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高考数学选择题策略


专题一

高考数学 数学选择题解答策略

高考选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现考基础、考 能力的导向,使作为中低档题的选择题成为具有较佳区分度的基本题型。因此,能否在选 择题上获取高分,对高考数学成绩影响很大,解答选择题的基本策略是准确、迅速。 准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全

题失分。 因此,在解答选择题时,应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏,被选后认真检验, 确保准确。 迅速是赢得时间获取高分的必要条件, 高考中考生不适应能力型试题的考试, 致使 “超 时失分”是造成低分的一大因素,对于选择题的答题时间,应该控制在不超过 35 分钟, 速度越快越好,高考要求每道选择题在 1—3 分钟内完成。 选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运 用、考虑问题的严谨、解题速度的快速等方面,是否达到“考试说明”中的“了解、理解、 掌握”三个层次的要求;选择题的特殊结构决定了它具有相应的特殊作用和特点:由于选 择题不需写出运算、推理等解答过程,在试卷上配备选择题,可以增加试卷容量,扩大考 查知识的覆盖面,阅卷简捷、评分客观,在一定程度上提高了试卷的效度与信度;侧重于 考查学生是否能迅速选出正确答案,解题手段不拘常规,有利于考查考生的选择、判断能 力,选择往往包括考生常犯的概念错误或运算、推理错误,所以具有较强的“迷惑性” 。 一般地,解答选择题的策略是:①熟练掌握各种基本题型的一般解法。②结合高考单 项选择题的结构(由“四选一”的指令,题干和选择项所构成)和不要求书写解题过程的 特点, 灵活运用特例法、 筛选法、 图解法等选择题的常用解法与技巧。 ③挖掘题目 “个性” , 寻求简便解法,充分利用选择支的暗示 作用迅速地作出正确的选择。下面介绍几种常用解 .. 法。

一、直接法
直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定义、定理、法则、公式等知识,通过 推理运算,得出结论,再对照选择项,从中选出正确答案的方法叫做直接法。 例 1、 已知双曲线的右准线为 x=4, 右焦点 F (10, 0) , 离心率 e=2, 则双曲线方程为 ( ) A.

x2 y 2 ? ?1 40 60

B.

( x ? 2)2 y 2 ? ?1 16 48
1

C.

y 2 x2 ? ?1 40 60
1 x+1 2 1 x+1 2

D.

( y ? 2)2 x 2 ? ?1 16 48


例 2、过点(0,1)且与抛物线 y2=2x 仅有一个交点的直线方程是( A.y= B.x=0 或 y=

1 x+1 2 1 x+1 2

C.y=1 或 y=

D.y=1 或 x=0 或 y=

例 3、已知双曲线 x2-

y2 =1,过点 P(1,1)与双曲线交于 A、B 两点且 P 为线段 AB 2


的中点的直线方程是( A.y=2x-1 B. y=

1 1 x+ 2 2


C.y=-2x+3

D.不存在

例 4、函数 y=

1 的值域是( ( x ? 1)( x ? 2)

A. ? ??, ?4? C. ? ?4,0?

?0, ???

B.

? ??, ?4? ?0, ??? ? 0, ???
) D. ? ?1,5?

D. ? ??, ?4?

例 5、函数 y=log0.3(-x2+4x+5)的单调增区间是( A. ?2, ??? B. ? 2,5? C. ? ??,2?

例 6、计算机是将信息转换成二进制进行处理的,二进制即“逢 2 进 1” ,那么将二进制数 (1111111111111111)2 转换成十进制形式结果是( ) 17 16 16 A.2 -2 B. 2 -2 C. 2 -1 D. 215-1 点评:直接法是解答选择题最常用的基本方法,低档选择题可用此法迅速求解。直接 法适用的范围很广,只要运算正确,必能得出正确的答案。提高直接法解选择题的能力, 准确地把握中档题目的“个性” ,用简便方法巧解选择题,是建立在扎实掌握“三基”的 基础上,否则一味求快则会快中出错。

二、特例法
用特殊值(特殊图形、特殊位置、特殊例子)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对 各个选项进行检验,从而作出正确判断的方法叫做特例法,常用的特例有特殊数值、特殊 数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。 例 7、设 f (n)=

1 1 ? ? n ?1 n ? 2

?

1 , ? n ? N ? ? ,则 f(n+1)-f (n) =( 2n
2



A.

1 n ?1

B.

1 2n ? 2

C.

1 1 + 2n ? 1 2 n ? 2

D.

1 1 - 2n ? 1 2 n ? 2

例 8、已知 A、B 分别为椭圆 x2+

y2 =1 的左、右顶点,P 是椭圆上第一象限的任一点, 2

若∠PAB=α ,∠PBA=β ,则必有( ) A. 2tanα +cotβ =0 B. 2tanα -cotβ =0 C. tanα +2cotβ =0 D. tanα -2cotβ =0 - 例 9、已知 f (x)的反函数为 f 1 (x),则 f (x-1)的反函数为( - - - A. f 1(x-1) B. f 1 (x) +1 C. f 1 (x) -1 例 10、过双曲线

) D. f 1(x+1)


x2 y 2 ? ? 1 上任意一点 P,引与实轴平行的直线,交两渐近线于 R、Q a 2 b2
) C.2ab D.a2+b2 )

两点,则 PR PQ 的值为( A.a2 例 11、设θ ∈(0, B.b2

? ) ,则二次曲线 x2cotθ -y2tanθ =1 的离心率的取值范围是( 4
B.(

A.(0,

1 ) 2

1 2 , ) 2 2

C.(0, 2 )

D.( 2 ,+∞) )

例 12、已知函数 y=f(x+3)是偶函数,则函数 y=f (x)图像的对称轴是直线( A.x=-3 B.x=0 C.x=3 D.x=6

点评:在题设普遍条件下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷 地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解答本类选择题的最佳 策略,近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占 30%左右。

三、筛选法
从题设条件出发,运用定理、定义、性质、公式推演,根据“四选一”的要求,逐步 剔除干扰项,从而得出正确判断的方法叫做筛选法或剔除法。 例 13、函数 y=log2 (x-1)的反函数图象大致是( )

3

例 14、过抛物线 y2=4x 的焦点作直线与此抛物线相交于 P 和 Q,那么线段 PQ 的中点的 轨迹方程是( ) 2 A.y =2x-1 B. y2=2x-2 C.y2=-2x+1 D. y2=-2x+2 例 15、如果关于 x 的方程(2 A. ? ?2, ?? ?
?x

-2)2-a-2=0 有实根,那么实数 a 的取值范围是( C. ? ?2,1? D. ? ?1, 2?



B. ? ?1, 2?

例 16、方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是( ) A.0<a≤1 B.a<1 C.a≤1 D.0<a≤1 或 a<0 例 17、已知 f (x)是 R 上的增函数,令 F(x)=f (1-x) -f (3+x),则 F(x)是 R 上的( A.增函数 B.减函数 C.先减后增函数 D.先增后减函数 例 18、 f (x)与 g (x)是定义在 R 上的可导函数, 若 f′(x)=g′(x), 则 f (x)与 g (x)满足 ( A. f (x) =g (x) B. f (x) -g (x)是常数函数 C. f (x) =g (x) =0 D. f (x) +g (x)是常数函数





点评:筛选法适用于定性型或不易直接求解的选择题。当题目中的条件多于一个时, 先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的,予以否定;再根据另一些条件在缩小的 选择支的范围里找出矛盾的选择支予以否定,这样逐步筛选,直到得出正确的选择支,它 与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用手段。

四、代入法
将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正确判断的方法叫代入法,又称验证 法,即将各选择支分别作为条件,去验证命题,能使命题成立的选择支就是应选的答案。 例 19、已知集合 M={-1,0,1},规定运算“*” ,若 a∈M,b∈M,则 a*b∈M,那 么运算“*”可能是( ) A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 例 20、设全集∪={1,2,3,4,5},集合 A={1,a2-1,4}, C A={2,a+3},则实 数 a 的值为( A.-2 ) B.0 C.2 D. ± 6 ) D.1-2i

例 21、复数 z 满足: (1+2i) z =4+3i,那么 z=( A.2+i B.2-i C.1+2i
4

例 22、函数 y=sin(2x+ A.x=-

? ? 5? C. x=- D. x= 4 4 8 例 23、函数 y=sin(2x+ ? ) (O≤ ? ≤π )是 R 上的偶函数,则 ? 的值是( ? ? A.0 B. C. D. π 4 2
B. x=-

? 2

5? )的图象的一条对称轴方程是( 2





例 24、给出三个等式:①f(x+y)=f (x) +f (y) ②f (xy) =f (x) +f (y) ③f (xy) = f (x) ?f (y),则不满足其中任何一个等式的函数是( ) 2 A. f (x) =x B. f (x) =sinx C. f (x) =2x D. f (x) =lgx 点评:代入法适用于题设复杂、结论简单的选择题,若能根据题意确定代入顺序,则 能较大提高解题速度。

五、图解法
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形, 借助几何图形的直观性作出正确判 断的方法叫图解法或数形结合法。 例 25、偶函数 f (x)在(0,+∞)上是减函数,且 f (-1)=0,则不等式 为( )

f ? x? ≤0 的解集 x

A. ? ?1,0? C. ? ??, ?1?

?1, ???

B. ? ?1,0 ? D. ? ?1,0?

?1, ???
? 0,1?
C.( , ?

?1, ???
B.( ? , ?

例 26、 在圆 x2+y2=4 上的所有点中, 到直线 4x+3y-12=0 的距离最大的点的坐标是 ( ) A.( ? ,

8 6 ) 5 5

8 5

6 ) 5

8 5

6 ) 5
) D. ?1, ?? ?

D.( ,

8 6 ) 5 5

例 27、函数 f (x)=│logax│(a>0 且 a≠1)的单调增区间是( A. ? 0, a ? B. ? 0, ??? C. ? 0,1?

例 28、函数 y=ax 与 y=x+a(a>0 且 a≠1)的图象恰有两个公共点,到 a 的取值范围是 ( ) A.(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1) C.(1,+∞) D. ? )

例 29、若直线 y=x+b 与曲线 x2+y2=4(y≥0)有公共点,则 b 的取值范围是( A.[-2,2] B.[0,2] C.[-2 2 ,2 2 ]
5

D. [-2,2 2 ] )

例 30、已知实数 x、y 满足 4x+3y≥0,则 M=x2+y2+4x-2y 的最小值是(

A.1

B.4

C. -4

D. -1

点评: 数形结合, 借助几何图形的直观性, 迅速作正确的判断是高考考查的重点之一。 作图只要求作出草图,不必过于准确,才能提高解题速度。 总之,解选择题不管用什么方法,但要学会充分利用题目自身提供的信息,化常规为 特殊,避免“小题大做” 。此外,解题方法的应用通常并不是单一的,有时需要综合运用 两种或两种以上的方法,只有灵活地应用相关解题方法和策略,在解答选择题时才能真正 做到熟练、准确、快速,要特别注意提高运用特例排除法解选择题的解题意识。

《合理推理》选择题
1、已知 A={1,2,3},B={1,2},定义集合 A、B 之间的运算“*” :A*B={x│x= x1+x2,x1∈A,x2∈B},则集合 A*B 的所有子集的个数为( ) A.15 B.16 C.32 D.8 2、设 A、B 是两个集合,定义 A-B={ x│x ∈A 且 x ? B },若 M={ x││x-1│≤3}, N={ x│x=3 │cosα │,α ∈R},则 M-N=( ) A.{ x│ 3<x≤4 或-2≤x<0} B.{ x│ -3≤x≤-2 或 3≤x≤4} C.{ x│ 3≤x≤4 或-2≤x≤0} D.{ x│ 3<x≤2 或-4≤x<0} 3、把数列{2n+1}依次按第一个括号一个数,第二个括号二个数,第三个括号三个数,第 四个括号四个数,第五个括号一个数??循环分为: ( 3) , (5,7) , (9,11,13) , (15,17,19,21) ; (23) , (25,27) , (29,31,33) , (35,37,39,41) , (43) ,?, 则第 104 个括号内各数之和为( ) A.2036 B.2048 C.2060 D.2072 4、对任意实数 x、y,定义运算 x*y=ax+by+cxy,其中 a、b、c 为常实数,等号右边的 运算是通常意义的加、乘运算,现已知 1*2=3,2*3=4,且有一个非零实数 m,使 得对任意实数 x 都有 x*m=x,则 m=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 * 5、定义一种“*”运算:对于 n∈N ,满足以下运算性质:①2*2=1,②(2n+2)*2 =3(2n*2) ,则用含 n 的代数式表示 2n*2 为( ) n n-1 n-1 A. 3 B. 3 C. 2 D.2n 6、定义 A*B、B*C、C*D、D*B 分别对应下列图形:

那么下列图形中
6









⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 可以表示 A*D、A*C 的分别是( ) A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶ C. ⑵、⑷ 7、对任意两实数 a、b,定义运算“*” :a*b= ? *log2x 的值域为( A. ?0, ??? ) C. ? ??,0? D.R

D. ⑴、⑷

? ?a ? a ? b ? ,函数 f (x) = log 1 (3x-2) b a ? b ? ? ? 2 ?

B. ? ??,0?

8、如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点,那么称这个点为 “好点” ,在下面的五个点 M(1,1) ,N(1,2) ,P(2,1) ,D(2,2) ,G(2,

1 ) 2

中,好点的个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 + 如下:当 a≥b 时,a○ + b=a,当 a< 9、在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算○ 2 + b=b ,则函数 f (x)=(1○ + x) + x) b 时,a○ ?x-(2○ (x∈[-2,2])的最大值等于 ( ) ( “? ”和“-”仍为通常的乘法和减法) A.6 B.8 C.-6 D.-10 10、设函数 f (x)的定义域为 R,若存在常数 M,使得│f (x)│≤M│x│对一切实数 x 均成 立,则称 f (x)为 F 函数。给出下列函数: ①f (x)=x2 ②f (x)=

x x ? x ?1
2

③f (x)= 2 (sinx+cosx)

④f (x)=2sinx,

其中是 F 函数的序号是( A. ② B. ④ 的输出结果为( A.2004 ) B.2006

) C. ②④ D. ①②④


11、 编辑一个运算程序 1&1=2, m&n=k, m& (n+1) =k+3 (m, n, k∈N ) , 则 1&2004 C.4008 D.6011

12、设全集∪={1,2,3,4,5,6},集合 A、B 都是∪的子集,若 A∩B={1,3,5}, 则称 A、B 为“理想配集” ,记作(A、B) ,则这样的“理想配集” (A、B)共有( ) A.7 个 B.8 个 C.27 个 D.28 个 13、 若函数 f (x)满足: 对任意 x1>0, x2>0 都有 f (x1) >0, f (x2) >0, 且 f (x1) +f (x2) < f (x1+x2)成立,则称此函数为 M 函数。给出下列四个函数: ①y=x3
7

②y=log2(x+1)③y=2x-1 ④y=sinx,其中是 M 函数的有(



A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ① 14、编辑一个运算程序:1&1=2,m&n=k, (m+1)&n=k-1,m&(n+1)=k+2, 则 2005&2005 的输出结果为( ) A.2004 B.2005 C.2006 D.4010 * 15、已知 an=log(n+1)(n+2) (n∈N ) ,我们把乘积 a1?a2???an 为整数的数 n 称为“劣 数” ,则在区间(0,2005)内所有劣数的和为( ) A.2026 B.2048 C.2003 D.1024 16、编辑一个运算程序:1&1=2,m&n=k,m&(n+1)=k+2,则 1&2006 的输出结果 为( ) A.4006 B.4008 C.4010 D.4012

8

专题二

三角函数(1)
? ,则 P 是 q 的( ) 2

1、已知α 、β 均为锐角,若 P:sinα <sin(α +β ) ,q:α +β < A.充分不必要条件 C.充要条件 2、 要得到 y=cos (2x- B.必要不充分条件 D.不充分又不必要条件

? ) +1 的图象, 只需将函数 y=sin2x 的图象做下列移动得到 ( ) 4 ? ? A.按向量 a =(- ,1)平移 B. 按向量 a =( ,-1)平移 8 8 ? ? C.按向量 a =(- ,1)平移 D. 按向量 a =( ,1)平移 4 4 ? 1 2? 3、若 sin( -α )= ,则 cos( +2α )=( ) 3 3 6 1 7 7 1 A.- B.- C. D. 3 9 9 3 ? 4、tanθ 和 tan( -θ )是方程 x2+Px+q=0 的两根,则 P 与 q 的关系是( ) 4
A.P+q+1=0 C.P-q+1=0 B. P+q-1=0 D. P-q-1=0

5、在△OAB 中,O 为坐标原点,A(1,cosθ ) 、B(sinθ ,1) ,θ ∈ ? 0, 的面积达到最大值时,θ =( A. ) C.

? ?

??
2? ?

,则当△AOB

? 6

B.

? 9

? 4

D.

? 2
。 。

6、α 、β 均为锐角,且 sinα = 7、函数 y=lgsin(

? -2x)的单调增区间是 4

1 sin(α +β ) ,则α 与β 的大小关系是 2

8、已知 a =(2sinx,2cosx) , b =(- 3 cosx,cosx) ,f (x)= a ? b ⑴求 f (x)的最小正周期; ⑵当 x∈[0,

? ]时,求 f (x)的最小值; 4

⑶作出 f (x)在[0,π ]的图象

9

9、已知α 、β ∈[0, 的值。

? ? ? ],3sinβ =sin(2α +β )①,4tan =1-tan2 ②,求α +β 4 2 2
17 对一切 x∈R 恒成立, 求 a 的取值范围。 4

10、 函数 f (x)=-sin2x+sinx+a, 若 1≤f (x) ≤

11、 设函数 f (x)=sin (2x+ ? ) (-π < ? <0) , y=f (x)的图象的一条对称轴是直线 x=

①求 ? ;②画出 f (x)在区间[0,π ]上的图象;③证明直线 5x-2y+c=0 与 y=f(x)的 图象不相切。

? , 8

10

专题二

三角函数(2)


1、 已知 f (x)是定义在(0,3)上的函数,图象 如右图所示,那么不等式 f (x)cosx<0 的解集是( A.(0,1)∪(2,3) C.(0,1)∪( B.(1,

? ,3) D. (0,1)∪(1,3) 2

? ? )∪( ,3) 2 2

2、 已知函数 f (x)=m│x-1│ (m∈R 且 m≠0) , 设向量 a = (1,cos2θ ) , b =(2,1) , c =(4sinθ ,1) , d =( 时,f( a ? b )与 f( c ? d )的大小关系是( A. f( a ? b )<f( c ? d ) B. m>0 时,f( a ? b )<f( c ? d ) ,m<0 时,f( a ? b )>f( c ? d ) C. f( a ? b )>f( c ? d ) D. m>0 时,f( a ? b )>f( c ? d ) ,m<0 时,f( a ? b )<f( c ? d ) 3、 已知 A、 B 分别为椭圆 x ?
2

1 ? sinθ ,1) ,当θ ∈(0, ) 2 4



y2 ? 1的左右顶点 P 是椭圆上第一象限的任一点, 若∠PAB 2

=α ,∠PBA=β ,则必有( ) A.2tanα +cotβ =0 B. 2tanα -cotβ =0 C. tanα +2cotβ =0 D. tanα -2cotβ =0 * n 4、若 sinθ +cosθ =1,n∈N ,则 sin θ +cosnθ =( ) n A.1 B. -1 C.(-1) D.0 2 2 2 5、直线 xcosθ +ysinθ +a=0 与圆 x +y =a 交点的个数为( ) A.1 B.2 C.0 D. 随θ 变化而变化 6、已知 O 为原点,点 P(x,y)在单位圆 x2+y2=1 上,若 Q(2cosθ ,2sinθ )满足 PQ

4 2 ,? ) ,则 OP ? OQ = 3 3 1 7、若 sinα cosβ = ,则 cosα sinβ 的取值范围是 2
=(
11

。 。

8、在任何两边都不相等的锐角△ABC 中,已知角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2sin2A-cos2A=2; ⑴求角 B 的取值范围; ⑵求函数 y=2sin2B+sin(2B+

? )的值域; 6

⑶求证:b+c<2a 。 9、已知函数 f (x)=Asinω x+Bcosω x, (A、B、ω 是实数,ω >0)的最小正周期为 2, 并当 x=

1 ,f (x)max=2; 3 21 23 , ]上是否存在 f (x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如 4 4

⑴求 f (x); ⑵在闭区间[

果不存在,请说明理由。 10、在一个斜坡上(斜坡与水平面所成的二面角为 60°)进行机器人爬坡比赛,设机器人 直线匀速行走, 若机器人在水平面上行走的最大速度为 V0, 机器人在斜坡上行走的速 度与所走的路线的倾斜角θ 有关 (即行走路线与水平面所成的角有关, 倾斜角θ 越大, 速度越慢) ,根据测试机器人在斜坡上行走的速度 V=f(θ ) ; ⑴以下三个 ( f θ ) 的解析式: ( f θ ) =

V0 V0 ; ( f θ ) = c o s ? 1? 2 n i s

2

?

; ( f θ ) =

4V0 1? 2 n i s
2

?

中只有一个正确,你认为是哪一个,说明理由。 ⑵选出解析式后,问机器人选择的行走路线与坡脚的夹角为多少时,可以使它以最短 的时间到达坡顶?

12

专题三

立体几何(1)

1、对于直线 m、n 和平面α 、β ,α ⊥β 的一个充分条件是( ) A.m⊥n,m∥α ,n∥β B. m⊥n,α ∩β =m,n ? α C. m∥n,n⊥β ,m ? α D. m⊥n,m∥α ,n⊥β 2、若平面α ⊥β ,α ∩β =l,且点 P∈α ,P ? l,则下列命题中假命题是( A.过点 P 且垂直于α 的直线平行于β B.过点 P 且垂直于 l 的直线在α 内 C.过点 P 且垂直于β 的直线在α 内 D.过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于β



3、 在正三棱锥 S-ABC 中, M、 N 分别是棱 SC、 BC 的中点, 且 MN⊥AM, 若 SA= 2 3 , 则正三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积是( ) A.12π B.32π C.36π D.48π 4、直线 a 与平面α 成θ 角,a 是平面α 的斜线,b 是平面α 内与 a 异面的任意直线,则 a 与 b 所成的角( ) A.最小值为θ ,最大值为π -θ C.最小值为θ ,无最大值 5、下列命题中不正确的命题个数是( ) B.最小值为θ ,最大值为 D.无最小值,最大值为

? 2

? 2

①若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有 AB ? BC ? CD ? DA ? 0 。 ② a ? b ? a ? b 是 a 、 b 共线的充要条件。 ③若 a 与 b 共线,则 a 与 b 所在直线平行。 ④对空间任意点 O 与不共线的三点 A、B、C,若 OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x, y,z∈R) ;则 P、A、B、C 四点共面。 A.1 B.2 C.3 D.4 6、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若点 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的线是 。 7、将长为 4cm,宽为 3cm 的矩形 ABCD 沿对角线 AC 折成二面角 B―AC―D,不论折成 的二面角为多少度,A、B、C、D 四点始终在同一球面上,则该球面的表面积= cm2。
13

8、已知三棱锥 S-ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直且长度分别为 a、b、c, 设 O 为 S 在底面上的射影,求证: ①O 为△ABC 的垂心 ②O 在△ABC 内 ③设 SO=h,则

1 1 1 1 ? 2? 2 ? 2 2 a b c h

(第 8 题) (第 9 题) 9、如图,已知矩形 ABCD,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB,PC 的中点,设 AB=a, BC=b,PA=c ⑴求证:MN⊥AB;⑵平面 PDC 和平面 ABCD 所成的二面角为θ ,当θ 为何值时(与 a、b、c 无关) ,MN 是直线 AB 与 PC 的公垂线段? 10、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,E、F、G 分别是 AC、AA1、AB 的中点。⑴求证:B1C1∥平面 EFG;⑵求 FG 与 AC1 形成的角;⑶求三 棱锥 B1-EFG 的体积。

(第 10 题)

(第 11 题)

11、在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 1 的菱形,侧棱长为 2。 ⑴B1D1 与 A1D 能否垂直?证明你的结论。 ⑵∠A1B1C1 在[

? ? , ]上变化时,求异面直线 AC1 与 A1B1 所成角的范围。 3 2
14

专题三

立体几何(2)

1、设 a、b 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列四个命题:①若 a⊥b, a⊥α ,则 b∥α ②若 a∥α ,a⊥β ,则α ⊥β ③若α ⊥β ,a⊥β ,则 a∥α ④若 a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则α ⊥β ,其中正确命题的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2、已知 a、b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 3、棱长为 2 的正四面体的外接球的体积为( ) A. 3? B. 6? C. 2 3? D. 2 6?

4、三棱锥 P-ABC 的三个侧面两两互相垂直,PA=12,PB=16,PC=20,若 P、A、B、 C 四个点都在同一球面上,则此球面上 A、B 两点间的球面距离为( ) A. 5 2? B. 5? C.10 D.10π

5、正四面体 A-BCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得

AE CF ? =λ (λ >0) , EB FD

设 F(λ )=α λ +β λ ,α λ 与β λ 分别表示 EF 与 AC、BD 所成的角,则( ) A.f (λ )是(0,+∞)上的增函数 B. f (λ )是(0,+∞)上的减函数 C. f (λ )是(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减 D. f (λ )是(0,+∞)上的常数函数 6、在△ABC 中,∠C=90°,AB=8,∠ABC=30°,PC⊥面 ABC,PC=4,Q 是 AB 上一动点,则 PQ 的最小值为 。 7、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中过点 A 作截面,使正方体的 12 条棱所在的直线与截面 所成的角都相等,试写出满足这样条件的一个截面 (只需 写出一个截面即可) 8、如图,正三角形 ABC 的边长为 3,过其中心 G 作 BC 的平行线,分别交 AB、AC 于 B1、C1,将△AB1C1 沿 B1C1 折起到△A1B1C1 的位置,使点 A1 在平面 BB1C1C 的射影恰 是线段 BC 的中点 M,求: ⑴二面角 A1―B1C1―M 的大小;⑵异面直线 A1B1 与 CC1 所成角的大小。

15

9、已知棱长为 1 的正方体 ABC-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点。 ⑴求证:A1C⊥BD ⑵设 P 为正方体对角线 A1C 上任意一点,问 A1C 与平面 PEB1 所成的角是否有最大值 和最小值?若有,请求出;若没有,请说明理由。

10、如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,PA⊥底面 ABCD,E、F 分别是 AB、PD 的 中点,又二面角 P-CD-B 为 45°。 ⑴求证:AF∥平面 PEC; ⑵求平面 PEC 与平面 PCD 所成的二面角的大小; ⑶设 AD=2,CD= 2 2 ,求点 A 到平面 PBC 的距离。

16

专题四

数列(1)


1、已知数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an,则 a2006=( A.5 B.4 C.-1 D.-4

2、已知数列{an}是首项为-60,公差为 3 的等差数列,则 A.495 B.765 C.3105

?
i ?1

30

│ai│等于(



D.2721

3、已知等差数列{an}中,a1+a3=12,a2+a5=6,Sn 是{an}的前 n 项和,则当 Sn 取得最大 值时,n 的值是( A.4 B.5 ) C.4 或 5 D.3 )

4、已知数列{an}满足 a1=2,an+1=-

1 ,则 a2006=( an ? 1
C. -

A.2

B. -

1 3


3 2

D.1

5、若{an}是等差数列,首项 a1>0,a2003+a2004>0,a2003?a2004<0,则使其前 n 项和 Sn> 0 成立的最大自然数 n 是( A.4005 B.4006

C.4007


D.4008

6、已知 f (x)=2x-10,数列{an}满足 an+1=f (an)(n∈N ) ,a1=11,则数列{an}的通项公 式为 。


7、数列{an}的前 n 项和 Sn=a?2n+b(n∈N ,a、b 为常数) ,若{an}是等比数列,则 a、 b 应满足的条件是 。

8、设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列 ?

? Sn ? ?的 ?n?

前 n 项和,求 Tn。 * 9、已知数列{an}和{bn},{an}的前 n 项为 Sn,a2=0,且对任意 n∈N 都有 2Sn=n(an-1) , 点列 Pn(an,bn)都在直线 y=2x+2 上。 ⑴求数列{an}的通项公式。 ⑵求证:

1 PP 1 2
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n
2



2 * (n≥2 ,n∈N ) 5

10、已知正项数列{an}中,a1=6,点 An(an, an?1 )在抛物线 y2=x+1 上,数列{bn}
17

中,点 Bn(n,bn)在过点(0,1) ,方向向量为(1,2)的直线 l 上。 ⑴求 an 和 bn 的表达式。 ⑵对任意正整数 n, 不等式

a n ?1 ? 1 ?? 1? ?1 ? ??1 ? ? ? b1 ?? b2 ?

? 1? ?1 ? ? ? bn ?

?

an ? 0 恒成立,求 n ? 2 ? an

正数 a 的取值范围。

18

专题四

数列(2)

1、已知原命题: “若 a、b、c 成等比数列,则 b2=ac” ,则它的逆命题、否命题、逆否命题 中真命题的个数有( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个 ) D.2006?2007 )

2、已知数列{an}满足 a1=0,an+1=an+2n,那么 a2006 的值是( A.2006?2005 B.20062 C.2005?2004

3、在等比数列{an}中,a1+a2=162,a3+a4=18,那么 a4+a5=( A.6 B. -6 C. ±2 D. ±6

4、设数列{an}的前 n 项和为 Sn,令 Tn=

S1 ? S 2 ? n

Sn

,则称 Tn 为数列 a1,a2,?,an

的“理想数” ,已知数列 a1,a2,?,a500 的理想数为 2004,那么数列 2,a1,a2,?, a500 的理想数为( ) A.2002 B.2004 C.2006 D.2008 5、正数 a,c 使 a,1,c 成等差数列,a2,1,c2 成等比数列,则 A.2 B.-2 C.2 或-2 D.

1 1 ? 的值为( a c



1 2
。 时,

6、{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,若{Sn}是等差数列,则 q= 7、 已知等差数列{an}中, a1=4, 公差 d=-

1 , 其前 n 项和为 Sn, 则当 n= 3

Sn 最大,最大值为 。 8、数列{an}、{bn}满足 a1=1,a2=r(r>0) ,bn=an?an+1,且{bn}是公比为 q(q>0)的 * 等比数列,设 Cn=a2n-1+a2n(n∈N ) 。 ⑴求{Cn}的通项公式。 ⑵设数列{Cn}的前 n 项和为 Sn,求 lim n ??

1 。 Sn


9、已知 b1=1,b2=3,且 bn+2=3 bn+1-2 bn(n∈N ) 。 ⑴求{bn}的通项公式。 ⑵设 Cn=

16n * (n∈N ) ,Tn 是{Cn}的前 n 项和,求 Tn。 bn ? 1

10、已知一次函数 f (x)的图象关于 x-y=0对称的图象为 C,且 f [f (1)]=-1,若点

19

An ? n ,

? ?

an ?1 ? an?1 an * ? ? 1(n ? 2) 。 ? (n∈N )在曲线 C 上,并有 a1=1, an ? an an?1

⑴求 f (x)的解析式及曲线 C 的方程。 ⑵求数列{an}的通项公式。 ⑶设 Sn=

1 2 ? ? a2 a3

?

n ?1 ,求 lim n ?? Sn 的值。 an

20

专题五

解析几何(1)

1、若直线 mx+2ny-4=0 始终平分圆 x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则 mn 的取值范围 是( ) A. ? 0,1? B. ? 0,1? C. ? ??,1? D. ? ??,1?

2、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,在面 A1ABB1 上一动点 P 到 A1A 和 BC 的距离相等,则 P 点的轨迹是下图中的( ) A1 B1 A1 B1 A1 B1 A1 B1

A (A)

B

A (B)

B

A (C)

B

A (D)

B

3、若 x、y∈R 且 3x2+2y2=6,则 x2+y2 的最大值为( A.2 B. 2 C.3

) D. 3

4、椭圆 (

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的切线交 x 轴于 A,交 y 轴于 B,则│AB│的最小值为 a 2 b2
) B.a+b C. 2ab D.4 ab

A. 2 a2 ? b2

x2 y 2 ? ? 1 内有一点 P(1,-1) 5、若椭圆 ,F 为右焦点,椭圆上有一点 M,使 4 3
│MP│+2│MF│最小,则 M 点坐标为( A. ? ) C. ?1, ? ?

?2 6 ? , ? 1 ? ? 3 ? ? ?

B. ?1, ?

? ?

3? ? 2?

? ?

3? 2?

D. ? ?

? 2 6 ? , ? 1 ? ? ? 3 ? ?


6、 已知 P (x, y) 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1任意一点,则(x-3)2+2y2 的最小值为 4

21

7、已知 A(4,0)B(2,2)是椭圆 │MA│+│MB│的最大值是 8、设椭圆方程为 x ?
2

x2 y 2 ? ? 1 内的点,M 是椭圆上的动点,则 25 9
,最小值是 。

y2 ? 1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 为坐标原点, 4

点 P 满足 OP ?

1 ?1 1? OA ? OB ,点 N 的坐标为 ? , ? ,当 l 绕点 M 旋转时,求: 2 ?2 2?

?

?

⑴动点 P 的轨迹方程; ⑵ NP 的最值。

9、过点 B(0,-b)作椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的弦,求弦长的最大值。 a 2 b2

x 2 y 2 m2 ? ? 10、如图,已知椭圆 C: (m>0) ,经过椭圆 C 的右焦点 F,且以 i= 5 3 2
(1,1)为方向向量的直线 l 交椭圆 C 于 A、B,M 为线段 AB 的中点,设 O 为椭圆的 中心,射线 OM 交椭圆于 N 点。 ⑴证明: OA ? OB ? ON ⑵求 OA OB 的值。 O y A x l F M B N

22

专题五

解析几何(2)

1、直线 l 的方程为 y=kx-1,双曲线 C 的方程为 x2-y2=1,若 l 与 C 的右支相交于不重 合的两点,则实数 k 的取值范围是( ) A. ? 2, 2

?

?

B. 1, 2

?

?

C. ? ? 2, 2

?

?

D. ?1, 2

?

?

x2 y 2 2、过双曲线 2 ? 2 ? 1 上任意一点 P,引与实轴平行的直线,交两渐近线于 R、Q 两点, a b
则 PR PQ 的值为( A.a2 3、已知双曲线 B.b2 ) C.2ab D.a2+b2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的 a 2 b2


右支上,且│PF1│=4│PF2│,则此双曲线率的离心率 e 的最大值为(

4 A. 3

5 B. 3

C.2

7 D. 3


4、设点 P(x,y)在椭圆

x2 ? y 2 ? 1上,则点 P 到点(0,1)距离的最大值为( 4
C.2 D.

A. 5

B.3

4 3 3

5、已知点 A( 3 ,1) 、B(0,0) 、C( 3 ,0) ,设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E,那么有 BC ? ?CE ,其中λ 等于( A.3 B. ) D. -

1 3

C. -3

1 3

6、已知圆的方程为 x2+y2=4,若抛物线过点 A(-1,0)和 B(1,0) ,且以圆的切线为 准线,则抛物线的焦点的轨迹方程为 。 7、设 F1、F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的两焦点,若以│F1F2│为直径的圆与椭圆有 a 2 b2

公共点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 。 8、已知双曲线过点 A(-2,4) ,B(4,4) ,它的一个焦点是抛物线 y2=4x 的焦点 F,求 它的另一个焦点 P 到 y 轴距离的最大值。
23

9、过椭圆:

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的焦点 F(2,0)引一条斜率为 1 的直线与椭圆交于 a 2 b2

A、B 两点,M 是线段 AB 的中点,连线 OM(O 为原点)交椭圆于 C、D 两点,若

DM ? 3MC ,求此椭圆方程。
10、如图,已知⊙A、⊙B 的方程分别是 ? x ? 2 ? ? y ?
2 2

25 1 2 2 , ? x ? 2 ? ? y ? ,动圆 M 4 2 1 与⊙A、⊙B 均外切,直线 l 的方程为 x=m(m≤ ) ,⑴求圆心 M 的轨迹方程并证 2 1 明当 m= 时,点 M 到点 B 的距离与到定直线 l 的距离的比为定值;⑵延长 MB 与 2
点 M 的轨迹交于另一点 Q,求│MQ│的最小值;⑶如果存在某一位置,使得 MQ 的 中点 R 在 l 上的射影 C 满足 MC⊥QC,求 m 的取值范围。

y m

A O

B

x

11、将圆 O:x2+y2=4 上各点的纵坐标竟成原来的一半(横坐标不变) ;得到曲线 C。 ⑴求 C 的方程; ⑵设 O 为坐标原点,过点 F( 3 ,0)的直线,l 与 C 交于 A、B 两点,N 为线段 AB 的中点,延长 ON 交曲线 C 于 E,求证: OE ? 2ON 的充要条件是│AB│=3。

24

专题六
1 3 1 8 1 B. 70

概率与统计(1)
) D.

1、投掷三枚骰子,所得点数之和为 10 的概率是( A. B. C.

3 8

1 36


2、将 1,2,??,9 这 9 个数分成三组,则每组的三个数成等差数列的概率是(

1 A. 56

1 C. 336

1 D. 420

3、从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,下列各组的两个事件是互斥而不是 对立事件的一组是( ) A.至少有一个白球与都是白球 B.至少有一个白球与至少有一个红球 C.恰有一个白球与恰有两个白球 D.至少有一个白球与都是红球 4、从装有白球 3 个、红球 4 个的箱子中,把球一个一个地取出来,到第 5 个恰好把白球 全部取出的概率是( ) A.

4 35

B.

1 7

C.

6 35
) D.

D.

2 7

5、设在 4 次独立重复试验中,事件 A 出现的概率相同,若已知事件 A 至少发生一次的概 率等于 A.

1 3

65 ,则事件 A 在一次试验中出现的概率为( 81 2 5 B. C. 5 6

3 4

6、一只口袋中装有 4 只白球和 2 只黑球,从中任取一只,记下颜色后放回,连取 4 次, 则有两次取到黑球且第一次取到的是白球的概率是 。

7、在 3 名女生和 2 名男生中安排 2 人参加一项交流活动,其中至少有一名男生参加的概 率为 。

8、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拔过了的号码不再重 复,试求下列事件的概率。 ⑴第 3 次拨号才接通电话。 ⑵拨号不超过 3 次而接通电话。

25

9、有 9 张卡片分别写着数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9,⑴采取不放回抽样方式从中抽 取两张卡片, 求: 两张卡片恰好抽到写有偶数数字卡片的概率。 ⑵采取放回抽样方式, 从中抽取两张卡片,求两张卡片恰好抽到写有偶数数字卡片的概率。⑶采取不放回抽 样方式,从中抽取 2 张卡片,求抽到的卡片写有偶数数字卡片的张数ξ 的期望和方差。

10、A、B 两位同学各有 5 张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏。当出现正面朝上 时,A 赢得 B 一张卡片,否则 B 赢得 A 一张卡片,规定掷硬币的次数达 9 次时,或在 此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设ξ 表示游戏终止时掷硬币的次数。⑴求ξ 的 取值范围。⑵求ξ 的期望 Eξ 。

26

专题六

概率与统计(2)

1、要将甲、乙两种大小相同的钢板截成 A、B 两种规格,每张钢板可同时截得 A、B 两种 规格的小钢板的块数如下表所示:
钢板类型 规 格 类 型

A 2 1

B 1 3

甲 乙

已知库房中现有甲、乙两种钢板的数量分别为 5 张和 10 张,市场急需 A、B 两种规格 的成品数分别为 15 块和 27 块,⑴问各截这两种钢板多少张可得到所需的成品数,且 使所用的钢板张数最小?⑵若某人对线性规划知识了解不多,而在可行域的整点中随 意取出一解,求其恰好取得最优解的概率。 2、袋中装有大小相同的 3 个红球和 2 个白球,从袋中随机取球,设取得一个红球得 2 分, 取得一个白球得 1 分,现从袋中每次取出一个球,记住得分后放回再次取出一个球。 ⑴求连续取 3 次球,恰得 3 分的概率;⑵求连续取 2 次球的得分ξ 的分布列及期望。 3、如图,某学生居住在滨海市的 A 处,到学校 B 处上学,若该地各路段发生堵车事件都 是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图, 请你为其选择一条由 A 到 B 的最短路线(即此学生只选择从西向东和从南向北的路 线) ,使得途中发生堵车事件的概率最小。

E

1 7

F

1 4

B

5 12
A

1 6
1 5
C

1 3
1 8
D

4、据公交公司对某线路的客源情况的统计显示,公交车从每个停靠点出发后,乘客人数 及频率如下表: 人数 频率 0~6 0.10 7~12 0.15 13~18 0.25 19~24 0.20 25~30 0.20 31 人以上 0.10

⑴从每个停靠点出发后,乘客人数不超过 24 人的概率仍是多少? ⑵全线途经 10 个停靠点,若有 2 个以上(不包括 2 个)停靠点公交车出发后,乘客人 数不低于 19 人的概率大于 0.9,则公交公司就要考虑在该线路增加 1 个班次,请问该 线路需要增加班次吗?
27

5、某城市有甲、乙、丙三个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4,0.5, 0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ 表示客人离开该城市时游览的景点数与 没有游览的景点数之差的绝对值。 ⑴求ξ 的分布及数学期望。 ⑵记“函数 f (x)=x2-3ξ x+1 在区间 ?2, ??? 上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概 率。 6、正四面体的各顶点为 A1,A2,A3,A4,进入某顶点的动点 x 不停留在同一个顶点上, 每隔 1 秒钟向其他三个顶点的相同的概率移动 n 秒后 x 在 Ai(i=1,2,3,4)的概率 用 Pi (n)(n=0,1,2,??)表示;当 P1 (0)=

1 1 1 1 ,P2 (0)= ,P3(0)= ,P4(0)= 4 2 8 8

时,求 P1 (n)、P2 (n)、P3 (n)、P4 (n)(n=0,1,2??)

28

专题七

函数与导数(1)
? ?1? ?1? x?0 ? ,则 f (3)=( ? ?0 ? 0 ? x ? 1?


1、已知 f(x+1)=-f (x)且 f (x)= ?

A.1 B.0 C.-1 D.3 2、已知 y=f(2x+1)的图象关于 y 轴对称,则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是( A. x=1 B. x=2



1 C. x=- 2
)个实根。

1 D. x= 2

3、方程 x3-3x+C=0 在 ?0,1? 上至多有(

A.0 B.1 C.2 D.3 4、已知函数 y=f(x-2)-1 是奇函数,则函数 y=f (x)的图象关于( A.直线 x=-2 对称 B.直线 x=2 对称 C.点(-2,1)对称 D.点(2,-1)对称 2 x 5、下列关于函数 f (x)=(2x-x )e 的判断正确的是( ) ①f (x) >0 的解集是{x│0<x<2} ③f (x)没有最小值,也没有最大值 A. ①③ B. ①②③



②f(- 2 )是极小值,f( 2 )是极大值 ④f (x) 有最大值,没有最小值 C. ②④ D. ①②④

6、设 z=2x+y 式中变量 x、y 同时满足以下三个条件:①x-4y≤-3,②3x+5y≤25, ③x≥1,则 z 的取值范围是 。

7、已知二次函数 y=f (x)的最大值等于 13,且 f (3)=f (-1)=5,则 f (x)的解析式为 。 8、已知 f (x)=2ax +3(1―a)x ―6x(a≠0,x∈R) ,问 x 为何值时,f (x)有极小值,极 小值是多少?
3 2

9、已知函数 y=f (x)的定义域为 R,对任意 x,x′∈R 均有 f(x+x′)=f (x) +f (x′) 且对任意 x>0,却有 f (x) <0,f (3)=-3, ⑴试证明:函数 y=f (x)是 R 上的单调减函数; ⑵试证明:函数 y=f (x)是奇函数; ⑶试求函数 y=f (x)在[m,n](m,n∈z 且 mn<0)上的值域。
29

10、设 f (x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意 a,b∈[-1,1],当 a+b≠0 时,都 有

f ? a ? ? f ?b ? >0 a?b
1 1 )<f(x- ) ; 2 4

⑴若 a>b,比较 f (a)与 f (b)的大小; ⑵解不等式 f(x-

⑶记 P={x│y=f(x-c)},Q={x│y=f(x-c2)},且 P∩Q=φ ,求实数 c 的取 值范围。

30

专题七
1、对于正实数 a,函数 y=x+ 4x)的单调减区间为( A. ? , ?? ?

函数与导数(2)

a 3 在( ,+∞)上为增函数,则函数 f (x)=loga(3x2- x 4
) C. ? ??,0?

?2 ?3

? ?

B. ?

?4 ? , ?? ? ?3 ?

D. ? ??, ? 3

? ?

2? ?

2、已知 x,y∈R 且 x+2y≥1,则二次函数μ =x2+y2+4x-2y 的最小值为( A.-3 B.



12 5

C.24

D.-

24 5


3、定义在 R 上的函数 f (x)、g (x)都有反函数,又 f(x-1)与 g 1(x-3)的图象关于直 线 y=x 对称,若 g (5)=2003,则 f (4)=( ) A.2003 B.2004 C.2005 D.2006 4、定义在 R 上的函数 f (x)对任意的实数 x 满足 f (x+1)=―f (x―1),则下列结论中正确 的个数为( ) ①f (x)是以 4 为周期的周期函数 ②f (x)是以 6 为周期的周期函数 ③f (x)的图象关于 直线 x=1 对称 ④f (x)的图象关于点(1,0)对称 A.0 B.1 C.2 D.3 5、设函数 f (x)=

3x ? 3? x - ,则使不等式 f 1(x) ≥1 成立的 x 的取值范围是( 2
B. (0, )



A. ? , ?? ?

?4 ?3

? ?

4 3

C. (1, )

4 3

D.(1,+∞)

6、若函数 f (x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a 等于 。 2 7、已知函数 f (x)=x -6x+8,x∈[1,a],并且函数 f (x)的最小值为 f (a),则实数 a 的取 值范围是 。 3 2 2 8、函数 f (x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10,求 a、b 的值。

9、对于函数 y=f (x)(x∈D)若同时满足下列条件:①f (x)在 D 内是单调函数;②存在区 间[a,b] ? D,使 f (x)在[a,b]上的值域为[a,b],那么 y=f (x) 叫 D 上的闭函数。 ⑴求闭函数 f (x)=-x3(x∈R)符合条件②的区间[a,b]; ⑵判断 g (x)=x3-3x2 是否为 R 上的闭函数,并说明理由; ⑶是否存在实数 m,使函数 h(x)=g (x)+mx 是 R 上的闭函数,若存在,求出 m 的取值 范围;若不存在,请说明理由。
31

10、设 M 是由满足下列条件的函数 f (x)构成的集合:①方程 f (x)-x=0 有实数根; ②函数 f (x)的导数满足 0<f′(x) <1。 ⑴判断函数 f (x)=

⑵集合 M 中的元素 f (x)具有下面的性质: 若 f (x)的定义域为 D, 则对于任意[m, n] ? D, 都存在 x0∈[m,n],使得 f (n)-f (m)=(n-m),f′(x)成立,试用这一性质证明: 方程 f (x)-x=0 只有一个实数根。 ⑶设 x1 是方程 f (x)-x=0 的实数根,求证:对于 f (x)定义域中任意的 x2、x3,当 │x2-x1│<1 且│x3-x1│<1 时,│f (x3) -f (x2)│<2。

x sin x ? 是否是集合 M 中的元素,并说明理由。 2 4

32

高三数学专题答案与提示
专题一
1—15 BDDBB, CDDBA, DCCBD 16—30 CBBCC, AACBB, BDCDC 合理推理 1—16 BADDB,CCCAC,DCACAD

专题二 ⑴
1—5 BABCD 7、 ? k? ? 6、α <β

? ?

5? 7? ? ? 3? ?? , k? ? 或 ? k? ? , k? ? ? (k∈z) ? 8 8 ? ? 8 8?
⑵- 3 +1 10、3≤a≤4 ⑵略 ⑶提示:切线的斜率范围[-2,2] > ⑶略

8、⑴T=π

? 4 3? 11、P=- 4
9、α +β =

5 2

专题二
1—5 CDDAA 8、⑴B∈( 6、


7、[-

? ? , ) 6 2

25 18 3 ⑵( ,2) 2

1 1 , ] 2 2

⑶提示:用正弦定理或余弦定理 ⑵对称轴方程 x=

9、⑴f (x)= 3 sinπ x+cosπ x

16 3

10、⑴f (θ ) =

v0 正确 1 ? 2sin 2 ?

⑵夹角为 arcsin

6 2 2h ,最小值为 3 V0

专题三
1—5 CBCBC 6、抛物线 8、⑴提示:用三垂线定理证垂直 ⑵提示:只需用余弦定理证∠ACB 为锐角 ⑶提示:用面积相等关系 9、提示:建立空间直角坐标系


7、25π

⑴证 AB MN =0

⑵θ =∠PDA=45°

33

10、⑴提示:证 B1C1∥GE

⑵提示:证 AC1⊥FG; 90° ⑶提示:等体积法 V=

1 2

专题三
1—5 BCBAD 6、2 7



7、平面 AD1C 或平面 AB1D1 或平面 AB1C ⑵提示:用余弦定理

8、⑴提示:∠A1GM=60°为所求

过 B1 作 C1C 的平行线交 BC 于 P,则∠A1B1P=arccos 9、提示:用坐标法 ⑴证 AC BD ? 0 1

5 为所求。 8

⑵设 A 1P ? ? AC 1 ,λ =1 最小值 arcsin

2 3 210 , ? ? ,最大值 arcsin 3 7 15

10、⑴提示:分别取 PD 的中点 F、PC 的中点 G,证 AF∥EG ⑵提示:证平面 PEC⊥平面 PCD,二面角 90° ⑶提示:过 F 作 FH⊥PC 于 H,FH=1 为所求

专题四
1—5 ABCBB 8、Tn=


7、a=-b≠0

6、an=10+2n-1(n∈N*)

1 2 9 n ? n 提示:用三个基本量 a1,n,d 4 4 a 1 9、⑴提示:{ n ? }为常数列 an=n-1(n∈N*) n ?1 n ?1 1 1 1? 1 1 ? ? ⑵提示:用放缩法 < ? ? ? 2 2 5 ? n ? 2 n ?1 ? 5 ? n ? 1? PP
1 n

10、⑴an=n+5,bn=2n+1 ⑵提示:

f ? n ? 1? >1 f ? n?

0<a≤

4 5 15

专题四
1—5 BADAA 6、1
lim


8、⑴Cn=qn-1(r+1)

7、12 或 13;26

⑵分类讨论思想:q≥1 时, n ??

1 1? q 1 ? 0 ;0<q<1 时, lim ? n ?? Sn 1 ? r Sn
⑵Tn=32-

9、⑴提示:用叠加式 bn=2n-1(n∈N*) 10、⑴f (x)=x-1,曲线 c:x-y+1=0
34

16 (2+n) ,用错位相减法 2n

⑵提示:用累乘式 an=n! (n∈N*)

⑶提示:

n ?1 1 1 ? ? , lim n?? Sn ? 1 n ! ? n ? 1?! n !
专题五 ⑴
7、10+2 10 ,10-2 10

1—5 DBCBA

6、1

8、⑴P 点的轨迹方程为 4x2+y2-y=0 ⑵当 x=

1 1 1 21 时,│ NP │min= ;当 x=- 时,│ NP │max= 4 4 6 6
a2 a 2 ? b2
;a< 2 b 时,│BM│max=2b

9、提示:分类讨论:a≥ 2 b 时,│BM│max= 10、⑴提示:用坐标法证四边形 OANB 为 ⑵ OA OB ? ?

7 2 m 8

专题五
1—5 BABDC 6、



x2 y 2 ? ? 1 (y≠0) ,提示用抛物线、椭圆的定义 4 3
8、提示:用定义,最大值为 6

7、 ?

? 2 ? ,1? ? ,提示用焦半径公式 ? 2 ?

9、提示:用定比分点坐标公式,椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 10 6

10、⑴提示:用双曲线第二定义,e=2 为所求 ⑵提示:讨论斜率是否存在,│MQ│min=6 ⑶m≤-1 11、⑴

x2 ? y2 ? 1 4

⑵提示:分类讨论,既证充分性又证必要性

专题六
1—5 BACCA 9、⑴ 6、 ⑵


8、⑴

8 27

7、0.7

1 10 35 81



3 10

1 6

16 81

⑶提示:Dξ =Eξ 2-(Eξ )2=
35

10、⑴提示:用线性规划 ξ =5,7,9

⑵Eξ =

275 32 2 =0.25 8

专题六
1、提示:用线性规划 2、⑴


⑵P=

⑴(3,9)和(4,8)

8 125

⑵ξ 的可能取值为 2,3,4,Eξ =3.2 ③A→E→F→B 的概率,线路

3、提示:分别计算线路①A→C→D→B ②A→C→F→B

1 A→C→F→B 的概率为 最小 2 968 4、⑴0.7 ⑵P= >0.9,需增加班次 1024
5、⑴Eξ =1.48 ⑵P(A)=P(ξ =1)=0.76 或 P(A)=P(ξ ≤ 6、P1(n)=

1 4

P2(n)=

1 1 [1+(- )n] 4 3

4 )=P(ξ =1)=0.76 3 1 1 1 P3(n)=P4(n)= - (- )n 4 8 3

专题七
1—5 BDBCD 6、[3,12] 8、提示分类讨论 a=-1,a<-1,-1<a<0 9、⑴提示:用定义 10、⑴提示:用定义 ⑵提示:用定义


7、y=-2x2+4x+1 极小

3a ? 1 ,-a-3 a2

⑶值域为[―n,―m]

⑵提示:用函数的单调性,解集为{x│-

1 1 ≤x≤ } 2 4

专题七
1—5 BDDBA 6、 3



7、1<a≤3

8、a=4,b=-11 注意:f′(x0)=0 是 f (x)在 x=x0 处取得极值的必要不充分条件, 必须使 f′(x)在 x=x0 的两侧异号才有极值。 9、⑴[-1,1] ⑵g(x)不是 R 上的闭函数 ⑶存在 m∈[3,

13 ] 4

10、⑴是 ⑵反证法 ⑶y=f (x)-x 为减函数 │f (x3)-f (x2)│<│x3-x2│=│x3-x1-(x2-x1)│≤│x3-x1│+│x2-x1│<2

36


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