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自动控制原理 ch04


第4章

经典的控制工程数值与计算工具

教学提示:针对线性时不变(LTI)系统,从概念和如何应用方面讲述了分析系统动态性 能的 5 种经典方法。数值与计算工具是分析和设计控制系统的基础,应用数学工具对系统 中的信息传递与转换关系进行定量分析,然后由这些定量关系预见系统的行为,从而对工 程实践进行指导。 教学要求:本章让学生掌握控制工程分析中常用的经典解析、数值仿真方法和计算工 具,为后续的系统进行分析和设计打好基础。应重点掌握系统零、极点与系统动态性能的 关系,会应用 MATLAB 绘制系统的 Nyquist 图、Bode 图及根轨迹图。

4.1

数 值 仿 真

许多科学计算问题来源于工程实际,其目的在于理解自然现象、解决工程实际问题和进 行最优设计等。自动控制原理的主要任务就是分析和设计系统。应用数值仿真工具对系统的 微分方程直接进行理论分析和研究,增强了人们对物理系统或过程的认知能力。过去受工 具限制,图表或图解方法占主导地位。随着计算机技术的普及,时域的分析越来越广泛。 4.1.1 数值积分法 函数 f ( x) 在区间[a,b]上连续且其原函数为 F(x),则可以使用牛顿—莱布尼兹公式
b

I [ f ] = ∫ f ( x)dx = F (a) ? F (b)
a

求取定积分的数值。这种方法虽然在理论上或者解决实际工程问题中起了很大作用,但并 不能完全解决定积分的计算问题。比如有些形式上非常简单的函数 lnx, e x 等的原函数不 能用初等函数表示成有限的形式;有些被积函数,其原函数可以用初等函数表示成有限的 形式,但其原函数表达式可能相当复杂;有不少情况,被积函数不是具体的表达式,而是 由表格或图形给出的试验观测的一些数据点,这三种情况都不能使用牛顿—莱布尼兹公式 来求取积分值。这就需要用数值积分法来计算,在上述三种情形中找到一个足够精度而且 简单的函数 P(x)代替原来的 f (x),求定积分
2


b a

b

a

f ( x)dx ≈ ∫ P( x)dx
a

b

的曲边梯形的面积,计算积分的困难就在于曲边梯形的 y = f ( x) 这一曲边。用直线、抛物

积分值 I [ f ] = ∫ f ( x) dx 在几何意义上可以解释为由 x = a, x = b, y = 0, y = f ( x) 所围成

线等代替曲边时,计算面积就比较容易,可以求出曲边梯形面积的近似值,从而得到积分 的近似值。 我们用函数 f (x)的拉格朗日插值多项式的积分 Q[ f ] 来近似代替 I [ f ] , 从而得到各种数 值积分公式。设拉格朗日多项式 Ln ( x) 的插值节点为

第4章

经典的控制工程数值与计算工具
< xn ≤ b
b n

·77·

a ≤ x0 < x1 <

则有


其中

b

a

f ( x)dx = ∫

a

∑l
i =0 b a

n ,i

( x) f ( xi )dx
n

= ∑ ( ∫ ln ,i ( x)dx) f ( xi ) = ∑ Ai f ( xi )
i =0 i =0

n

(4-1)

Ai = ∫ ln ,i ( x)dx
a

b

=∫

b

a

( x ? x0 ) ( x ? xi ?1 )( x ? xi +1 ) ( x ? xn ) dx ( xi ? x0 ) ( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 ) ( xi ? xn )
n

=∫

b

a

∏x
j ≠i j =0

x ? xj
i

? xj

dx

(4-2)

因此,可得插值型积分公式

I [ f ] = ∫ f ( x)dx ≈ Q[ f ] = ∑ Ai f ( xi )
b a i =0

n

(4-3)

式中, Ai 为求积系数,它仅与节点有关而与被积函数无关。定积分的真值 I [ f ] 与近似值

Q[ f ] 之差称为截断误差,记作 R[ f ] 。显然,当 f ( x) ∈ C n +1[a, b] 时,有
R[ f ] = I [ f ] ? Q[ f ] = ∫ f ( x)dx ? ∑ Ai f ( xi )
b a i =0 n

= ∫ f [ x0 , x1 ,
a

b

, xn , x]ω n ( x)dx (4-4)

=
其中, ω n ( x) = ( x ? x0 )( x ? x1 )

b 1 ( n +1) ∫a f (ξ x )ωn ( x)dx (n + 1)! ( x ? xn ), ξ x ∈ [a, b]

如果求积式(4-3)中取等距节点 xi = a + hi, h = (b ? a) / n, i = 0,1,

,n

则得到 Newton-Cotes 求积公式。此时求积系数为 (?1)n ?i h n Ai = t (t ? 1) (t ? i + 1)(t ? i ? 1) (t ? n)dt i !(n ? i )! ∫0 n A 记作 Ci ( n ) = i ,称之为 Cotes 系数,且满足关系 ∑ Ci ( n ) = 1 b?a i =0
b?a h [ f (a) + f (b)] = [ f (a ) + f (b)] 2 2 2 其中 h = b ? a 。当 f ( x) ∈ C [a, b] 时,相应的截断误差为

(4-5)

当 n=1 时,得梯形公式



b

a

f ( x)dx ≈

(4-6)

R[ f ] = ∫ f [a, b, x]( x ? a )( x ? b)dx
a

b

=?

1 f '' (η ) (b ? a )3 = ? h3 f '' (η ), η ∈ [a, b] 12 12

(4-7)

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自动控制原理

当 n=2 时,得到抛物线求积公式,也就是辛普生(Simpson)公式 h a+b I [ f ] ≈ [ f (a ) + 4 f ( ) + f (b)] 3 4 b?a 其中 h= (4-8) 2 当 f ( x) ∈ C 4 [a, b] 时,相应的截断误差为 1 R[ f ] = ? h5 f (4) (η ), η ∈ [a, b] 90 为提高计算精度, 在实际应用中常采用 Newton-Cotes 公式的复化形式。 对于梯形公式, 将积分区间[a,b]分成 n 个等长的小区间,在每个小区间上应用梯形求积公式,然后相加便 得到复化梯形求积公式。 令 h = (b ? a) / n, xi = a + ih(i = 0,1, 2, ) ,在每个小区间上利用梯形求积公式得
I [ f ] = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx +
x0 x1 x1 x2

+∫

xn

xn ?1

f ( x)dx

h h h ≈ [ f ( x0 ) + f ( x1 )] + [ f ( x1 ) + f ( x2 )] + + [ f ( xn ?1 ) + f ( xn )] 2 2 2 1 1 = h[ f (a ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ?1 ) + f (b)] 2 2 2 当 f ( x) ∈ C [a, b] ,推导得到梯形求积公式的截断误差估计公式

(4-9)

R[ f ] = ?

h3 [ f ′′(η1 ) + f ′′(η2 ) + + f ′′(ηn )] 12 nh3 h2 =? f ′′(η ) = ? (b ? a ) f ′′(η ) 12 12 2 = O(h )

(4-10)

在求解积分的过程中先由误差公式确定满足精度要求的步长,然后计算求解,往往在 实际问题的求解过程中函数的导数难以估计,给出问题所需的计算精度后,用定步长方法 求积分不实用,因此考虑应用变步长来求取积分值。为缩小步长之前数值积分公式的节点 仍为缩小步长之后的数值积分公式的节点,一般采用逐步减半的方式。对复化梯形求积公 式,记 xi = a + ih , i = 0,1 , h(n为偶数) ,则有 1 1 T (2h) = 2h[ f (a) + f ( x2 ) + f ( x4 ) + + f ( xn ? 2 ) + f (b)] 2 2 1 1 (4-11) T (h) = h[ f (a ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ?1 ) + f (b)] 2 2 1 = T (2h) + h[ f ( x1 ) + f ( x3 ) + + f ( xn ?1 )] 2 2 当 f ( x) ∈ C [a, b] 时,有

(2h)2 (b ? a) f ′′(ηn ) 12 (2h)2 (b ? a ) f ′′(η2 n ) I [ f ] ? T ( h) = ? 12 I [ f ] ? T (2h) = ?

(4-12) (4-13)

·78·

第4章

经典的控制工程数值与计算工具

·79·

式中,当 n 充分大时, η 满足条件 f ′′(η ) ≈ 计(后验估计)为

1 b f ′′( x)dx ,推导得出 T (h) 的事后误差估 b ? a ∫a

1 I [ f ] ≈ T (h) + [T (h) ? T (2h)] 3

(4-14)

1 可以使用 [T (h) ? T (2h)] 作为公式 T(h)的截断误差估计。类似地,可以得出辛普生外 3 推公式 1 I [ f ] ≈ S (h) = T (h) + [T (h) ? T (2h)] (4-15) 3 当 f ( x) ∈ C 4 [a, b] 时,导出事后误差估计为 1 I [ f ] ≈ Sk +1 + ( Sk +1 ? Sk ) 15 b?a Sk ≈ S ( k ) 其中 (4-16) 2 事实上,只要函数 f (x)在区间[a,b]上充分光滑,复化梯形公式 1 1 T (h) = h[ f (a ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ?1 ) + f (b)] 2 2 的截断误差有如下的渐进展开式: I [ f ] ? T (h) = K1h 2 + K 2 h 4 + K 3 h6 + + K j h 2 j +

利用李查逊外推公式可以得到
h Tk (h) = Tk ?1 ( ) + 2 T0 (h) = T (h) 。此时 h Tk ?1 ( ) ? Tk ?1 (h) 2 , 4k ? 1
k = 1, 2,

(4-17)

其中

I [ f ] ? Tk [h] = O(h 2( k +1) )

(4-18)

上述方法称为龙贝格数值积分法。 数值积分的算法还有高斯(Gauss)型及奇异积分等几种形式,在这里不再一一介绍,在 下面应用 MATLAB 的实现中直接应用。 一元函数的积分有开型和闭型之分,函数的闭型积分,MATLAB 提供了一元函数积分 的函数命令 q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2, ) 采用递推自适应 Simpson 法计算积分 q=quadl(fun,a,b,tol,trace,p1,p2, ) 采用递推自适应 Lobatto 法求积分 式中,fun 是被积函数;a,b 是积分上、下限;tol 为标量控制绝对误差,默认为 10-6,其他 几项可以默认。 对于一元函数的开型数值积分,MATLAB 提供了 Gauss10 参数积分法。 4.1.2 计算实例 【例 4.1】 应用 MATLAB 函数命令实现
1

I = ∫ e ? x dx ,要求其精确度为 0.74684204
2

0

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自动控制原理

解:(1) 应用函数命令 quad()、quadl()实现。
fun=inline(‘exp(-x.*x)’,’x’) Isim=quad(fun,0,1) IL=quadl(fun,0,1) Isim=0.7468 IL=0.7468

(2) 应用样条函数积分。
xx=0:0.1:1.5;ff=exp(-xx.^2) pp=spline(xx,ff); int_pp=fint(pp); Sp=ppval(int_pp,[0,1])*[-1;1]) Sp=0.7468 %产生被积函数的表格数据 %由表格数据构成样条函数 %求样条积分 %计算[0,1]区间的定积分

【例 4.2】 应用 MATLAB 函数命令实现 1 1 π I = ∫ ln dx ,准确度结果是 = 0.8862269 0 x 2 解:编制 MATLAB 程序如下:
ff=inline(‘sqrt(log(1./x))’’x’) lg=gauss(ff,0,1) 执行结果为 Lg=0.8862

4.2

回路与闭环传递函数

反馈控制系统的传递函数,一般可以由组成系统的元部件的运动方程求得,但更为方 便的是应用系统的结构图和信号流程图求取。 在信号流程图中定义起点和终点在同一节点, 而且信号经过每一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路。 我们考察具有扰动作用下的闭环控制系统如图 4.1 所示,它代表了常见闭环系统的一 般形式。按照闭环传递函数的推导方法,求取闭环控制系统任一对输入与输出间的传递函 数公式。

图 4.1 具有扰动作用的闭环传递函数

首先,定义开环传递函数:以误差信号 E ( s ) 作为输入,反馈信号 B( s ) 作为输出时,反 馈信号与误差信号的比值称为开环传递函数,即 B( s) = G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 开环传递函数 = E (s)
·80·

(4-19)

第4章 递函数,即

经典的控制工程数值与计算工具

·81·

再定义前向通道的传递函数: 系统输出量 C ( s ) 与误差信号 E ( s ) 的比值称为前向通道传

C (s) (4-20) = G1 ( s )G2 ( s ) E (s) 可以看出,当反馈传递函数 H ( s ) = 1 时,则系统开环传递函数和前向通道传递函数相
前向通道传递函数 = 等。这种结构对控制系统的理论分析和研究具有重要的意义,带来许多方便。至此,可以 给出单回路闭环系统传递函数的一般公式为 前向通道传递函数 闭环传递函数 = (4-21) 1 + 开环传递函数 该公式提供了直接给出系统闭环传递函数的快捷公式,同时该闭环传递函数的公式与 各种定义的传递函数联系在了一起,也就必然将闭环系统的动态性能与开环传递函数的性 能联系到一起,即和前向通道的元件和反馈通道的元件的动态特性联系在了一起。 对于图 4.1 所示的两个输入量同时作用于一个线性系统的情况,可以使用叠加定理进 行处理。假设系统在开始时处于静止状态,并且假设输出和误差均为零,分别讨论各输入 量单独作用时产生的响应,按照式(4-21)有以下情况。

1. 输入信号作用下的闭环传递函数
令 N ( s ) = 0 ,可直接求得输入信号 R( s ) 和输出信号 CR ( s ) 之间的传递函数为 C (s) G1 ( s )G2 ( s ) ΦR ( s ) = R = R( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 由 ΦR ( s ) 可进一步求得在输入信号下系统的输出量为 G1 ( s )G2 ( s ) CR ( s ) = ΦR ( s ) R( s ) = ? R( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )

(4-22)

(4-23)

式 (4-23) 表 明 系 统 在 输 入 信 号 作 用 下 的 输 出 响 应 取 决 于 系 统 的 闭 环 传 递 函 数 CR ( s ) / R( s ) 及输入信号 R( s ) 的形式。

2. 扰动作用下的闭环传递函数
令 R( s ) = 0 ,使用梅逊公式或系统结构图改画成图 4.2 的系统结构图,可求得扰动

N ( s ) 作用到输出量 C N ( s ) 之间的闭环传递函数。

图 4.2 扰动输入下的系统结构图

ΦN ( s ) =

CN (s) G2 ( s ) = N ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) G2 ( s ) ? N (s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )

(4-24)

同样,扰动作用下系统的输出响应为

CN ( s ) = ΦN ( s ) N ( s ) =

·81·

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自动控制原理

当输入信号 R( s ) 和扰动信号 N ( s ) 共同作用于系统时的输出响应为 C ( s ) = CR ( s ) + C N ( s )

=

1 [G1 ( s )G2 ( s ) R( s ) + G2 ( s ) N ( s )] 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )

上式中,如果 | G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) |

1和 | G1 ( s ) H ( s ) | 1 的条件下,则有 1 ? R( s) (4-25) C ( s) = H (s) 从式 (4-25) 可以看出,系统的输出仅取决于反馈通道的传递函数 H ( s ) 和输入信号

R( s ) ,既与系统前向通道的传递函数无关,也与系统的扰动输入无关,具有很强的扰动抑
制能力。

3. 闭环系统的误差传递函数
闭环系统在输入信号和扰动信号作用下,以误差信号 E ( s ) 作为输出的传递函数叫做误 差传递函数。系统结构图如图 4.3(a)、(b)所示。

(a) 输入为 R(s)

(b) 扰动输入 N(s) 图 4.3 以误差 E(s)为输出的系统结构图

φER ( s ) = φEN ( s ) =

ER ( s ) 1 = R( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) EN ( s) G2 ( s ) H ( s ) =? N (s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )

(4-26)

显然,系统的误差输出为 E ( s ) = ER ( s ) + E N ( s )

=

?G2 ( s ) H ( s ) 1 R( s) + N (s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
1和 | G1 ( s ) H ( s ) |

(4-27)

从式(4-27)可以得到,在 | G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) |

1 的条件下,有 E ( s ) → 0 ,

说明系统具有很强的外部扰动抑制能力。同时,对比系统的各种传递函数可以看出,对于 给定的一个系统,不管外部输入信号是何种形式和作用于系统的哪一个输入端,输出信号
·82·

第4章

经典的控制工程数值与计算工具

·83·

是哪一个变量,得到的传递函数分母相同,也就是具有相同的特征方程。这就是,系统的 闭环极点与闭环零点与外部输入信号的形式和作用点及系统的输出信号的选取无关,仅取 决于闭环特征方程的根,与外部激励无关。

4.3

系统零点与极点的计算

一个控制系统的性能是否满足要求,要通过解的特征来评价。传递函数是一个函数, 所以显得比微分方程紧凑,处理也方便,可以利用微分方程的解与闭环传递函数特征根的 对应关系,在 S 域进行分析评价。对于 LTI 系统来说,当传递函数为有理真分数式时,系 统的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点和传递函数。因此研究传递函数,首先要 研究系统的极点和零点。 4.3.1 零点与极点的定义 传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后可写为如下形式:

G(s) =
式中, zi (i = 1, 2,

b0 ( s ? z1 )( s ? z2 ) ( s ? zm ) = K? a0 ( s ? p1 )( s ? p2 ) ( s ? pn )

∏ (s ? z )
i

m

∏ (s ? p j )
j =1

i =1 n

(4-28)

, m) 是分子多项式的零点,称为传递函数的零点; p j ( j = 1, 2,

, n) 是分母

多项式的零点,称为传递函数的极点,传递函数的零点和极点可以是实数,也可以是复数; 系数 K ? = b0 / a0 ,称为传递系数或根轨迹增益。 在复数平面上表示传递函数的零点和极点时,称为传递函数的零极点分布图。在图中 一般用“ ”表示零点,用“ × ”表示极点。传递函数的零极点分布图可以更形象地反映 系统的全面特性。 传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后也可写为如下因子连乘积的形式: 2 b (τ s + 1)(τ 2 s 2 + 2ξτ 2 + 1) (τ i s + 1) G(s) = m 1 (4-29) an (T1 s + 1)(T22 s 2 + 2ξ T2 s + 1) (T j s + 1) 式中,一次因子对应于实数零极点,二次因子对应于共轭复数零极点, τ i 、 T j 称为时间常 数。传递函数的这种表示形式在频率法中使用较多。 4.3.2 零点与极点的分布及系统闭环响应 由于传递函数的极点就是微分方程的特征根,因此它们决定了所描述系统自由运动的 模态,而且在强迫运动中(即零初始条件响应)也会包含这些自由运动的模态,现举例说明。 设某系统传递函数为 C (s) 6( s + 3) = G(s) = R( s ) ( s + 1)( s + 2) 显然, p1 = ?1, p2 = ?2 是其极点, z = ?3 是其零点,自由运动的模态是 e? t 和e?2t 。当 r r r (t ) = r1 + r2 e?5t 时,即 R(s)= 1 + 2 时,可求得系统的零初始条件响应为 s s+5
·83·

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自动控制原理
? 6( s + 3) r r ? ? ( 1 + 2 )? c(t ) = L?1 [C ( s ) ] = L?1 [G ( s ) R( s ) ] = L?1 ? ? ( s + 1)( s + 2) s s + 5 ? ?5 t ?t = 9r1 ? r2 e + (3r2 ? 12r1 )e + (3r1 ? 2r2 )e?2t

式中,前两项具有与输入函数 r(t)相同的模态,后两项中包含由极点-1 和-2 所形成的自由 运动模态,这是系统“固有”的成分,但其系数却与输入函数有关,因此可以认为这两项 是受输入函数激发而形成的。这意味着传递函数的极点可以受输入函数的激发,在输出响 应中形成自由运动的模态。

1. 传递函数的极点决定系统的稳定性、灵敏度
当极点具有负的实部或为负实数时,对应的系统运动模态一定是收敛的。当 t → ∞ 时, 模态函数趋向到零,最终消失,这就是运动的暂态过程。当所有的极点都具有这一特点时, 所有的自由模态都会收敛最终趋于零。因此,模态的敛散性取决于相应的极点,也就是系 统的稳定性取决于极点的位置。在零极点分布图上,若全部的极点都在复平面的左侧,则 系统是稳定的。模态在随着时间的逐步增加,收敛的速度体现了系统过渡过程的时间长短 或快慢,也就反映了系统的输出跟踪输入的速度即灵敏度的问题。

2. 系统传递函数的零点决定运动模态的比重
传递函数的零点不形成自由运动的模态,但它们却影响各模态在系统响应输出中所占 的比重,因而也影响响应曲线的形状。 设某对象的传递函数为 3(2 s + 1) G1 ( s ) = ( s + 1)( s + 3) 系统有两个极点: p1 = ?1, p2 = ?3 ; 一个零点z1 = ?0.5 ,求其单位阶跃响应为 3(2s + 1) 1 c1 (t ) = L?1[ ? ] = 1 + 1.5e ? t ? 2.5e?3t ( s + 1)( s + 3) s 若调整为 z2 = ?0.83 ,接近了极点 p1 = ?1 ,此时的单位阶跃响应为 3(1.2s + 1) 1 c2 (t ) = L?1[ ? ] = 1 + 0.3e? t ? 1.3e?3t ( s + 1)( s + 3) s 零点位置变化前后的响应曲线如图 4.4 所示。 可见,系统的极点不变,运动模态不变,改变零点仅改变系统两个模态在系统响应中 比重。零点距离极点较远时,模态所占比重较大,零点逐步地靠近极点时,相应的模态在 响应中所占的比重逐渐地变小,直至零极点相互抵消时,相应的模态也就消失了,致使运 动模态被掩藏,使得系统运动的表面成分发生变化。 在系统分析的过程中,对于高阶次的系统,计算它的零极点的过程中手工计算会相当 费时。MATLAB 提供了预先定义的函数,可以在进行分析应用的过程中直接进行调用。利 用 MATLAB 提供的 pzmap 函数可以较为方便地绘制出系统的零极点图,也可以利用 tf2pz 命令来求取系统的零极点, 还可以应用 root 函数来求取分母多项式的根来确定系统的极点。 MATLAB 采用矩阵式数据形式,使用 num 和 den 来表示系统数学模型 G(s)的分子、分母 多项式的系数,由 tf(num,den)得到系统的数学模型的表达式。

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第4章

经典的控制工程数值与计算工具

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图 4.4 系统响应曲线图

编制如下程序,绘制上例中系统 G1 ( s ) =

3(2 s + 1) 的零极点图、求解零极点及增益 K ( s + 1)( s + 3)

MATLAB Program 4-1 Findzp.m %THis program creat a transfer function and find its %poles zeros %&gain,plot its poles_zeros map. num=[6 3]; den=[1 4 3]; [z,p,K]=tf2zp(num,den) pzmap(num,den) title('Pole-zero Map')

屏幕上显示零极点及增益 K 的数值如下:
z = -0.5000 p =-1 -3 K = 6

同时自动打开一个图形窗口,显示零极点的分布如图 4.5 所示。

图 4.5

MATLAB Program4-1 运行结果 ·85·

·86·

自动控制原理

4.4

频域 Nyquist 方法

控制系统的性能用阶跃响应分析,可以求出输出量随时间变化的全过程,因而比较直 观、准确。但是,在系统比较复杂时,求解计算的工作量大而且繁琐,特别是当需要改变 系统的某些参数或需要加进某些环节改变系统结构来改变系统性能时,就得重新计算,才 能知道结果,因而使用时域阶跃响应直接求解的方法用于工程实际并不方便。同时在分析 系统的过程中,也不一定要把输出量的变化过程全部准确的计算出来,因此提出了分析和 研究控制系统的工程方法——频率特性法。 4.4.1 频率特性的概念 下面以 RC 网络为例来说明频率特性的概念。如图 4.6 所示一阶系统的传递函数为

图 4.6

RC 网络

G(s) =

C (s) 1 1 = = R( s ) RCs + 1 Ts + 1

(4-30)

式中, T = RC 是时间常数。 如果系统输入为正弦信号 r (t ) = A sin ω t 则系统的输出为
1 A ? Ts + 1 s 2 + ω 2 经拉氏反变换得到时域输出响应 t AωT ? T A c(t ) = e + sin(ω t ? arctan ωT ) 2 2 1+ω T 1 + ω 2T 2 C (s) =

(4-31)

(4-32)

式(4-32)中系统的瞬态分量随着时间的增加最终趋向于零,稳态分量的数值为 A lim c(t ) = sin(ω t ? arctan ωT ) t →∞ 1 + ω 2T 2

(4-33)

由上面的推导可以看出,系统的输出仍旧是正弦信号,而且输出信号的频率与输入信 号的频率相同,变化的仅是输出信号的幅值和相位。可见,1 1 + ω 2T 2 和 ? arctan ωT 都是 输入电压频率 ω 的函数,也就有
G ( jω ) = 1 1+ω T
2 2

? e? jarctan ωT =

1 1 + jω T

(4-34)

描述了网络在正弦输入电压作用下,系统稳态输出时的幅值和相角随输入信号频率的

·86·

第4章 变换规律,因此

经典的控制工程数值与计算工具

·87·

1 称为 RC 网络的频率特性。可以看出,将式(4-30)以 s 置换就得到 1 + jω T 1 1 = | s = jω 1 + jωT 1 + Ts

网络的频率特性,即

(4-35)

这一重要的结论,同样适用于任何稳定的线性定常系统,现加以证明。 对于图 4.7 所示的线性定常系统,可以列出表示输出 C ( s ) 和输入量 R( s ) 的函数关系

图 4.7 一般线性定常系统

b s m + b1 s m ?1 + + bm ?1 s + bm C (s) = G(s) = 0 n R( s) s + a1 s n ?1 + + an ?1 s + an

(4-36)

如果在信号的输入端加一个时间的谐波函数, 也就是 r (t ) 是正弦函数 sin ω t 和余弦函数

cos ω t 的线性组合,或者用下式表示 r (t ) = r0 ? cos(ω t + ? )
由于
r0 jω t r0 ? jω t e + e 2 2 b0 s m + b1 s m ?1 + + bm ?1 s + bm r0 jω t r0 jω t ( e + e ) C ( s) = G ( s) R( s) = n 2 s + a1 s n ?1 + + an ?1 s + an 2 r (t ) = r0 ? cos(ω t ) =

(4-37)

(4-38)

所以

B C D =∑ i + + s ? jω s + jω i =1 s ? si
将式(4-39)取拉氏反变换,得

n

(4-39)

式中, si 为系统互异的特征根,也就是系统的互异极点; C , B, D 均为相应极点处的留数。

c(t ) = L?1[C ( s )] = ∑ Bi e s t + Ce jω t + De? jω t
i

n

(4-40)

i =1

对于稳定系统,特征根 si 具有负实部,则系统响应 c(t ) 的第一部分瞬态分量,将随时 间 t 延续逐渐消失,从而系统稳态分量为 c(t ) = Ce jω t + De? jω t 其中,式(4-41)中可以根据留数定理来求得 C , D 的数值
C = C ( s )( s ? jω ) |s = jω = G ( s ) R ( s )( s ? jω ) |s = jω = G ( jω ) r0 2 r0 2

(4-41)

(4-42) (4-43)

D = C ( s )( s + jω ) |s =? jω = G ( s ) R( s )( s + jω ) |s =? jω = G (? jω )

所以系统的稳态分量输出为
c(t ) = G ( jω ) r0 jω t r e + G ( ? jω ) 0 e ? j ω t 2 2 r0 r jω t +∠G ( jω ) = | G ( jω ) | e + 0 | G (? jω ) | e? jω t +∠G ( ? jω ) 2 2

(4-44)
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·88·

自动控制原理

使用欧拉公式,将式(4-44)整理得到系统的稳态响应输出为 c(t ) = r0 | G ( jω ) | cos(ω t + ∠G ( jω )) 可得系统的频率特性为

(4-45) (4-46)

G ( j ω ) = G ( s ) | s = jω

由式(4-46)可以得出结论:系统的频率特性就是,线性系统或环节在正弦输入信号作用 下,稳态输出与输入信号复数符号之比对频率的关系特性,反映了系统对正弦信号的传递 能力。频率特性是系统传递函数的特例,与传递函数和微分方程一样,同样表征了系统的 运动规律,即 C ( jω ) =| G ( jω ) | ∠G ( jω ) (4-47) G ( jω ) = R ( jω ) 式中, | G ( jω ) | 表示了稳态输出与输入振幅之比,称为系统的幅频特性,记作 A(ω ) =| G ( jω ) | (4-48) ∠G ( jω ) 表示了系统输出与输入相位之差,称为系统的相频特性,记作 ? (ω ) = ∠G ( jω ) (4-49) 在工程分析和设计中,通常要把系统的频率特性要绘制成曲线,从曲线出发去进行研 究。为了掌握频率特性分析法,下面介绍频率特性的两种图形表示法。

1. 幅相特性曲线
幅相特性曲线也称极坐标曲线,其特点是把频率看成参变量,当 ω 从 0 变化到 ∞ 时, 将频率特性的幅频特性和相频特性同时表示在同一个复数平面上。对于图 4.6 中所得到的 一阶系统的频率特性为 1 1 G ( jω ) = | s = jω = ∠(? arctan ωT ) 2 2 Ts + 1 T ω +1 列出幅频特性和相频特性随频率变化的数据(见表 4-1),绘制幅相频率特性曲线,如 图 4.8 所示。
表 4-1 幅频特性和相频特性数据 2/T 0.45 -63.5 3/T 0.32 -71.5 4/T 0.24 -76 5/T 0.20 -78.7

ω
1/ 1 + ω T
2 2

0 1 0

1/(2T) 0.89 -26.6

1/T 0.707 -45


0 -90

? arctan ωT

图 4.8 ·88·

RC 网络的幅相频率特性曲线

第4章

经典的控制工程数值与计算工具

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图中,实轴正方向为相角零度线,逆时针方向角度为正角度,顺时针角度为负角度。对应 1 于一个确定的频率, 必定有一个幅频特性的幅值和相频特性的相角与其对应。 比如,ω = T 1 时,有 = 0.71和 ? arctan ωT = ?45 。幅值 0.71 和相角 ? 45 复平面上代表一个矢 ω 2T 2 + 1 量。频率从零变化到无穷大时,相应矢量的矢端就描绘出一条曲线,该曲线就是系统的幅 相频特性曲线。

2. Bode 图 Bode 图又称为对数频率特性曲线,包括对数幅频和对数相频两条曲线。对数频率特性 曲线的横坐标是频率 ω ,并按对数分度,单位是弧度/秒(rad/s),对数幅频特性的纵坐标表 示对数幅频特性的函数值,均匀分度,单位是分贝(dB)。 频率特性的对数幅频特性定义如下: L(ω ) = 20lg A(ω ) (4-50)
对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值,均匀分度,单位是度( )。 ω 从 1 到 10, ω 与对数分度 lg ω 的对应关系如表 4-2 所示。
表 4-2

ω 从 1 到 10 的对数分度
5 0.699 6 0778 7 0.845 8 0.903 9 0.954 10 1

ω
lg ω

1 0

2 0.301

3 0.477

4 0.602

Bode 图的坐标系如图 4.9 所示。

图 4.9

Bode 图的坐标图

该坐标系为半对数坐标,优点是: (1) 横坐标轴按频率的对数 lg ω 标尺刻度,但标出的是频率 ω 本身的数值,所以横轴 的刻度是不均匀的,横轴压缩了高频段,扩展了低频段。 (2) 可以将幅值的乘除运算化简为加减运算。 (3) 在 ω 轴上,对应于频率每变化一倍,称为一倍频程,例如 ω 从 1 到 2,2 到 4,10 到 20 等,其长度相等。对应于频率每增大 10 倍的频率范围,称为十倍频程(dec),所有十
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自动控制原理

倍频程在 ω 轴上地长度相等。 (4) 可以采用简单的方法绘制近似的对数幅频特性曲线。 (5) 对于难以建立传递函数的环节或系统,可以将试验获得的频率特性试验数据化成 频率特性曲线,能较为方便地进行系统分析。 4.4.2 频率特性曲线的绘制 由于闭环频率特性徒手作图困难,需要借助于计算机以及专用格式的表格,因此近些 年以来应用逐渐减少。而系统的开环频率特性能够比较容易地绘制出,且可以利用所做出 的开环频率特性曲线对系统进行分析。

1. 用幅频特性和相频特性计算作图
开环频率特性可以表成典型环节连乘的形式,利用相应的典型环节的幅频特性和相频 特性的表达式来表示开环幅频特性和相频特性。 设开环频率特性为 Gk ( jω ) = G1 ( jω )G2 ( jω ) Gn ( jω ) = A(ω ) ? e j? (ω ) (4-51) 式中

A(ω ) = A1 (ω ) A2 (ω )

An (ω ) = ∏ Ai (ω )
i =1

n

? (ω ) = ∑ ?i (ω )
i =1

n

分别计算出各环节的幅值和相角后,按上式就可以计算出开环幅值和相角,从而便可以绘 制出幅相频率特性曲线。

2. 按实频特性和虚频特性计算作图
把开环频率特性按实部和虚部分开,然后用一系列 ω 值代入,计算出相应的实部和虚 部,绘制出开环幅相曲线。

3. 由系统的零极点图绘制幅相频率特性曲线
由开环传递函数的零极点形式先标出每一个零点和极点,当 s = jω 时,可以作出相应 零点和极点所对应的矢量(频率特性矢量),根据所对应的 ω 的数值,计算出有关矢量的长 度和角度,就能得到系统的频率特性。 【例 4.3】 如图 4.10 所示 RC 网络,其传递函数为 G ( s ) = 求其频率特性。

Ts 式中 T = RC ,由极零点图 Ts + 1

图 4.10 一阶网络图

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第4章 解:RC 网络的频率特性为

经典的控制工程数值与计算工具

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G ( jω ) =

s s + 1/ T

其极零点图如图 4.11 所示。

A(ω ) =
相频特性为

| jω | | jω + 1/ T |

? (ω ) = ∠jω ? ∠( jω + 1/ T )
G ( j0) = 0∠90 1 G ( j ) = 0.707∠45 T G ( j∞) = 1∠0

极坐标图从原点开始而终止于(1,j0),位于第一象限,如图 4.12 所示。

图 4.11

RC 网络的极零点图

图 4.12

RC 网络的极坐标图

4. 开环幅相特性曲线的近似绘制
在分析系统的过程中一般不要求精确地绘制系统的幅相特性曲线,但必须正确地估计 曲线的形状。因此,需要掌握开环幅相特性曲线的在起点 ω = 0 ,终点 ω → ∞ 的特点,以 及与坐标轴交点的情况,以定性的绘制出开环幅相频率特性曲线。 下面定性的来讨论控制系统开环频率特性的一些特点。开环频率特性 Gk ( jω ) 可以表示 为

Gk ( jω ) =

k ? sv

∏ (τ k s + 1) ? ∏ (τ l 2 s 2 + 2ξlτ l s + 1) ∏ (T s + 1) ? ∏ (T
i i =1 j =1 k =1 n1 l =1 n2 2 2 j

m1

m2

(4-52)

s + 2ξ jT j s + 1)

1) 极坐标图的起点 极坐标图的起点是 ω → 0 时 Gk ( j0) 在复平面上的位置。根据零极点图可以得到对于 0
型系统,有

Gk ( j0) = ∠0
起始于正实轴上数值等于 k 的一点。

(4-53)

·91·

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自动控制原理

对于 I 型及 I 型以上系统,有

Gk ( j0) =
系统的模值为

k ( jω ) v

|ω →0

(4-54)

| Gk ( j0) |→ ∞

(4-55)

相角为



k π |ω →0 = ?v ? ( jω ) v 2

(4-56)

所以,系统的幅相频率特性曲线的起点与系统的型次有关。图 4.13 所示为系统不同型 次的特性曲线的起点。

图 4.13 不同型次系统幅相频率特性曲线的起点

图 4.14 不同系统的幅相频率特性终点的趋势

2) 幅相特性曲线的终点 幅相曲线的终点是 ω → +∞ 时在复平面上的位置。当 ω → +∞ 时,有 k Gk (+ j∞) → |ω →+∞ ( jω ) n ? m
所以,系统频率特性的模值为 k | |ω →+∞ → 0 ( jω ) n ? m 相频特性为

(4-57)

(4-58)



k π = ?( n ? m) ? n?m ( jω ) 2

(4-59)

所以,系统幅相特性曲线的终点趋向于坐标原点,入射角取决于系统的频率特性表达 式分母多项式的阶次与分子多项式阶次之差 n ? m 。 不同系统的幅相频率特性终点的趋势如 图 4.14 所示。 3) 幅相频率特性曲线与坐标轴的交点 幅相特性曲线与坐标轴实轴的交点对应的是频率特性的虚部等于零的点,因此,可以 使用解析法计算特性曲线与坐标轴相交的点。令 Im Gk ( jω ) = 0 ,解得 ω ,再把 ω 代入
Re Gk ( jω ) ,即得到幅相频率特性曲线与坐标轴的交点。

根据上述三条就可以定性地作出开环频率特性的 Gk ( jω ) 幅相频率特性曲线草图。 利用 MATLAB 绘制系统的幅相频特性曲线,所用到的命令主要是 Control System Toolbox 中的 nyquist, ngrid 等函数。当 nyquist 命令中不含有左端变量时,仅在屏幕上产生 nyquist 曲线。函数命令如下:
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第4章
nyquist(num,den)

经典的控制工程数值与计算工具

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将画出系统 G ( s ) =

num( s ) ,式中 num 和 den 包含以 s 的降幂排列的多项式的系数。当 den( s )

命令中包含左端变量时,即
[re,im,w]=nyquist(num,den) 或[re,im,w]=nyquist(num,den,w)

MATLAB 将系统的频率响应表示成矩阵 re,im 和 w,在屏幕上不产生图形。矩阵 re 和 im 包含频率响应的实部和虚部,它们都是在矢量 w 中指定的频率点上计算得到。 【例 4.4】 利用 MATLAB 绘制某开环传递函数为 40 G(s) = ( s + 5)( s ? 2)
的系统 Nyquist 图,判定系统的稳定性,并求取系统的单位阶跃响应。 解:利用 Nyquist 函数来绘制 Nyquist 曲线,根据 Nyquist 稳定判据判断系统的稳定性, 最后利用 cloop 函数求得系统的闭环传递函数,应用 step 命令求得系统的单位阶跃响应。 完成以上任务的程序为 MATLAB Program 4-2。
%nyquist plot k=40; z=[]; p=[-5 2]; [num,den]=zp2tf(z,p,k) figure(1) nyquist(num,den) title('Nyquist Plot') figure(2) [num1,den1]=cloop(num,den) step(num1,den1) title('Step Respons')

执行该程序后,运行结果如图 4.15、图 4.16 所示。

图 4.15 例 4.13 系统 Nyquist 图

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自动控制原理

图 4.16 闭环系统单位阶跃响应

4.4.3 频谱、带宽和滤波器 一个周期为 T0 的连续时间信号 x(t ) 可以表示成一组谐波关系的复指数信号的线性组 合,也就是由关系式

x(t ) =
Ak =

k =?∞

∑ Ae
k

+∞

jk Ω0 t

, (Ω0 = 2 π / T0 )
0

(4-60) (4-61)

1 T0



T0

x(t )e? jk Ω t dt

定义的一个周期函数的傅里叶级数。傅里叶级数的物理意义在于它揭示了周期信号是 由一系列谐波信号叠加而成,对每一个复指数分量 Ak e jk Ω t 来说,只要知道了一个周期信号
0

所包含的全部复指数分量的频率和相应的复振幅,周期信号也就完全确定了。因此,只要 将周期信号 x(t ) 的所有谐波分量的复振幅随频率的分布表示出来,就等于表示了信号 x(t ) 本身。周期信号所有谐波分量的复振幅随频率的分布就称为信号的频谱。周期信号傅里叶 级数的系数 Ak 就表示了周期信号中复指数谐波分量的复振幅,因此,它称为信号的频谱系 数。由于 Ak 通常是复数,包含了谐波分量的幅度和相位,因此信号的频谱包含幅度与频率 的关系和相位与频率的关系,即幅度频谱和相位频谱。 对于非周期信号的频谱的考察,将非周期信号 x(t ) 进行周期延拓得到周期信号 x(t ) , 把 x(t ) 看成是相应的周期信号 x(t ) 在周期趋向于无穷大的极限时,通过考察周期信号的傅 里叶级数在此时的极限,来建立非周期信号的频谱。 无论是周期信号还是非周期信号,在分析研究它们的频谱时,很多常用信号的频谱都 具有收敛性,即低频分量信号的幅度较大、频率越高的分量,其幅度具有相对较小的趋势。 这表明信号的能量主要包含在它的低频分量中。另外,许多信号的频谱中包含有无数多不 同频率的分量。在信号进行传输的过程中,往往不可能将信号中包含的所有频率的分量都 进行有效的传输,在工程实践中也没有这种必要。通常只要保证信号能量的大部分的那些 频率分量能有效地传输到系统输出端就足够了。为了达到这一目的,传输信号的系统必须

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第4章

经典的控制工程数值与计算工具

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保证能够将占信号绝大部分能量的那些频率分量有效地传输到系统输出端。或者说,系统 必须与所传输的信号相匹配。为了描述系统和信号在占有频带上的这种关系来定义信号的 带宽,就是指从零频率开始到需要考虑信号最高频率分量之间的频率范围。 在工程应用中,定义带宽的方法主要有以下两种:

(1) 对于频谱或频谱的包络中包含有 sin c 函数形式的信号,通常定义其带宽为 sin c 函
数主瓣宽度的 1/2。即从零频到 sin c 函数第一个零点之间的频率范围。

(2) 对于其他形状的频谱,工程上常将频谱的幅度从最大值降低到最大值的 1
对应的频率定义为信号的带宽。此时信号带宽内的能量拥有信号能量的 1/2。

2 时所

在工程实际中,对信号进行分析、传输和处理时,常会遇到有用信号叠加了无用的噪 声(或干扰)。这些噪声中有的是与信号同时产生的,有的是在传输过程中引入的。当噪声 大于有用信号时,信号就会被噪声所“淹没”。从含有噪声(或干扰)的信号中,消除或抑 制噪声,提取或恢复有用信号的过程称为滤波。本质上,滤波就是改变信号中各种频率分 量的相对幅度和相位,或者完全除去某些分量的过程。 实现滤波功能的系统称为滤波器。滤波器按其性能及设计方法可以分为很多种类。按 连续时间和离散时间两大类系统,分为模拟滤波器(连续时间系统)和数字滤波器(离散时间 系统);按滤波器的功能可以分为频率选择性滤波器(包括高通、低通、带通、带阻)、均衡 器(包括幅度均衡器与相位均衡器);按滤波器的器件的性质分为无源滤波器和有源滤波器。 在工程实际中根据传输信号的实际需要和性能要求合理选用滤波器,保证信号能量的大 部分的那些频率分量能有效地传输到系统输出端,提高系统的传输信号的能力和精度。 4.4.4 频率特性的绘制实例 【例 4.5】 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 10(1 + 2s ) Gk ( s ) = 2 s (0.5s + 1)( s + 1) 试概略绘制系统的开环幅相曲线。 解:由于 v = 2 ,根据零极点分布图,如图 4.17(a)所示。显然 起点 Gk ( j0) = ∞∠ ? 180 终点 Gk ( j∞) = 0∠ ? 270 与坐标轴的交点

Gk ( jω ) =

10 [?(1 + 2.5ω 2 ) ? j(0.5 ? ω 2 )] ω (1 + 0.25ω 2 )
2

当 ω 2 = 0.5 时,即 ω = 0.707 ,极坐标图与实轴有一个交点。交点坐标为 Re Gk ( jω ) = ?26.7 开环概略极坐标如图 4.17(b)所示。

·95·

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自动控制原理

(a) 图 4.17 极坐标图的绘制

(b)

4.5

频域 Bode 方法

Bode 图法也是一种分析系统频率特性的一种图解方法,采用典型化、对数化等处理方 法,使得频率法的计算工作较为简单,在工程实践中获得了广泛的应用。
4.5.1 典型动态特性的 Bode 图绘制 如果系统的元部件只包含集总参量,系统如图 4.18 所示,那么开环传递函数 G(s)H(s) 的一般表达式为

图 4.18 典型系统结构图

G(s) H (s) =
式中, a1 , a2 ,
, an 和b0 , b1 ,

b0 s m + b1 s m ?1 + bm ?1 s + bm s n + a1 s n ?1 + + an ?1 s + an

(4-62)

, bm 皆为实系数。如果将表达式分子和分母两个多项式分别分解

成因式,则常见的因式有下列几种,并称之为典型环节: (1) 比例环节 K; 1 (2) 惯性环节 ,式中 T > 0 ; Ts + 1 (3) 一阶微分环节(Ts+1),式中 T > 0 ; (4) 积分环节 1/s; (5) 微分环节 s;
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第4章

经典的控制工程数值与计算工具 ,式中 ω n > 0, 0 < ξ < 1 ;

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(6) 振荡环节

1 s + 2ξω n s + 1
2

(7) 二阶微分环节 s 2 + 2ξω n s + 1 ,式中 ω n > 0, 0 < ξ < 1 ; (8) 延迟环节 e? jωτ 。 应该指出,并不是一个元部件总用一个典型环节表示。有时一个元部件要用两个或几 个典型环节表示,而一个典型环节也可能表示几个元部件。 本节重点研究典型环节的对数频率特性曲线的绘制方法及其特点。 1. 比例环节
控制系统中常用的减速器是比例环节的例子,在一定的频率范围内,放大器、液压放 大器、解调器和调制器也都可以看成比例环节。所有元部件和系统都包含这种环节。 比例环节的传递函数为 K 。 如果比例环节的输入和输出分别为 r(t)和 c(t),则两者关系如下: c(t ) = Kr (t ) 上式表明,输出是输入的 K 倍。比例环节的频率特性是 G ( jω ) = K 对数幅频特性和对数相频特性分别为 L(ω )20lgK ? (ω ) = 0 显然,比例环节的频率特性与频率 ω 无关,其相应的对数幅相频特性曲线如图 4.19 所示。

(4-63)

图 4.19 比例环节的对数幅相频特性曲线

2. 积分环节
控制系统中模拟机的积分器及电动机角速度和转角之间的传递函数都是积分环节的实 例。积分环节输入 r(t)与输出 c(t)之间的微分方程是
c(t ) = ∫ r (t )dt
t1 t2

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自动控制原理

积分环节的传递函数和频率特性分别为
G(s) = 1 s
1 1 ? jπ = e 2 jω ω

G ( jω ) =

可以看出,幅频特性与 ω 成反比,相频特性恒为-90° 。积分环节的对数幅频特性和相 频特性分别为 L(ω ) = ?20 lg ω (4-64) ? (ω ) = ?90 由式(4-64)可知,对数幅频曲线是一条直线,斜率为-20dB/dec。也就是横坐标 ω 每增 加十倍长度,纵坐标 L(ω ) 减少 20dB。所以,斜率是-20dB/十倍频程,记作-20dB/dec。对 数幅频特性和对数相频特性曲线如图 4.20 所示。

图 4.20 积分环节的对数幅相频特性曲线

3. 惯性环节
常见的伺服电动机包含惯性环节。惯性环节的传递函数与频率特性分别为 1 G (s) = Ts + 1 1 G (s) = jω T + 1 其单位阶跃响应为

(4-65)

c(t ) = 1 ? e

?

t T

响应曲线非瞬时达到稳态,响应有惯性,惯性环节由此而得名。惯性环节的对数幅频 特性和对数相频特性分别为

L(ω ) = ?20 lg 1 + (ωT )2

? (ω ) = ? arctan ωT

(4-66)

根据以上两式, 可以用解析法计算幅频特性和相频特性, 并绘制相频特性曲线。 ω 由 当 零至无穷取值,计算出相应的对数取值,就可以绘制对数幅频特性曲线,但在工程上还可
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第4章

经典的控制工程数值与计算工具

·99·

以用以下更为简便的作图方法。 1 当ω 时,对数幅频特性可以近似表示为 L(ω ) ≈ ?20 lg1 = 0 ,也就是在频率很低的 T 情况下,对数幅频特性曲线可以用零分贝线近似代替。 1 当ω 时,对数幅频特性可以近似表示为 L(ω ) ≈ ?20 lg ωT ,也就是频率很高时,对 T 数频率特性曲线可以用一条直线近似代替,直线斜率为-20dB/dec,与零分贝线的交点为 1 ωT = 1(或ω = ) 。 T 因此,惯性环节的对数幅频特性可以用两条直线近似,低频部分为零分贝线,高频部 分为斜率为-20dB/dec 的直线,两条直线相交于 ωT = 1或ω = 1/ T 的地方,并且两条直线的 相交点的频率 1 T 称为惯性环节的转折频率。 惯性环节的对数频率特性曲线如图 4.21 所示。 惯性环节的对数相频特性曲线可以按式(4-66)绘制,即 ? (ω ) = ? arctan ωT 当 ω 为零时,? (ω ) 等于 0° ;在交接频率 1/T 处,? (ω ) 为-45° ω 趋于无穷时,? (ω ) ; 趋于-90° ? (ω ) 的计算数据如表 4-3 所示,对数相频特性曲线如图 4.21 所示。 。
表 4-3 惯性环节的相频特性数据 0.2 -11.3 5.0 -78.7 0.3 -16.7 7.0 -81.9 0.4 -21.8 10.0 -84.3 0.5 -26.6 20.0 -87.7 0.7 -35 50.0 -88.9 1.0 -45 100 -89.4

ωT
? (ω ) /(° )

0.01 -0.6 2.0 -63.4

0.05 -2.9 3.0 -71.5

0.1 -5.7 4.0 -76

ωT
? (ω ) /(° )

4. 一阶微分环节
一阶微分环节的传递函数和频率特性分别为 G ( s ) = 1 + Ts G ( jω ) = 1 + jωT 一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性分别为
L(ω ) = 20 lg 1 + ω 2T 2 ? (ω ) = ? arctan ωT

(4-67)

与式(4-66)进行比较, 可以得到一阶微分环节和惯性环节的对数幅频特性和对数相频特 性是以横轴互为镜像对称的,如图 4.22 所示。因此应用于惯性环节得到的结论可以类推到 一阶微分环节。

5. 振荡环节
在电枢控制式直流电动机中,若计及电枢电感,其传递函数包含振荡环节。振荡环节 的传递函数为 1 G (s) = (4-68) 2 ( s ω n ) + 2ξ ( s ω n ) + 1 式中, ω n > 0, 0 < ξ < 1 。也就是欠阻尼二阶系统的传递函数,研究二阶系统得到的结论完 全适用于振荡环节。
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自动控制原理

图 4.21 惯性环节的对数幅相频率特性曲线

图 4.22 一阶微分环节的对数幅相频率特性曲线

振荡环节的频率特性为
G ( jω ) = 1 2 ( s ω n ) + 2ξ ( s ω n ) + 1
s = jω

(4-69)

根据式(4-69),振荡环节的幅频特性和相频特性的解析式分别为 1 A(ω ) =| G ( jω ) |=

ω2 ω2 (1 ? 2 )2 + 4ξ 2 2 ωn ωn

(4-70)

ω ? 2ξ ? ωn ω ?? arctan , ≤1 ω 2 ωn ? 1? 2 ? ωn ? ? (ω ) = ? ω ? ? ? 2ξ ? ? ω ? ω ? ? π ? arctan 2 n ? , > 1 ? ? ωn ω ? ? ? 1? 2 ? ? ? ωn ? ?
振荡环节的对数幅频特性为

(4-71)

L(ω ) = ?20 lg (1 ? ω 2 ω n 2 )2 + (2ξ ω ω n )2
当ω

(4-72)

ω n时,L(ω ) ≈ 0 。因此,低频渐近线是零分贝线。 当 ω ω n 时, L(ω ) ≈ ?40 lg(ω ω n ) 。这是一条斜率为-40dB/dec 的直线,和零分贝线 交于 ω = ω n 。所以振荡环节交接频率为 ω n 。
根据式(4-71)和式(4-72)绘制的对数幅相频率特性曲线如图 4.23 所示。

6. 二阶微分环节
二阶微分环节的传递函数 G ( s ) = ( s ω n )2 + 2ξ ( s ω n ) + 1

(4-73)

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第4章

经典的控制工程数值与计算工具

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图 4.23 二阶振荡环节的对数幅相频率特性曲线

式中, ω n > 0, 0 < ξ < 1 。频率特性为

G ( jω ) = ( s ω n ) 2 + 2ξ ( s ω n ) + 1|s = jω
二阶微分环节的幅频特性和相频特性分别为

(4-74)

A(ω ) =| G ( jω ) |= (1 ?


ω2 2 ω2 ) + 4ξ 2 2 2 ωn ωn

(4-75)

ω ? 2ξ ? ωn ω ?arctan , ≤1 2 ω ωn ? 1? 2 ? ωn ? ? (ω ) = ? ω ? 2ξ ? ωn ω , >1 ? π ? arctan 2 ω ωn ? ?1 ? ωn 2 ?
对数幅频特性为

(4-76)

L(ω ) = 20lg (1 ?

ω 2 ω2 ) + 4ξ 2 2 ωn ωn

(4-77)

显然,可以看出二阶微分环节的对数频率特性和二阶振荡环节对数频率特性曲线相对 于频率轴互为镜像,其 Bode 图可以参照二阶振荡环节的 Bode 图翻转画出。

7. 延迟环节
延迟环节的传递函数为 G ( s ) = e?τ s 其对数幅相频率特性分别为 L(ω ) = 20lg | e ? jω |= 0

(4-78) (4-79) (4-80)

? (ω ) = ?ωτ (rad) = ?57.3ωτ ( )

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自动控制原理

由式 (4-79) 和式 (4-80) 可以看出,延迟环节的对数幅频是一条与零分贝线重合的直 线,对数相频特性随着频率的增长而线性滞后,将会严重影响系统的稳定性。其 Bode 图如图 4.24 所示。

图 4.24 延迟环节的 Bodes 图

4.5.2 复杂动态特性的 Bode 图绘制

1. 最小相位系统和非最小相位系统
如果一个系统传递函数在右半 s 平面无开环零点和开环极点,则系统称为最小相位系 统(最小相角系统);否则,称为非最小相位系统(非最小相角系统)。 如果两个系统具有相同的幅频特性,那么对于大于零的任何频率,最小相位系统的相 角总小于非最小相位系统的相角。例如最小相位系统和非最小相位系统的传递函数分别为 1 + sT G1 ( s ) = 1 + sT1 1 ? sT G2 ( s ) = 1 + sT1 式中, 0 < T < T1 ,极零点分布图如图 4.25 所示。

图 4.25 极零点分布图

对应的频率特性分别为

G1 ( jω ) =

1 + jω T 1 + jωT1

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第4章

经典的控制工程数值与计算工具

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G2 ( jω ) =
两者具有相同的幅频特性

1 ? jω T 1 + jωT1 1 + ω 2T 2 1 + ω 2T12

| G1 ( jω ) |=| G2 ( jω ) |=
而两者的相频特性不同,且 其相频特性参见图 4.26。

| ∠G1 ( jω ) | < | ∠G2 ( jω ) |

ω >0

图 4.26 图 4.25 所对应的相频特性曲线

由上述分析可知,最小相角系统的幅频特性和相频特性直接关联,也就是一个幅频特 性有一个相频特性与之对应;反之亦然。因此,对于最小相位系统,只要根据对数幅频特 性就可以写出系统的传递函数。

2. 复杂动态特性的 Bode 图的绘制
开环系统的对数频率特性曲线简称开环频率特性曲线, 也就是开环系统的 Bode 图。 根 据典型环节的对数频率特性曲线,可以方便地绘制出开环对数频率特性曲线。假定系统的 传递函数由 n 个典型环节串联组成,n 个典型环节的传递函数分别以 G1 ( s ), G2 ( s ), , Gn ?1 ( s ),
Gn ( s ) 表示,则有

G ( s ) = ∏ Gi ( s )
i =1

n

对应的频率特性为

G ( jω ) = ∏ Gi ( jω )
i =1

n

(4-81)

也就是

G ( jω ) =| G ( jω ) | e
可以看出,系统的幅相频率特性分别为

j∠G ( jω )

= ∏ | Gi ( jω ) | e
i =1

n

j

∑ ∠G ( jω )
i i =1

n

A(ω ) =| G ( jω ) |= ∏ | Gi ( jω ) |
i =1

n

(4-82) (4-83)

? (ω ) = ∠G ( jω ) = ∑ ∠Gi ( jω )
i =1

n

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自动控制原理

根据式(4-82),得到对数幅频特性为

L(ω ) = 20lg A(ω ) = ∑ 20lg | Gi ( jω ) |
i =1

n

(4-84)

式(4-83)和式(4-84)表明,如果系统由 n 个典型环节串联组成,则其 Bode 图可以由 n 个 典型环节的对应 Bode 图叠加而成。 在绘制一个由多个典型环节构成的复杂系统的 Bode 图时,一般可遵循如下步骤进行。 (1) 将系统的频率特性分解成若干个典型环节的乘积的形式,并分析系统的构成环节。 (2) 求出各个典型环节的转折频率,并按转折频率由小到大的顺序依次排列。特别强 调的是,把比例环节 K 排在第一的位置,第二是积分环节 1 s ,从第三位开始再按环节转 折频率由小到大的顺序 ω1 < ω 2 < ,排列各个一阶及二阶因子(如果包含有延迟因子 e? jωτ , 则应排在最后)。 (3) 绘制幅频特性渐近线,低频段幅频特性仅取决于比例环节 K 和积分环节 1 s 两项因 子,绘制完成比例环节和积分环节所决定的低频段后,按转折频率由小到大的顺序依次按 累加后的斜率逐段绘制出渐近线。 (4) 绘制对数相频特性曲线,一般对于相频特性曲线的绘制并不方便,有时直接将各 环节的精确特性直接相加。 【例 4.6】 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 158( s + 2) Gk ( s ) = s ( s + 1)( s + 10) 试绘制系统的开环对数幅频特性曲线。 解:将 Gk ( s ) 化成由典型环节串联的标准形式 31.6(0.5s + 1) Gk ( s ) = s ( s + 1)(0.1s + 1)

(1) 把各典型环节的转折频率标在 ω 轴上,交接频率分别为:2,1,10,如图 4.27 所示。

图 4.27 例 4.16 的对数幅频特性曲线

(2) 画出低频段直线。 斜率为:-20dB/dec; 位置: ω = 1 时,为 20 lg k = 30dB 。 (3) 由低频段向高频段延续,经过一个交接频率,渐近线的斜率作相应的变化。 ω = 1, 2,10 分别为惯性环节,一阶微分环节,惯性环节的转折频率,所以渐近线的斜率延续
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第4章

经典的控制工程数值与计算工具

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到 ω = 1 时 , 渐 近 线 的 斜 率 由 -20dB/dec 变 为 -40dB/dec; ω = 2 时 , 渐 近 线 斜 率 变 成 -20dB/dec; ω = 10 时,渐近线的斜率变为-40dB/dec。对数开环幅频特性如图 4.27 所示。 (4) 如果需要精确的对数幅频特性曲线,可以在上述近似对数幅频特性曲线的基础上 加以修正。 【例 4.7】 某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图 4.28 所示。试求出该系统的开环 传递函数。

图 4.28 某最小相位系统的对数幅频特性曲线

解:由图 4.28 可以看出,低频段渐近线的斜率为-20dB/dec,所以系统包含一个积分 环节。 根据 ω = 1 时,低频段幅频特性等于 20dB,可以得到 k=10。 因为 ω = 2 时, L(ω ) 曲线的斜率从-20dB/dec 变为-40dB/dec,故 ω = 2 是惯性环节的转 折频率。依此类推, ω = 10 是一阶微分环节的转折频率。于是系统的开环传递函数为 10(0.1s + 1) G(s) = s (0.5s + 1) 利用 MATLAB 绘制控制系统的对数幅相频率特性曲线,所用到的函数主要是 Control System Toolbox 中的 bode,margin 等命令。Bode()函数的调用格式为
[mag,pha,w]=bode(num,den,w)或者[mag,pha,w]=bode(A,B,C,D,iu,w)

这里 num,den 和 A,B,C,D 分别为系统的传递函数或状态方程的参数,而 w 为频率 点构成的向量, 该向量由 logspace()函数构成, 是一个数值, iu 反映要求取的输入信号标号, 对于单输入系统来说 iu=1。Bode()函数可以根据输入变量的个数自动地识别是传递函数还 是状态方程模型,从而正确的求出幅值向量 mag 和相位向量 pha,求得了这些数据,使用 如下命令:
Subplot(2,1,1) Subplot(2,1,2) semilogx(w,20log10(mag)) semilogx(w,pha)

就可以在同一个窗口上绘制出系统的对数幅频及对数相频特性曲线了,其中前一条命令 是对得到的系统的幅频特性 mag 取分贝(dB)值。如果用户只想绘制出系统频率响应的曲线, 而对获得的幅值和相位不感兴趣,则可以直接使用如下更为简洁的格式调用 Bode()函数。
bode(A,B,C,D,iu,w) 或 bode(num,den,w)

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自动控制原理

或更为简洁的格式
Bode(A,B,C,D,iu) 或 bode(num,den)

在这时函数会根据模型的实际情况自动选择合适的频率范围。 在分析系统性能时, 使用 MATLAB 控制系统工具箱提供的命令 margin()函数可以直接 求得系统的相位裕量 Pm 和幅值裕量 Gm,并求得了幅值穿越频率 Wcp 和相位穿越频率

Wcg,从而判断系统的稳定性,函数调用格式为
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(A,B,C,D) 或[Gm,Pm.Wcg,Wcp]=margin(num,den)

【例 4.8】 已知一线性系统模型为 1 0 0 ? 0 ? 0 0 1 0 x (t ) = ? ? 0 0 0 1 ? ? ?64 ? 215 ? 200 ? 60 稳定性。 编制程序如下:

? ?0? ? ? ? ? x (t ) + ?0 ? u(t ) ? ?0? ? ? ? ? ?1 ?

y (t ) = [1460,1685, 0, 0] x (t )

试绘制该系统在 0.1 到 10 之间的频率范围上的对数幅相频率特性曲线,并判断系统的

MATLABProgram4-3 A=[0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1;-64,-215,-200,-60]; B=[0;0;0;1];C=[1460,1685,0,0];D=0; w=logspace(-1,1) [mag,pha]=bode(A,B,C,D,1,w) subplot(2,1,1) hold on semilogx(w,20*log10(mag)) title('Bode Plot') xlabel('Frequency(rad/sec)') ylabel('Gain(db)') grid on subplot(2,1,2) semilogx(w,pha) xlabel('Frequency(rad/sec)') ylabel('Phase deg') grid on [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(A,B,C,D)

程序运行结果如图 4.29 所示。 通过运行[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(A,B,C,D)命令得到
Gm = 5.1721 Pm = 22.3163 Wcg = 12.1998 Wcp = 5.2736

可以看出,ω = 12.1998 时相位穿越 180° ,这时的幅值裕度为 5.1721,ω = 5.2736 时系 ,由 Bode 稳定判据得系统稳定。 统的幅值为 1,且相位裕度为 22.3163°

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第4章

经典的控制工程数值与计算工具

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图 4.29

MATLAB Program4-3 运行结果

4.6

根轨迹方法

根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法,使用十分简便。特别是用于 多回路系统的研究,应用根轨迹法比用其他方法更为方便,因此在工程实践中获得了广 泛应用。 根轨迹简称根迹,它是开环系统某一参数从零变到无穷大时,闭环系统特征方程式的 根在 s 平面上变化的轨迹。当闭环系统没有零点与极点相消时,闭环特征方程式的根是闭 环传递函数的极点,常简称为闭环极点。因此,从已知的开环零极点位置及某一变化的参 数来求取闭环极点的分布,实际上就是要解决闭环特征方程式的求根问题。当特征方程的 阶数高于四阶时,求根的过程是比较复杂的。如果要研究系统参数变化对闭环特征方程式 根的影响,那么就需要进行大量的反复计算,同时还不能直观看出影响趋势。因此对高阶 系统的求根问题来说,解析法就显得很不方便。1948 年伊凡思(W.R.Evans)在“控制系统的 图解分析”一文中提出了根轨迹法。当开环增益或其他参数改变时,其全部数值对应的闭 环极点均可在根轨迹图上简便地确定。因为系统闭环极点唯一确定,而系统的稳态性能又 与闭环零极点在 s 平面上的位置密切相关,所以根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间 响应的全部信息,而且可以指明开环零极点应该怎样变化才能满足给定的闭环系统的性能 指标要求。除此之外,用根轨迹法求解高阶代数方程的根,比用其他近似求根法简便。 4.6.1 根轨迹的基本概念 为了具体说明根轨迹的概念,设控制系统如图 4.30 所示。

图 4.30 二阶控制系统实例

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自动控制原理

其闭环传递函数为

Φ (s) =

Kg 2K = 2 s + 2s + 2 K s + 2s + K g
2

式中, K 为系统的开环比例系数; K g = 2 K 称为系统的开环根轨迹增益。 于是,特征方程式可写为 s 2 + 2s + K g = 0 显然,特征方程式的根为

s1,2 = ?1 ± 1 ? K g
如果令开环增益 K g 从零变到无穷,可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值,将这 些数值标注在 s 平面上,并连成光滑的粗实线,如图 4.31 所示。

图 4.31 二阶系统的根轨迹图

图 4.31 中,粗实线就称为系统的根轨迹。箭头方向表示随着根轨迹增益 K g 值的增加, 根轨迹的变化趋势,而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的根轨迹增益 K g 的数值。 有了根轨迹图,可以根据系统根轨迹图分析系统的动稳态性能。当系统根轨迹增益从 零变到无穷时,图 4.31 上的根轨迹不会越过虚轴进入右半 s 平面,因此图 4.31 系统对所有 的 K g 值都是稳定的。如果分析高阶系统的根轨迹图,那么根轨迹图有可能越过虚轴进入 s 右半平面,此时根轨迹与虚轴交点处的 K g 值,就是临界开环根轨迹增益。 由图 4.31 可见,开环系统在坐标原点有一个极点,所以系统属 I 型系统,因而根轨迹 可以确定闭环极点位置的容许范围。在一般情况下,根轨迹图上标出来的参数不是开环比 例系数,而是根轨迹增益。需要指出的是,系统的开环比例系数一般不与系统的根轨迹增 益相等,而是开环增益和根轨迹增益之间相差一个比例常数,较容易换算。对于其他参数 变化的根轨迹图,情况是类似的。 由图 4.31 可见,当 0 < K g < 1 时,所有闭环极点位于实轴上,系统为过阻尼系统,单位 阶跃响应为非周期过程;当 K g = 1 时,闭环两个实数极点重合,系统为临界阻尼系统,单 位阶跃响应仍为非周期过程,但响应速度较 0 < K g < 1 情况为快;当 K g > 1 时,闭环极点为 复数极点,系统为欠阻尼系统,单位阶跃响应为阻尼振荡过程,且超调量将随 K g 值的增大 而加大,但调节时间的变化不会显著。 上述分析表明,根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。然而,对于高阶系统,
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第4章

经典的控制工程数值与计算工具

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用解析的方法绘制系统的根轨迹图,显然是不适用的。我们希望能有简便的图解方法,可 以根据已知的开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此,需要研究闭环零极点与开 环零极点之间的关系。 由于开环零极点是已知的,因此建立开环零极点与闭环零极点之间的关系,有助于闭 环系统根轨迹的绘制及系统性能的分析,并由此引导出根轨迹方程。 设控制系统如图 4.32 所示,其闭环传递函数为

图 4.32 反馈控制系统

在一般情况下,前向通路传递函数 G(s)和反馈通路传递函数 H(s)可分别表示为 K (τ s + 1)(τ 2 2 s + 2ξ1τ 2 s + 1) G ( s ) = vG 1 s (T1 s + 1)(T2 2 s + 2ξ 2τ 2 s + 1)
= KG?

∏ (s ? z )
i

f

∏ (s ? p )
i i =1

i =1 q

(4-85)

式中, K G 为前向通路增益; K G ? 为前向通路根轨迹增益。它们之间满足如下关系:
KG? = KG

τ 1τ 2 2
T1T2 2

(4-86)



H (s) = K H?

∏ (s ? z )∏ (s ? z )
i j

f

h

∏ (s ? p )∏ (s ? p )
i j i =1 j =1

i =1 q

j =1 h

(4-87)

式中, K H? 为反馈通路根轨迹增益。系统的开环传递函数可表示为

G ( s) H ( s) = K ?

∏ (s ? z )∏ (s ? z )
i j

f

l

∏ (s ? p )∏ (s ? p )
i j i =1 j =1

i =1 q

j =1 h

(4-88)

式中, K ? = K G ? K H ? ,称为开环系统根轨迹增益。对于有 m 个开环零点和 n 个开环极点的 系统,必有 f + l = m 和 q + h = n 。由式(4-85)和式(4-88)得到系统闭环传递函数为

Φ (s) =

K G ? ∏ ( s ? zi )∏ ( s ? p j )
i =1

f

h

∏ (s ? pi ) + K
i =1

n

?

j =1 m

∏ (s ? z j )
j =1

(4-89)

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自动控制原理

比较式(4-88)和式(4-89),可得以下结论: (1) 闭环系统根轨迹增益,等于开环系统前向通路根轨迹增益;对于单位反馈系统, 闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。 (2) 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成;对 于单位反馈系统,闭环零点就是开环零点。 (3) 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 K ? 有关。通过图解的方法找出闭 环极点后,闭环传递函数的形式便不难确定,因为闭环零点可由式(4-88)直接得到。在已知 闭环传递函数的情况下,闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出。 根轨迹是系统所有闭环极点的集合。为了用图解法确定所有闭环极点,令闭环传递函 数表达式(4-89)的分母为零,得闭环系统特征方程 1 + G (s) H (s) = 0 (4-90) 由式(4-90)可见,当系统有 m 个开环零点和 n 个开环极点时,式(4-90)等价为

K

?

∏ (s ? z )
j

m

∏ (s ? pi )
i =1

j =1 n

= ?1

(4-91)

式中, z j 为已知的开环零点; pi 为已知的开环极点; K ? 可从零变到无穷。我们把式(4-91)称 为根轨迹方程。根据式(4-91),可以画出当从零变到无穷时,系统的连续根轨迹。应当指 出,只要闭环特征方程可以化成式(4-91)形式,都可以绘制根轨迹,其中处于变动地位的实 参数,不限定是根轨迹增益,也可以是系统其他变化参数。但是,用式(4-91)形式表达的开 环零点和开环极点,在 s 平面上的位置必须是确定的,否则无法绘制根轨迹。此外,如果 需要绘制一个以上参数变化时的根轨迹图,那么画出的不再是简单根轨迹而是根轨迹簇。 根轨迹方程实质上是一个向量方程,直接使用很不方便。考虑到 ?1 = 1e j(2 k +1) π (k=0, ±1, ±2, ) (4-92) 因此,根轨迹方程(4-91)可用如下两个方程描述:

∑ ∠(s ? z ) ? ∑ ∠(s ? p ) = (2k + 1)π
j i j =1 i =1

m

n

(4-93)



K? =

∏| s ? p |
i

n

∏| s ? z j |
j =1

i =1 m

(4-94)

方程(4-93)和方程(4-94)是根轨迹上的点应该同时满足的两个条件,前者称为相角条件; 后者叫做模值条件。 根据这两个条件, 可以完全确定 s 平面上的根轨迹和根轨迹上对应的 K ? 值。应当指出,相角条件是确定 s 平面上根轨迹的充分必要条件。也就是说,绘制根轨迹时, ? 只需要使用相角条件;而当需要确定根轨迹上各点的根轨迹增益 K 值时,才使用模值条件。 4.6.2 常规根轨迹绘制的基本法则 在下面的讨论中,假定所研究的变化参数是根轨迹增益 K ? ,当可变参数为系统的其他
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第4章

经典的控制工程数值与计算工具

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参数时,这些基本法则仍然适用。应当指出的是,用这些基本法则绘制出的根轨迹,其相 角遵循 180 + 2kπ 条件,因此称为 180°根轨迹,也叫做常规根轨迹,相应的绘制法则也就 可以叫做常规根轨迹的绘制法则。 法则 1 根轨迹的起点和终点 根轨迹起于开环极点,终于开环零点。 根轨迹起点是指根轨迹增益 K ? = 0 的根轨迹点, 而终点则是指根轨迹增益 K ? = ∞ 的根 轨迹点。设闭环传递函数为式(4-89)形式,可得闭环系统特征方程为

∏ (s ? p ) + K ∏ (s ? z ) = 0
?

n

m

i

j

(4-95)

i =1

j =1

式中, K ? 可以从零变化到无穷大。当 K ? =0 时,有 s = pi ( i = 1, 2, , n ) 说明 K ? = 0 时,闭环特征方程式的根就是开环传递函数 G ( s ) H ( s ) 的极点,所以根轨迹 必起始于开环极点。 同理,将特征方程变形为 m 1 n ( s ? pi ) + ∏ ( s ? z j ) = 0 ? ∏ K i =1 j =1 整理可得
K ? = ∞ 时, s = z j

( j = 1, 2,

, m)

所以根轨迹必终于开环零点。 在实际系统中,开环传递函数分子多项式次数 m 和分母多项式次数 n 之间,满足不等 式 m≤n,因此有 n-m 条根轨迹的终点将在无穷远处。如果把有限数值的零点称为有限零 点,而把无穷远的零点叫做无限零点,那么根轨迹必终止于开环零点。在把无穷远处看为 无限零点的意义下,开环零点数和开环极点数是相等的。 法则 2 根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环有限零点数 m 和有限极点数 n 中的大者相等,它们是连续的并 且对称于实轴。 按照定义,根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时,闭环特征方程式的根在 s 平 面上的变化轨迹。因此,根轨迹的分支数必与闭环特征方程式根的数目一致。由特征方程 式(4-90)可见,闭环特征方程根的数目就等于 m 和 n 中的大者,所以根轨迹的分支数必与 开环有限零极点数中的大者相同。 由于闭环特征方程的某些系数是根轨迹增益 K ? 的函数,所以当 K ? 从零到无穷大连续 变化时,特征方程的某些系数也随之而连续变化,因而特征方程式根的变化也必然是连续 的,故根轨迹具有连续性。 根轨迹必对称于实轴的原因是显然的。因为闭环传递函数为有理分式函数,所以闭环 特征方程式的根只有实数和复数两种。实根位于实轴上,复根共轭对称,而根轨迹是根的 集合。因此根轨迹对称于实轴。 根据对称性,只需做出上半 s 平面的根轨迹部分,然后利用对称关系就可以画出下半 s

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自动控制原理

平面的根轨迹部分。 法则 3 根轨迹的渐近线 当开环有限极点数 n 大于有限零点数 m 时,有 n ? m 条根轨迹分支沿着与实轴交角为 ? a 、交点为 σ a 的一组渐近线趋向无穷远处,且有 (2k + 1) π ?a = (k = 0,1, 2, , n ? m ? 1) (4-96) n?m 和

σa =
法则 4 法则 5 实轴上的根轨迹 根轨迹的分离点

∑ p ?∑z
i i =1 j =1

n

m

j

n?m

(4-97)

实轴上的某一区域,若其右边开环实数零极点个数之和为奇数,则该区域必是根轨迹。 两条或两条以上根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点,称为根轨迹的分离点。 因为根轨迹是对称的,所以根轨迹的分离点或位于实轴上,或以共轭形式成对出现在复平 面中。一般情况下,常见的根轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹分支的分离点。如果 根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间,其中一个可以是无限极点,则在这两个极点 之间至少存在一个分离点;同样,如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间,其中 一个可以是无限零点, 则在这两个零点之间也至少有一个分离点。 根轨迹的分离点如图 4.33 所示。

图 4.33 根轨迹的渐近线

图 4.34 实轴上根轨迹的分离点

根轨迹分离点位置的确定方法如下。

1) 根轨迹是闭环特征方程特征根的轨迹
根轨迹是两条或两条以上的根轨迹在 s 平面上相遇又分开的点,所以说根轨迹的分离 点也就是闭环特征方程的重根点,就可以应用代数方程的重根法进行求解。 设负反馈控制系统的开环传递函数为

M (s) G ( s) H ( s) = K = K? N (s)
?

∏ (s ? z )
j

m

∏ (s ? pi )
i =1

j =1 n

(4-98)

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第4章 闭环特征方程的特征式

经典的控制工程数值与计算工具

·113·

D( s) = 1 + K
按照闭环特征根应满足的关系式

?

∏ (s ? z )
j

m

∏ (s ? pi )
i =1

j =1 n

=0

(4-99)

dD ( s ) =0 ds

整理得

M ( s )′ N ( s ) ? M ( s ) N ( s )′ = 0

(4-100)

由式(4-100)可以解得 n 阶系统的 (n ? 1) 个根 si , 如果 si 在实轴的根轨迹上或者将 si 代入 式(4-99)求得 K ? > 0 ,则 si 就是系统根轨迹的分离点;否则,就不是根轨迹的分离点。

2) 应用试探法来求取分离点的坐标 设 d 是分离点的坐标,则 d 是下列方程的解 m n 1 1 ∑d ?z =∑d ? p j =1 i =1 j i
式中, z j 为各开环零点的数值; pi 为各开环极点的数值。

(4-101)

若求得的 d 的解落到实轴的根轨迹上或者将 d 代入到式(4-99)中求得 K ? > 0 , d 就是 则 根轨迹的分离点;否则,就不是根轨迹的分离点。 法则 6 根轨迹的起始角与终止角 根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角,叫做起始角,以 θ p 表示;根轨迹
i

进入开环复数零点处的切线与实轴的夹角,叫做终止角,以 ? z 表示。这些角可以按照如下
i

的关系求出:

θ p = (2k + 1)180 + (∑ ? z
i

m

j =1

j

pi

?

j =1 ( j ≠i )

∑θ
n

n

p j pi

)

(4-102)



? z = (2k + 1)180 ? ( ∑ ? z z ?∑θ p z )
i

m

j =1 ( j ≠i )

j i

j =1

j i

(4-103)

法则 7 根轨迹与虚轴的交点 某些控制系统的根轨迹可能与 s 平面相交, 交点处系统处于临界稳定状态。 交点上的 ? 也可以将闭环特征式分解为实部与虚部 K 的值和频率 ω 的值可以使用 Routh 判据来确定, 两部分,令 s = jω ,分别由实部和虚部为零而求得。 法则 8 根之和 系统的闭环特征方程,在 n > m 的情况下,可以表示为

·113·

·114·
n ? m

自动控制原理

∏ (s ? p ) + K ∏ (s ? z ) = s
i j i =1 j =1 n n i =1 i =1

n

+ a1 s n ?1 +
n

+ an ?1 s + an (4-104)

= ∏ ( s ? si ) = s n + (?n∑ si ) s n ?1 + =0 式中, si 为系统闭环特征根。

+ ∏ (? si )
i =1

当 n ? m ≥ 2 时,特征方程第二项系数与 K ? 无关,无论 K ? 取何值,开环 n 个极点之和 总是等于闭环特征方程 n 个根之和,即

∑s = ∑ p
i i =1 i =1

n

n

i

(4-105)

用 MATLAB 绘制系统的根轨迹,所用到的命令是 Control System Toolbox 提供的函数 rlocus(num,den),在绘制根轨迹的过程中向量 K 自动生成,也就是说,应用 MATLAB 绘制 系统的根轨迹完全取决于数组 num 和 den。 【例 4.9】 已知系统的开环传递函数 K ( s + 2) G ( s) H ( s) = 2 s ( s + 9) 试用 MATLAB 绘制系统的根轨迹。 解:编制 MATLAB Program4-5 如下:
MATLAB Program4-5 % 绘制系统根轨迹图 num=[0 0 1 2]; den=[1 9 0 0]; rlocus(num,den) %创建系统根轨迹图 grid on title('Root-locuus plot of G(s)=K(s+2)/s^2(s+9)') xlabel('Re') ylabel('Im')

执行程序后运行结果如图 4.35 所示。 得到该系统的根轨迹图后,单击根轨迹上任意点可以得到该点的根轨迹增益 K、极点 和频率等量的相应数值,如图 4.35 所示。 4.6.3 广义根轨迹

1. 参数根轨迹
以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹,以区别于以开环增益为可变 参数的常规根轨迹。绘制参数根轨迹的方法与绘制常规根轨迹的方法完全相同。只是在绘 制参数根轨迹之前,引入等效单位反馈系统和等效传递函数的概念,则绘制常规根轨迹的 所有绘制原则,均适用于参数根轨迹的绘制。 对系统的闭环特征方程 1 + G (s) H (s) = 0 (4-106)

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第4章

经典的控制工程数值与计算工具

·115·

图 4.35

MATLAB Program4-5 运行结果

进行等效变换

A

Q( s) = ?1 P( s)

(4-107)

式中,A 为除 K ? 之外的系统的任意变换的参数; Q( s ) 和 P( s ) 为两个与 A 无关的多项式。 式(4-106)和式(4-107)两式相等,即 P( s ) + AQ( s ) = 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 由式(4-108)得等效单位负反馈系统,等效开环传递函数为 Q( s) G1 ( s ) H1 ( s ) = A P( s) 利用式(4-109)画出的根轨迹就是参数 A 变化时的根轨迹。 【例 4.10】 已知单位负反馈系统的开环传递函数 1 ( s + a) G ( s ) H ( s ) = 42 s ( s + 1) 试绘制参数 a 从零变化到无穷大时,闭环系统的根轨迹。 解:系统的闭环特征方程为 1 ( s + a) D( s ) = 1 + 42 =0 s ( s + 1) 也就是
s3 + s 2 + 1 1 s+ a=0 4 4

(4-108)

(4-109)

于是等效系统开环传递函数为

a = 3 1 4s + 4s 2 + s s +s + s 4 利用 MATLAB 绘制该系统的参数根轨迹如图 4.36 所示。 G1 ( s ) H1 ( s ) =
3 2

1 a 4

·115·

·116·

自动控制原理

图 4.36 例 4.20 根轨迹图

2. 零度根轨迹
如果研究的系统是非最小相位系统,如正反馈控制系统,有时不能采用常规根轨迹的 绘制法则,因为其相角遵循 0 + 2kπ 条件,故称为零度根轨迹。零度根轨迹的绘制法则与 常规根轨迹的绘制法则略有不同。 正反馈控制系统的特征方程为 1 ? G( s) H (s) = 0 所以,有正反馈系统的根轨迹方程为

∑ ∠(s ? z ) ? ∑ ∠(s ? p ) = 0
j i j =1 i =1

m

n

+ 2kπ

(k = 0, ±1, ±2, )

(4-110)

K? =

∏| s ? p |
i

n

∏| s ? z j |
j =1

i =1 m

(4-111)

前者称为零度根轨迹的相角条件,后者叫做零度根轨迹的模值条件。 在绘制零度根轨迹的过程中需要调整的法则如下。 法则 3 渐近线的交角应该为 2kπ ?a = ( k = 0,1, , n ? m ? 1 ) (4-112) n?m 法则 4 实轴上的根轨迹调整为:实轴上某一区域,如果其右边开环实数零极点的个 数之和为偶数,则该区域必是根轨迹。 法则 6 根轨迹的起始角和终止角应改为:起始角为其他零极点到所求起始角复数极 点的诸向量相角之差,即

θ p = ∑? z
i

m

j =1

j

pi

?

j =1 ( j ≠i )

∑θ

n

p j pi

(4-113)

·116·

第4章

经典的控制工程数值与计算工具

·117·

终止角等于其他零极点到所求终止角复数零点的诸向量相角之差的负值,即

? z = ?( ∑ ? z z ? ∑θ p z )
i

m

n

j =1 ( j ≠i )

j i

j =1

j i

(4-114)

4.7

本 章 小 结

1. 数值仿真作为控制系统分析的重要的数学工具,本章介绍了两种数值仿真方法:差 分法和数值积分法。在差分法中主要介绍了后向差分法的求解,积分法中简要介绍了 Newton-Cores 法、Romberd 积分法及 Simpsin 积分法。 2. 在系统信号流程图中起始于一个节点又终止于同一个节点,且每一个环节仅经过一 次的闭合通路叫做回路。 由回路的概念和一般单位负反馈控制系统的闭环传递函数的概念, 推导出了多种闭环传递函数。 3. 频率特性是线性系统(或部件)在正弦输入函数作用下,稳态输出与对输入之比对频 率的关系,概括起来就是同频、变幅和相移,反映系统动态性能,可以视为系统的动态模 型。系统的开环频率特性可以用几何图形表示:对数幅相特性(Bode)曲线和 Nyquist 曲线。 4. 频率法是分析系统常用的一种图解分析法,它的特点是根据系统的开环频率特性去 判断系统的闭环特性,并能较方便地分析参量对时域响应的影响。 (1) 绘制 Bode 图时先把开环传递函数化成标准形式,确定每一个典型环节的转折频率 并标定在坐标轴上;然后确定低频段渐近线的斜率和位置;由低频段向高频段逐渐延伸, 每经过一个转折频率,斜率作相应的改变,这样就很容易地绘制出了系统的对数相频特性 曲线。对数相频特性曲线只能写出其关系表达式,确定 ω = 0, ω = ∞ 时的相角,再在频段内
适当地求出一些频率所对应的相角,连成光滑曲线就可以了。应用 MATLAB 就可以调用 函数 bode(num,den),绘制出系统的 Bode 图了。 (2) Nyquist 图的绘制可以由系统的零极点图确定出曲线的起点、终点,并计算出与坐 标轴横轴的交点,即可绘制出 Nyquist 草图。由于手工绘制的困难,我们介绍了 MATLAB 绘制 Nyquist 曲线的方法,使用命令 nyquyist(num,den)就可以方便地绘制出 Nyquist 图。 5. 根轨迹图是分析和设计系统的图解方法,直观方便,可视化效果好。介绍了绘制常 规根轨迹和其他根轨迹的绘制方法,并应用 MATLAB 绘制根轨迹的函数命令绘制根轨迹 和求解相应极点处的根轨迹增益,能够方便地确定高阶系统中某个参数变化时闭环极点分 布的规律,形象地看出参数变化对系统动态过程的影响。

4.8

思考题与作业
(t ≥ 0)

4-1 若系统单位阶跃响应为 h(t ) = 1 ? 1.8e ?4t + 0.8e?9t
试求系统的频率特性。 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数为

·117·

·118·

自动控制原理
WK ( s ) = 10 s +1

当系统的给定信号为 (1) xr1 (t ) = sin(t + 30 )

(2) xr 2 (t ) = 2cos(2t ? 45 ) (3) xr 3 (t ) = sin(t + 30 ) ? 2 cos(2t ? 45 )
时,求系统的稳态输出。 4-3 绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性。 (1) W ( s ) = Ks ? N ( K = 10, N = 1、 2) 10 (2) W ( s ) = 0.1s ± 1 (3) W ( s ) = Ks N ( K = 10, N = 1、 2) (4) W ( s ) = 10 × (0.1s ± 1) 4 (5) W ( s ) = s ( s + 2) 4 (6) W ( s ) = ( s + 1)( s + 2) s+3 (7) W ( s ) = s + 20 (8) W ( s ) = T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1 (ξ = 0.707) 25 × (0.2s + 1) (9) W ( s ) = 2 s + 2s + 1 4-4 绘出习题 4-3 各传递函数对应的对数频率特性。 4-5 绘出下列系统的开环传递函数的幅相频率特性和对数频率特性。 K (T3 s + 1) (1 > T1 > T2 > T3 > 0) (1) WK ( s ) = s (T1 s + 1)(T2 s + 1) 500 (2) WK ( s ) = 2 s ( s + s + 100)

(3) WK ( s ) = 4-6
(1) (2) (3)

e?0.2 s s +1 用 Nyquist 稳定判据判断下列反馈系统的稳定性,各系统开环传递函数如下: K (T3 s + 1) WK ( s ) = (T3 > T1 + T2 ) s (T1 s + 1)(T2 s + 1) 10 WK ( s ) = s ( s ? 1)(0.2 s + 1) 100(0.01s + 1) WK ( s ) = s ( s ? 1)

4-7 设系统的开环幅相频率特性如图 4.37 所示,写出开环传递函数的形式,判断闭环 系统是否稳定。图中 p 为开环传递函数右半平面的极点数。

·118·

第4章

经典的控制工程数值与计算工具

·119·

图 4.37 题 4-7 图

4-8 已知最小相位系统开环对数幅频特性如图 4.38 所示。

图 4.38 题 4-8 图

(1) 写出其传递函数; (2) 绘出近似的对数相频特性。 4-9 已知系统开环传递函数分别为 6 (1) WK ( s ) = s (0.25s + 1)(0.06 s + 1) 75(0.2s + 1) (2) WK ( s ) = 2 s (0.025s + 1)(0.006s + 1)

·119·

·120·

自动控制原理

试绘制 Bode 图,求相位裕量及增益裕量,并判断闭环系统的稳定性。 4-10 某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图 4.39 所示, 试写出系统的开环传递 函数。

图 4.39 题 4-10 图

4-11 已知以单位负反馈系统的开环对数幅相频率特性如图 4.40 所示(最小相位系统)。 试求:(1)系统的闭环传递函数;(2)若输入 r (t ) = e ?5t ,求系统的瞬态响应 c(t ) 。

图 4.40 题 4-11 图

4-12 设单位反馈系统的开环传递函数为 2 s (0.1s + 1)(0.5s + 1) 当输入信号 xr (t ) 为 5rad/s 的正弦信号时,求系统稳态误差。 WK ( s ) = 4-13 应用 Simulink 模块实现 I = ∫ e ? x dx , 其精度值为 0.74684204 (参考附录 Simulink)。
2

1

0

4-14 试应用 MATLAB 绘制 G(s) =

10( s + 3) s ( s + 2)( s 2 + s + 2)

的 Bode 图,并求取系统的幅值裕量和相位裕量。 4-15 某单位负反馈控制系统的开环传递函数为 K G(s) = (T1 s + 1)(T2 s + 1) 根据系统的极零点图概略绘制系统的开环幅相曲线。 4-16 已知单位负反馈控制系统的闭环特征方程为 s 3 + 3s 2 + ( K + 2) + 10 K = 0 试绘制系统的根轨迹 (0 < K < ∞) 。
·120·

第4章

经典的控制工程数值与计算工具

·121·

4-17 设单位负反馈系统的开环传递函数为 K ( s + 2) G(s) = s ( s + 1)
应用 MATLAB 绘制该系统的根轨迹图,并证明系统的复数根轨迹是以( ?2, j0 )为圆 心,以 2 为半径的圆。

4-18 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。 K g ( s + 3) (1) WK ( s ) = ( s + 1)( s + 2) K g ( s + 5) (2) WK ( s ) = s ( s + 3)( s + 2) K g ( s + 3) (3) WK ( s ) = ( s + 1)( s + 5)( s + 10) 4-19 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。 K g ( s + 2) (1) WK ( s ) = 2 s + 2s + 3 Kg (2) WK ( s ) = s ( s + 2)( s 2 + 2s + 2) K g ( s + 2) (3) WK ( s ) = s ( s + 3)( s 2 + 2s + 2) K g ( s + 1) (4) WK ( s ) = s ( s ? 1)( s 2 + 4s + 16) K g (0.1s + 1) (5) WK ( s ) = s ( s + 1)(0.25s + 1) 2 4-20 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 WK ( s ) = K s (Ts + 1)( s 2 + 2s + 2)

求当 K = 4 时,以 T 为参变量的根轨迹。 4-21 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 K ( s + a) WK ( s ) = 2 s ( s + 1) 1 求当 K = 时,以 a 为参变量的根轨迹。 4 4-22 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 Kg WK ( s ) = ( s + 16)( s 2 + 2s + 2) 试用根轨迹法确定使闭环主导极点的阻尼比 ξ = 0.5 和自然角频率 ω n = 2 时 K g 的值。

4-23 已知单位正反馈系统的开环传递函数为 Kg WK ( s ) = ( s + 1)( s ? 1)( s + 4) 2
·121·

·122·

自动控制原理

试绘制其根轨迹。 4-24 设系统开环传递函数为
WK ( s ) = K g ( s + 1) s ( s + 2)( s + 4)
2

试绘制系统在负反馈与正反馈两种情况下的根轨迹。

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