市将迎来生育高峰.今年新春伊始,某市各医院产科就已 经是一片忙碌,至今热度不减. 卫生部门进行调查统计,期间发现各医院的新生儿中,不少都是 “二孩” ;在市第一医院,共有 40 个猴宝宝降生,其中 20 个是“二孩”宝宝;市妇幼保健院共 有 30 个猴宝宝降生,其中 10 个是“二孩”宝宝.

(I)从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取 7 个宝宝做健康咨询. ①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个? ②若从 7 个宝宝中抽取两个宝宝进行体检,求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的 概率; (II)根据以上数据,能否有 85 %的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关?

18.2015 年 9 月 3 日,抗战胜利 70 周年纪念活动在北京隆重举行,受到全国人民的瞩目。 纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等,据统计,抗战老兵由于身体原 因,参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节(可参加多个,也可都不参加)的情况及其 概率如下表所示:

(Ⅰ) 若 m ? 2n , 则从这 60 名抗战老兵中按照参加纪念活动的环节数分层抽取 6 人进行座 谈,求参加纪念活动环节数为 2 的抗战老兵中抽取的人数; (Ⅱ)某医疗部门决定从(Ⅰ)中抽取的 6 名抗战老兵中随机抽取 2 名进行体检,求这 2 名抗战老兵中至少有 1 人参加纪念活动的环节数为 3 的概率.

19.已知 E 是矩形 ABCD(如图 1)边 CD 上的一点,现沿 AE 将△DAE 折起至△D1AE(如 图 2) ,并且平面 D1AE⊥平面 ABCE,图 3 为四棱锥 D1—ABCE 的主视图与左视图.

(Ⅰ)求证:直线 BE⊥平面 D1AE; (Ⅱ)求点 A 到平面 D1BC 的距离.

20.如图,在正四棱台 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1B1=a,AB=2a,

,E、F 分别是

AD、AB 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EFB1D1∥平面 BDC1; (Ⅱ)求证:A1C⊥平面 BDC1.

21.如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点. (Ⅰ) 求证: PC ? AD ; ( Ⅱ ) 在棱 PB 上是否存在一点 Q , 使得 A, Q, M , D 四点共面? 若存在, 指出点 Q 的位置并证 明;若不存在,请说明理由; (Ⅲ) 求点 D 到平面 PAM 的距离.

22.五边形 ANB1C1C 是由一个梯形 ANB1 B 与一个矩形 BB1C1C 组成的,如图甲所示,B 为 AC 的中点, AC ? CC1 ? 2 AN ? 8 . 先沿着虚线 BB1 将五边形 ANB1C1C 折成直二面 角 A ? BB1 ? C ,如图乙所示. (Ⅰ)求证:平面 BNC ? 平面 C1B1 N ; (Ⅱ)求图乙中的多面体的体积.

23.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠DAB=45° ,PD⊥平面 ABCD, PD=AD=1,点 E 为 AB 上一点,且 (Ⅰ)若 k ?

AE ? k ,点 F 为 PD 中点. AB

1 ,求证:直线 AF // 平面 PEC ; 2

(Ⅱ)是否存在一个常数 k ,使得平面 PED⊥平面 PAB,若存在,求出 k 的值;若不存在, 说明理由,
P

F

D

C

A

E

B

24.如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,矩形 DCBE 所在的平面垂直于圆 O 所在的 平面, AB ? 4 , BE ? 1 . (Ⅰ)证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; (Ⅱ)当三棱锥 C ? ADE 的体积最大时,求点 C 到平面 ADE 的距离.

25.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 为
3 . 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(2,1),离心率 a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆相交于 B,C 两点(异于点 A),线段 BC 被 y 轴平分, y AB ? AC 且 ,求直线 l 的方程. l B A
O C

x

26.已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F .

P 满足 AP ? ?2FA .当点 A 在抛物线 C 上运动时,求动点 P 的轨迹方程; (Ⅰ)点 A、
(Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 Q ,使得点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点在抛物线 C 上?如果存在, 求所有满足条件的点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.

??? ?

??? ?

27.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为

的椭圆过点(



) .

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依 次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围.

28.已知 A, B 的坐标分别为 (?2, 0) , (2, 0) .直线 AP, BP 相交于点 P ,且它们的斜率之 积为 ?

3 . 4

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设 Q 的坐标为 ?1,0 ? ,直线 AP 与直线 x ? 2 交于点 D ,当直线 AP 绕点 A 转动时,试 判断以 BD 为直径的圆与直线 PQ 的位置关系,并加以证明.

29.已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 ? ax . x

(Ⅰ)若函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 已知函数 g ? x ? ? x ?

成立,求正实数 a 的取值范围.

1 , 对于任意 x1 ? ?1, e? , 总存在 x2 ??1, e? , 使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? x

30.已知函数 f(x)=xlnx+ax(a∈R). (Ⅰ)若 a=﹣2,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立,求正整数 k 的值.(参 考数据:ln2=0.6931,ln3=1.0986)

31.已知 a 为常数, a ? R ,函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? ln x , g( x ) ? e x . (其中 e 是自然对数的 底数) (Ⅰ)过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x ) 的切线,设切点为 P( x 0 , y 0 ) ,求证: x 0 ? 1 ; (Ⅱ)令 F ( x ) ?
f ( x) ,若函数 F ( x ) 在区间 (0,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围. g( x )

32. 已知函数 f(x)=2lnx﹣x2+ax(a∈R). ≥2x+m 在 (Ⅰ) 若函数 f (x) 的图象在 x=2 处切线的斜率为﹣1, 且不等式 f (x) 上有解,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点 A(x1,0),B(x2,0),且 0<x1 <x2,求证: (其中 f′(x)是 f(x)的导函数).

33.已知函数 f ( x) ? (I) (II)

1 2 x ? 2 x ? a ln x(a ? R ) . 2

若a ? 0, 讨论 f ( x) 的单调性;

若函数 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,求证: f ( x2 ) ? ?2 。

34.已知函数 f ? x ? ? 数.

ln x ? k (其中 k ? R , e 是自然对数的底数) , f ? ? x ? 为 f ? x ? 导函 ex

(Ⅰ)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ? ?1? ? 0 ,试证明:对任意 x ? 0 , f ? ? x ? ?

?

?

e ?2 ? 1 恒成立. x2 ? x

35.如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的 延长线交于 E 点,且 EC=ED. (I)证明:CD∥AB; (II)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B, G,F 四点共圆.

36.如图, AB 是圆 O 的直径,弦 CD ? AB 于点 M , E 是 CD 延长线上一点, AB ? 10 ,

CD ? 8 , 3ED ? 4OM , EF 切圆 O 于 F , BF 交 CD 于 G .
(Ⅰ)求证: ?EFG 为等腰三角形; (Ⅱ)求线段 MG 的长.

37.如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过 PM 的中点 N , 作割线 NAB ,交圆于 A 、 B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O 于点

D ,若 MC ? BC .
(Ⅰ)求证: ?APM ∽ ?ABP ; (Ⅱ)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

38. 已知曲线 C 的极坐标方程式 ? ? 2cos ? , 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴

? 3 x? t?m ? ? 2 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程是 ? , ( t 为参数) . ?y ? 1 t ? ? 2
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (Ⅱ)设点 P(m,0) ,若直线 L 与曲线 C 交于两点 A, B ,且 | PA | ? | PB |? 1,求实数 m 的 值.

39.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐 标方程为 ? ? 2cos ? , ? ? [0, (Ⅰ)求 C 的参数方程. (Ⅱ)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到 的参数方程,确定 D 的坐标.

?
2

].

40.已知 a , b ? R , f ( x) ? x ? 2 ? x ?1 . (Ⅰ)若 f ( x) ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)对 ?b ? R ,若 a ? b ? a ? b ? f ( x) 恒成立,求 a 的取值范围.

41.设 f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ?m . (Ⅰ)当 m ? 5 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若 f ( x ) ?

3 对任意 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

2016 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(文科)训练材料参考答案
1.解: (Ⅰ)? f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? sin 2 x ? a ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? a 2?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? a ? 1 3? ?
(Ⅱ)由 ?

? 2 ? a ? 1 ,? a ? ?1
?

?

?

5? ? ? ? 5? ? ? k? ? x ? ? k? ,所以函数的单调递增区间 ?? ? k? , ? k? ?, k ? Z 12 12 12 12 ? ?

2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?
2

? 2k? ,解得

(Ⅲ)? 将 f ? x ? 的图象向左平移

个单位,得到函数 g ? x ? 的图象, 6 ? ? ?? ?? ?? 2? ? ? ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? ? 2 sin ?2? x ? ? ? ? ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? ?1 6? 6 ? 3? 3 ? ? ? ? ? 2? ? 2? 5? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? 2 x ? ? , 3 ? ? 2? ? 3 3 ? ? 2? ? 3 2? 2? ? 时, sin ? 2 x ? , g ? x ? 取最大值 3 ? 1 ? ?当 2x ? ?? 3 3 3 ? 2 ? 2? 3? 2? ? ? 当 2x ? 时, sin ? 2 x ? ? ? ? ?1 , g ? x ? 取最小值-3. 3 2 3 ? ?

?

π 2.解: (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? . 6

数据补全如下表:

?x ? ?
x

0
π 12

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6


13 π 12

7π 12

A sin(? x ? ? )

0

5

0

?5

0

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,得 g ( x) ? 5sin(2 x ? 2? ? ) . 6 6

因为 y ? sin x 的对称中心为 ( kπ , 0) , k ? Z . 令 2 x ? 2? ?
π kπ π ? kπ ,解得 x ? ? ? ? , k ?Z . 6 2 12
5π kπ π 5π , , 0) 成中心对称,令 ? ?? ? 12 2 12 12

由于函数 y ? g ( x ) 的图象关于点 ( 解得 ? ?

π kπ π ? , k ? Z . 由 ? ? 0 可知,当 k ? 1时, ? 取得最小值 . 6 2 3

3.解: (Ⅰ) 由 ( 3 sin B ? cos B)( 3 sin C ? cosC) ? 4 cos B cosC 得

3sin B sin C ? cos B cosC ? 3 sin B cosC ? 3 sin C cos B ? 4 cos B cosC

? 3 sin(B ? c) ? 3 cos(B ? C) ,则 tan(B ? C) ? ? 3 即 tan A ? 3
Q A ? (0, ? ) ? A ?
(Ⅱ) p ?

?
3

sin B sin(120o ? C ) 3 1 ? ? ? sin C sin C 2 tanC 2

∵△ABC 为锐角三角形,且 A ?

?
3



?
6

?C?

?
2

? tanC ? (

1 3 ,??) ? ? p ? 2 2 3
T 2? ? ,? ? ? 。 ? 3 ,又 T ? 4 ? 6

4.解: (Ⅰ)依题意,有 A ? 2 3 ,
? y ? 2 3 sin

?
6

x

当 x ? 4 时,? y ? 2 3 sin

2? ? 3 ? M (4, 3) 3

又 P(8,0) ? MP ? 42 ? 32 ? 5 (Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5,设∠PMN= ? ,则 0°< ? <60° 由正弦定理得
MP NP MN 10 3 10 3 ? ? sin(600 ? ? ) ? NP ? sin ? ,? MN ? 3 3 sin 1200 sin ? sin(60 0 ? ? )

故 NP ? MN ?

10 3 10 3 10 3 sin ? ? sin(60o ? ? ) ? sin(60o ? ? ) 3 3 3

? 0°< ? <60°,? 当 ? =30°时,折线段赛道 MNP 最长;亦即,将∠PMN 设计为 30°时,

折线段道 MNP 最长 5.解:设 ?BAM ? ? , ?MAC ? ? , 则由 tan ?C ? 则 C ? ? ? 90 ? ? ? B ? 90? ?ABM 中,由正弦定理得
o

1 tan ?BAM

得 cos(C ? ? ) ? 0 ,

BM AM sin B AM sin C AM ? ,即 ? . 同理得 ? , sin ? sin B sin ? MB sin ? MC sin B sin C ? , ? sin ? sin C ? sin ? sin B ? MB ? MC, ? sin ? sin ? ?? ? C ? 90?, ? ? B ? 90?, ? sin ? cos? ? sin ? cos ? 即 sin 2? ? sin 2? , ?? ? ?或? ? ? ? 90? 1 0 当 ? ? ? ? 90 时, AM ? BC ? MC , 与 ?AMC 的三边长是连续三个正整数矛盾, 2 ?? ? ? ,? ?B ? ?C ,? ?ABC 是等腰三角形。

M C 为直角三角形, (II) 由 (Ⅰ) 得? ? ? , 则 ?A 设两直角边分别为 n, n ? 1, 斜边为n ? 1,
由 (n ? 1) 2 ? n 2 ? (n ? 1) 2 得 n=4 或 0(舍) 得△AMC 三边长分别为 3、4、5 故 cos ? = 4 3 或 cos ? = 5 5 4 2 7 ) -1 = 5 25

所以 cos∠BAC = cos 2? = 2 cos 2?-1 = 2×( 或 cos∠BAC = 2×( 3 2 7 ) -1 = - 5 25

6.解: (Ⅰ)已知 ? 是锐角,由 tan ? ? 锐角,所以 sin ? ?
12 . 13

3 3 4 5 ,得 sin ? ? , 又 cos ? ? ,且 ? 是 cos? ? , 5 5 13 4

4 5 3 12 16 所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? . 5 13 5 13 65

(Ⅱ)证明:依题意得, MA ? sin ? , NB ? sin ? , PC ? sin(? ? ? )
? ?? 因为 ?,? ? ? 0, ? ,所以 cos ? ? (0,1) , cos ? ? (0,1) ,于是有 ? 2?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? sin ?

,①

又∵ ? +? ? ? 0, ? ? ,??1 ? cos(? +? ) ? 1 ,
sin ? ? sin((? ? ? ) ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? ,②

同理, sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? ,③ 由①,②,③可得,线段 MA、NB、PC 能构成一个三角形. (III)第(Ⅱ)小题中的三角形的外接圆面积是定值,且定值为

? . 4

sin ?、 sin ?? ? ? ? ,其中角 A? 、 B? 、 C ? 的对边分别为 不妨设 ?A?B ?C ? 的边长分别为 sin ?、 sin ?? ? ? ?、 sin ?、 sin ? .则由余弦定理,得:

cos A? ?

sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? ? ) 2sin ? ? sin ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ? sin ? 2sin ? ? sin ?

? ?

sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ? sin ? 2sin ? ? sin ?

? sin ? ? sin ? ? cos ? cos ? ? ? cos(? ? ? )
? ?? 因为 ?,? ? ? 0, ? ,所以 ? ? ? ? (0, ? ) ,所以 sin A? ? sin(? ? ? ) , ? 2?

设 ?A?B ?C ? 的外接圆半径为 R, 由正弦定理, 得 2R ?

B ?C ? sin(? ? ? ) 1 ? ? 1, ∴R ? , sin A? sin(? ? ? ) 2

所以 ?A?B ?C ? 的外接圆的面积为

? . 4

7.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d. 由已知得 ?

? ?a1 ? 3 ?a1 ? d ? 4 ,解得 ? . a ? 3 d ? a ? 6 d ? 15 d ? 1 ? ? ? ? ? 1 1 ? ?

所以 an=a1+(n-1)d=n+2. . n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn=2 +n,所以 b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) 2(1-210) (1+10)× 10 = + 2 1-2 =(211-2)+55 =211+53=2 101. 8.解: (Ⅰ)当 n=1 时,由(1-q)S1+qa1=1,得 a1=1. 当 n≥2 时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1, 两式相减得 an=qan-1,即

an ?q, an ?1

又 q (q-1) ≠ 0,所以 q ≠ 0,且 q ≠ 1, - 所以{an}是以 1 为首项,q 为公比的等比数列,故 an=qn 1. 1-anq 1-a3q 1-a6q 2(1-a9q) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 Sn= ,又 S3+S6=2S9,得 + = , 1-q 1-q 1-q 1- q 化简得 a3+a6=2a9,两边同除以 q 得 a2+a5=2a8. 故 a2,a8,a5 成等差数列. 9.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,由 2S1 ? 1 ? 12 ,得 a1 ? 0 . 当 n ? 2 时, 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? n ? n2 ? [(n ?1) ? (n ?1)2 ] ? 2 ? 2n , , an ? 1 ? n ( n ? 2 ) ∵ a1 ? 0 ? 1 ? 1 ,∴ an ? 1 ? n . 2 2 1 1 (Ⅱ)∵ ? ? ? , (1 ? an )(1 ? an? 2 ) n(n ? 2) n n ? 2 ∴ T2n ? (b1 ? b3 ? ? ? b2n?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? b2n ) 1 1 1 1 1 1 ? (20 ? 2?2 ? ? ? 22? 2 n ) ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 4 4 6 2n 2n ? 2 1 1 ? ( )n 4 ? 1 ? 1 ? 11 ? 4 ? ( 1 ) n ? 1 . ? 1 2n ? 2 2 2n ? 2 6 3 4 1? 4 3 10.解: (Ⅰ)∵ an ? Sn ? 2n ? 1 ,令 n ? 1 ,得 2a1 ? 3 , a1 ? . 2 * ∵ an ? Sn ? 2n ? 1 ,∴ an?1 ? Sn?1 ? 2(n ?1) ? 1 , (n ? 2, n ? N ) 1 两式相减,得 2an ? an?1 ? 2 ,整理 an ? an?1 ? 1 2

an ? 2 ?

1 (an?1 ? 2 , ) (n ? 2) 2
1 1 ,公比为 的等比数列 2 2

∴数列 {an ? 2} 是首项为 a1 ? 2 ? ?
n ∴ an ? 2 ? ?( ) ,∴ an ? 2 ?

1 2

1 . 2n

(Ⅱ)∵

1 2n?1 1 1 ? ? n?1 ? n?2 n ?1 n? 2 n?1 n?2 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 2n ? ? n?1 2n 2 1 1 1 ? ? 2 ??? n 2a1a 2 2 a a 2an an? 1 2 3 1 1 1 1 1 1 ?( 2 ? 3 )? ( 3 ? 4 ? ) ?? ( ? n? 2 ) n? 1 2 ? 1 2? 1 2 ? 1 ? 2 1 ? 2 1 ?2 1 1 1 1 ? ? n?2 ? . 3 2 ? 1 3 1 ? n 2 an an?1

1 11.解: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q,由题知 a1= , 2 ∵S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列,∴2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3, 变形得 S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3,即 3a2=a1+2a3, 3 1 1 1 ∴ q= +q2,解得 q=1 或 q= ,又{an}为递减数列,于是 q= , 2 2 2 2 ∴an=a1qn 1= ( )


1 2

n

(Ⅱ)∵bn=an· log2 an =-n· ( ) , ∴Tn=-[1 ? 1 T= 2 n

1 2

n

1 1 2 1 n ?1 1 n +2 ? ( ) + ? ? ( n ? 1) ? ( ) ? n ? ( ) ] 2 2 2 2 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 -[1 ? ( ) +2 ? ( ) + ? ? ( n ? 1) ? ( ) ? n ? ( ) ] 2 2 2 2

两式相减得: 1 1 2 1 n 1 n ?1 1 T =-[ + ( ) + ? ? ( ) ? n ? ( ) ] 2 n 2 2 2 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 2 ? n ? ( ) n ?1 = (n ? 2) ? ( ) n ?1 ? 1 =- 2 1 2 2 1? 2 1 n ∴Tn= ( n ? 2) ? ( ) ? 2 2 1 n 1 Tn+2 ∴ = ( ) ≥ ,解得 n≤4, ∴n 的最大值为 4. 16 n+2 2 12.解: (Ⅰ) 解法 1: 设 ?bn ?的公差为 d , ? ?bn ?为单调递增的等差数列 ? d ? 0 且 b6 ? b5
由?

?b5 ? 12 ?b3 ? b8 ? 26 ?b5 ? b6 ? 26 得? 解得 ? ?b6 ? 14 ?b5b6 ? 168 ?b5b6 ? 168

? d ? b6 ? b5 ? 2

bn ? b5 ? (n ? 5)d ? 12 ? 2(n ? 5) ? 2n ? 2 ? bn ? 2n ? 2 解法 2:设 ?bn ?的公差为 d , ? ?bn ?为单调递增的等差数列 ? d ? 0
由?

?b3 ? b8 ? 26 ? ?b1 ? 4 ?2b1 ? 9d ? 26 得? 解得 ? ? ?d ? 2 ?b5b6 ? 168 ?? b1 ? 4d ?? b1 ? 5d ? ? 168
bn

? bn ? b1 ? (n ?1)d ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2 ? bn ? 2n ? 2
(Ⅱ) 2

? 22 n ? 2 ? 4n ?1 b 由 2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ???? ? 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2 n ??? ①
得 2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ????? 2n?1 an?1 ? 2 n?1 ????????? ②
b

① -②得 2n an ? 4n ?1 ? 4n ? 3 ? 4n , n ? 2 ? an ? 3 ? 2n n ? 2 , 又? a1 ?

?8 b1 ? 8 不符合上式 ? an ? ? n 2 ?3 ? 2

n ?1 n?2
22 1 ? 2n ?1 ? 3 ? 2n ?1 ? 4 1? 2

当 n ? 2 时, Sn ? 8 ? 3 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 2n ? 8 ? 3 ?

?

?

?

?

? S1 ? 8 符合上式

? Sn ? 3 ? 2n ?1 ? 4 , n ? N *

13.解: (Ⅰ)当 x ? 7 时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习的次数是:7 ,8 ,9 ,12 , 所以平均数为 x ? 方差为 s 2 ?

7 ? 8 ? 9 ? 12 ? 9; 4

1? 7 2 2 2 2 ? . ? 7 ? 9? ? ?8 ? 9? ? ?9 ? 9 ? ? ?12 ? 9 ? ? ? ? 4 2

(Ⅱ)记甲组 3 名同学分别为 ?1 , ? 2 , ?3 ,他们去图书馆学习次数依次为 9 , 12 , 11 ; 乙组 4 名同学分别为 ?1 , ?2 , ?3 , ?4 ,他们去图书馆学习次数依次为 9 , 8 , 9 ,12 从学习次数大于 8 的学生中选 2 名同学,所有可能的结果有 15 种,它们是: ?1? 2 , ?1?3 ,

?1?1 ,?1?3 ,?1?4 ,? 2 ?3 ,? 2 ?1 ,? 2 ?3 ,? 2 ? 4 ,?3?1 ,?3?3 ,?3?4 ,?1?3 ,?1?4 ,

?3 ? 4
用 C 表示: “选出的 2 名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20 ” 这一事件, 其中的结果有 5 种,它们是: ?1?4 , ? 2 ? 4 , ? 2 ?3 , ? 2 ?1 , ?3?4 故 选 出 的 2 名 同 学 恰 好 分 别 在 两 个 图 书 馆 学 习 且 学 习 次 数 和 大 于 20 的 概 率 为

? ? C? ?

5 1 ? 15 3

(0.004+0.018+0.04 ) ? 10=0.62,所 14.解: (Ⅰ)由直方图知,成绩在 [50,80) 内的频率
以中位数在 [70,80) 内,设中位数为 x ,则 (0.004+0.018) ?10+0.04 ? (x ?70)=0.5 ,解得

x ? 77 ,所以中位数是 77;

设平均数为 x ,则 x=55 ? 0.04 ? 65 ? 0.18 ? 75 ? 0.4 ? 85 ? 0.32 ? 95 ? 0.06 ? 76.8 (Ⅱ)由直方图知,成绩在 ?50, 60 ? 内的人数为:50×10×0.004=2,设成绩为 x、y 成绩在[90,100]的人数为 50×10×0.006=3,设成绩为 a、b、c, 若 m, n ? ?50, 60 ? 时, 只有xy 一种情况, 若 m, n ? [90,100]时,有ab,bc,ac 三种情况, 若 m, n分别在?50,60? 和[90,100] 内时,有 xa xb xc ya yb yc 共有 6 种情况,所以基本事件总数为 10 种, 事件“ | m ? n |? 10 ”所包含的基本事件个数有 6 种

? P(| m ? n |? 10) ?

6 3 ? . 10 5
30 ? 0.300 . 100

15. 解: (Ⅰ)由题可知, 第 2 组的频数为 0.35 ?100 ? 35 人,第 3 组的频率为 频率分布直方图如图所示:

(Ⅱ) 因为第 3、 4、 5 组共有 60 名学生, 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生时, 第 3、4、5 组抽取的人数分别为 抽取 3 人、2 人、1 人. (Ⅲ) 设第 3 组的 3 位同学为 A1 ,A2 ,A3 , 第 4 组的 2 位同学 B1 , B2 ,第 5 组的 1 位同学为 C , 则 从 六 位 同 学 中 抽 取 两 位 同 学 有 15 种 可 能 :

30 10 20 ? 6 ? 3 、 ? 6 ? 2 、 ? 6 ? 1 ,即第 3、4、5 组分别 60 60 60

? A1 , A2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A1 , B1 ? , ? A1 , B2 ? , ? A1 , C ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , C ? , ? A3 , B1 ? ,

? A3 , B2 ? , ? A3 , C ? , ? B1 , B2 ? , ? B1 , C ? , ? B2 , C ? ,其中第 4 组的 2 位同学 B1 , B2 中至少有一位同学
入选的有

? A1 , B1 ? , ? A1 , B2 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? B1 , B2 ? , ? B1 , C ? , ? B2 , C ? 共 9 种,故

第 4 组至少有一名考生被考官 A 面试的概率为

9 3 ? . 15 5

16.解:设事件“选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天的数据”为 A,5 组数据分别记为 a、b、 c、d、e,从 5 组数据中任选 2 组,总的基本事件如下 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd, ce,de 共 10 种, A 事件包含的基本事件有 ac,ad,ae,bd,be,ce 共 6 种,

6 3 = 。 10 5 11 ? 13 ? 12 25 ? 30 ? 26 ? 12 , y ? ? 27 (Ⅱ) x ? 3 3
所以 P(A)=

?x y
i ?1 3 i

3

i

?1 1 ? 2? 5 1 ?3 ? 3 0 ? 1 2? 2 6

977

?x
i ?1

2

i

2 2 ? 1 12 ? 1 3 ? 12 ? 434

b?

977 ? 3 ? 1? 2 27 5 5 ? , a ? y ? bx ? 27 ? ?12 ? 27 ? 30 ? ?3 2 434 ? ? 3 12 2 2

? ? 2.5 x ? 3 , ? y 关于 x 的线性回归方程为: y
当 x ? 10 时, y ? 当 x ? 8 时, y ?

5 ? 10 ? 3 ? 25 ? 3 ? 22 ; 2

5 ? 8 ? 3 ? 20 ? 3 ? 17 ; 2

经检验估计数据与所选取的检验数据误差均不超过 2 颗,该线性回归方程可靠。 17. 解: (Ⅰ) ①由分层抽样知在市第一医院出生的宝宝有 7 ?

4 ? 4 个,其中一孩宝宝有 2 个. 7

②在抽取 7 个宝宝中,市一院出生的一孩宝宝 2 人,分别记为 A1 , B1 ,二孩宝宝 2 人,分别记为

a1 , b1 ,妇幼保健院出生的一孩宝宝 2 人,分别记为 A2 , B2 ,二孩宝宝 1 人,记为 a2 ,从 7 人中抽取 2
人 的 一 切 可 能 结 果 所 组 成 的 基 本 事 件 空 间 为

? ? ?( A1 , B1 ), ( A1 , a1 ), ( A1 , b1 ), ( A1 , A2 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , a2 ), ( B1 , a1 ), ( B1 , b1 ) ( B1 , A2 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , a2 ), (a1 , b1 ), (a1 , A2 ), (a1 , B2 ), (a1 , a2 ), (b1 , A2 ), (b1 , B2 ) (b1 , a2 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , a2 ), ( B2 , a2 )

?

用 A 表示: “两个宝宝恰出生不同医院且均属二孩”,则 A ? {(a1, a2 ), (b1 , a2 )}

? P( A) ?

2 21

(Ⅱ) 2 ? 2 列联表

70 ? ?20 ? 10 ? 20 ? 20? 70 ? ? 1.944 ? 2.072,故没有 85%的把握认为一孩、二孩 40 ? 30 ? 40 ? 30 36 宝宝的出生与医院有关.
2

K2 ?

18.解: (Ⅰ)由题意可知: m ? n ?

1 1 1 1 ? ? 1,又 m ? 2n ,解得 m ? , n ? 6 3 3 6
6 ? 1. 60

故这 60 名抗战老兵中参加纪念活动的环节数为 0,1,2,3 的抗战老兵的人数分别为 10,20,10,20, 其中参加纪念活动的环节数为 2 的抗战老兵中应抽取的人数为 10 ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知抽取的这 6 名抗战老兵中 1 名参加了 0 个环节,记为 A ,2 名参加了 1 个环节,记为 B, C ,1 名参加了 2 个环节,分别记为 D ,2 名参加了 3 个环节,分别记为 E ,
F ,从这 6 名抗战老兵中随机抽取 2 人,有 ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D ? , ? A, E ? , ? A, F ? ,

? B, C ? ,? B, D ? ,? B, E ? ,? B, F ? ,? C , D ? ,? C , E ? ,? C , F ? ,? D, E ? ,? D, F ? ,? E , F ?
共 15 个基本事件, 记“这 2 名抗战老兵中至少有 1 人参加纪念活动的环节数为 3”为事件 M ,则事件 M 包含 的基本事件为 ? A, E ? , ?C, F ? , ? D, E ? , ? E, F ? , ? A, F ? , ? B, E ? , ? B, F ? , ?C, E ? , ? D, F ? , 共 9 个基本事件. 所以 P ? M ? ?

9 3 ? 15 5 。

19.证明:由主视图和左视图知:AD=DE=EC=BC=1

? AE=BE= 2 ,AB=2, ? AE2+BE2=AB2 ? BE⊥AE 又? 面 D1AE⊥面 ABCE 面 D1AE ? 面 ABCE=AE ? BE⊥面 D1AE
(Ⅱ)分别取 AE, BC 中点 M,N

? D1 A ? D1E ? 1
? D1M ? AE ? ? 又 ? 平面D1 AE ? 平面ABCE ? ? D1 M ? 平面ABCE 平面D1 AE ? 平面ABCE ? AE ? ? ? D1M ? BC ? ? MN ? BC ? ? BC ? 平面D1MN D1M ? MN ? M ? ?

? BC ? D1 N

中, D1M ? R t? D 1 MN

2 3 , MN ? 2 2

? D1 N ?

11 2

设 A 到平面 D1BC 的距离为 d

VA? D1BC ? VD1 ? ABC

1 1 ? S ?D1BC ?d ? ? D1M ? S ?ABC 3 3 1 1 D1 N ? BC ? d ? D1M ? AB ? BC 2 2 2 22 d? 11

20.证明: (Ⅰ)连接 A1C1,AC,分别交 B1D1,EF,BD 于 M,N,P,连接 MN,C1P 由题意,BD∥B1D1 因为 BD?平面 EFB1D1, B1D1?平面 EFB1D1, 所以 BD∥平面 EFB1D1… (3 分) 又因为 A1B1=a, AB=2a,所以 又因为 E、F 分别是 AD、AB 的中点,所以 所以 MC1=NP 又因为 AC∥A1C1,所以 MC1∥NP 所以四边形 MC1PN 为平行四边形 所以 PC1∥MN 因为 PC1?平面 EFB1D1,MN?平面 EFB1D1,所以 PC1∥平面 EFB1D1 因为 PC1∩BD=P,所以平面 EFB1D1∥平面 BDC1 (Ⅱ)连接 A1P,因为 A1C1∥PC,A1C1= ,

所以四边形 A1C1CP 为平行四边形 因为 ,所以四边形 A1C1CP 为菱形 所以 A1C⊥PC1 因为 MP⊥平面 ABCD,MP?平面 A1C1CA 所以平面 A1C1CA⊥平面 ABCD, 因为 BD⊥AC,所以 BD⊥平面 A1C1CA 因为 A1C?平面 A1C1CA,所以 BD⊥A1C 因为 PC1∩BD=P,所以 A1C⊥平面 BDC1. 21.解:(Ⅰ)方法一:取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正 三角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD ,又 OC ? OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC , 所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 PC ? AD . 方法二:连结 AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形,
Q A B C M O D P

又 M 为 PC 的中点,所以 AM ? PC , DM ? PC , 又 AM ? DM ? M , AM ? 平面 AMD , DM ? 平面 AMD , 所以 PC ? 平面 AMD , 又 AD ? 平面 AMD ,所以 PC ? AD . (Ⅱ)当点 Q 为棱 PB 的中点时, A, Q, M , D 四点共面,证明如下: 取棱 PB 的中点 Q ,连结 QM , QA ,又 M 为 PC 的中点,所以 QM // BC , 在菱形 ABCD 中 AD // BC ,所以 QM // AD ,所以 A, Q, M , D 四点共面. (Ⅲ)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,

PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD ,即 PO 为三棱锥 P ? ACD 的体高.
在 Rt?POC 中, PO ? OC ? 3 , PC ? 6 , 在 ?PAC 中, PA ? AC ? 2 , PC ? 6 ,边 PC 上的高 AM ? 所以 ?PAC 的面积 S?PAC ?

PA2 ? PM 2 ?

10 , 2

1 1 10 15 , PC ? AM ? ? 6 ? ? 2 2 2 2 设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ,由 VD? PAC ? VP? ACD 得
1 1 S?PAC ? h ? S ?ACD ? PO , 3 3
又 S?ACD ? 所以 ?

3 2 ?2 ? 3 , 4
解得 h ?

1 3

15 1 ?h ? ? 3? 3 , 2 3

2 15 , 5

2 15 . 5 22.证明: (Ⅰ)连 BN ,过 N 作 NM ? BB1 ,垂足为 M ,
所以点 D 到平面 PAM 的距离为 ∵ B1C1 ? 平面ABB1 N , BN ? 平面ABB1 N , ∴ B1C1 ? BN , 又,BC=4,AB=4,BM=AN=4, BA ? AN , ∴ BN ?
2
2 2 2 2 4 2 ? 4 2 ? 4 2 , B1 N ? NM ? B1M ? 4 ? 4 = 4 2 ,

∵ BB1 ? 8 ? 64, B1 N ? BN ? 32 ? 32 ? 64 ,? BN ? B1 N ,
2 2

∵ B1C1 ? 平面B1C1 N , B1 N ? 平面B1C1 N , B1 N ? B1C1 ? B1

? BN ? 平面C1 B1 N

(Ⅱ)连接 CN,

VC ? ABN ?

1 1 1 32 , ? BC ? S ?ABN ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3 3 2 3

又 B1C1 ? 平面ABB1 N ,所以平面 CBB1C1 ? 平面 ABB 1 N ,且平面

CBB1C1 ? ABB1 N ? BB1 , NM ? BB1 , NM ? 平面B1C1CB ,
∴ NM ? 平面B1C1CB ,

V N ? B1C1CB ?

此几何体的体积 V ? VC ? ABN

1 1 128 ? NM ? S 矩形B1C1CB ? ? 4 ? 4 ? 8 ? 3 3 3 32 128 160 ? V N ? B1C1CB ? ? ? 3 3 3

23.解: (Ⅰ) :作 FM//CD 交 PC 于 M, ∵F 为 PD 中点,∴FM= ∵k ?

1 CD, 2

1 1 ,∴AE= AB=FM, 2 2

又∵FM//CD//AB ∴AEMF 为平行四边形,∴AF//EM ∵AF ? 面 PEC,EM ? 面 PEC,AF//面 PEC (Ⅱ)存在常数 k ?

2 ,使得平面 PED⊥平面 PAB .…………8 分 2



AE 2 2 ? k , AB ? 1 , k ? ,∴ AE ? , 又∵∠DAB=45° ,∴AB⊥DE. AB 2 2

又∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AB. 又∵ PD ? DE ? D ,∴AB⊥平面 PDE, ∵ AB ? 平面PAB,∴平面 PED⊥平面 PAB. 24.解: (Ⅰ)∵ AB 是直径,∴ BC ? AC 又四边形 DCBE 为矩形, CD ? DE , BC // DE ,∴ DE ? AC ∵ CD ? AC ? C ,∴ DE ? 平面 ACD 又 DE ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 ACD (Ⅱ)由⑴知 VC ? ADE ? VE ? ACD ?

1 1 1 ? S ?ACD ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE 3 3 2

?

1 1 1 4 ? AC ? BC ? ? ( AC 2 ? BC 2 ) ? ? AB 2 ? , 6 12 12 3

当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时等号成立 ∴当 AC ? BC ? 2 2 三棱锥 C ? ADE 体积最大为

4 3

此时, AD ? 1 ? (2 2 ) ? 3 , S ?ADE ?
2 2

1 ? AD ? DE ? 3 2 2 1 4 ? S ?ADE ? h ? 3 3

设点 C 到平面 ADE 的距离为 h ,则 VC ? ADE ?

h?

2 2 3
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 离心率为 a 2 b2

25.解: (Ⅰ)由条件知椭圆
e? c 3 ? , a 2

1 2 2 2 2 所以 b ? a ? c ? a . 4

y
l
2

B
O

A
x
C

又点 A(2,1)在椭圆
4 1 ? 2 ?1, 2 a b

x y ? ? 1(a ? b ? 0) 上, a 2 b2

2

所以

?a 2 ? 8 , ? 解得 ? 2 ? ?b ? 2 .
x2 y 2 ? ?1. 8 2

所以,所求椭圆的方程为

(Ⅱ)将 y ? kx ? m(k ? 0) 代入椭圆方程,得 x2 ? 4(kx ? m)2 ? 8 ? 0 , 整理,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4m2 ? 8 ? 0 . ① 由线段 BC 被 y 轴平分,得 xB ? xC ? ? 因为 k ? 0 ,所以 m ? 0 .
? kx) , C 关于原点对称,设 B( x,kx),C (? x, 因为当 m ? 0 时, B,
2 由方程①,得 x ?

8mk ?0, 1 ? 4k 2

8 , 1 ? 4k 2

又因为 AB ? AC ,A(2,1),

??? ? ???? 8(1 ? k 2 ) ? 0, 所以 AB ? AC ? ( x ? 2)(? x ? 2) ? (kx ? 1)(?kx ? 1) ? 5 ? (1 ? k 2 ) x2 ? 5 ? 1 ? 4k 2 1 所以 k ? ? . 2

由于 k ?

1 1 1 时,直线 y ? x 过点 A(2,1),故 k ? 不符合题设. 2 2 2

1 所以,此时直线 l 的方程为 y ? ? x . 2

26.解: (Ⅰ)设动点 P 的坐标为 ( x, y) ,点 A 的坐标为 ( xA, y A ) ,则 AP ? ( x ? xA, y ? yA ) , 因为 F 的坐标为 (1, 0) ,所以 FA ? ( xA ?1 , yA ) , 由 AP ? ?2 FA 得 ( x ? xA, y ? yA ) ? ?2( xA ?1 , yA ) . 即?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? x ? x A ? ?2( x A ? 1) ? xA ? 2 ? x 解得 ? ? y ? y A ? ?2 y A ? yA ? ? y

代入 y 2 ? 4 x ,得到动点 P 的轨迹方程为 y 2 ? 8 ? 4x .

0) .点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 Q?( x, y) , (Ⅱ)设点 Q 的坐标为 (t,

1 ? y ?? ? ?x?t 2 则? ?y ? x?t ? ?2

3 ? x?? t ? ? 5 解得 ? ?y ? 4 t ? 5 ?
15 . 4

2 2 若 Q? 在 C 上,将 Q? 的坐标代入 y ? 4 x ,得 4t ? 15t ? 0 ,即 t ? 0 或 t ? ?

0) 和 (? 所以存在满足题意的点 Q ,其坐标为 (0,
27.解: (Ⅰ)由题意可设椭圆方程为

15 , 0) . 4

(a>b>0) ,则





所以,椭圆方程为



(Ⅱ)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,



消去 y 得

(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0, 则△ =64k2b2﹣16(1+4k2b2) (b2﹣1)=16(4k2﹣m2+1)>0,







故 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 所以 =k2,



+m2=0,又 m≠0,

所以 k2= ,即 k=



由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△ >0,得 0<m2<2 且 m2≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离, 则 S△ OPQ= d|PQ|= |x1﹣x2||m|= 所以 S△ OPQ 的取值范围为(0,1) . 28.解: (Ⅰ)点 P 的坐标为 ? x, y ? , k AP ? 由题意可知 ,

y y , k BP ? , x?2 x?2

y y 3 ? ?? , x?2 x?2 4

化简得点 P 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1 , ? x ? ?2? . 4 3

(Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PQ 相切. 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 ? 所以 x0 ?

16k 2 ? 12 . 3 ? 4k 2

12k 6 ? 8k 2 , y0 ? k ( x0 ? 2) ? . 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k

因为点 Q 坐标为 (1, 0) ,

当k ? ?

1 3 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,点 D 的坐标为 (2, ? 2) 2 2

直线 PQ ? x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 与直线 PQ 相切. 当k ? ?

y0 4k 1 ? 时,则直线 PF 的斜率 k PF ? . x0 ? 1 1 ? 4k 2 2
4k ( x ? 1) . 1 ? 4k 2

所以直线 PQ 的方程为 y ?

点 E 到直线 PQ 的距离 d ?

8k 4k ? 2k ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 (1 ? 4k 2 ) 2

2k ? 8k 3 1 ? 4k 2 ? ? 2|k | 1 ? 4k 2 |1 ? 4k 2 |

又因为 | BD |? 4 | k | ,所以 d ?

1 | BD | ,故以 BD 为直径的圆与直线 PQ 相切. 2

综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PQ 相切.

1 1 ax2 ? x ? 1 29.解: (Ⅰ) f ?( x) ? ? 2 ? a ? , x ? [1,??) x x x2
∵函数 f ( x) 在 [1,??) 上是单调函数 ∴ f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 对任意 x ? [1,??) 恒成立 即 ax2 ? x ? 1 ? 0 或 ax2 ? x ? 1 ? 0 对任意 x ? [1,??) 恒成立

1 1 1 1 ? 或 a ? 2 ? 对任意 x ? [1,??) 恒成立 2 x x x x 1 1 2 1 2 令 t ? , x ? [1,??) ∴ t ? (0,1] 设 h(t ) ? t ? t ? (t ? ) ? x 2 4 1 所以 ? ? h(t ) ? 0 4 1 所以满足条件的实数 a 的取值范围为 a ? 0 或 a ? ? 。 4
∴a ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, a ? 0 时,函数 f ( x) 在 [1, e] 上为增函数, 故 f (1) ? f ( x) ? f (e) 即 1 ? a ? f ( x) ? 1 ? ae ? ∵ g ?( x) ? 1 ?

1 e

1 x2 ?1 ? x2 x2

∴当 x ? [1, e] 时, g ?( x) ? 0

所以函数 g ( x) 在 [1, e] 上是单调递增函数 ∴ g (1) ? g ( x) ? g (e) 即 2 ? g ( x) ? e ?

1 e

对于任意 x1 ? [1, e] ,总存在 x2 ? [1, e] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 可知 f ( x1 ) max ? g ( x2 ) max . 所以 1 ? ae ?

1 1 1 ? e ? ,即 a ? 1 ? e e e

故所求正实数 a 的取值范围为 0 ? a ? 1 ?

1 。 e

30.解:(I)a=﹣2 时,f(x)=xlnx﹣2x,则 f ?( x ) =lnx﹣1. 令 f ?( x ) =0 得 x=e, 当 0<x<e 时, f ?( x ) <0,当 x>e 时, f ?( x ) >0, ∴f(x)的单调递减区间是(0,e),单调递增区间为(e,+∞). (II)若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立, 则 xlnx+ax>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立,即 k(x﹣1)<xlnx+ax﹣ax+x 恒成立, 又 x﹣1>0,则 k<

x ln x ? x 对任意 x∈(1,+∞)恒成立, x ?1

设 h(x)=

x ? ln x ? 2 x ln x ? x ,则 h?( x ) = ( x ? 1) 2 x ?1

设 m(x)=x﹣lnx﹣2,则 m?( x ) =1﹣ , ∵x∈(1,+∞),∴ m?( x ) >0,则 m(x)在(1,+∞)上是增函数. ∵m(Ⅰ)=﹣1<0,m(Ⅱ)=﹣ln2<0,m(Ⅲ)=1﹣ln3<0,m(4)=2﹣ln4>0, ∴存在 x0∈(3,4),使得 m(x0)=0, 当 x∈(1,x0)时,m(x)<0,即 h?( x ) <0, 当 x∈(x0,+∞)时,m(x)>0, h?( x ) >0, ∴h(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, ∴h(x)的最小值 hmin(x)=h(x0)=

x0 ln x0 ? x0 . x0 ? 1 x0 ( x0 ? 2) ? x0 =x0. x0 ? 1

∵m(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,∴lnx0=x0﹣2.∴h(x0)= ∴k<hmin(x)=x0. ∵3<x0<4,K 为正整数 ∴k 的值为 1,2,3.

31.解: (Ⅰ) f ?( x ) ? 2 x ? a ?

1 ( x ? 0) . x

所以切线的斜率 k ? 2 x0 ? a ?
2

1 , x0 1 )(x ? x0 ) x0 1 )(0 ? x0 ) x0

切线方程为 y ? ( x0 ? ax0 ? ln x0 ) ? (2 x0 ? a ?
2

由于切线经过原点,则 0 ? ( x0 ? ax0 ? ln x0 ) ? (2 x0 ? a ? 经整理得: x0 ? ln x0 ?1 ? 0
2

显然, x 0 ? 1 是这个方程的解,又因为 y ? x 2 ? ln x ? 1 在 (0,??) 上是增函数, 所以方程 x 2 ? ln x ? 1 ? 0 有唯一实数解.故 x 0 ? 1 .
f ( x ) x 2 ? ax ? ln x ? (Ⅱ) F ( x ) ? , F ?( x ) ? g( x ) ex
? x 2 ? (2 ? a ) x ? a ? ex 1 ? ln x x .

1 1 1 ? ln x ,则 h?( x) ? ?2 x ? 2 ? ? 2 ? a . x x x 易知 h?( x ) 在 (0,1] 上是减函数,从而 h?( x ) ? h?(1) ? 2 ? a (Ⅰ)当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, h?( x ) ? 0 , h( x ) 在区间 (0,1) 上是增函数. ? h(1) ? 0 ,? h( x ) ? 0 在 (0,1] 上恒成立,即 F ?( x ) ? 0 在 (0,1] 上恒成立. ? F ( x ) 在区间 (0,1] 上是减函数. 所以, a ? 2 满足题意. (Ⅱ)当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时,设函数 h ?( x ) 的唯一零点为 x 0 ,
设 h( x ) ? ? x 2 ? (2 ? a ) x ? a ? 则 h( x ) 在 (0, x0 ) 上递增,在 ( x0 ,1) 上递减. 又∵ h(1) ? 0 ,∴ h( x 0 ) ? 0 . 又∵ h(e ?a ) ? ?e ?2a ? (2 ? a)e ?a ? a ? e a ? ln e ?a ? 0 , ∴ h( x ) 在 (0,1) 内有唯一一个零点 x ? , 当 x ? ( 0, x? ) 时, h( x ) ? 0 ,当 x ? ( x?,1) 时, h( x ) ? 0 . 从而 F ( x ) 在 ( 0, x ? ) 递减,在 ( x?,1) 递增,与在区间 (0,1] 上是单调函数矛盾. ∴ a ? 2 不合题意. 综合(Ⅰ) (Ⅱ)得, a ? 2 .

32.解:(Ⅰ)由



得切线的斜率 k=f'(Ⅱ)=a﹣3=﹣1,∴a=2,
2 故 f(x)=2lnx﹣x +2x,

由 f(x)≥2x+m,得 m≤2lnx﹣x , ∵不等式 f(x)≥2x+m 在 令 g(x)=2lnx﹣x ,则 ∵x∈ ,故 g′(x)=0 时,x=1.
2

2

上有解,∴m≤(2lnx﹣x )max . ,

2



时,g'(x)>0;当 1<x<e 时,g'(x)<0.

故 g(x)在 x=1 处取得最大值 g(Ⅰ)=﹣1, ∴m≤﹣1; (Ⅱ)∵f(x)的图象与 x 轴交于两个不同的点 A(x1,0),B(x2,0), ∴方程 2lnx﹣x2+ax=0 的两个根为 x1,x2, 则 ,两式相减得 ,



,则



要证



即证明 ∵0<x1<x2,∴0<t<1, 只要证明



在 0<t<1 上恒成立即可

∵ 又 0<t<1,∴u'(t)>0, ∴u(t)在(0,1)上是增函数,则 u(t)<u(Ⅰ)=0,从而知







,即

成立.

33









I





f ( x) ?

1 2 x ? 2 x ? a ln x(a ? R ) 2



a x2 ? 2x ? a f '( x) ? x ? 2 ? ? (a ? R) x x
①当 a ? 1 时, f '( x) ? 0 恒成立,故 f ( x) 在区间 上单调递增; (0, +?) ② 当 0 ? a ? 1 时 , 0 ? 1 ? 1 ? a ? 1 ? 1 ? a , 由 f '( x ) ? 0 得 0 ? x ? 1 ? 1 ? a 或

和 x ? 1 ? 1 ? a ; f '( x) ? 0 得 1 ? 1 ? a ? x ? 1+ 1 ? a ,故 f ( x) 在区间 (0, 1 ? 1 ? a) 上单调递增,在区间 上单调递减; (1 ? 1 ? a, +?) (1 ? 1 ? a, 1+ 1 ? a) ③ a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x,x ? 0 , f ( x) 在区间 上单调递减,在区间 上单调递 (0, 2) (2, +?) 增; 综上所述:当 a ? 1 时, f ( x) 在区间 上单调递增;当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在区间 (0, +?) 和 上单调递增, 在区间 上单调递减; a?0 (0, 1 ? 1 ? a) (1 ? 1 ? a, +?) (1 ? 1 ? a, 1+ 1 ? a) 时, f ( x) 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增 (0, 2) (2, +?) (II) f '( x) ? x ? 2 ?

1 2

a x2 ? 2x ? a ? (a ? R) , x x

当 a ? 0 时,易见函数 f ( x) 在定义域 (0,??) 上仅有一个极值点,不合题意 当 a ? 0 时,由(I)可知,仅 0 ? a ? 1 符合题意,且 x1 +x2 =2,x1 ? x2 =a , ∴

f ( x2 ) ?

1 2 1 2 1 2 2 x 2 ? 2 x2 ? a ln x2 = x 2 ? 2 x2 ? x2 (2 ? x2 ) ln x2 ? x 2 ? 2 x2 ? (2 x2 ? x2 ) ln x2 2 2 2

∵ x1 ? x2 ,且 x1 +x2 =2,x1 ? x2 =a , 0 ? a ? 1 ,∴ 0 ? x2 ? 2 。 令 g ( x) ?

1 2 x ? 2 x ? (2 x ? x 2 ) ln x, x ? (0, 2) 2

则 g '( x) ? x ? 2 ? (2 ? 2 x) ln x ?

2x ? x2 ? 2(1 ? x) ln x x

当 0 ? x ? 1 , 1 ? x ? 0, ln x ? 0 ,所以 g '( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 2 , 1 ? x ? 0, ln x ? 0 ,所以

g '( x) ? 0 ;∴ x ? (0, 2) , g '( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在区间 (0, 2) 上单调递减。
∴ x ? (0, 2) 时, g ( x) ? g(2) ? ?2 综上所述:若 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) 的两个极值点,则 f ( x2 ) ? ?2 。 34 . 解 : (Ⅰ)由 f ? x? ?

ln x ? 2 1 ? 2 x ? x ln x 得 f ?? x? ? , x ? ? 0, ?? ? , 所 以 曲 线 x e xe x 1 2 ? f ?1? ? , e, e

y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线斜率为 f ? ?1? ? ?

?曲线 y ? f ? x ? 切线方程为 y ? ? ? ? x ? 1? ,即 x ? ey ? 3 ? 0 .
(Ⅱ)由 f ? ?1? ? 0 ,得 k ? 1 ,

2 e

1 e

e ?2 ? 1 ex e?2 ? 1? , 要证 f ? ? x ? ? 2 等价于证明 1 ? x ? x ln x ? ? x ?x , x ?1
令 h ? x ? ? 1 ? x ? x ln x , x ? ? 0, ??? ,得 h? ? x ? ? ? ln x ? 2 , x ? ? 0, ?? ? ,
?2 ?2 因此,当 x ? 0, e 时,h? ? x ? ? 0 ,h ? x ? 单调递增; x ? e , ?? 时,h? ? x ? ? 0 ,h ? x ?

?

?

?

?

单调递减,
?2 ? e ?2 ? 1 ,故 1 ? x ? x ln x ? e?2 ? 1 , 所以 h ? x ? 的最大值为 h e

? ?

设 ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? ,? ?? ? x ? ? e ? 1 ,所以 x ? ? 0, ?? ? 时,?? ? x ? ? 0 ,? ? x ? 单调递
x x

增, ? ? x ? ? ? ? 0? ? 0 ,故 x ? ? 0, ?? ? 时, ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? ? 0 ,即
x

ex ? 1, x ?1

所以 1 ? x ? x ln x ? e

?2

?1?

ex e? 2 ? 1? . ? x ?1
e?2 ? 1 恒成立. x2 ? x

因此,对任意 x ? 0 , f ? ? x ? ?

35.解: (I)证明: EA , EB 为圆的割线,所以 ED ? EA ? EC ? EB , 又 EC=ED, 所以 EA ? EB ,所以 ?EAB ? ?EBA , 又 A,B,C,D 四点共圆, 所以 ?EAB ? ?DCB ? 180 ,
?

所以 ?EBA ? ?DCB ? 180 ,
?

所以 CD∥AB; (II)证明:连接 FA,GB, 因为 EF=EG,所以 ?EFG ? ?EGF , 又 ?FDE ? ?ADC ? ?BCD ? ?GCE ,所以 ?FED ? ?GEC , 由(Ⅰ)知 EA ? EB ,所以 ?EAF ? ?EBG ,所以 ?EAF ? ?EBG , 又 ?EAB ? ?EBA ,所以 ?FAB ? ?GBA ,

因为 CD∥AB,所以 ?GFA ? ?FAB ? 180 ,
?

所以 ?GFA ? ?GBA ? 180 ,
?

所以 A,B,G,F 四点共圆. 36.解: (Ⅰ)连接 AF ,因 EF 切圆 O 于 F ,故

?EFB ? ?FAB ,
因 AB 是圆 O 的直径,弦 CD ? AB 于点 M , 故 ?AFB ? ?AMG ? 90? , 故 ?FAB ? ?MGF ? 180? , 又 ?FGE ? ?MGF ? 180? , 所以 ?FAB ? ?FGE , 所以 ?EFG ? ?FGE , 所以 ?EFG 为等腰三角形; (Ⅱ)因 AB 是圆 O 的直径,弦 CD ? AB 且 AB ? 10 , CD ? 8 , 所以圆 O 的半径 R ? 5 ,

1 CD ? 4 , OM ? R2 ? MD2 ? 52 ? 42 ? 3 ,又 3ED ? 4OM , 2 4OM ? 4, 所以 ED ? 3 MD ?
因 EF 切圆 O 于 F ,所以 EF 2 ? ED ? EC ? 4 ?12 ? 48 , 由(Ⅰ)知 EF=EG, 所以 EF ?

48 ? 4 3 ? EG ,

所以 MG ? EM ? EG ? 4 ? 4 ? 4 3 ? 8 ? 4 3 , 故 MG ? 8 ? 4 3 . 37.证明: (Ⅰ)因为 PM 是圆 O 的切线, NAB 圆 O 的割线, N 是 PM 的中点, 所以 NM ? PN ? NA ? NB ,
2 2

所以

PN BN ? , NA NP

又 ?PNA ? ?BNP ,所以 ?ANP ∽ ?PNB , 所以 ?APN ? ?PBN ,即 ?APM ? ?PBA , 又 MC ? BC ,所以 ?MAC ? ?BAC ,

所以 ?MAP ? ?PAB , 所以 ?APM ∽ ?ABP . (Ⅱ)因 ?ABD ? ?ACD , ?ABD ? ?ABP ? ?APM , 所以 ?ACD ? ?APM , 所以 MP // DC .因 PM 是圆 O 的切线, 所以 ?PMA ? ?MCA , 又 ?APM ∽ ?ABP , 所以 ?PMA ? ?BPA , 所以 ?BPA ? ?MCA , 所以 MC // PD , 所以四边形 PMCD 是平行四边形.
2 38.解、(Ⅰ)由 ? ? 2 cos ? ,得 ? ? 2? cos? ,

可得 C 的直角坐标方程: x ? y ? 2 x .
2 2

? 3 x? t?m ? ? 2 直线 L 的参数方程是 ? ,( t 为参数), ?y ? 1 t ? ? 2
消去参数 t 可得 x ? 3 y ? m .

? 3 x? t?m ? ? 2 2 2 (Ⅱ)把 ? ( t 为参数),代入 x ? y ? 2 x , ?y ? 1 t ? ? 2
得 t 2 ? ( 3m ? 3)t ? m2 ? 2m ? 0 , 由 ? ? 0 ,解得 ?1 ? m ? 3 . ∴ t1t2 ? m2 ? 2m . ∵ | PA | ? | PB |? 1 ? t1t2 ,∴ m ? 2m ? ?1 ,
2

解得 m ? 1 ? 2 或 1.又满足 ? ? 0 .∴实数 m ? 1 ? 2 或 1.
2 39.解: (Ⅰ)由 ? ? 2cos ? 得 ? ? 2? cos? ,

得普通方程为 x ? y ? 2 x(0 ? y ? 1)
2 2
2 即 ? x ? 1? ? y ? 1(0 ? y ? 1) . 2

故 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数,? ?[0, ? ]) . ? y ? sin ?

(Ⅱ)设 D(1 ? cos ? ,sin ? ) , 由(Ⅰ)知 C 是以 G (1, 0) 为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂 直, 所以直线 GD 与 l 的斜率相同, 故 tan ? ? 3 , ? ?

?
3



故 D 的直角坐标为 ?1 ? cos

? ?

?
3

,sin

??

?3 3? ? ,即 ? ?2, 2 ? ? . 3? ? ?

40.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 0 得 x ? 2 ? x ?1 , 两边平方得 x ? 4 x ? 4 ? x ? 2 x ? 1 ,
2 2

解得 x ?

3 3 ,故实数 x 的取值范围为 ( ?? , ) . 2 2

(Ⅱ) ?b ? R , a ? b ? a ? b ? f ( x) 恒成立等价于 ( a ? b ? a ? b )min ? f ( x)max 恒成立.

a ? b ? a ? b ?| a ? b ? a ? b |? 2 | a | ,当且仅当 (a ? b)(a ? b) ? 0 时等号成立,
即 a ? b ? a ? b 的最小值为 2 | a | ;

x ? 2 ? x ?1 ?| x ? 2 ?1? x |? 1 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立,
即 f ( x) ? x ? 2 ? x ?1 的最大值为 1

??1, x ? 2 ? (或通过分类讨论得 f ( x ) ? x ? 2 ? x ? 1 ? ??2 x ? 3,1 ? x ? 2 ,进而得到最大值为 1; ?1, x ? 1 ?
|1 ? , 或通过绝对值的几何意义得到 f ( x) ? x ? 2 ? x ?1 的最大值为 1), 故 2| a 解得 a ?
或a ? ?

1 2

1 1 1 ,故 a 的取值范围是 (?? ,? ] ? [ ,?? ) . 2 2 2

41.解:(Ⅰ)当 m ? 5 时, f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ?5 ? 0 得 | x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? 5 , ①当 x ? ?2 时,不等式为: ?3 x ? 1 ? 5 ,即 x ? ?2 ,满足; ②当 ?2 ? x ?

1 时,不等式为: ? x ? 3 ? 5 ,即 x ? ?2 ,不满足; 2

③当 x ?

1 4 时,不等式为: 3 x ? 1 ? 5 ,即 x ? ,满足. 2 3

综上所述,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | x ? ?2或x ? (Ⅱ)设 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ,若 f ( x ) ? 即 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? m ?

? ?

4? ?. 3?

3 对于任意 x ? R 恒成立, 2

3 对于任意 x ? R 恒成立, 2

? ??3x ? 1( x ? ?2), ? 1 ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? ?? x ? 3(?2 ? x ? ), 2 ? 1 ? 3x ? 1( x ? ), ? ? 2
由图可看出,当 x ? 所以 m ?

5 1 时, g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| 的最小值是 , 2 2

3 5 ? ,∴ m ? 1 ,即 m 的取值范围是 (??,1] . 2 2

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