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物理竞赛电磁感应


高中物理竞赛系列讲座

电磁感应
王玉水

物理竞赛大纲规定的考试内容:法拉第电磁感 应定律,Lenz定律,感应电场,自感系数和互 感等。从考点内容看,电磁感应所涉及到的知 识点与常规教学基本相同,但对学生能力的要 求较高,同时对数学的要求和物理方法的应用 都很高,希望同学们对于一些经典问题有全面 的理解。

> 一、动生电动势
1.电磁感应现象
当回路磁通量发生变化时在回路中产生电流的现象 称为电磁感应现象。产生的电流叫感应电流。

磁通量的变化量

?? ? ?( BS ) ? ( ?B ) S ? B( ?S )
感生电动势 动生电动势 交流发电机

2.法拉第电磁感应定律 内容:导体回路中的感应电动势的大小与穿过 导体回路的磁通量的变化率成正比.

d? ? ? ?k dt
确定回路的绕行方向,

在 SI 制中 k =1

?

? ? 0 ? 与回路 L绕向相反 ; ? ? 0 ? 与回路L绕向同向;

感应电流和感应电量
1 d? I? R dt

感应电流的大小与? 随时间变化率有关

dq I? dt

1 q ? (? 2 ? ? 1 ) R

感应电量只与回路中磁通量的变化量有关,与磁通 量变化率无关。

3.动生电动势
? ? ? ( BS ) ? ( Blx ) ?x ?? ? ? ? Bl ? Blv ?t ?t ?t ?t
d B c a

v
b

(1)它既可以表示是瞬时电动势,也可以表示平均电 动势; (2)若速度v的方向与磁场B方向不垂直,则动生电动 势?=Blvsin? (3)若磁场不是匀强磁场,或切割磁感线的导体杆上 各点速度不相等,可以用微元法处理,

? ? ? Bv sin??l
(4)这里的速度v实际上导体相对于磁场的做切割磁感 线的运动速度。

例、长为l直导体在磁场B中做匀角速的转动, 已知转轴通过导体的端点,角速度为ω,若磁 场沿径向的变化规律为B=kr2,其中k为常数, 求动生电动势。
?? ? Br??r ? k?r 3 ? ?r

1 ? ? ? d? ? ? k?r dr ? k?l 4 4 0
3

l

ω O B l

4.动生电动势的相关应用
(1)含电容器问题,应用微元(微积分)叠加处理

(2)含源问题,应用基尔霍夫定律
(3)定轴转动的导体杆切割磁感线问题的灵活应用, 特别是对非匀强磁场问题。尤其是法拉第圆盘发电机 (或电动机) (4)功、功率和能量问题,电路产生的电能等于 克服安培力做功 (5)数学基础:微元法(微积分)的应用

1、如图所示,电源的电动势为U,电容器的电容为 C,S 是单刀双掷开关。MN、PQ 是两根位于同一水平面的平 行光滑长导轨,它们的电阻可以忽略不计。两导轨间距为 l,导轨处磁感应强度为B的均匀磁场中,磁场方向垂直于 两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向。l1 和 l2 是 两根横放在导轨上的导体小棒,它们在导轨上滑动时与导 轨保持垂直并接触良好,不计摩擦。两小棒的电阻相同, 质量分别为 m1和m2,且m1<m2,开始时两根小棒均静止 在导轨上,现将开关S先接通1,然后接通2。求: (1)两根小棒最终速度大小;
1 2 S M l2

l1
B

N l Q

U

C P

(1)当电键S由1扳向2后,电容器对闭合回路放电, 使两个小棒向右作加速运动。初始时分两小棒的安培 力相同,但由于质量不等,故速度不等,最终会导致 两小棒以相同速度运动,并使两端电压等于电容器两 端电压,此时电流等于零,两小棒作匀速运动。 对于中间过程的任一时刻,设l1电流为i1,l2电流为i2, 安培力分别为F1=Bli1和F2=Bli2,由动量定理,得

F1 ?t ? Bli1 ?t ? m1 ?v1 F2 ?t ? Bli2 ?t ? m2 ?v 2
由于两棒开始时刻静止,而最终速度又等于v,则

? Bli ?t ? m v ? Bli2 ?t ? m2 v
1 1

两式相加等于

? Bl (i

1

? i2 )?t ? (m1 ? m2 )v

任何时刻,通过l1和l2的电流的代数和等于电容器的 放电电流i,即有

? (i

1

? i2 )?t ? ? i?t ? Q ? q
q ? CBlv

其中Q为初始时刻电容器所带电量,q为最终速度时电容器所带 电量

由于 Q ? CU

BlCU 最终有 v ? m1 ? m2 ? B 2 l 2C

(2)在整个过程中的焦耳热损耗。
1 2 S U C M l2 l1 B N l Q

由能量关系,得

P

1 2 ?W ? W0 ? W1 ? ( m1 ? m 2 )v 2 2 ( m1 ? m 2 )CU ? 2 2 2( m1 ? m 2 ? B l C )

2、如图所示,水平放臵的金属细圆环半径为 a,竖直放 臵的金属细圆柱(其半径比a小得多)的端面与金属圆环 的上表面在同一平面内,圆柱的细轴通过圆环的中心 O.一质量为m,电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆 柱端面支撑,棒的一端有一小孔套在细轴O上,另一端A 可绕轴线沿圆环作圆周运动,棒与圆环的摩擦系数为 ? .圆环处于磁感应强度大小为B=kr、方向竖直向上的 恒定磁场中,式中k为大于零的常量,r为场点到轴线的 距离.金属细圆柱与圆环用导线ed连接.不计棒与轴及 与细圆柱端面的摩擦,也不计细圆柱、圆环及导线的电 阻和感应电流产生的磁场.问沿垂直于棒的方向以多大 的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度ω匀速转 动.

分析:哪些是常量?哪些是变量? 对于在匀强磁场中,做 定轴转动的导体杆切割 磁感线,可以简单地用 平均速度求解,现在还 可以吗?
B
B A O a d

e

下面用积分方法求做
O

dx x x+dx

x

长度微元dx的动生电动势d? =Bvdx=k?x2dx 故总电动势大小为

1 ? ? ? d? ? ? k?x dx ? k?a 3 3 0
2

a

求安培力矩再次用到积分方法

利用外力力矩等于安培力 矩与摩擦力矩之和即得

本题也可以由 能量关系计算, 外力的功率等 于电功率与克 服摩擦力功率 之和

3、如图所示,OO?为一固定不动的半径为a1的圆柱形金 属轴,其电阻可忽略不计。一个内半径为a1、外半径为 a2、厚度为h(h<<a1)的匀质环形导体圆盘套在OO?上, 与OO?接触良好,并可绕OO?无摩擦地转动。圆盘上距 离中心r处的电阻率与r成正比,即? =?0r,?0为常量。 整个环形圆盘处在与盘面垂直的恒定磁场中,磁感应强 度大小为B。图中的电源S是一个不论负载如何变化, 均能提供恒定不变的电流I的恒流源,电阻R0是跨接在 电源S两端的固定电阻。电源一端接在固定金属轴上端 面的中心X处,另外一端通过无摩擦的电刷Y与圆盘保 持良好接触,此装臵可以作为“圆盘电动机”。

当电源接通后,若它不带任何负 载,称为空载状态,空载达到稳 定时圆盘转动的角速度用 ?0表示; 当接有负载并达到稳定时圆盘的 角速度用?,负载没有画出,不 记一切摩擦。试求 (1)当电动机输出最大机械功率 时,?/?0的大小; (2)在(1)的情况下,圆盘的 发热功率为多少?

S
O X B O? B

I

R0

Y

(1)接通电路时,恒流源提供的电流一部份流经 R,另 一部分流经圆盘,由于盘中有沿半径流动的电流而受到 安培力矩作用,形成一个法拉第电动机。当圆盘在磁场 中转动时,由于电磁感应,在盘中出现反电动势,其等 效电路如图所示。圆盘所在支路的电路方程为

(I ? i)R0 ? ? ? iR

Y I S R0 i R X

随着圆盘角速度的增大,反电动势亦随之增大,电流 i 减小。在电动机有负载时,当电流小到某一值时,磁 场的磁力矩与负载的机械力矩平衡,转动达到稳定, 盘做匀角速转动,角速度为?;如果电动机没有负载, 此种情况的稳定态是盘中没有电流,磁力矩等于零, 圆盘匀角速转动的角速度为?0

当圆盘以某一角速度?转动时,圆盘产生的反电动势的大 小为 1 2 ? ? B( a 2 ? a12 )? 2 再计算圆盘的电阻。由于盘中的电流沿半径方向,可 用微元法计算圆盘的电阻,具体计算略,得

?0 R? ( a 2 ? a1 ) 2?h

当电动机空载时的角速度为?0,此时反电动 1 2 2 ? ? B( a 2 ? a1 )? 0,而流过圆盘的电流i=0, 势 0 2 有 IR0 ? ? 0 ,得到角速度为 2IR

?0 ?

0

B( a ? a )
2 2 2 1

当有负载时,圆盘转动的角速度为?,此时流过圆盘的电 2 2 流为i,得 B?( a 2 ? a1 ) IR
i? R ? R0 ? 2( R ? R0 )

求安培力的功率仍然用微元法,对第j个小圆环,所受 安培力的功率为 ?Pj ? iB?rj ? v j ? iB?rj ? ?rj
整个圆盘的安培力的功率为

1 2 2 P ? ? ?Pj ? iB?( a 2 ? a1 ) 2
当电动机转动达到稳定时,电动机输出的机械功率也 就是安培力的功率

于是 P ? K1? ? K 2? 2 where
IR0 B( a ? a ) K1 ? 2( R ? R0 )
2 2 2 1

2 2 2 B2 ( a2 ? a1 ) K2 ? 4( R ? R0 )

K1 故当 ? ? 2K 2

? 1 即 ? ?0 2

时,功率最大

(2)当电动机输出的机械功率最大时,圆盘转动的角速 度为?=?0/2,设此时流经圆盘的电流为i?

R0 I i? ? 2( R ? R0 )

圆盘电阻消耗的功率为
2 2 RR 1 2 0I PR ? i ? R ? 4 ( R ? R0 ) 2

代入整理,最终得

?h? 0 ( a 2 ? a1 )R I PR ? 2 2[ ? 0 ( a 2 ? a1 ) ? 2?hR0 ]
2 2 0

此题是第22届全国中学生物理竞赛决赛的题目,仍然 是考察对法拉第圆盘电动机的应用,而这类题目在竞 赛中出现过多次,所涉及到方法也应该是考生所熟悉 的。本题涉及到(1)定轴转动切割磁感线产生的(反) 电动势(2)含源电路的欧姆定律(3)电阻的计算(4) 安培力的计算(5)电功率的计算(6)力矩平衡(7) 函数求极值等。这就要求考生对典型问题或典型模型 要吃透,真正理解其中蕴含的物理思想和物理方法, 并能做到举一反三灵活应用。

4、磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系 统。一是悬浮系统,利用磁力(可由超导电磁铁提供)使 车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统, 在沿轨道上安装的三相绕组(线圈)中,通上三相交流电, 产生随时间、空间作周期性变化的磁场,磁场与固连在车 体下端的感应金属板相互作用,使车体获得牵引力。 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由,我们求 解下面的问题。 设有一与轨道平面垂直的磁场,磁感应强度B随时间t 和空间位臵x变化规律为 B(x, t ) ? B0 cos(? t ? kx)

式中B、k、?均为已知常量,坐标轴x与轨道平行

在任一时刻t,轨道平面上磁场沿x方向的分布是不均匀 的,如图所示。图中Oxy平面代表轨道平面,“×”表示 磁场的方向垂直Oxy平面指向纸里,“· ”表示磁场的方 向垂直Oxy平面指向纸外。规定指向纸外时B取正值。 “×”和“· ”的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布。一 个与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ 处在该磁场中,已知与轨道垂直的金属框边MN的长度 为,与轨道平行的金属框边MQ的长度为d,金属框的电 阻为R,不计金属框的电感。 y
N P O M Q x

(1)试求在时刻t,当金属框的MN边位于x处时磁场作用 于金属框的安培力,设此时刻金属框沿x轴正方向移动的 速度为。 (2)试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。 本题的几个关键点 1、磁场的传播速度
y O M Q N P x

B( x, t ) ? B0 cos( ? t ? kx)

?x ? v0 ? ? ?t k

2、动生电动势

? (t ) ? B( x, t )l (v0 ? v ) ? B( x ? d , t )l (v0 ? v )
3、安培力的数学表达式

F (t ) ? lB( x, t )i (t ) ? lB( x ? d , t )i (t )
2 2 B0 l (v0 ? v ) 2 ?cos(?t ? kx) ? cos?(?t ? kx) ? kd ?? F (t ) ? R

y

N

P

4B02 l 2 (v0 ? v ) 2 ? kd ? 2 ? 2(?t ? kx) ? kd ? F (t ) ? sin ? ? sin ? ? R 2 ? 2 ? ? ?

O

x M Q

4B02 l 2 (v0 ? v ) 2 ? kd ? 2 ? 2(?t ? kx) ? kd ? F (t ) ? sin ? ? sin ? ? R 2 ? 2 ? ? ?

振幅部分

相因子部分

2n? d? k
( 2n ? 1)? d? k

振幅为零
振幅最大

F0 max

?? ? 4B l ? ? v ? k ? ? ? R
2 2 0

二、感生电动势
1.涡旋电场的引入

? ?B ?t

由于磁场的时间变化 而产生的电场
Maxwell神来之笔 2.感生电动势的大小

? E

W ? ? ? E?l q

3.涡旋电场及其相关的计算

W ?? ? E?l q ?? ?B ?? ?S ?t ?t
其中,l是S的边界

? ? ? ?B ? E ? dl ? ? ?? ? dS ? ?t l S

理论上,可以用微积 分计算任何情况下, 时变磁场产生的涡旋 电场,当然,在中学 阶段,我们只能计算 一些特殊情况下的涡 旋电场。

例、一半径为R的光滑绝缘大圆环上套有一质量 为 m带电为q的小环。大圆环水平放臵,与一强 度为B0的均匀恒定磁场垂直。从时间t=0开始该 磁场变为B(t)=B0+?t,(?>0).求任意时刻小环对大 圆环的作用力的表达式。

B

m

4.电子感应加速器

(1)原理:电子感应加速器 (betatron)是应用感生电场 加速电子的装臵。 在电磁铁的两极之间安臵一 个环形真空室,当用交变电 流激励电磁铁时,在环形室 内就会感生出很强的、同心 环状的感生电场。用电子枪 将电子注入环形室,电子在 有旋电场的作用下被加速, 并在Lorentz力的作用下,沿 圆形轨道运动。

(2)两个基本磁场:加速B1、旋转B2 练习、一个电子感应加速器 的简化模型如图所示,在半 径为r0的区域内有磁场B1, 在r>r0的外环型区域内有磁 场B2,欲使带正电荷q的粒 子能在环形区域内沿半径为 r=r0的圆形轨道上不断被加 速,试分析B1、B2的时间变 化率满足什么关系?

B2

r0

B1

(3)交变励磁场的四分之一加速
B
B

v
E e

O

t

实际上,若交流电的周期为50Hz,则在磁场变化的 第一个四分之一周期(约5ms的时间)内,电子就能 在感生电场的作用下,在圆形轨道上经历回旋数十 万圈的持续加速,从而获得足够高的能量,并在第 一个四分之一周期结束时被引出加速器至靶室。

6.综合问题例解

例、有一个匀质细导线圆环,总电阻为R,半 径为a,圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁 场,磁场随时间线性变化,其变化率为k,圆 环上对称分布A、D、C三点,电流表与A、C 相连接,如图所示,若电流表的内阻为r,求 通过电流表的电流强度。
A

A
D C

A A D C
EADC 2R/3

A

R/3

r EAEC

EAC

总电动势

E ? k?a

2

C

E ADC

2 1 1 2 2 ? k?a EAC ? k?a E AEC ? k?a 2 3 3 3

1、电荷Q均匀分布在均匀电介质的圆盘上,圆 盘放入均匀的外磁场中,磁感应强度为B,方向 垂直于盘面。圆盘质量为m,它可以绕过圆盘中 心垂直于盘面的固定轴的自由转动。如果切断 外磁场,原来静止的圆盘将以多大的角速度开 始转动?

2、如图所示,均匀磁场的方向垂直纸面向里, 磁感应强度随时间变化,B=B0??kt(k为大于0的 常数)。现有两个完全相同的均匀金属圆环相互 交叠并固定在图中所示位臵,环面处于图中纸面 内。圆环的半径为R,电阻为r,相交点的电接触 良好。两个环的接触点与间的劣弧对圆心的张角 为60?.求t=t0时,每个环所受的均匀磁场的作用 力,不考虑感应电流之间的作用。
A
O 60° C B

提示1:在任意时刻t 两环中的感应电流的 分布如何? 提示2:此题关键自 然是要求两个感应电 流的大小,如何求? 提示3:求两个感应 电流的大小自然要用 基尔霍夫定律,方程 如何列?电动势如何 求?

I1

A 60° I B 2 I2

I1

O

C

提示4:电流终于求出来了,如何求作用力呢? 先对其中一环,例如左环做受力分析吧,可是 这是圆环而不是直导线啊,安培力如何求呢? 想一想

F1

I1

I2

F2

3、一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环,其内、 外半径分别为a1、a2,厚度可以忽略.两个表面 都带有电荷,电荷面密度?随离开环心距离r变化 的规律均为? =?0/r2,?0为已知常量。薄圆环绕 通过环心垂直环面的轴沿逆时针方向以大小不变 的角加速度?减速转动,t = 0时刻的角速度为 ?0.将一半径为a0 (a0<<a1)、电阻为R并与薄圆 环共面的导线圆环与薄圆环同心放臵,如图所示。 试求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力 F与时间t的关系。
提示:半径为r、通有电流I的圆线圈 (环形电流),在圆心处产生的磁感 应强度为B=kI/r(k为已知常量)
a2 a0
a1

提示1:用微元叠加(积分)求环形电流在圆心处的 磁场

微电流元

? 2? ?0 ?ri ?I i ? ?qi ? ? 2? ri
微磁场元

ri+?ri ri

?I i 2? ?0 ?ri ?Bi ? k ?k ri ri2

总磁场——微元累加或积分

?ri 2k? 0 (a2 ? a1 ) B ? ? ?Bi ? ? 2??0 k ? ? ri a1a2 a1
a2

dr 2 k? 0 ( a2 ? a1 ) B ? ? dB ? 2 k? 0 k ? 2 ? ? r a1a2 a1
提示2:用Faraday电磁感应定律求半径为a0的小环 中产生的感应电流
2 ?? 2k? 0 (a2 ? a1 ) ?? 2k? 0 (a2 ? a1 )?a0 ? E? ? ? ?t a1a2 ?t a1a2

a2

2k? 0 (a2 ? a1 )?a ? I? a1a2 R
2 0

提示3:求安培力

4?k ? ?a (a2 ? a1 ) F? (?0 ? ?t ) aaR
2 2 0 3 0 2 2 1 2 2

4.如图所示,在一个半径为r、质量为M、可以无摩 擦地自由转动的匀质圆盘中部装有一细长的螺线管, 其半径为a,沿轴线方向单位长度的线圈匝数为n,线 圈中通有稳恒电流I。在圆盘边缘上均匀地镶嵌N个质 量为m、电荷量为q的带电小球。设开始时刻,圆盘静 止,然后将电流切断,试求圆盘转动的角速度。

三、暂时过程

(1)RL暂态特性
R L
K

di ? ? L ? iR dt

?

i?

?
R

(1 ? e

R ? t L

)

? R

i

t

合上开关K

R i
K

L

di ? L ? iR dt

?

R?

i?

?
R ? R?

e

R ? t L

?
R ? R?

i

t

(2)RC暂态特性
R C

u

?
?
K

du ? ? iR ? u ? CR ? u dt

t

u ? ? (1 ? e

1 ? t RC

)

1、如图所示,一个磁感应强度为B的均匀磁场, 垂直于一轨距为l的导轨平面,轨道平面与水平面 有?的倾角.一根无摩擦的导体棒,质量为m, 横跨在两根金属导轨上.若开关依次接通1、2 、 3 ,使阻值为R(其余电阻均不计)、电容为C或 电感为L的元件与棒构成电路,当从静止放开导 体棒后,求棒的运动规律.
1 2 3 R C L B

本题三个感应电流电路中,“电源”均为受有恒定外力 (重力之“下滑”分力)的金属杆在匀强磁场中做切割 运动产生动生电动势,通过开关转换,构成纯电阻电路、 纯电容电路及纯电感电路.初始状态相同的三个电路, 在不同的电路条件下,其暂态过程及稳定态迥异。

S→1,纯电阻电路
经加速度减小的加速过 程,达到稳定态
B 2l 2 dv mg sin? ? v?m R dt

1 2 3

R C L B

mgR sin? v? (1 ? e 2 2 Bl

B 2l 2 ? t mR

)

S→2 ,纯电容电路

1 2 3

R
C L B

稳定态时电流恒定,导体棒做匀 加速运动

C ? BL?v mg sin ? ? B ? L ? ma ?t

a?

m sin ?

m?B L C

2 2

g

S→3纯电感电路

BIl

g sin? Bl Bl ?I mg sin? ?s L ? Blvi ? ?I ? vi ?t ? s0 x L L ?t Bl 0 ?t ? 0时I ? 0 ? I ? s L B2 l 2 mg sin? ? s ? ma L mgL sin? g sin? vi s0 ? 2 2 L Bl

B

B

取平衡位置为坐标原点
B 2 l 2 ? mgL sin ? B2 l 2 ? ma ? ? F ? ? mg sin ? ? ? x? ? ? x ? 2 2 L ? B l L ?
纯电感电路无稳定状态,导体棒和电流均做周期性变化 T ? 2?
振动方程为

mL B2l 2

? l 2B2 ? Lmg sin ? x? cos ? t ?? ? 2 2 ? Lm ? l B ? ?

2、图中oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐标 系,在x>0的一侧,存在匀强磁场B ,磁场方向 垂直于oxy平面向里。在x<0的一侧,一边长分 别为l1和l2的刚性矩形超导线框位于桌面上,框 内无电流,框的一对边与x轴平行。线框的质量 为m,自感为L。现让超导线框沿x轴方向以初速 度v0进入磁场区域,试定量地讨论线框以后可能 发生的运动情况及与初速度v0大小的关系。(假 定线框在运动过程中始终保持超导状态)
l1 y

l2

v0

B x

O

解:以线框刚进入磁场为t=0时刻,在此后的某 一时刻t,线框的位移为x,速度为v,电流为i, 此时动生电动势为?=Bl2v,自感电动势为 ?L=?Ldi/dt,由于是超导线框,有

?i ? ? ? L ? Bl2 v ? L ? 0 (1) ?t
Bl 2 ?x ? ? L?i Bl2 i?? x ?C L
( 2) ( 3)

得到 于是

C为一待定常数,由初始条件决定,由 于t=0时,x=0,i=0,所以C=0。

Bl2 i?? x 故 L 此时线框受到的安培力为
2 B 2l2 f ? Bl 2 i ? ? x L

( 4)

( 5)

谐振子运动的通解

x ? A cos(?t ? ? ) (6) v ? ? A? sin( ?t ? ? )(7)
其中

Bl ?? mL

2 2 2

( 8)

由初始条件:t=0时,x=0,v=v0,可以求出
2 Lmv 0 A? 2 B 2 l2

???

?

于是,线框的运动方程为
2 0 2 2 2

2

( 9)

Lmv x? sin ?t (11) Bl (12) v ? v0 cos ?t

讨论
(1)线框的初速度v0较小,在安培力的作用下, 当它的速度减为0时,整个线框未全部进入磁场 区,这时在安培力的继续作用下,线框将反向 运动,最后退出磁场区.线框一进一出的运动 是一个简谐振动的半个周期内的运动, 故当x?l1时,v=0,数学上有

Lmv 2? T l1 ? sin ? (13) Bl T 4
2 0 2 2 2

所以 v0 ?

Bl1l2 mL

(14)

若线框的初速度v0比较大,整个线框能全部进 入磁场区.当线框刚进入磁场区时,其速度仍 大于0,这要求满足下式

Bl1l2 v0 ? (15) mL 设全部进入磁场区的时间为?,由(11)式,得

Lmv l1 ? sin ?? (16) Bl

2 0 2 2 2

解之,得

Lm Bl1l2 ?? arcsin 2 Bl2 Lmv 0

(17)

代入方程(12)

v ? v0 cos ??
2 0 2 2 2 1 2

(18)

Bl l 最后,得 v ? v ? (19) Lm
线框在0~?时间内,做简谐振动,在t>?以速度 v(19)做匀速直线运动

说明:此题也可以用广义势能来处理计算谐 振子的振幅,由
f ? Bl 2 i ? ?
2 2 B l2

L
2 2 2

x

( 1)

1 1?B l ? 2 2 ? mv0 ? ? A ( 2) ? ? 2 2? L ?



2 Lmv 0 A? 2 B 2 l2

( 3)

3、一个细的超导圆环质量m、半径r、电感L,放 在竖直的圆柱形磁棒上面,如图所示.圆环与棒 有同一对称轴.在圆环周围的圆柱形磁棒的磁场 在以圆环中心为坐标原点的Oxy坐标中可近似地 表示为By=B0(1??y)和 Bx=B0?x,其中B0、α、 β为常量.初始时,圆环中没有电流,当它被放 开后开始向下运动且保持它的轴仍为竖直,试确 定圆环的运动并求圆环中的电流.
y 0 x

初始时,圆环中没有电流,环中磁通量 :

? y ? B0? r

2

圆环开始向下运动时,

B y 变化,感应电流I的磁通量 ? ? LI 环中磁通总量 : ? y ? B0 ? 1 ? ? y ? ? r 2 ? LI
2 2 即 B 1 ? ? y ? r ? LI ? B ? r ? U ? 0 ?? ? 0 0 ? 0 2 ? B0? r 则I ? y L

环受安培力为 :

Fm ? Bx I ? 2? r

环所在处磁场 y Fm

其中,环面过平衡位置时 :

Fm 2? 2 B02?? r 4 mg ? B0 ? r ? I 0 ? 2? r ? y0 L 环面在平衡位置下y时 : 2 2 4 2 B0 ??? r y ? F ? mg ? Bx I y ? 2? r ? ? L

x

y mg

续解

∴圆环在y 轴上做简谐运动,周期为:

1 T? B0 r 2
A?
2 0

2mL

??
2 4

y
x

mgL 2B ??? r

圆环中最大电流为:

圆环中电流随时间变化规律为:

mg I0 ? 2 B0 ?? r 2

mg I? 2 B0 ?? r 2

? ? 2 2?? ? ? ? cos ? ? ? r B0 Lm t ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ?

4、如图所示,有二平行金属导轨,相距l, 位于同一水平面内(图中纸面),处在磁 感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向竖直 向下(垂直纸面向里).质量均为m的两金 属杆ab和cd放在导轨上,与导轨垂直.初始 时刻, 金属杆ab和cd分别位于x = x0和x = 0 处.假设导轨及金属杆的电阻都为零,由 两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为 y L. a c
v0 O d b

今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量,使它 获得初速v0.设导轨足够长,x0也足够大,在运动 过程中,两金属杆之间距离的变化远小于两金属 杆的初始间距,因而可以认为在杆运动过程中由 两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不 变的。杆与导轨之间摩擦可不计.求任意时刻两 杆的位臵xab和xcd以及由两杆和导轨构成的回路中 的电流i三者各自随时间t的变化关系。
y c a v0

O d

b

x

解:设在任意时刻t,ab杆和cd杆的速度分别为 v1和v2(相对地面参考系S),当v1、v2为正时, 表示速度沿x轴正方向;若规定逆时针方向为回 路中电流和电动势的正方向,则因两杆作切割 磁力线的运动而产生的感应电动势

E ? Bl ?v1 ? v2 ?

( 1)

当回路中的电流i随时间的变化率为?i/?t时,回路 中的自感电动势 ?i E L ? ?L ( 2) ?t 由于回路没有电阻,有 E+EL=0

金属杆在导轨上运动过程中,两杆构成的系统受 到的水平方向的合外力为零,系统的质心作匀速 直线运动.设系统质心的速度为VC,有

mv0 ? 2mVC v0 VC ? 2

( 3) ( 4)

现取一新的参考系S?,它与质心固连在一起, 并把质心作为坐标原点O?,取坐标轴O?x?与Ox 轴平行.设相对S?系,金属杆ab的速度为u1, cd杆的速度为u2,则有

? ( 5) v1 ? VC ? v1

因相对S?系,两杆的总动量为零,即有

v2 ? VC ? v? 2 ( 6)

?i ? ?L E ? Bl?v1 ? v2 ? ? 2Blv1 ?t ?为 在S?系中,ab杆的速度 v1 ?x? ab ? v1 ? ( 9) ?t
于是

? ? mv? mv1 2 ?0

( 7)

( 8)

2Bl?x? ab ? L?i

(10)

所以

1 由于初始条件, x? x0 ab (t ? 0) ? 2

L x? i?c ab ? 2Bl

(11)



2Bl 1 i? ( x? x0 ) ab ? L 2
2 2

(12)

ab杆受到的安培力

2B l 1 F ? ?Bil ? ? ( x? x0 ) (13) ab ? L 2 做变量代换 1 ? X? x0 (14) ab ? x ab ? 2

2B l F?? X? ab L
2 2 2 B l ab杆做? ? mL

2 2

(15)

的简谐运动,其运动方程为
(16) (17)

X? ab ? A cos(?t ? ? ) v? ab ? ? A? sin( ?t ? ? )
初始条件:t=0

1 ? X? v0 (18) ab (t ? 0) ? 0; v ab (t ? 0) ? 2

v0 mL 3? A? ;? ? 2Bl 2 2
因此,ab杆运动方程的特解

(19)

v0 X? ab ? 2Bl

mL sin 2

2B l t mL

2 2

(20)
2 2

v0 1 x? x0 ? ab ? 2 2Bl

mL sin 2

2B l t (21) mL

在S?系中,cd杆的运动方程显然为

v0 1 x? x0 ? cd ? ? 2 2Bl
x ab v0 1 ? x 0 ? v0 t ? 2 2Bl v0 1 ? v0 t ? 2 2Bl m sin 2L

mL sin 2
mL sin 2

2B l t (22) mL
2B l t (23) mL
(24)
2 2

2 2

回到S系中,ab、cd杆的运动方程为

xcd

mL sin 2 2B l t mL
2 2

2B2 l 2 t mL

回路中的电流为
i ? v0
(25)


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