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上海市崇明县2012年高考模拟考试试卷(二模)理科数学试题


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崇明县 2012 年高考模拟考试试卷 高三数学(理科)
(考试时间 120 分钟,满分 150 分)
考生注意: 1. 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料,所有解答必须写在答题纸上规定位置,写在试 卷上或答题纸上非规定位置一律无效; 2. 答卷前,考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚; 3. 本试卷共 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分,只需将结果写在答题纸上)
1、已知 a ? R ,若 (3 ? 2i) ? ai(3 ? 2i) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则 a 的值等于
cos ? 3 2、若 sin ? ? ? ,则行列式 sin ? 5 sin ? cos ? ?



. .
开始 输入 x 是
f ( x) ? g( x)

3、直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 与直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 平行,则实数 a ? 4、已知函数 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? 2x ?1 ( x ≥1) 的反函数,则
f ?1 ( x) ?

. (要求写明自变量的

取值范围) 5、已知全集 U ? R, A ? x | x2 ? 2x ? 0 , B ? ?x | log2 x ? 1≥ 0?, 则 A ? (CU B) ? .



?

?

h( x) ? f ( x)

h( x) ? g ( x)

输出 h(x) 结束

6、如图所示的算法流程图中,若 f ( x) ? 2 x ? 3, g ( x) ? x2 , 若输出 h(a) ? a 2 ,则 a 的取值范围是 7、在直角 ?ABC 中, ?C ? 90? , ?A ? 30? , BC ? 1 , .

D 为斜边 AB 的中点,则 AB ? CD =

??? ??? ? ?



图2

8、某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1, 2,3, 4,5 .现从一批该日用品 中抽取 200 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率 f 的分布表如下: X f 1 2 0.2 3 0.45 4 0.15 5 0.1

a

则在所抽取的 200 件日用品中,等级系数 X ? 1 的件数为 ________. x2 1 1 9、若 ( ? 3 ) n 展开式的各项系数和为 ? 7 ,则展开式中常数项等于 2 2 x
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10、已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同,若圆柱 M 与球 O 的表面积相等,则它们 的体积之比 V圆柱 : V球 ? 11、若数列 ?an ? 满足 . (用数值作答) .

an ? 2 1 1 ? ? (n ? N ? ), a1 ? 1, a2 ? ,则 lim ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? n?? an 2 2

12、在极坐标系中,已知点 A(2, ? ), B(2, 的最小值等于 .

4? ) ,C 是曲线 ? ? 2sin ? 上任意一点,则 ?ABC 的面积 3

13、某公司向市场投放三种新型产品,经调查发现第一种产品受欢迎的概率为

4 ,第二、第三种 5 产品受欢迎的概率分别为 m , n ,且不同种产品是否受欢迎相互独立.记 ? 为公司向市场投
放三种新型产品受欢迎的数量,其分布列为

?
P 则 m? n ? 14、给出定义:若 m ?

0

1 a .

2 d

3

2 45

8 45

1 1 ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 ? x ≤ m ? (其中 m 为整数) 2 2

{x} ? m , 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题: ①函数 y ? f ( x) 的定义域

? 1? ? 1 1? 为 R ,值域为 ? 0, ? ;②函数 y ? f ( x) 在 ? ? , ? 上是增函数;③函数 y ? f ( x) 是周期函数, ? 2? ? 2 2?

最小正周期为 1 ;④函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 是 .

k (k ? Z ) 对称.其中正确命题的序号 2

二、选择题(本大题共 4 小题,满分 20 分,每小题给出四个选项,其中有且只有一个结论是正
确的,选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得 5 分,否则一律得零分) 15、 f ( x) ? (cos 2 x cos x ? sin 2 x sin x)sin x , x ? R ,则 f ( x) 是 ???????????( A.最小正周期为 ? 的奇函数 B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为 )

? C.最小正周期为 的奇函数 2

? 的偶函数 2


16、 m ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? m 有零点”的???????????????( “ A.充要条件 C.充分非必要条件 B. 必要非充分条件

D. 既不充分也不必要条件 5 17、已知复数 w 满足 w ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 z ? ? w ? 2 ,则一个以 z 为根的实系数 w 一元二次方程是?????????????????????????????( ) A. x 2 ? 6 x ? 10 ? 0 C. x 2 ? 6 x ? 10 ? 0
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B. x 2 ? 6 x ? 10 ? 0 D. x 2 ? 6 x ? 10 ? 0
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18、若已知曲线 C1 : x2 ?

y ? 1 ( x ≥ 0, y ≥ 0) ,圆 C2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 ,斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 8

2

与圆 C2 相切,切点为 A ,直线 l 与曲线 C1 相交于点 B , AB ? 3 ,则直线 AB 的斜率为 ????????????????????????????????????( A.1 B. )

1 2

C.

3 3

D. 3

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分。解答下列各题并写出必要的过程,并将解题过程清
楚地写在答题纸上) 19、 (本题满分 12 分.其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为正方形, PA ? 平面 ABCD,E、F 分别是 BC,PC 的中点, AB ? 2 , AP ? 2 . P (1)求证: BD ? 平面 PAC ; (2)求二面角 E ? AF ? C 的大小.
A B E C F D

20、 (本题满分 14 分.其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1 , x ? R . 2 2 (1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若 sin B ? 2 sin A ,求 a , b 的值.

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21、 (本题满分 14 分.其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 2 分) 某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放 x 2 ? a ? 2a ? , x ? ? 0, 24? ,其中 a 是与气 射性污染指数 f ? x ? 与时刻 x (时) 的关系为 f ? x ? ? 2 x ?1 3

1 象有关的参数,且 a ?[0, ] . 2
(1)令 t ?

x , x ? ? 0, 24? ,写出该函数的单调区间,并选择其中一种情形进行证明; x ?1
2

(2)若用每天 f ( x) 的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作 M (a ) ,求 M (a ) ; (3)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污染 指数是否超标?

22、 (本题满分 16 分.其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 已知曲线 C 上动点 P( x, y ) 到定点 F1 ( 3,0) 与定直线 l1 : x ? (1)求曲线 C 的轨迹方程;
4 3 3 的距离之比为常数 . 3 2

1 (2)若过点 Q(1, ) 引曲线 C 的弦 AB 恰好被点 Q 平分,求弦 AB 所在的直线方程; 2
(3)以曲线 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与曲线 C 交于点 M 与
???? ??? ? 点 N ,求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程.

23、 (本题满分 18 分.其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d, Sn 为其前 n 项和,且满足
2 an ? S2 n ?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , n ? N* , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 和数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;
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若不存在,请说明理由.

崇明县 2012 年高考模拟考试试卷解答
高三数学(理科)
一、填空题 3 1、 2
7 25
4、 log 2 x ? 1 ( x ? 1) 8、20 件 9、

2、

3、 3 7、?1

5、 (0, ) 10、

1 2

6、?3, ??? ? ? ??, ?1?

7 2

3 4

11、

1

12、 3 ?

1 2

13、 1

14、①、③、④

二、选择题
15、A 16、C 17、B 18、C z

三、解答题
19、 (1)

PA ? 平面ABCD ? PA ? BD ? ? 正方形ABCD ? AC ? BD ?
y x

? BD ? 平面PAC 。
(2)以 A 为原点,如图所示建立直角坐标系. 则 A(0, 0, 0) , E (2,1, 0) , F (1,1,1)

??? ? ??? ? ? 2x ? y ? 0 AE ? (2,1,0) , AF ? (1,1,1) ,设平面 FAE 法向量为 n( x, y, z ) ,则 ? ?x ? y ? z ? 0 ? ??? ? ?n(1, ?2,1) , BD ? (2, ?2,0) ,
? ??? ? n ? BD 2?4 3 cos ? ? ? ??? = ? ? 2 n ? BD 2 2 ? 6
所以 ? ?

?
6

,即二面角 E ? AF ? C 的大小为

? 。 6

20.解: (1) f ( x ) ?

3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 , 2 2 2 6
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则 f ( x ) 的最小值是-2, 最小正周期是 T ? 2? ? ? ;

2

(2) f (C ) ? sin(2C ? ? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ? ) ? 1 ,

6

6

Q0? C ??

?0 ? 2 ? ? C 2

?? ? ? 2C ? ? ? 11? , 6 6 6

? 2C ? ? ? ? ,? C ? ? , 6 2 3
Q sin B ? 2sin A ,由正弦定理,得 a ? 1 ,① b 2
2 2 2 由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos ? ,即 a ? b ? ab ? 3 , ②
2 2

3

由①②解得 a ? 1, b ? 2 . 21、解: (1)单调递增区间为 ?0,1? ;单调递减区间为 ?1,24? 。 证明:任取 0 ? x1 ? x2 ? 1 , t ( x1 ) ? t ( x2 ) ?

( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) , 2 (1 ? x12 )(1 ? x2 )
( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ? 0。 2 (1 ? x12 )(1 ? x2 )

( x1 ? x2 ) ? 0,(1 ? x1x2 ) ? 0 ,所以 t ( x1 ) ? t ( x2 ) ?

所以函数 t ( x) 在 ?0,1? 上为增函数。(同理可证在区间 ?1,24? 上递减) (2)由函数的单调性知 tmax ( x) ? t (1) ? 1; tmin ( x) ? t (0) ? 0 ,

t ∴?

x 1 ? 1? ? 1? ? ? ? 0, ? ,即 t 的取值范围是 ?0, ? . x ?1 x ? 1 ? 2 ? ? 2? x
2

当 a ? ?0, ? 时,记 g ? t ? ? t ? a ? 2a ? 3 ? 2?

? 1?

2

2 ? ??t ? 3a ? 3 , 0 ? t ? a ? 则 g ?t ? ? ? ? t ? a ? 2 ,a ? t ? 1 ? 3 2 ?
∵ ? t ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, ? 上单调递增, g 2

? ?

1? ?

且 g ? 0 ? ? 3a ?

2 ?1? 7 1? ?1? ? , g ? ? ? a ? , g ? 0? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? . 3 ?2? 6 4? ?2? ?

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? ?1? 1 ? 7 1 ?g ? 2 ? , 0 ? a ? 4 ? a ? 6 , 0 ? a ? 4 ? ? 故 M ?a? ? ? ? ? . ?? 1 1 ?3a ? 2 , 1 ? a ? 1 ? g ? 0? , ? a ? ? 3 4 2 ? ? 4 2 ?
4 时, M ? a ? ? 2 . 9 4 4 1 故当 0 ? a ? 时不超标,当 ? a ? 时超标. 9 9 2 22、解: (1)过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 D .
(3)因为当且仅当 a ?

PF1 ( x ? 3) 2 ? y 2 3 3 ? , ; ? PM 2 2 4 3 x? 3
所以椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1。 4

(2)当斜率 k 不存在时,检验得不符合要求;

? x2 ? 4 y 2 ? 4 1 ? 当直线 l 的斜率为 k 时, l : y ? ? k ( x ? 1) ;代入得 ? ,化简得 1 2 ? y ? ? k ( x ? 1) ? 2

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 4k (2k ?1) x ? (1 ? 2k )2 ? 4 ? 0
所以

4k (2k ? 1) 1 ? 1 ,解得 k ? ? 。 2 1 ? 4k 2

检验得 ? ? 0 (或说明点 Q 在椭圆内) 所以直线 l : y ?

1 1 1 ? ? ( x ? 1) ,即 l : y ? ? x ? 1 。 2 2 2

(3)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x1 ,? y1 ) , 不妨设 y1 ? 0 .

x 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1 ? 1 ? 1 . 4
2

2

由已知 T (?2, 0) ,则 TM ? ( x1 ? 2, y1 ) , TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ,

?TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) 2 ? y1
x 5 2 ? ( x1 ? 2) ? (1 ? 1 ) ? x1 ? 4 x1 ? 3 4 4
2 2

2

?

5 8 1 ( x1 ? ) 2 ? . 4 5 5
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???? ??? ? 8 1 由于 ? 2 ? x1 ? 2 ,故当 x1 ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5 3 8 3 13 2 计算得, y1 ? ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 5 5 5 25 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) ? y ? . 25
方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M (2cos ? ,sin ? ), N (2cos ? , ? sin ? ) , 不妨设 sin ? ? 0 ,由已知 T (?2, 0) ,则

TM ?TN ? (2 cos? ? 2, sin ? ) ? (2 cos? ? 2, ? sin ? )
2 ? (2 c o ? ? 2) 2 ? s i n ? ? 5 c o 2 ? ? 8 c o ? ? 3 s s s

4 1 ? 5(cos ? ? ) 2 ? . 5 5 ???? ??? ? 4 1 8 3 故当 cos ? ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? ,此时 M ( ? , ) , 5 5 5 5 13 2 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 25 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) ? y ? . 25
2 23、 (1) (法一)在 an ? S2n?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,

?a1 2 ? S1 , ? 得? 2 ?a 2 ? S 3 , ?

? 2 ?a1 ? a1 , 即? ?(a1 ? d ) 2 ? 3a1 ? 3d , ?

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1
2 又? an ? 2n ? 1 时, Sn ? n2 满足 an ? S2 n ?1 ,? an ? 2n ? 1

? bn ?
?Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立. n n 8 ? 2n ? ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n ? 此时 ? 需满足 ? ? 25 .

??

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②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立. n n 8 8 ? 2n ? 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2n ? 取得最小值 ?6 . n n ? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 .

??

综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 . (3) T1 ?

1 m n , Tm ? , Tn ? , 3 2m ? 1 2n ? 1
m 2 1 n ) ? ( ), 2m ? 1 3 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 即

m2 n . ? 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 2 ? 由 ,可得 ? ? 0 ,即 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 , 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 n m2
2

? 1?

6 6 . ? m ? 1? 2 2

又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时,数列 ? n ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列.?16 分 T

m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4m ?1 ? 0 , [另解] 因为 ? ? ,故 2 4m ? 4m ? 1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n

? 1?

6 6 , (以下同上 ) . ? m ? 1? 2 2

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