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2016届四川省绵阳南山中学高三10月月考数学文科试题


2015 年 10 月

2016 届四川省绵阳南山中学高三 10 月月考数学文科 试题
1.本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分,全卷共 150 分,考试时间 120 分钟. 2.所有试题均答在答题卡上,答在题卷上无效.

第Ⅰ卷(客观题,共 50 分)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共

50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合 M={1,2,3},N={2,3},则( ) A.M=N B.M∩N= ? C.M?N D.N?M

? x ? 1( x ? 1) ? 2.设函数 f ( x) ? ? ,则 f [ f (2)] =( ?x ?sin ( x ? 1) ? 2
A.0 B.1

)

C.2

D 2

3.若 cos ? ? 0 ,则( ) A. tan ? sin ? ? 0 B. sin 2? ? 0 C. sin ? ? 0 D. cos 2? ? 0 4.下列说法正确的是( ) 2 A.命题“ ? x0∈R,x0 +x0+2013>0”的否定是“ ? x∈R,x2+x+2013<0” B.命题 p:函数 f ( x) ? x ? 2 仅有两个零点,则命题 p 是真命题
2 x

1 在其定义域上是减函数 x D.给定命题 p、q,若“p 且 q”是真命题,则 ? p 是假命题
C.函数 f ( x) ? 5.已知 A、B、C 是△ABC 的三内角,且满足 2A,5B,2C 成等差数列,则 tan B 的值为( A. ? D. 3 6.已知点(a,b)与点(2,0)位于直线 2x+3y-1=0 的同侧,且 a ? 0, b ? 0 ,则 z ? a ? 2b 的取值范 围是( ) ) C. ? 3

3 3

B.

3 3

1 2 2 3 2 D. ( , ??) 3
A. ( , )

B. (??, )

1 2

C. ( , ??)

1 2

7.下图右边是 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图象,则下列函数图象正确的是(

)

y 1

y y 1

y

y 1

O y=a|x| A.

x

O y=1+a|x| B.

x y=-logax

-1 O

x

O y=loga(1-x) D.

1

x

O

1

3

x

y=logax

C.

8.已知 f ( x) ? A.a+b=0 b=2

sin x 1 ? 1 ,若 a ? f (lg 5), b ? f (lg ) ,则( 1 ? cos x 5
B.a-b=0

) C.a+b=2 D.a-

9.某公司一年需分 x 批次购买某种货物,其总运费为

x 2 ? 2 x ? 201 万元,一年的总存储费用为 x ?1
) D.41

x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则批次 x 等于( A.10 B.11 C.40

???? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 10.若三角形 ABC 所在平面内一点 M 满足条件 CM ? CB ? CA ,则 S?MAC : S?MAB 等于 6 3
( A. )

1 3

B.

2 3

C.

1 2

D.

1 6

第Ⅱ卷(主观题,共 100 分)
二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

2 3 8 ?1 11. log 2 ? log 2 ? ( ) 3 ? _______. 3 2 27
12.等比数列{an}的公比不为 1,若 a1=1,且对任意的 n∈N*,都有 an+1、an、an+2 成等差数列, 则{an}的前 5 项和 S5=___.
2 13.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? x ? x ,则 f ( ) =

7 2

______. 14.将函数 y ? 2sin(4x ?

) ? 1 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再将 6 ? 所得图象沿 x 轴向左平移 个单位得到函数 g(x)的图象,则 g(x)的单调递增区间是 12
__________________. 15.设函数 f ( x) ? ln x ,有以下四个命题: ①对任意的 x1、x2 ? (0, ??) ,有 f (

?

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; )? 2 2

②对任意的 x1、x2 ? (1, ??) ,且 x1<x2,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2 ? x1 ;

③对任意的 x1、x2 ? (e, ??) ,且 x1<x2 有 x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ; ④对任意的 0 ? x1 ? x2 ,总有 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使得 f ( x0 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) . x1 ? x2

其中,正确命题的序号是______________.(将你认为正确命题的序号都填上) 三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.) 16.(本小题满分 12 分)已知集合 A={x|(x-a)(x-a2-1)>0},B={x||x-3|≤1}. (Ⅰ)若 a=2,求 A∩B; (Ⅱ)若不等式 x2+1≥kx 恒成立时 k 的最小值为 a,求(?RA)∩B.

17.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (sin x, cos x), b ? (2 cos

?

?

2

?
2

? 1,sin ? ) ,且函数

? ? f ( x) ? a ? b(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 时取得最小值.
(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,若 a ? 3, f ( A) ?

6 ? , B ? A ? ,求 b 的值. 3 2

18.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 3 ,若数列 {Sn ? 1} 是公比为 4 的 等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 a n ; (Ⅱ)设 bn ? lg

an ? , n ? N ,求数列 {bn } 前 n 项和 Tn 的最小值. 96

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 与 g ( x) ? x ln x . (Ⅰ)若 f ( x)<0 的解集为(1,3),且 f(x)的最小值为-1,求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 a=1,c=2 时,若函数 ?( x) ? f ( x) ? g ( x) 有零点,求实数 b 的最大值.

A x D y E

20.(本小题满分 13 分)如图所示,DE 把边长为 2a 的等边△ABC 分成面积相等的两部 分,点 D 在边 AB 上,点 E 在边 AC 上.令 AD=x(x≥a),DE=y. (Ⅰ)将 y 表示成 x 的函数; (Ⅱ)求 DE 的最小值.

B

C

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? a ln x (其中 a 为参数). (Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若对任意 x>0 都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围; ( Ⅲ ) 点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 为曲线 y = f(x) 上的两点 , 且 0 ? x1 ? x2 , 设直线 AB 的斜率为 k, x0 ?

x1 ? x2 ,当 k ? f ?( x0 ) 时,证明 a<0. 2

绵阳南山中学 2015 年秋季 2016 届
十月月考数学(文科)试题答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.D.显然 N?M,故选择 D. 2.B. f [ f (2)] ? f (1) ? sin

?

2

? 1 ,故选择 B.

3.A.由 cos ? ? 0 知 ? 的终边在Ⅰ或Ⅳ象限,或 x 正半轴上,于是 tan ? sin ? ? 选择 A. 4.D.显然 D 正确,故选择 D. 5.B.由已知得 2 A ? 2C ? 10 B,? A ? C ? 5 B ? ? ? B,? B ? 择 B. 6.C.由已知条件得 ?

sin 2 ? ? 0 ,故 cos ?

?
6

,? tan B ? tan

?
6

?

3 ,故选 3

?a ? 0, b ? 0 ,该区域是第一象限的不封闭区域,作图知 z 的取值范围是 2 a ? 3 b ? 1 ? 0 ?

1 ( , ??) ,故选择 C. 2 ?|x| |x| 7.D.由已知得 y ? log3 x ,得答案 A 应该是 y ? 3 的图象,显然错误.答案 B 应该是 y ? 3 的
图象,也是错误的.答案 C 应该是 y ? log3 ( ? x) 的图象,是错误的,答案 D 应该是

y ? log3 (1 ? x) 的图象,是正确的,故选择 D. sin x x 1 ? 1 ? tan ? 1 ,则 f(x)-1 是奇函数,而 lg 5 ? lg ? 0 ,所以 a+b=2,故 8.C.令 f ( x) ? 1 ? cos x 2 5
选择 C. 9.B.总运费与总存储费用之和
A

x 2 ? 2 x ? 201 ( x ? 1) 2 ? 200 200 ?x? ? ( x ? 1) ? 1 ? 2( x ? 1) ? ? 1 ,于是 x ?1 x ?1 x ?1 B 200 200 g ( x) ? 2 2( x ? 1) ? ? 1 ? 41 ,当 2( x ? 1) ? ,即 x ? 11 时取等号,故选择 B. x ?1 x ?1 ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ???? 10.A.如图, CD ? CB, CE ? CA ,则 CM ? CD ? CE .令 B 到 AC 的距离为 d1 ,M 到 AC 的 6 3 S d 1 距离为 d2 , d2 也是 D 到 AC 的距离,则 ?MAC ? 2 ? , S?ABC d1 6 S S 1 1 同理 ?MBC ? ,于是 ?MAC ? ,故选择 A. S?ABC 3 S?MAB 3 g ( x) ?
二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. log 2

E M D C

2 3 8 ?1 2 3 ? log 2 ? ( ) 3 ? log 2 1 ? ( ) ?1 ? . 3 2 27 3 2

12.由题意知 a3+a2-2a1=0,设公比为 q,则 a1(q2+q-2)=0. a1(1-q5) 由 q2+q-2=0 解得 q=-2 或 q=1(舍去),则 S5= =11. 1-q 13.由 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) 得 f ( x) ? 2 f ( x ? 1) ,所以

7 7 5 5 3 3 1 1 1 f ( ) ? 2 f ( ? 1) ? 2 f ( ) ? 4 f ( ? 1) ? 4 f ( ) ? 8 f ( ? 1) ? 8 f ( ) ? 8[( ) 2 ? ] ? ?2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
. 14.A.将 y ? 2sin(4x ?

?
6

) ? 1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到

? ? y ? 2sin(2x ? ) ? 1 的图象, 再将所得图象沿 x 轴向左平移 个单位得到 6 12
g ( x) ? 2sin 2x ? 1 的图象,其增区间是 [k? ?
15.若 f (

?

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 )? 2 2 x ?x ln( x1 x2 ) x ?x x ?x ln 1 2 ? ? ln( 1 2 ) 2 ? ln( x1 x2 ) ? ( 1 2 ) 2 ? x1 x2 ,这是不成立的. 2 2 2 2 1 令 F ( x) ? f ( x) ? x ? x ? ln x, F ?( x) ? 1 ? ? 0 ,所以 F ( x) ? f ( x) ? x 在(1,+∞)上是增函 x 数, x1、x2 ? (1, ??) ,且 x1<x2 时有 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2 ,即

, k? ? ], k ? Z . 4 4

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2 ? x1 ,于是②成立. f ( x) ln x 1 ? ln x 令 F ( x) ? ? , F ?( x) ? ,? x ? (e, ??),? F ?( x) ? 0 ,即 y ? F ( x) 在 (e, ??) x x x2 上是减函数,所以对任意的 x1、x2 ? (e, ??) ,且 x1<x2 有 f ( x1 ) f ( x2 ) F ( x1 )>F ( x2 ) ? ? ? x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ,即③成立. x1 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 令 x1 ? e, x2 ? e 2 , e ? x0 ? e 2 , f ( x0 ) ? ln x0 ? (1, 2) ,而 ? ? 1 ,即 x1 ? x2 e(e ? 1) f ( x1 ) ? f ( x2 ) 不成立. f ( x0 ) ? x1 ? x2
综上,正确命题是②③. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.) 16.( Ⅰ )a = 2 时 ,A = {x|x < 2 或 x > 5},B = {x|2≤x≤4}, 于 是 ? .………………………………………6 (Ⅱ)由 x2+1≥kx,得 x2-kx+1≥0,依题意 Δ=k2-4≤0,∴-2≤k≤2,∴a=- 2. ………………………………9 当 a=-2 时,A={x|x<-2 或 x>5},∴?RA={x|-2≤x≤5},∴(?RA)∩B= {x|2≤x≤4}.…………………12
2 17.(Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? sin x(2 cos

A∩B =

? 1)+ cos x sin ? 2 3 ? sin x cos ? +cos x sin ? ? sin( x ? ? )


? ?

?



s
…6 (

??



) 由 上

?
2

i .…………………………………………………………


? ?

f(

? x)

,c

x 于 o

是 s

6 6 3 .………………………………8 ,? cos A ? ,sin A ? 3 3 3 ? ? 6 .…………………………………………… ? B ? A ? ,? sin B ? sin( A ? ) ? cos A ? 2 2 3 f ( A) ?
………10 由 正 弦 定 理

6 3 ? 3 2 ……………………………………………………………12 3 3 18.(Ⅰ) S n ? 1 ? (S1 ? 1) ? 4 n?1 ? 4 n ,? S n ? 4 n ? 1 ,…………………………………………… a sin B ? 得: b ? sin A 3?
…………3 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 3 ? 4 n?1 ,且 a1 ? 3 ,? an ? 3 ? 4 n?1 . 所 以
n?1

,





{an }













an ? 3 ? 4

.………………………………………………………………6

(Ⅱ) bn ? lg 故

an 3 ? 4n ?1 4n ?1 ? lg ? lg ? ? lg 32 ? (n ? 1) lg 4 ? (2n ? 7) lg 2 . 96 96 32 是 等 差 {bn }
n(n ? 1) ? 2 lg 2 ? n(n ? 6) ln 2 , 2
, 最 小



列, b1 ? ? lg32 ? ?5lg 2,d ? 2lg 2 . ……………………………………………………9 于是 Tn ? ?5n lg 2 ? 故 当

T3 ? ?9

n = 3 时 ,Tn 有 最 小 值 .……………………………………………………………12 l g 2



另 解 令 2n ? 7 ? 0 得 , n ?

7 , 于 是 数 列 {bn } 前 3 项 为 负 数 , 故 前 三 项 和 最 小 , 最 小 值 2

T3 ? ?9lg 2 .
2 19.(Ⅰ)由条件知,x=1 与 x=3 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根,由 f(x)有最小值,知 a>0,且 f(2) =-1,于是

c ? b ?? ? 4, ? 3 ,? a ? 1, b ? ?4, c ? 3 a ? a ? ?4a ? 2b ? c ? ?1

,





x.……………………………………6 ) ? x 4 ? x 3 2 ( Ⅱ ) 当 a = 1,c = 2 时 , ?( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ln x ? x ? bx ? 2 , 则 关 于 x 的 方 程 x ln x ? x2 ? bx ? 2 ? 0 有根. f(
2

?





x>0,









2 ?b ? ln x ? x ? .………………………………………………………………………8 x 2 1 2 ( x ? 2)( x ? 1) 令 h( x) ? ln x ? x ? ,则 h?( x) ? ? 1 ? 2 ? . x x x x2 显然,当 x ? (0,1) 时, h( x) 是减函数,当 x ? (1, ? ?) 时, h( x) 是增函数,故 h( x) ? h(1) ? 3 . 为使方程 ?b ? h( x) 有根,则 ?b ? 3,? b ? ?3 .

所 以 ,b 的 最 大 值 等 3.…………………………………………………………………………………12 20.(Ⅰ)由条件知 a≤x≤2a, 由





S?ADE ?

1 1 ? 1 1 ? 2a 2 S?ABC ,? AD ? AE ? sin ? ? (2a)2 sin ,? AE ? .…………………… 2 2 3 2 2 3 x
中 , 由
4

………2 在 △ADE











y 2 ? x 2 ? AE 2 ? 2 x ? AE ? cos


?
3

? x2 ?

4a ? 2a 2 ,………………………2 2 x


y ? x2 ?
…6

4a 4 ? 2a 2 (a ? x ? 2a) .……………………………………………………………… x2 4a 4 ? 2a 2 . t
, 所 以

2 2 2 (Ⅱ)令 x ? t ,则 a ? t ? 4a , y ? t ?





t?

4a 4 4a 4 ? 2 t? ? 4a 2 t t

y ? 2a .………………………………………………………9
4a 4 ,即 t ? 2a2 , x ? 2a 时, ymin ? 2a . t 故 分 别 在 AB,AC 上 截 取 AD ? AE ? 2a 时 , 线 段 DE 最 短 , 最 短 值 为 2a . …………………………13 1 21.(Ⅰ)当 a=1 时, f ( x) ? x ? 1 ? ln x , f ?( x) ? 1 ? ,k ? f ?(1) ? 0 . x
当且仅当 t ? 切 点 坐 标 (1,0), 于 是 切 线 y=0. ……………………………………………………………………4 (Ⅱ)由题意知 f ( x)min ? 0 . 当 a≤0 时,,f(x)在 (0,+?) 是增函数,无最小值; 当 a>0 时, f(x)的减区间是 (0,a ) ,增区间是 (a, ? ?) ,于是 f ( x)min ? f (a) ? a ?1 ? a ln a . 令 g ( x) ? x ? 1 ? x ln x , 则 g ?( x) ? ? ln x , 因此 g(x) 在 (0,1)上是增函数 , 在 (1, ? ?) 上是减函 数, 所以 g ( x)max ? g (1) ? 0 ,所以 f ( x)min ? f (a) ? a ?1 ? a ln a ? 0 的解只有 a=1. 综上:a=1. …………………………8 方 程 为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 2a . , f ?( x0 ) ? 1 ? x2 ? x1 x1 ? x2 x x2 ? x1 ? a ln 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) x1 2a 2a ? 1? ? ?1 ? ? 0, k ? f ?( x0 ) 等价于 x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1 x1 ? x2 x 2( x2 ? x1 ) a 即 [? ln 2 ? ] ? 0. x2 ? x1 x1 x1 ? x2 x a 2(t ? 1) 令 2 ? t ,则 t >1 ,上式即为 [? ln t ? ] ? 0. x2 ? x1 t ?1 x1
(Ⅲ) f ( x) ? x ? 1 ? a ln x, k ?

(t ? 1)2 2(t ? 1) , 则 h?(t ) ? ? ? 0 , 所 以 h( t? ) t ?1 t (t ? 1)2 2(t ? 1) h(t ) ? ? ln t ? ? 0. t ?1 又 0 ? x1 ? x2 ,所以 a ? 0 .…………………………14
记 h(t ) ? ? ln t ?

h? ( 1 ,) 故 0


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