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面对高考题目 高中数学复习专题讲座三角函数式的化简与求值


题目 高中数学复习专题讲座 三角函数式的化简与求值 高考要求 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学 习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径, 特别是要掌握化简和求值 的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍 重难点归纳 1 求值问题的基本类型 ①给角求值,②给值求值,③给式求值,④ 求函数式的最值或值域,⑤化简求值 2 技巧与方法 ①要寻求角

与角关系的特殊性,化非特角为特殊角, 熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的 变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的 关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法 ④求最值问 题,常用配方法、换元法来解决 典型题例示范讲解
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例 1 不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值
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命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对 计算能力的要求较高 知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟,计算易出错 技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数 问题,使解法更简单更精妙,需认真体会
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解法一 =







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sin220°+cos280°+ 3 sin220°cos80°

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80° 2 2 1 1 =1- cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 =1- cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°) 2 2
+ 3 sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)

1 1 3 3 3 cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin220° 2 4 4 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= 4 4 4
=1- 解法二
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设 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°
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共7页

y=cos220°+sin280°- 3 cos20°sin80°,则 x+y=1+1- 3 sin60°=

1 , 2

x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100° =-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0 ∴x=y=

1 , 4
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1 4 2 试确定 例 2 设关于 x 的函数 y=2cos x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a), 1 满足 f(a)= 的 a 值,并对此时的 a 值求 y 的最大值 2 命题意图 本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以 及较强的逻辑思维能力 知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题 错解分析 考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错 技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配 方法、数形结合、分类讲座等
即 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°=
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由 y=2(cosx-

a 2 a 2 ? 4a + 2 )- 及 cosx∈[-1,1]得 2 2







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( a ≤ ?2) ?1 ? 2 ? a f(a)= ?? ? 2a ? 1 ( ?2 < a < 2) ? 2 ( a ≥ 2) ?1 ? 4a ?
∵f(a)=

1 , 2 1 1 ? a= ? [2,+∞ ) 2 8

∴1-4a= 或 -

a2 1 -2a-1= ,解得 a=-1 ∈ ( ?2, 2) , 2 2 1 1 此时,y=2(cosx+ )2+ , 2 2 当 cosx=1 时,即 x=2kπ,k∈Z,ymax=5
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例 3 已知函数 f(x)=2cosxsin(x+

π
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值;

7π - - ]时,f(x)的反函数为 f 1(x),求 f- 1(1)的值 12 12 命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还 考查计算变形能力,综合运用知识的能力 知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识 - 错解分析 在求 f- 1(1)的值时易走弯路 技巧与方法 等价转化,逆向思维
(3)若当 x∈[
源 源 源

π



新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新

新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

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源 源 源 源 源 源 源 源















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(1)f(x)=2cosxsin(x+

π
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

=2cosx(sinxcos

π
3

+cosxsin

π
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+ ∴f(x)的最小正周期 T=π (2)当 2x+

π
3

)

π
3

=2kπ-

π
2

,即 x=kπ-

5π (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2 12

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

], 2 π π 3π π 5π ∴2x+ ∈[ , ],∴2x+ = , 3 3 2 3 6 (3)令 2sin(2x+

π

3

)=1,又 x∈[

π 7π
2 ,

则 x=

π
4

,故 f- 1(1)=



π
4

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2 α的值_________ π 3π π 解法一 ∵ <β<α< ,∴0<α-β< 2 4 4
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源 源 源

例 4 已知

π

<β<α<

3π 12 3 ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求 sin2 4 13 5

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源 源 源 源 源 源 源 源















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源 源 源 源 源 源 源 源 源 源













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π<α+β<

3π , 4

∴ sin(α ? β ) = 1? cos2 (α ? β ) =

5 4 ,cos(α + β ) = ? 1? sin2 (α + β ) = ? . 13 5

∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)

=

5 4 12 3 56 × (? ) + × ( ? ) = ? . 13 5 13 5 65

第3页

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共7页

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5 4 ,cos(α+β)=- , 13 5 72 ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=- 65 40 sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)=- 65 1 72 40 56 ∴sin2α= (? ? )=? 2 65 65 65 学生巩固练习 1 已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα、tanβ,且α,β∈ π π α+β (- , ),则 tan 的值是( ) 2 2 2 1 4 1 A B -2 C D 或-2 2 3 2 3 π 1 2 已知 sin α = , α ∈( , π ),tan( π - β )= ,则 tan( α -2 5 2 2 β)=______ π 3π π π 3 3π 5 3 设α∈( , ),β∈(0, ),cos(α- )= ,sin( +β)= , 4 4 4 4 5 4 13 则 sin(α+β)=_________
解法二
源 源 源

新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源















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∵sin(α-β)=

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新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

4

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

不查表求值:

2 sin 130° + sin100°(1 + 3 tan 370°) 1 + cos10°

.

3 17π 7π sin 2 x + 2 sin 2 x ,( <x< ),求 的值 4 5 12 4 1 ? tan x 8 6 已 知 α - β = π , 且 α ≠ k π (k ∈ Z) 求 3 1 ? cos(π ? α ) π β ? 4 sin 2 ( ? ) 的最大值及最大值时的条件 α α 4 4 csc ? sin 2 2 B 7 如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边 形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点 P 的位 Q P 置,并求此最大面积
5
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

已知 cos(

π

+x)=

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王

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8

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已知 cosα+sinβ= 3 ,sinα+cosβ的取值范围是

O

R

S

A

D,x∈D,求函数 y= log 1
2

2x + 3 的最小值,并求取得最小 4 x + 10

第4页

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值时 x 的值 参考答案 1 解析 ∵a>1,tanα+tanβ=-4a<0
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tanα+tanβ=3a+1>0,

又α、β∈(-

π π π α+β π , )∴α、β∈(- ,θ),则 ∈(- ,0), 2 2 2 2 2

α +β 2 tan 4 tanα + tanβ ? 4a 4 2 = = , 又tan(α + β) = = , 又 tan(α+β)= α+β 3 1 ? tanα tanβ 1 ? (3a + 1) 3 1 ? tan2 2 α+β α+β α+β 整理得 2tan2 2 + 3 tan 2 ? 2 =0 解得 tan =-2 2
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

答案 2
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B
源 源 源

3 π 4 ,α∈( ,π),∴cosα=- 5 2 5 3 1 1 则 tanα=- ,又 tan(π-β)= 可得 tanβ=- , 4 2 2
解析
新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源

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特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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∵sinα=

1 2 × (? ) 2 tan β 2 = ? 4. tan 2 β = = 2 1 2 1 ? tan β 1 ? (? ) 3 2 3 4 ? ? (? ) tan α ? tan 2 β 7 4 3 tan(α ? 2 β ) = = = 1 + tan α ? tan 2 β 1 + (? 3 ) × (? 4 ) 24 4 3
答案 3
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7 24
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解析

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π 3π π π π 3 α∈( , ),α- ∈(0, ),又 cos(α- )= 4 4 4 2 4 5

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

π 4 π 3π 3π 3π 5 3π 12 ∴ sin(α ? ) = , β ∈ (0, ).∴ + β ∈ ( , π).sin( + β) = ,∴ cos( + β) = ? . 4 5 4 4 4 4 13 4 13 π 3π π ∴ sin(α + β) = sin[(α ? ) + ( + β) ? ] 4 4 2 π 3π = ? cos[(α ? ) + ( + β)] 4 4 π 3π π 3π 3 12 4 5 56 = ? cos(α ? ) ? cos( + β) + sin(α ? ) ? sin( + β) = ? × (? ) + × = . 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即sin(α + β) = 65
第5页
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答案 4
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56 65 答案 2
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3 π 7 + x ) = ,∴ sin 2 x = ? cos 2( + x ) = . 4 5 4 25 π π 17π 7 5π 4 又 < x < π ,∴ < x + < 2π ,∴ sin( x + ) = ? 12 4 3 4 4 5 sin 2 x + 2 sin 2 x 2 sin x cos x + 2 sin 2 x 2 sin x (sin x + cos x ) cos x = = sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 7 4 π × (? ) sin 2 x sin( + x ) 5 = 28 4 = = 25 3 π 75 cos( + x ) 4 5 5.解 :Q cos(
1 ? cos(π ? α) π β ? 4 sin 2 ( ? ) α α 4 4 csc ? sin 2 2 α π β α α sin (1 + cos α) 1 ? cos( ? ) sin ? 2 cos 2 2 2 2 = 2 2 ? 4( 1 ? 1 sin β ) = ?4 α α 2 2 2 2 1 ? sin 2 cos 2 2 2 α β α+β α ?β cos = 2(sin + sin ) ? 2 = 4 sin ?2 2 2 2 2 8 2α ? π 8 α?β 3 = α ? 2π . = Q α ? β = π,∴ 3 4 4 2 3 α 2 1 α 2π ∴ t = 4 sin( ? π) × (? ) ? 2 = ?2 sin( ? ) ? 2 2 3 2 2 3 α 2 kπ 2π Q α ≠ kπ (k∈Z),∴ ? π ≠ ? (k∈Z) Z Z 2 3 2 3 α 2π π α 2 π = 2kπ ? , 即 α = 4kπ + (k∈Z)时, sin( ? π) 的最小值为-1 ∴当 ? Z 2 3 2 3 2 3 7 解 以 OA 为 x 轴 O 为原点,建立平面直角坐标系, 并设 P 的坐标为(cosθ,sinθ),则 6.解 : 令t =
源 源 源

π

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

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源 源 源 源 源 源 源 源















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|PS|=sinθ 立解之得 Q(

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

直线 OB 的方程为 y= 3 x,直线 PQ 的方程为 y=sinθ
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

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3 3 sinθ;sinθ),所以|PQ|=cosθ- sinθ 3 3

第6页

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于是 SPQRS=sinθ(cosθ- =

3 sinθ) 3

3 3 3 1 ? cos 2θ ( 3 sinθcosθ-sin2θ)= ( sin2θ- ) 3 3 2 2 3 3 1 1 3 π 3 = ( sin2θ+ cos2θ- )= sin(2θ+ )- 3 2 2 2 3 6 6 π π π 5 1 π ∵0<θ< ,∴ <2θ+ < π ∴ <sin(2θ+ )≤1 3 6 6 6 2 6
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

∴sin(2θ+

π 3 )=1 时,PQRS 面积最大,且最大面积是 , 6 6 π 3 1 , ) 此时,θ= ,点 P 为 AB 的中点,P( 6 2 2
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

8

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设 u=sinα+cosβ

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则 u2+( 3 )2
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=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4 ∴u2≤1,-1≤u≤1 即 D=[-1,1],
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

设 t= 2 x + 3 ,∵-1≤x≤1,∴1≤t≤ 5

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

x=

t2 ? 3 2

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

∴M =

2x + 3 t 1 1 2 . = 2 = ≤ = 4 x + 10 2t + 4 2t + 4 4 2 8 t

4 2 当且仅当2t = , 即t = 2时, M max = . t 8 Q y = log 0.5 M 在M > 0时是减函数, ∴ ymin = log 0.5 2 5 = log 0.5 2 ? log 0.5 8 = 时, 8 2 1 此时t = 2, 2 x + 3 = 2, x = ? . 2
源 源 源

课前后备注 In the modern time, mainly in small and medium-sized enterprises, Foshan steel industry is the speed development by leaps and bounds, and have made remarkable achievements in upstream, but also face factors of production such as energy, raw material cost, continuously high indirectly lead to cost pressures in iron and steel
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