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2.2.2椭圆的简单几何性质第2课时 椭圆标准方程及性质的应用 教案(人教A版选修2-1)


第 2 课时 椭圆标准方程及性质的应用
●三维目标 1.知识与技能 掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,初步探寻弦长公式有关知识. 2.过程与方法 通过研究直线与椭圆的位置关系培养学生探索问题、 解决问题的能力, 领悟数形结合和 化归等思想. 3.情感、态度与价值观 培养学生自主参与意识,激发学生探索数学的兴趣. ●重点难点 重点:掌握直线与椭圆位置关系的判

断方法,注意数形结合思想的渗透. 难点:应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题. 本节内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课, 涉及直线与椭圆的位置关系、 椭 圆的实际应用问题, 掌握好椭圆方程与性质, 类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重 点与难点的关键.

(教师用书独具)

●教学建议 由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程, 但大部分还停留 在经验基础上,主动迁移能力、整合能力较弱,所以本节课宜采用启发引导式教学,同时借 助多媒体,充分发挥其形象、生动的作用. ●教学流程 创设问题情境,引出问题:能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系? ?

引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系,通过比较、分析,得出判断方法——代数法.

?

引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤,引出解题关键与注意事项.

? ?

通过例1及其互动探究,使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.

通过例2及变式训练,使学生掌握直线与椭圆相交问题,学会求直线方程和弦长的方法. ? 通过例3及变式训练,使学生掌握直线与椭圆相切问题,解决由切线问题求最小距离的方法. ? 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识. ?

完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正.

课 标 解 读 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(难点)

点与椭圆的位置关系 【问题导思】 1.点与圆的位置关系有几种? 【提示】 点在圆外,点在圆上,点在圆内三种. 2.如何判断点与椭圆的位置关系? 【提示】 类比点与圆的判断方法. x2 y2 点 P(x0,y0)与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的位置关系: a b
2 x2 y0 0 点 P 在椭圆上? 2+ 2=1; a b

x2 y2 0 0 点 P 在椭圆内部? 2+ 2<1; a b x2 y2 0 0 点 P 在椭圆外部? 2+ 2>1. a b 直线与椭圆的位置关系 【问题导思】

1.直线与圆的位置关系有哪几种? 【提示】 相离、相切、相交. 2.我们可以比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系, 能否比较椭圆中心到直线的距离与长轴或短轴长来判断直线与椭圆的位置关系?为什么? 【提示】 不能.中心到椭圆上点的距离不完全相等. x2 y2 直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的位置关系: a b y=kx+m, ? ? 联立?x2 y2 消 y 得一个关于 x 的一元二次方程 2+ 2=1, ? ?a b

位置关系 相交 相切 相离

解的个数 两解 一解 无解

Δ 的取值 Δ>0 Δ =0 Δ<0

直线与椭圆的位置关系的判断 x2 对不同的实数值 m,讨论直线 y=x+m 与椭圆 +y2=1 的位置关系. 4 【思路探究】 联立两个方程 ― → 消去y得到关于 x的二次方程

― → 求Δ ― → 讨论Δ得结论 x2 2 ? 【自主解答】 联立方程组得:?y=x+m ① 4 +y =1 ② ? x2 将①代入②得: +(x+m)2=1 4 整理得:5x2+8mx+4m2-4=0③ Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2) 当 Δ>0,即- 5<m< 5时,方程③有两个不同的实数根,代入①可得两个不同的公 共点坐标,此时直线与椭圆相交;

当 Δ=0,即 m=± 5时,方程③有两个相等的实数根,代入①得一个公共点坐标,此 时直线与椭圆相切; Δ<0 时,即 m<- 5或 m> 5,方程③无实根,直线与椭圆相离.

1.直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况,其位置关系的几何特征分别是直线与椭 圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点,并且二者互为充要条件. 2.判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法,即通过方程研究,先将直线方程与椭圆 的方程联立,消去一个未知数 y(或 x),得到关于 x(或 y)的一个一元二次方程.由于该一元 二次方程有无实数解、 有几个实数解与方程组的解的个数相对应, 故利用一元二次方程根的 判别式 Δ,根据 Δ>0,Δ<0 还是 Δ=0 即可判断方程组解的个数,从而得出直线与椭圆的 交点情况.

x2 y2 若把本例中直线方程改为“y=2x+m”,椭圆方程改为 + =1,试讨论直线与椭 4 2 圆的位置关系. y=2x+m,① ? ?2 2 【解】 由直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立,得方程组?x y ? ? 4 + 2 =1,② 将①代入②,并整理得 9x2+8mx+2m2-4=0,③ 方程③的判别式为 Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)由 Δ>0,得-3 2<m<3 2,也就是当-3 2<m<3 2时,方程③有两个不相等的 实数根,可知原方程组有两个不同的实数解,这时直线 l 与椭圆 C 有两个不同的公共点,即 直线 l 与椭圆 C 相交. (2)由 Δ=0,得 m=± 3 2,也就是当 m=± 3 2时,方程③有两个相等的实数根,可知原 方程组有两个相同的实数解,这时直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,即直线 l 与椭圆 C 相切. (3)由 Δ<0,得 m<-3 2或 m>3 2,也就是当 m<-3 2或 m>3 2时,方程③没有 实数根, 可知方程组没有实数根, 这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点, 即直线 l 和椭圆 C 相离.

弦长问题 x2 y2 过点 P(-1,1)的直线与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点恰为 4 2 点 P,求 AB 所在的直线方程及弦长|AB|. 【思路探究】 设点A,B坐标 → 代入椭圆方程 →

点差法求kAB → 求直线AB方程 → 求弦AB长
2 2 ? ?x1+2y1=4, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 A,B 两点在椭圆上得? 2 两式 2 ?x2+2y2=4, ?

【自主解答】 相减得

(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0 ① y1-y2 x1+x2 显然 x1≠x2,故由①得:kAB= =- . x1-x2 2?y1+y2? 因为点 P(-1,1)是 AB 的中点,所以有: x1+x2=-2,y1+y2=2, ② 1 把②代入①得:kAB= , 2 1 ∴直线 AB 的方程为 y-1= (x+1),即 x-2y+3=0, 2 x-2y+3=0 ? ?2 2 由?x y 消去 y,得 3x2+6x+1=0. + = 1 , ? ?4 2 1 ∴x1+x2=-2,x1x2= , 3 |AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1 24 30 1+ · = . 4 3 3

求弦长的两种方法: (1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. (2)联立直线与椭圆的方程,消元得到关于一个未知数的一元二次方程,利用弦长公式: |P1P2|= 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2= 1 1+ 2 ?y1+y2?2-4y1y2,其中 x1、x2(y1、y2)是上述一 k

元二次方程的两根,由韦达定理求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.

x2 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 +y2=1 的右焦点 F,交椭圆于 A、B 两点,求弦 AB 4 的长. 【解】 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由椭圆方程知 a2=4,b2=1,∴c= a2-b2= 3, ∴F( 3,0),∴直线 l 的方程为 y=x- 3, 将其代入椭圆方程,并化简、整理得 5x2-8 3x+8=0, 8 3 8 ∴x1+x2= ,x1x2= , 5 5 ∴|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 ?8 3?2-4×5×8 8 = 2· = . 5 5

中点弦问题 x2 y2 过椭圆 + =1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被 M 点平分,求此弦所在的直 16 4 线方程. 【思路探究】 可以联立方程,消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解;也可 以考虑利用点差法求解. 【自主解答】 法一 设所求直线方程为 y-1=k(x-2). 代入椭圆方程并整理,得 (4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. 又设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则 x1、x2 是方程的两个根, 8?2k2-k? 于是 x1+x2= 2 . 4k +1 又 M 为 AB 的中点, ∴ x1+x2 4?2k2-k? = 2 =2, 2 4k +1

1 解之得 k=- . 2 故所求直线的方程为 x+2y-4=0. 法二 设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2).

又 M(2,1)为 AB 的中点, ∴x1+x2=4,y1+y2=2. 又 A、B 两点在椭圆上,
2 2 2 则 x2 1+4y1=16,x2+4y2=16. 2 2 2 两式相减得(x1 -x2 2)+4(y1-y2)=0.

于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. ∴ y1-y2 x1+x2 1 =- =- , 2 x1-x2 4?y1+y2?

1 即 kAB=- . 2 又直线 AB 过 M(2,1)点, 故所求直线的方程为 x+2y-4=0.

本题的这两种解法, 是解中点弦问题的常用方法, 解中点弦问题关键在于充分利用“中 点”这一条件,灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系,解法一是设出方程,根据中点坐 标求出 k;解法二是设出交点坐标,代入方程,整体作差求直线方程(也叫点差法),是“设 而不求”.

若一直线与椭圆 4x2+9y2=36 相交于 A、B 两点,且弦 AB 中点的坐标为 M(1,1),则 直线 AB 的方程为________. 【解析】
2 {4x2 1+9y1=36

设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 是 弦 A 、 B 的 两 个 端 点 , 代 入 椭 圆 方 程 有 ①
2 x2 ②, 2+9y2=36

两式相减得 4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0, ∵M(1,1)为弦 AB 的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=2, ∴4(x1-x2)+9(y1-y2)=0,∴kAB= y1-y2 4 =- . 9 x1-x2

4 故 AB 的直线方程为 y-1=- (x-1),即 4x+9y-13=0. 9 【答案】 4x+9y-13=0

运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题

x2 y2 (12 分)(2013· 本溪高二检测)已知椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 过点 A(-a,0), a b π 3 B(0,b)的直线倾斜角为 ,原点到该直线的距离为 . 6 2 (1)求椭圆的方程; → → (2)斜率大于零的直线过 D(-1,0)与椭圆分别交于点 E,F,若ED=2DF,求直线 EF 的 方程; (3)对于 D(-1,0),是否存在实数 k,使得直线 y=kx+2 分别交椭圆于点 P,Q,且|DP| =|DQ|,若存在,求出 k 的值,若不存在,请说明理由. 【思路点拨】 (1)根据椭圆上两点 A、B 连线的倾斜角和原点到该直线的距离可以求出 椭圆方程中的待定系数,从而求得椭圆方程.(2)利用直线 EF 过 D 且斜率大于 0 设出直线 方程,与椭圆方程联立,再根据向量关系得出坐标间关系,进而求出直线方程. (3)利用定 点 D 与弦端点的几何关系,由设而不求的思想方法,转换成坐标关系,构造出关于 k 的方 程 ,再求出 k 值. 【规范解答】 x2 程是 +y2=1.2 分 3 x2 (2)设 EF:x=my-1(m>0)代入 +y2=1,得(m2+3)y2-2my-2=0. 3 → → 设 E(x1,y1),F(x2,y2).由ED=2DF,得 y1=-2y2,4 分 -2 2m 由 y1+y2=-y2= 2 ,y1y2=-2y2 得 2= 2 m +3 m +3 (- 2m 2 1 ) = 2 ,∴m=1,m=-1(舍去), m2+3 m +3 b 3 1 1 3 (1)由 = , ab= × × a2+b2,得 a= 3,b=1,所以椭圆的方 a 3 2 2 2

直线 EF 的方程为 x=y-1,即 x-y+1=0.7 分 x2 (3)记 P(x′1,y′1),Q(x′2,y′2).将 y=kx+2 代入 +y2=1,得(3k2+1)x2+12kx+ 3 9=0(*),x′1,x′2 是此方程的两个相异实根. 设 PQ 的中点为 M,则 xM= x′1+x′2 6k 2 =- 2 ,yM=kxM+2= 2 . 2 3k +1 3k +1

2 2 3 k +1 yM 1 由|DP|=|DQ|,得 DM⊥PQ,∴kDM= = =- ,∴3k2-4k+1=0,得 6k k xM+1 - 2 +1 3k +1 1 k=1 或 k= .10 分 3

1 但 k=1,k= 均使方程(*)没有两相异实根. 3 ∴满足条件的 k 不存在.12 分 【思维启迪】 1.直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧, 在解题中要注意运用,避免求解浪费时间或造成不必要的失分. 2.直线和椭圆相交时切记 Δ>0 是求参数范围(值)的前提条件.

1.直线与椭圆的位置关系,可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程,利用 “Δ”进行判定.求弦长时可利用韦达定理,中点弦问题考虑,使用“点差法”. 2.最值问题转化为函数最值或利用数形结合思想.

1.点 A(2,1)与椭圆 2x2+y2=1 的位置关系是( A.点在椭圆上 C.点在椭圆内 B.点在椭圆外 D.无法确定

)

【解析】 把 A(2,1)代入 2x2+y2 中,得 2×4+1=9>1,故点 A 在椭圆外部. 【答案】 B y2 2.直线 y=x+1 与椭圆 x + =1 的位置关系是( 2
2

)

A.相离 C.相交

B.相切 D.无法确定

y=x+1 ? ? 【解析】 联立? 2 y2 消去 y 得 3x2+2x-1=0,Δ=22+12=16>0,∴直线与椭 x + = 1 ? 2 ?

圆相交. 【答案】 C x2 y2 3.(2013· 青岛高二期末)直线 y=x+1 被椭圆 + =1 所截得的弦的中点坐标是( 4 2 2 5 A.( , ) 3 3 2 1 C.(- , ) 3 3 4 7 B.( , ) 3 3 13 17 D.(- ,- ) 2 2 )

y=x+1 ? ?2 2 【解析】 联立?x y 消 y 得,3x2+4x-2=0,设直线与椭圆交于点 A(x1,y1), ? ? 4 + 2 =1 x1+x2 4 2 2 B(x2,y2),则 x1+x2=- ,故 AB 的中点横坐标 x0= =- .纵坐标 y0=x0+1=- +1 3 2 3 3 1 = . 3 【答案】 C 4 x2 y2 4.求过点(3,0)且斜率为 的直线被椭圆 + =1 所截得线段的长度. 5 25 16 4 4 【解】 过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3). 5 5 x2 ?x-3? 设直线与椭圆交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2),将直线方程代入椭圆方程得 + =1, 25 25 即 x2-3x-8=0. ∴x1+x2=3,x1x2=-8. ∴|AB|= 1+k · ?x1+x2? -4x1x2=
2 2

2

16 41 ?1+ ??9+32?= 25 5

一、选择题 x2 y2 1.点 A(a,1)在椭圆 + =1 的内部,则 a 的取值范围是( 4 2 A.- 2<a< 2 C.-2<a<2 B.a<- 2或 a> 2 D.-1<a<1 )

x2 y2 【解析】 ∵点 A(a,1)在椭圆 + =1 内部, 4 2 a2 1 ∴ + <1. 4 2

a2 1 ∴ < . 4 2 则 a2<2,∴- 2<a< 2. 【答案】 A x2 y2 2.(2013· 潍坊高二检测)直线 y=k(x-2)+1 与椭圆 + =1 的位置关系是( 16 9 A.相离 C.相切 B.相交 D.无法判断 )

4 1 【解析】 直线 y=k(x-2)+1 过定点 P(2,1),将 P(2,1)代入椭圆方程,得 + <1,∴ 16 9 P(2,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交. 【答案】 B x2 y2 3.已知椭圆 2+ 2=1 有两个顶点在直线 x+2y=2 上,则此椭圆的焦点坐标是( a b A.(± 3,0) C.(± 5,0) B.(0,± 3) D.(0,± 5) )

【解析】 ∵直线 x+2y=2 过(2,0)和(0,1)点, ∴a=2,b=1,∴c= 3, 椭圆焦点坐标为(± 3,0). 【答案】 A 4.(2013· 大庆高二检测)椭圆 mx2+ny2=1 与直线 y=1-x 交于 M,N 两点,过原点与 线段 MN 中点所在直线的斜率为 A. 2 2 2 3 B. 3 2 3 D. 27 2 m ,则 的值是( 2 n )

9 2 C. 2

?y=1-x ? 【解析】 联立方程组可得? 2 2 ?mx +ny =1 ?

?(m+n)x2-2nx+n-1=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 P(x0,y0), x1+x2 n 则 x0= = , 2 m+n y0=1-x0=1- n m = . m+n m+n

y0 m 2 ∴kOP= = = .故选 A. x0 n 2 【答案】 A x2 y2 5.直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 总有公共点,则 m 的取值范围是( 5 m A.m≥1 B.m≥1 或 0<m<1 C.0<m<5 且 m≠1 D.m≥1 且 m≠5 y=kx+1, ? ?2 2 【解】 由?x y 得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0, + = 1 , ? ?5 m 又直线与椭圆有公共点, ∴上述方程的 Δ≥0 对一切 k 都成立, 即(10k)2-4(m+5k2)×5(1-m)≥0, 亦即 5k2≥1-m 对一切 k 都成立, ∴1-m≤0,即 m≥1,而 m≠5. 【答案】 D 二、填空题 x2 6.已知 F1 为椭圆 C: +y2=1 的左焦点,直线 l:y=x-1 与椭圆 C 交于 A、B 两点, 2 那么|F1A|+|F1B|的值为________. 【解析】 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),
?x2+2y2=2, ? 由? 消去 y,得 3x2-4x=0. ? y = x - 1 , ?

)

4 1 ∴A(0,-1),B( , ). 3 3 x2 又由 +y2=1 知左焦点 F1(-1,0), 2 5 2 8 2 则|F1A|+|F1B|= 2+ = . 3 3 【答案】 8 2 3

x2 y2 7. 直线 l 交椭圆 + =1 于 A、 B 两点, AB 的中点为 M(2,1), 则 l 的方程为________. 16 12

3 3 【解析】 由点差法求出 kAB=- ,∴l 的方程为 y-1=- (x-2). 2 2 化简得:3x+2y-8=0. 【答案】 3x+2y-8=0 x2 y2 8.过椭圆 + =1 的右焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐 5 4 标原点,则△OAB 的面积为________. 【解析】 由已知可得直线方程为 y=2x-2,联立方程得 x y ? ? 5 + 4 =1 5 4 ? 解得 A(0,-2),B( , ), 3 3 ? ?y=2x-2 1 5 ∴S△AOB= · |OF|· |yA-yB|= . 2 3 【答案】 5 3
2 2

三、解答题

图 2-2-4 9.如图 2-2-4 所示,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少?

x2 y2 【解】 如图建立直角坐标系,则点 P(11,4.5),椭圆方程为 2+ 2=1. a b ∵P(11,4.5)在椭圆上, ∴ 112 4.52 + 2 =1.① a2 b

44 7 又 b=h=6,代入①式,得 a= . 7 88 7 此时 l=2a= ≈33.3(米), 7 因此隧道的拱宽约为 33.3 米. 10.已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m.

(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
2 2 【解】 (1)由题意得{4x +y =1, y=x+m, 消 y 整理得:

5x2+2mx+m2-1=0. ∵直线与椭圆有公共点, ∴Δ=4m2-20(m2-1)=20-16m2≥0, ∴- 5 5 ≤m≤ . 2 2

(2)设直线与椭圆交点 A(x1,y1),B(x2,y2),

?x +x =- 5 , 则由(1)得? m -1 ?x x = 5 .
1 2 2 1 2

2m

∴|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1+k2· ∵-
2 4 2 4?m -1? 2 2 m- = -4m2+5. 25 5 5

5 5 5 ≤m≤ ,∴0≤m2≤ , 2 2 4

∴当 m=0 时,|AB|取得最大值,此时直线方程为 y=x,即 x-y=0. 11.已知△ABC 的顶点 A,B 在椭圆 x2+3y2=4 上,C 在直线 l:y=x+2 上,且 AB∥ l. (1)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及△ABC 的面积; (2)当∠ABC=90° ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程. 【解】 (1)∵AB∥l,且 AB 边通过点(0,0), ∴AB 所在直线的方程为 y=x. 设 A,B 两点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
2 2 由{x +3y =4, y=x, 得 x=± 1,

∴|AB|= 2|x1-x2|=2 2, 又∵AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离, 1 ∴h= 2,∴S△ABC= |AB|· h=2. 2 (2)设 AB 所在直线方程为 y=x+m.
2 2 由{x +3y =4, y=x+m, 得 4x2+6mx+3m2-4=0.

∵A,B 在椭圆上,

∴Δ=-12m2+64>0. 3m2-4 3m 设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1· x2= , 2 4 32-6m2 ∴|AB|= 2|x1-x2|= . 2 又∵BC 的长等于点(0,m)到直线 l 的距离,即|BC|= |2-m| . 2

∴|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11. ∴当 m=-1 时,AC 边最长.(这时 Δ=-12+64>0) 此时 AB 所在直线方程为 y=x-1.

(教师用书独具)

x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,离心率 e= ,椭圆 C 上的点到 F 的 a b 2 距离的最大值为 2+1,求椭圆 C 的方程. 【自主解答】 椭圆的右焦点 F(c,0), 设椭圆上一点 P(x,y), x2 y2 则有: 2+ 2=1, a b x2 即 y2=b2(1- 2). a |PF|2=(x-c)2+(y-0)2 x2 =(x-c)2+b2(1- 2) a = a2-b2 2 x -2cx+b2+c2 a2

c2 = 2x2-2cx+a2 a c =( x-a)2, a c c ∴|PF|=| x-a|=a- x a a =a-ex. ∵-a≤x≤a, ∴|PF|max=a-e· (-a) =a+c. c 2 根据题意得 a+c= 2+1,e= = , a 2 结合 a2=b2+c2, 联立这三个关于 a、b、c 的方程组,

?a+ 2= 2+1 消去 c 得:? 1 ?a =b +2a
2 2 2 2 解得:{a =

a

.

b2=1 .

x2 ∴所求椭圆的方程为 +y2=1. 2

x2 y2 (2013· 莱芜高二检测)若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭 9 5 → → 圆上任意一点,则OP· FP的最小值为( 11 A. 4 B.3 C.8 ) D.15

【解析】 a2=9,b2=5,∴c2=a2-b2=4. ∴c=2.∴焦点 F(-2,0).
2 x0 y2 0 设 P(x0,y0),则 + =1.① 9 5

→ → → → OP=(x0,y0),FP=(x0+2,y0),∴OP· FP=x0(x0+2)+y2 0.② 5 2 由①得:y2 0=5- x0代入②得: 9 4 9 11 → → 4 2 OP· FP= x0+2x0+5= (x0+ )2+ . 9 9 4 4 ∵点 P(x0,y0)在椭圆上,∴-3≤x0≤3, 9 11 → → ∴当 x0=- 时,OP· FP的最小值是 .故选 A. 4 4 【答案】 A


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