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第二章2.2-2.2.2第1课时对数函数的图象及其性质


第二章

基本初等函数(Ⅰ)

2.2

对数函数

2.2.2 对数函数及其性质 第 1 课时 对数函数的图象及其性质

[学习目标] 1.理解对数函数的概念(重点). 2.初步 掌握对数函数的图象及性质(重点). 3.会类比指数函数, 研究对数函数的性质(重点、难点).

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[知识提炼· 梳理] 1.对数函数的定义 把函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫作对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

2.对数函数的图象与性质

定义 底数 图象 定义域 值域

y=logax(a>0,且 a≠1) a>1 0<a<1

(0,+∞) R

单调性 性 质 函数

增函数

减函数

共点性 图象过定点(1,0),即 loga1=0 x∈(0,1)时, x∈(0,1)时, y∈(-∞,0); y∈(0,+∞);

值特征 x∈(1, +∞)时,x∈(1, +∞)时, y∈(0,+∞).

y∈(-∞,0).

性 质

1x 的图象关于 y = log x 与 y = log a 对称 a 性 x 轴对称 趋近 趋势 a 越大,图象越 a 越小,图象越 接近 x 轴 接近 x 轴

图象无限趋近于 y 轴

温馨提示 对数函数的图象和性质,牢记图象是关 键,根据图象可以观察得出函数的性质.

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若对数函数 y=log(a-1)x(x>0)是增函数,则实数 a 的取值范围是 a>1.( )

(2) 函 数 y = log2x2 和 y = log2x - 3 都 是 对 数 函 数.( )

(3)对于 y=logax(0<a<1),若 0<x<1,则 logax>0;若 x>1,则 logax<0.( )

解析:(1)错,因为 y=log(a-1)x(x>0)是增函数, 所以 a-1>1,得 a>2. (2)错,由对数函数的定义知 y=log2x2 和 y=log2x-3 都不是对数函数. (3)对,观察图象可知结论正确.

答案:(1)× (2)× (3)√

x ? ? ? 1 ?? ?2 ,x≤0, 2. 已知函数 f(x)=? 那么 f?f?27??=( ? ? ? ?? ?log3x,x>0,

)

A.8

1 B. 8

C.-8

1 D.- 8

?1? 1 解析:f?27?=log3 =log33-3=-3, 27 ? ? ? ? 1 ?? 3 1 - f?f?27??=f(-3)=2 = . 8 ? ? ??

答案:B

3.不等式 log2(x-1)>-1 的解集是(
? ? 2? A.?x?x>3? ? ? ?

)

B.{x|x>2}
? ? 3? D.?x?x>2? ? ? ?

C.{x|x>1}

1 解析:由 log2(x-1)>-1 得 log2(x-1)>log2 ,因为 y 2 1 3 =log2x 是增函数,所以 x-1> ,所以 x> . 2 2 答案:D

4.函数 y=lg (2 016 -1)的定义域是________. 解析: 由 2 016x-1>0 得 2 016x>1=2 0160, 所以 x>0. 所以函数的定义域是(0,+∞). 答案:(0,+∞)

x

5.若定义在区间(-1,0)内的函数 f(x)=log2a(x+1) 满足 f(x)>0,则 a 的取值范围是________. 解析:因为-1<x<0,所以 0<x+1<1,由对数函数的 图象知,当真数大于 0 小于 1 时,只有底数也大于 0 小于 1 1,对数的值才是正值,所以 0<2a<1,得 0<a< ,所以 a 2
? 1? 的取值范围是?0,2?. ? ?

? 1? 答案:?0,2? ? ?

类型 1 求对数类函数的定义域(自主研析) [典例 1] 求下列函数的定义域: (1)y=log5(3x+2); (2)y=log(1-x)6; (3)y= log0.5(3-4x).

解:(1)要使函数式有意义,需 3x+2>0, 2 解得 x>- ,所以函数 y=log5(3x+2)的定义域是 3
? ? 2? ?x?x>- ?. 3? ? ?

? ?1-x>0, (2)要使函数式有意义,需? 解得 x<1,且 ? ?1-x≠1, x≠0,所以函数 y=log(1-x)6 的定义域是{x|x<1 且 x≠0}.

? ?3-4x>0, (3)要使函数式有意义,需? ? ?log0.5(3-4x)≥0, 1 3 解得 ≤x< ,所以函数 y= log0.5(3-4x)的定义 2 4
? ?1 3? 域是?x?2≤x<4?. ? ? ?

归纳升华 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合, 求 与对数函数有关的定义域问题时,要注意对数函数的概 念,若自变量在真数上,则必须保证真数大于 0;若自变 量在底数上,应保证底数大于 0 且不等于 1.

[变式训练] 求下列函数的定义域: 1 (1)f(x)= ; 1-log4(x-1) (2)f(x)= log0.6x-1. ? ?x-1>0, 解: (1)由? 得 x∈(1, 5)∪(5, +∞). ? ?log4(x-1)≠1, 1 所以函数 f(x)= 的定义域为 1-log4(x-1)

(1,5)∪(5,+∞). ? ?x>0, ?x>0, (2)由? 得? 所以 0<x≤0.6, ? ?log0.6x-1≥0, ?x≤0.6. 所以函数 f(x)= log0.6x-1定义域为(0,0.6].

类型 2 含有对数式的函数的图象 [典例 2] (1)函数 y=lg(x+1)的图象大致是( )

(2)作出函数 y=|log2x|+2 的图象.

解:(1)当 x=0 时,y=0,排除选项 A、D, 又 y=lg(x+1)是增函数,排除选项 B. (2)第一步:作出 y=log2x 的图象,如图(1).

第二步:将 y=log2x 的图象在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴的上方,得到 y=|log2x|的图象, 如图(2). 第三步:将 y=|log2x|的图象沿 y 轴方向向上平移 2 个单位,得到 y=|log2x|+2 的图象,如图(3).

归纳升华 1.对数类函数的图象,一般以函数 y=logax 的图象 为基础,通过平移、对称变换得到.
2.两种常见的对称变换: (1)含有绝对值的函数的图象变换.一般地,y=|f(x)| 的图象是保留 y=f(x)的图象在 x 轴上方的部分,并把 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到的.

(2)y=f(x)的图象与 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称,y =f(x)的图象与 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称.

[ 变式训练 ] ( )

函数 f(x) = ln(x2 + 1) 的图象大致是

解析:因为 f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x), 排除选项 C,又 f(0)=0,排除选项 B、D,所以选项 A 正确. 答案:A

类型 3 利用对数函数的单调性比较大小 [典例 3] 比较下列各组值的大小. 3 4 (1)log5 与 log5 ; 4 3 (2)log12 与 log12; 3 5 (3)log23 与 log54.

解:(1)法一:对数函数 y=log5x 在(0,+∞)上是增 3 4 3 3 函数,而 < ,所以 log5 <log5 . 4 3 4 4 3 4 3 4 法二:因为 log5 <0,log5 >0,所以 log5 <log5 . 4 3 4 3 (2)法一: 作函数 y=log1x 与 y=log1x 的图象, 如图, 3 5

再作直线 x=2 与两图象分别交于 A、 B 两点, 则 A(2, log12), B(2, log12), 点 B 在点 A 的上方, 所以 log12<log1 3 5 3 5 2. 1 1 1 1 法二:log 2= ,log 2= , 1 1 3 log2 5 log2 3 5

1 因为对数函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,0< 5 1 < <1, 3

1 1 所以 log2 <log2 <0,从而 log12<log12. 5 3 3 5 (3)取中间值 1,log23>log22=1=log55>log54,所以 log23>log54.

归纳升华 1.利用对数函数的单调性比较大小: (1)同底数的两个对数值的大小比较,由对数函数的 单调性比较.

(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比 较,常用引入中间变量法比较,通常取中间量为-1,0, 1 等. 2.底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较, 常用数形结合思想来解决,也可用换底公式化为同底,再 进行比较.

[变式训练] (1)设 a=log32,b=log52,c=log23,则 ( ) A.a>c>b C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b

1 2 4 1 1 (2)设 a=log ,b=log ,c=log3 ,则 a、b、c 的 3 32 33 大小关系是( A.a<b<c C.b<a<c ) B.c<b<a D.b<c<a

解析:(1)a=log32<log33=1,c=log23>log22=1, 由对数函数的性质可知,log52<log32,所以 c>a>b. 4 3 1 2 3 1 (2)c=log3 =log ,又 < < ,且函数 y=log1x 在其 3 2 3 4 34 3 1 2 3 1 1 1 定义域上为减函数,所以 log >log >log ,即 a>b>c. 32 33 34 答案:(1)D (2)B

类型 4 对数型函数的值域(最值)(互动探究) [典例 4] 求函数 y=log3(x2-4x+7)的值域. 解:由 x2-4x+7=(x-2)2+3>0 知, 函数 y=log3(x2-4x+7)的定义域为 R, 令 t=x2-4x+7=(x-2)2+3, 则 y=log3t,t∈[3,+∞),

函数 y=log3t 在[3,+∞)上是增函数, 所以 y=log3t≥log33=1,即 y∈[1,+∞). 所以函数 y=log3(x2-4x+7)的值域是[1,+∞).

[迁移探究 1] 求函数 y=log0.5(3+2x-x2)的最小值. 解:设 3+2x-x2=u,则 u=-(x-1)2+4≤4. 因为 u>0,所以 0<u≤4. 又 y=log0.5u 在(0,+∞)上是减函数, 所以 log0.5u≥log0.54=-2, 得函数 y=log0.5(3+2x-x2)的最小值为-2.

[迁移探究 2] 若函数 f(x)=lg(ax2+2x+1)的值域为 R,求实数 a 的范围. 解:若 f(x)的值域为 R, 则 ax2+2x+1 能取遍一切正数, ? ?a>0, 所以 a=0 或? 解得 0≤a≤1. ? ?Δ=4-4a≥0, 即 a 的范围为{a|0≤a≤1}.

归纳升华 求函数 y=logaf(x)的值域或最值,主要关注两个方 面:①对数函数的单调性;②函数 u=f(x)的值域,且必 须 u=f(x)>0.

1.快速画出对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的草图 的方法:根据对数函数的性质可知,对数函数的图象都
?1 ? 经过点?a,-1?,(1,0),(a,1),且图象都在第一、四象 ? ?

限内,据此可以快速地画出对数函数 y=logax 的草图.

2.函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的底数变化对图象位 置的影响:观察图象,注意变化规律:(1)上下比较:在 直线 x=1 的右侧,a>1 时,a 越大,图象向右越靠近 x 轴,0<a<1 时,a 越小,图象向右越靠近 x 轴.(2)左右比 较:比较图象与 y=1 的交点,交点的横坐标越大,对应 的对数函数的底数越大.


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