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2016届辽宁省沈阳市高三教学质量监测(一)数学(文)试题(解析版)


2016 年沈阳市高三教学质量监测(一)



学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22 题~第 24 题为选 考题,其它题为必考题. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上,并将条码粘贴在答题卡指定区域. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔

把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答,在本试题卷上 作答无效. 3.考试结束后,考生将答题卡交回.

第Ⅰ卷
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.复数 z ?

2 ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( 1? i
B.第二象限 C.第三象限



A.第一象限

D.第四象限 )

2.已知集合 P ? {0,1, 2} , Q ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0},则 P ? Q ? ( A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1, 2} )

3. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S5 ? 32 ,则 a3 ? ( A.

32 5

B. 2

C. 4 2

D.

5 32


4.已知函数 f ? x ? ? ? A. ?

log x,x ? 0 ? ? 1 2 ? ? 3 ,x ? 0
x

,则 f ( f (4)) 的值为(

1 9

B. ? 9

C.

1 9

D. 9

5.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个凸多面体 的三视图 (两个矩形, 一个直角三角形) , 则这个几何体可能为 ( ) A.三棱台 B.三棱柱 C.四棱柱 D.四棱锥
2 6. 已知直线 l 过圆 x ? ? y ? 3 ? ? 4 的圆心, 且与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂 2

直,则直线 l 的方程为( A. x ? y ? 2 ? 0

) C. x ? y ? 3 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

B. x ? y ? 2 ? 0

7. 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 如 果 输 入 a ? ?1 , b ? ?2 , 则 输 出 的 a 的 值 为 ( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 8. 从某小学随机抽取 100 名同学, 现已将他们的身高 (单位: 厘米) 数据绘制成频率分布直方图 (如

图).若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
开始 输入 a , b

a?6
是 输出 a 结束



a ? ab

第 7 题图

第 8 题图

9.若函数 y ? loga x ? a ? 0, 且a ? 1? 的图象如图所示,则下列函数与其图象相符的是( )

10.已知正四面体 ABCD 的棱长为 a ,其外接球表面积为 S1 ,内切球表面积为 S2 ,则 S1 : S2 的值 为( ) B. 3

A. 3

3

C. 9

D.

49 4

11. 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , A 、 B 为抛物线上两点,若 AF ? 3FB , O 为坐标原点,则 △ AOB 的面积为( A. ) B.

??? ?

??? ?

3 3

8 3 3

C.

4 3 3

D.

2 3 3

12.已知偶函数 f ( x) ( x ? 0) 的导函数为 f ?( x) ,且满足 f (1) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ?( x) ? 2 f ( x) , 则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( A. (??, ?1) ? (0,1) B. (??, ?1) ? (1, ??) ) C. (?1, 0) ? (1, ??) D. (?1, 0) ? (0,1)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二. 填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上)

? x, y ? 0 ? 13.设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ,若 z ? x ? y ,则 z 的最大值为 ? x? y ?3 ?
14.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AC ? BE = 15.函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 的单调递增区间是 ;



??? ? ??? ?



16.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,双曲线 C 与过原点的直线相交于 a 2 b2
3 ,则该双曲线的离心率 5

A 、 B 两点,连接 AF , BF . 若 | AF |? 6 , | BF |? 8 , cos ?BAF ?
为 .

三. 解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos
2

x ? 3 sin x . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值,并写出取得最大值时相应的 x 的取值集合; (Ⅱ)若 tan

? 1 ? ,求 f (? ) 的值. 2 2

18.(本小题满分 12 分) 如图所示,三棱锥 D ? ABC 中, AC , BC , CD 两两垂直, AC ? CD ? 1 ,

BC ? 3 ,点 O 为 AB 中点.
(Ⅰ)若过点 O 的平面 ? 与平面 ACD 平行,分别与 棱 DB , CB 相交于 M , N ,在图中画出该截面多边 形,并说明点 M , N 的位置(不要求证明); (Ⅱ)求点 C 到平面 ABD 的距离.

D

C
A

O

B

19.(本小题满分 12 分)为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下: 现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为 未发病 未注射疫苗 注射疫苗 合计 20 30 50 发病 合计

2 . 5

x
y
50

A B
100

(Ⅰ)求 2 ? 2 列联表中的数据 x , y , A , B 的值; (Ⅱ)绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效? (Ⅲ)能够有多大把握认为疫苗有效?

附: ? 2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(a ? c)(c ? d )(b ? d )

P( X 2 ? K0 )
K0

0.05 3.841

0.01 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -

O
20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

未注射

注射

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左,右焦点分别为 F 1 , F 2 ,且 | F 1F 2 |? 6 ,直线 a 2 b2

y ? kx 与椭圆交于 A , B 两点.
16 ,求椭圆的标准方程; (Ⅰ)若△ AF 1F 2 的周长为
(Ⅱ)若 k ?

2 ,且 A , B , F 1, F 2 四点共圆,求椭圆离心率 e 的值; 4

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设 P( x0 , y0 ) 为椭圆上一点,且直线 PA 的斜率 k1 ? (?2, ?1) ,试求 直线 PB 的斜率 k2 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x ? b(a ? R) . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的方程为 3x ? y ? 3 ? 0 ,求实数 a , b 的值; (Ⅱ)若 x ? 1 是函数 f ( x ) 的极值点,求实数 a 的值; (Ⅲ) 若 ?2 ? a ? 0 ,对任意 x1 , x2 ? (0, 2] ,不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? m | 的最小值.

1 1 ? | 恒成立,求 m x1 x2

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,两个圆相内切于点 T ,公切线为 TN ,外圆的弦 TC , TD 分别交内圆于 A 、 B 两点, 并且外圆的弦 CD 恰切内圆于点 M . (Ⅰ)证明: AB / / CD ; (Ⅱ)证明: AC ? MD ? BD ? CM . T

N
A C M B D

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在以直角坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下, 曲线 C1 的方程是 ? ? 1 , 将 C1 向上平移 1 个单位得到曲线 C2 . (Ⅰ)求曲线 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C1 的切线交曲线 C2 于不同两点 M , N ,切点为 T .求 TM ? TN 的取值范围.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知命题“ ?a ? b ? c ,

1 1 t ? ? ”是真命题,记 t 的最大值为 m , a ?b b?c a ?c
1

命题“ ?n ? R , n ? sin ? ? n ? cos ? ? m 4 ”是假命题,其中 ? ? (0,

?
2

).

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求 n 的取值范围.

2016 年沈阳市高三教学质量监测(一)

数学(文科)参考答案与评分标准
说明: 一、解答题给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题(每题给出一种解法仅供参考) 1.A 2.D 3.A 4.C 5.B 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C 11. C 12.D

1.A 试题分析: z ?

2 ? 1 ? i ,在复平面内复数 z 对应点的坐标为 (1,1) ,在第一象限. 1? i

考点:复数的概念,复数的运算,复数的几何意义. 2. D 试题分析: 因为 Q ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} ? {x |1 ? x ? 2} ,P ? {0,1, 2} , 所以 P ? Q ? {1, 2} .
2

考点:集合的概念,集合的表示方法,集合的运算,一元二次不等式的解法. 3.A 试题分析:根据等差数列的性质, S5 ? 5a3 ,所以 a3 ?

S5 32 ? . 5 5 1 . 9
相等.可得

考点:等差数列的概念,等差数列的通项公式,等差数列的前 n 项和,等差数列的性质. 4.C 试题分析:因为 f ? x ? ? ?

log x,x ? 0 ? ? 1 2
x ? ? 3 ,x ? 0

即f

? f (4) ? ?

f (?2) ?

考点:分段函数求值,指数运算,对数运算. 5.B 试题分析:根据三视图的法则:长对正,高平齐,宽 几何体如右图所示.这是一个三棱柱. 考点:三视图,棱柱、棱锥、棱台的概念. 6.D 试题分析:由已知得,圆心为 (0,3) ,所求直线的斜 直线方程的斜截式得, y ? x ? 3 ,即 x ? y ? 3 ? 0 ,故选 D. 考点:圆的标准方程,两条互相垂直直线斜率之间的关系,直线的方程. 7.B 试题分析:当 a ? ?1 , b

率为1 ,由

? ?2 时, a ? (?1) ? (?2) ? 2 ? 6 ;当 a ? 2 , b ? ?2 时,

a ? 2 ? (?2) ? ?4 ? 6 ;当 a ? ?4 , b ? ?2 时, a ? (?4) ? (?2) ? 8 ? 6 ,此时输出 a ? 8 ,
故选 B. 考点: 程序框图的应用. 8.B 试题分析:依题意可得 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ? a ? 0.035) ? 1 ,解得 a ? 0.03 ,故身高在 [120,130),[130,140],[140,150]三组内的学生比例为 3:2:1.所以从身高在[140,150]内的学生

中选取的人数应为 3. 考点: 统计的知识,分层抽样的方法,识别图表的能力. 9. B 试 题 分 析 : 由 函 数 y ? log 的 图 象 可 知 , a ? 3, 且 , a ? ?1 a x? a ? 0 所 以 y ? 3? x ,

y ? (? x)3 ? ? x3 及 y ? log3 (?x) 均为减函数,只有 y ? x3 是增函数,选 B.
考点:幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质. 10.C 试题分析:如图所示,设点 O 是内切球的球心,正四面体棱长为 a , 由图形的对称性知,点 O 也是外接球的球心.设内切球半径为 r ,外接球半径为 R .

2 在 Rt△ BEO 中, BO ? BE ? EO ,即 R ? (
2 2 2

3 2 2 a) ? r , 3

又R?r ?

6 a ,可得 R ? 3r , S1 : S2 ? R2 : r 2 ? 9 ,故选 C. 3
1 1 S ( R ? r ) ? 4 ? Sr ,有 R ? 3r ) 3 3

(或由等体积法设内切球半径为 r ,外接球半径为 R ,正四面体的侧面 积为 S ,易有

考点:正四面体的定义,正四面体与球的位置关系,球的表面积. 11. C 试题分析:(解法一)如图所示,根据抛物线的定义,不难求 出, | AB |? 2 | AE | ,由抛物线的对称性,不妨设直线的斜率为正,所 以直线 AB 的倾斜角为 60 ,直线 AB 的方程为 y ? 3( x ?1) ,
o

联立直线 AB 与抛物线的方程可得:

? 1 2 3 ? y ? 3( x ? 1) ,解之得: A(3, 2 3) , B( , ? ), ? 2 3 3 y ? 4 x ? ?
所以 AB ? (3 ? )2 ? (2 3 ?

1 3

2 3 2 16 ) ? , 3 3
3 2


而原点到直线 AB 的距离为 d ?

所以 S?AOB ?

1 4 3 ? AB ? d ? ,故应选 C . 2 3
o

当直线 AB 的倾斜角为 120 时,同理可求. (解法二)如图所示,设 | BF |? m , 则 | AD |?| AF |? 3m , | AG |?

3m 2

又 | AD | ? | AG |? 2 | OF |? 2 ,故 m ?

4 8 3 ,又 | CD |?| BE |? , 3 3

所以 S?AOB ?

1 4 3 ,故应选 C . ? OF ? | CD |? 2 3
f ( x) f '( x) ? x ? 2 ? f ( x) ?0, ,当 x ? 0 时, g '( x) ? 2 x x3

考点: 抛物线的简单几何性质; 直线与抛物线的相交问题. 12.D 试题分析:根据题意,设函数 g ( x ) ?

说明函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,又 f ( x ) 为偶函数,所以 g ( x) 为偶函数,又 f (1) ? 0 ,所以

g (1) ? 0 ,故 g ( x) 在 (?1,0) U (0,1) 的函数值大于零,即 f ( x) 在 (?1,0) U (0,1) 的函数值大于零.
考点:函数的单调性,函数的奇偶性,构造函数解决问题,利用导数研究函数的性质. 二.填空题(每题给出一种解法仅供参考) 13.3 14.2 15. [ , ??) (写成 ( , ??) 也给分) 16. e ? 5

1 2

1 2

13.3

试题分析:不等式组所表示的平面区域如图:目标函数(虚线)在点 B(3, 0) 处取得最大值

zmax ? 3 .
考点:线性规划.

14.2 试题分析: (解法一) ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 1 ??? ? AC ? BE ? ( AB ? AD) ? ( BC ? CE) ? ( AB ? AD) ? ( AD ? AB) 2 ???? 2 1 ??? ?2 ? AD ? AB ? 4 ? 2 ? 2. 2 (解法二) 以 A 为原点,以 AB 为 x 轴,以 AD 为 y 轴建立直角坐标系,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? (2, 2) , BE ? (?1, 2) , AC ? BE ? 2 .
考点:向量数量积 15. [ , ??) (写成 ( , ??) 也给分)

1 2

1 2

? l nx , ) 试 题 分 析 : 函 数 f ( x)? 2 x 的 定 义 域 为 ( 0 ?? ,

f ' ( x) ? 2 ?

1 ?0 ,所以函数 x

1 f ( x) ? 2 x ? ln x 的单调递增区间为 [ , ??) . 2
考点:利用导数研究具体函数的单调性. 16. e ? 5 试 题 分 析 : AF ? 6 , BF ? 8 , cos ?BAF ?

3 , 由 余 弦 定 理 可 求 得 AB ? 10 , 5

?BFA ? 90? ,将 A , B 两点分别与双曲线另一焦点连接,可以得到矩形,结合矩形性质可知, 2c ? 10 ,利用双曲线定义, 2a ? 8 ? 6 ? 2 ,所以离心率 e ? 5 .
考点:双曲线的定义,双曲线的离心率,余弦定理. 三. 解答题 17. (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? cos x ? 3sin x ? 2 cos( x ? 所以 cos( x ?

?
3

) ? 1,

…………3 分

?
3

) ? 1 ,即 x ?

?
3

? 2 k? , x ? 2 k? ?

?
3

(k ? Z) 时,

函数 f ( x ) 的最大值为 3, 此时相应的 x 的取值集合为 {x | x ? 2k? ? (或 f ( x) ? 2sin( x ?

????5 分

?
3

, k ? Z} .

????6 分

?
6

) ? 1 相应给分)

x x 2 x (Ⅱ) f ( x) ? 2cos ? 2 3 sin cos ? 2 2 2 2 ? 2 3 tan 1 ? tan 2
? 8+4 3 . 5

2cos 2

x x x ? 2 3 sin cos 2 2 2 . ???10 分 x x cos 2 ? sin 2 2 2
????11 分

?

x 2

x 2

????12 分

考点:同角三角函数基本关系式,三角函数恒等变换,二倍角公式,辅助角公式,三角函数的性质. 18.(Ⅰ)当 M 为棱 DB 中点, N 为棱 BC 中点时,平 面 a ∥ 平面 ACD .????6 分 (Ⅱ)因为 CD ? AC , CD ? BC , 所以直线 CD ? 平面 ABC , ????8 分

AD ? AC2 ? CD2 ? 12 ? 12 ? 2 ,

BD ? BC2 ? CD2 ? 3 ? 1 ? 2 .
又 AB ?

AC2 ? BC2 ? 1? 3 ? 2.

所以 AB ? BD ,??????????????9 分

设点 E 是 AD 的中点,连接 BE ,则 BE ? AD , 所以 BE ?

AB 2 ? AE 2 ? 22 ? ( 2 / 2) 2 ?

14 , 2

S?ABD ?

1 1 14 7 . AD ? BE ? ? 2 ? ? 2 2 2 2

又 VC ? ABD ? VD? ABC , 而 S?ABC ?

1 1 3 , AC ? BC ? ? 1 ? 3 ? 2 2 2
1 3 1 S ?ABC ? CD , ??10 分 3

设点 C 到平面 ABD 的距离为 h ,则有 S ?ABD ? h ?



21 7 3 21 ,即点 C 到平面 ABD 的距离为 . ??12 分 ?h ? ? 1 ,∴ h ? 2 2 7 7

考点:空间垂直关系的转化与证明,点到面的距离,线面平行,面面平行问题. 19. (Ⅰ)设“从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物”为事件 A,

y ? 30 2 ? ,所以 y ? 10 , B ? 40 , x ? 40 , A ? 60 . ???5 分 100 5 40 2 10 1 ? ,注射疫苗发病率为 ? . (Ⅱ)未注射疫苗发病率为 60 3 40 4
由已知得 P( A) ? 发病率的条形统计图如图所示,由图可以 看出疫苗影响到发病率. ????10 分 (Ⅲ) ? ?
2

100(20 ?10 ? 30 ? 40) 2 50 ? 50 ? 40 ? 60

?11 分

?

1000000 50 ? ? 16.67 ? 10.828 . 50 ? 20 ? 60 3
所以至少有 99.9%的把握认为疫苗有效. ????12 分

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -

0.66

0.25

O

未注射

注射

考点:独立性检验的应用,统计,概率,根据统计数据做出相应评价. 20.(Ⅰ)由题意得 c ? 3 , ????1 分 根据 2a ? 2c ? 16 ,得 a ? 5 . ????2 分
2 2 结合 a ? b ? c ,解得 a ? 25, b ? 16 .????3 分
2 2 2

所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 . ????4 分 25 16

? x2 y 2 ? ? 1, ? 1 2 2 ? a 2 b2 2 2 2 (Ⅱ)(解法一)由 ? 得 (b ? a ) x ? a b ? 0 . 8 ? y ? 2 x, ? ? 4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ?

? a 2b 2 , ????6 分 1 2 2 b ? a 8

由 AB 、 EF 互相平分且共圆,易知, AF2 ? BF2 , 因为 F2 A ? ( x1 ? 3, y1 ) , F2 B ? ( x2 ? 3, y2 ) , 所以 F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1 ? ) x1 x2 ? 9 ? 0 . 即 x1 x2 ? ?8 ,所以有

???? ?

???? ?

???? ? ???? ?

1 8

? a 2b 2 ? ?8, 1 2 2 b ? a 8
2

结合 b ? 9 ? a .解得 a ? 12 ,所以离心率 e ?
2 2

3 . ???8 分 2

(若设 A( x1 , y1 ), B(? x1 , ? y1 ) 相应给分) (解法二)设 A(x1 , y1) ,又 AB 、 EF 互相平分且共圆,所以 AB 、 EF 是圆的直径,

? 2 2 ? x1 ? y1 ? 9 ? 2 ? 2 2 x1 所以 x1 ? y1 ? 9 ,又由椭圆及直线方程综合可得: ? y1 ? 4 ? 2 2 ? x1 ? y1 ? 1 ? ? a2 b2
前两个方程解出 x1 ? 8, y1 ? 1 ,????6 分 将其带入第三个方程并结合 b ? a ? c ? a ? 9 ,解得: a ? 12 , e ?
2 2 2 2 2

2

2

3 . ?8 分 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)结论,椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 , ????9 分 12 3

由题可设 A( x1 , y1 ), B(? x1 , ? y1 ) , k1 ?

y0 ? y1 y ?y , k2 ? 0 1 , x0 ? x1 x0 ? x1

所以 k1k2 ?

y0 2 ? y12 ,????10 分 x0 2 ? x12
3(1 ? x0 2 x2 ) ? 3(1 ? 1 ) 12 12 ? ? 1 , k ? ? 1 , 即 2 2 2 x0 ? x1 4 4k1
1 1 ? k 2 ? . ????12 分 8 4



y0 ? y ? x0 2 ? x
2 2 1 2 1

由 ?2 ? k1 ? ?1 可知,

考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆的相交综合问题. 21.(Ⅰ)∵ f ( x) ?

1 2 a x ? a ln x ? b ,∴ f ' ( x) ? x ? , ????2 分 2 x

∵曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的方程为 3x ? y ? 3 ? 0 , ∴ 1 ? a ? 3 , f (1) ? 0 ,∴ a ? ?2 ,

1 1 ? b ? 0 ,∴ a ? ?2 , b ? ? . ??4 分 2 2

(Ⅱ)∵ x ? 1 是函数 f ( x ) 的极值点,
' ∴ f (1) ? 1 ? a ? 0 ,∴ a ? 1 ;

????6 分

当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 2 x ? ln x ? b ,定义域为 (0, ??) , 2

f ' ( x) ? x ?

1 x 2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? ? , x x x

当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减, 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,所以, a ? 1 . (Ⅲ)因为 ?2 ? a ? 0 , 0 ? x ? 2 ,
' 所以 f ( x) ? x ?

????8 分

a ? 0 ,故函数 f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增, x

不妨设 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? m |

1 1 ? |, x1 x2
????10 分

可化为 f ( x2 ) ?

m m ? f ( x1 ) ? , x2 x1

m 1 2 m ? x ? a ln x ? b ? ,则 h( x1 ) ? h( x2 ) . x 2 x a m ' 所以 h( x) 为 (0, 2] 上的减函数,即 h ( x) ? x ? ? 2 ? 0 在 (0, 2] 上恒成立, x x
设 h( x ) ? f ( x ) ? 等价于 x ? ax ? m ? 0 在 (0, 2] 上恒成立,即 m ? x ? ax 在 (0, 2] 上恒成立,
3 3

又 ?2 ? a ? 0 ,所以 ax ? ?2 x ,所以 x ? ax ? x ? 2 x ,
3 3

而函数 y ? x3 ? 2 x 在 (0, 2] 上是增函数, 所以 x ? 2 x ? 12 (当且仅当 a ? ?2 , x ? 2 时等号成立).
3

所以 m ? 12 .即 m 的最小值为 12 . ????12 分 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值,恒成立问题,及参数取值范 围等内容. 22.(Ⅰ)由弦切角定理可知, ?NTB ? ?TAB , ?????3 分 同理, ?NTB ? ?TCD ,所以, ?TCD ? ?TAB , 所以, AB / / CD . ?????5 分 (Ⅱ)连接 TM、AM, 因为 CD 是切内圆于点 M, 所以由弦切角定理知, ?CMA ? ?ATM , 又由(Ⅰ)知 AB / / CD , 所以, ?CMA ? ?MAB ,又 ?MTD ? ?MAB , A 所以 ?MTD ? ?ATM . ?????8 分 C MD TD ? 在 ?MTD 中,由正弦定理知, ,

T

N
B M D

sin ?DTM sin ?TMD MC TC ? 在 ?MTC 中,由正弦定理知, ,因 ?TMC ? ? ? ?TMD , sin ?ATM sin ?TMC MD TD TD BD ? ? 所以 ,由 AB / / CD 知 , MC TC TC AC MD BD ? 所以 ,即, AC ? MD ? BD ? CM .?????????????10 分 MC AC 2 2 2 y 23. (Ⅰ)依题,因 ? ? x ? y ,
所以曲线 C1 的直角坐标下的方程为 x ? y ? 1,
2 2

T o x

所以曲线 C2 的直角坐标下的方程为 x ? ( y ?1) ? 1 ,?3 分
2 2

又 y ? ? sin ? ,所以 ? ? 2? sin ? ? 0 ,
2

即曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? .???????5 分 ( Ⅱ ) 由 题 令 T ( x0 , y0 ) , y0 ? (0,1] , 切 线 MN 的 倾 斜 角 为 ? , 所 以 切 线 MN 的 参 数 方 程 为 :

? x ? x0 ? t cos ? ( t 为参数). ???????????7 分 ? ? y ? y0 ? t sin ?
联立 C2 的直角坐标方程得, t ? 2( x0 cos? ? y0 sin ? ? sin ? )t ?1 ? 2 y0 ? 0 , ?8 分
2

即由直线参数方程中, t 的几何意义可知,

TM ? TN ? 1? 2 y0 ,因为 1 ? 2 y0 ?[?1,1) 所以 TM ? TN ? [0,1] . ????10 分
(解法二)设点 T ?cos? , sin ? ?,则由题意可知当 ? ? ?0 由对称性可知,当 ? ? ? 0 ,

? ? 时,切线与曲线 C2 相交,

? ?

??

? 时斜线的倾斜角为 ? ? ,则切线 MN 的参数方程为: ? 2 2?

? ?? ? ? x ? cos? ? t cos? ? ? 2 ? ? cos? ? t sin ? ? ? ? (t 为参数),???????7 分 ? ? ? ? ? y ? sin ? ? t sin ? ? ? ? ? sin ? ? t cos? ? 2? ? ?
与 C2 的直角坐标联立方程,得 t ? 2 cos?t ? 1 ? 2 sin ? ? 0 ,???????8 分
2

则 TM TN ? t1t 2 ? 1 ? 2 sin ? , 因为 ? ? ? 0 ,

? ?

??
2? ?

,所以 TM TN ? ?0,1?. ???????10 分

此题也可根据图形的对称性推出答案,此种方法酌情给分.

1 1 t ? ? ”是真命题, a ?b b?c a ?c 1 1 t ? ? 所以 ?a ? b ? c , 恒成立, a ?b b?c a ?c 1 1 ? ) 恒成立, 又 a ? b ? c ,所以 t ? (a ? c) ? ( a ?b b?c 1 1 ? )] min .??????????3 分 所以, t ? [( a ? c) ? ( a?b b?c 1 1 1 1 ? ) ? (a ? b ? b ? c) ? ( ? ) 又因为 (a ? c) ? ( a ?b b?c a?b b?c b?c a?b ? 2? ? ? 4 ,“ ? ”成立当且仅当 b ? c ? a ? b 时. a?b b?c
24.(Ⅰ)因为“ ?a ? b ? c , 因此, t ? 4 ,于是 m ? 4 . ???????????5 分
1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,因为“ ?n ? R , n ? sin ? ? n ? cos ? ? m 4 ”是假命题, 所以“ ?n ? R , n ? sin ? ? n ? cos? ?

2 ”是真命题. ??????7 分

? 2 ( ? ? (0, ) ), 2 ? 因此, n ? sin ? ? n ? cos? ? 2 ,此时 sin ? ? cos? ? 2 ,即 ? ? 时. ??8 分 4
因为 n ? sin ? ? n ? cos? ? n ? sin ? ? cos? ? n ? sin ? ? cos? ? 即, n ?

2 2 2 ? n? ? 2 ,由绝对值的意义可知, n ? .????10 分 2 2 2


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