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崇文区2008年高三第二次模拟考试数学(文科


崇文区 2008 年高三第二次模拟考试数学(文科)试题 数
120 分钟。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。



(文科)

2008.5

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 9 页,共 150 分。考试时间

第Ⅰ卷(选择题
注意事项:

共 40 分)

答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 不能答在试卷上。

一、选择题:本大题共 8 小题.每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数 y ? cos x 的一个单调递增区间为 A. ? ? ( C. ? )

? ? ?? , ? ? 2 2?

B. ? 0, ? ?

? ? 3? ? , ? ?2 2 ?

D. ?? ,2? ?

2.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A.-4 B.4

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 ( 6 2
C.-2 D.2 (



3.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 5 ,点 (an , an ?1 ) 在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,则 an = A 3n ? 2 B 2n ? 3 C 3n ? 2 D 2n ? 3
王新敞
奎屯 新疆



王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

4.若函数 f ( x ) 的反函数是 f ?1 ( x) ? 2x?1 ,则 f (1) 的值为





A. ?4 B. 4 C. ?1 D. 1 5.若半径为 1 的球与 120°的二面角的两个半平面切于 M、N 两点,则两切点间的球面距离是 A.





4? 3

B. ?

C.

2? 3

D.

? 3

6 .按分层抽样的方法,从 15 个相同的红球和 10 个相同的黑球中抽出 10 个球排成一排,则不同的排列方法有 ( ). A. C10
4 4 B. A10 6 C. A10

D. A10

10

7.给出下列命题,则其中的真命题是 A.若直线 m、n 都平行于平面 ? ,则 m、n 一定不是相交直线





B.已知平面 ? 、 ? 互相垂直,且直线 m、n 也互相垂直,若 m ? ? , 则n ? ? C.直线 m、n 在平面 ? 内的射影分别是一个点和一条直线,且 m ? n ,则 n ? ? 或n // ? D.直线 m、n 是异面直线,若 m // ? ,则 n 必与 ? 相交
' 8.定义域为 (??,0) ? (0,+ ? )的偶函数 f ( x) 在区间(0,+ ? )上的图象如图所示,则不等式 f ( x ) f ( x ) >0 的解集

是 A. (- ? ,-1) ? (0,1) B. (-1,0) ? (1,+ ? )





C. . (- ? ,-1) ? (1,+ ? ) D. (-1,0) ? (0,1)

崇文区 2007-2008 学年度第二学期高三期末统一练习 数 学 (文科)

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
注意事项:1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 题号 一 1--8 分数 9 10 二 11 12 13 14 15 16 三 17 18 19 20 总分

得分

评卷人

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.

9.函数 y ?

lg( 3 ? x ) 的定义域是 x?2
6

.

10.若某椭圆焦点与短轴顶点构成正方形,则该椭圆的离心率为_____________. 11.二项式 ? x ?

? ?

1? ? ( x ? 0) 的展开式中常数项等于 x?
?


?

12.已知等比数列{ a n }的公比 q 不为 1,若向量 i =( a 1 , a 2 ), 满足(4 i - j ) ? k =0,则 q =
?
?

j =( a 1 , a 3 ), k =(-1,1)

?

?

. . 的数一一列出, 构成一个数列 则 a22 = .(用数值作答)

13.如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y= —x+5,则 f′(3)= 14.在如图所示的数阵中,分别按图中虚线,从上到下把划到 { a n }:C
1 1,

C ,C

0 2

2 2,

C

1 3,

C

0 4,

C ,C

3 3

2 4,

C ,C

1 5

0 6 ,??,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出 步骤. 得分 评卷人 15. (本小题满分 12 分)

文字说明,证明过程或演算

已知函数 f ( x) ? x m ? x ( x ? R) ,且 f (1) ? 0 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)作出函数 f ( x) 的图象,并指出函数 f ( x) 的单调区间.

得分

评卷人

16. (本小题满分 14 分)

在 ?ABC 中,角 A,B,C 分别所对的边为 a, b, c ,且 sin B cos A ? sin A cos B ? sin 2C ,

?A B C的面积为 4 3 .:
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求边长 c.

得分

评卷人

17. (本小题满分 13 分)

已知 8 人组成的抢险小分队中有 3 名医务人员,将这 8 人分为 A、B 两组,每组 4 人. (Ⅰ)求 A 组中恰有一名医务人员的概率; (Ⅱ)求 A 组中至少有两名医务人员的概率;

得分

评卷人

18. (本小题满分 13 分)

如图,已知正方形 ABCD 与矩形 BEFD 所在平面互相垂直,AB= 2 ,DF=1,P 是线段 EF 上的动点. (Ⅰ)若点 O 为正方形 ABCD 的中心,求直线 OP 与平面 ABCD 所成角的最大值; (Ⅱ)当点 P 为 EF 的中点时,求直线 BP 与 FA 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 A—EF—C 的大小.

得分

评卷人

19. (本小题满分 14 分)

已知 A、B 分别是 x 轴和 y 轴上的两个动点,满足 AB ? 2 ,点 P 在线段 AB 上且 AP ? 2PB ,设点 P 的轨迹方程 为C .
(Ⅰ)求曲线 C 的方程;

(Ⅱ)若点 M、N 是曲线 C 上关于原点对称的两个动点,点 Q 的坐标为 ( ,3) ,求 ?QMN 的面积 S 的最大值.

3 2

得分

评卷人

20.(本小题满分 14 分)

1 ? 2x ,x ? ? 1 ?1 ? 2 x 2 已知 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )是函数 f ( x) ? ? 的图像上的任意两点(可以重合) ,点 M 在直线 x ? 上,且 2 1 ??1, x? ? ? 2
???? ? ???? AM = MB .
(Ⅰ)求 x1 + x2 的值及 y1 + y2 的值 (Ⅱ)已知 S1 =0,当 n≥2 时, Sn = f ( ) + f ( ) + f ( ) + ? ? f (
S

1 n

2 n

3 n

n ?1 ) ,求 Sn ; n

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 an = 2 n , Tn 为数列{ an }的前 n 项和,若存在正整数 c 、m,使得不等式

Tm ? c 1 ? 成立, Tm?1 ? c 2

求 c 和 m 的值.

崇文区 2007-2008 学年度第二学期高三统一练习(二) 数 学(文科) 参考答案

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.D 2.B 3.C 4. C 5.D 6. A 7.C 8.B 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (??,2) ? (2,3) 10.

2 2

11.-20

12.3

13.-1

14.21

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由 f (1) ? m ?1 ? 0 ? m ? 1 , ?????3 分
2 ? ? ? x ? x, x ? 1 f ( x) ? x 1 ? x ? ? 2 ;??????6 分 x ? x , x ? 1 ? ?

(Ⅱ)图像如图.???????????????10 分 函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ] 和 [1, ??) , f ( x) 的

1 2

单调递减区间是

1 [ ,1] ;????????????12 分 2
16. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)? sin B cos A ? sin A cos B ? sin 2C , 化简, sin? A ? B? ? sin C ? 2 sin C cosC .????????????3 分

∵ sin C ? 0 ∴ cos C ? (Ⅱ)∵

1 ? , C ? .????????????????6 分 2 3 1 ?A B C的面积为 4 3 ,∴ ab sin C ? 4 3 , ∴ ab ? 16 . 2

????????????????????????????????9 分 又∵ a ? 2 ,∴ b ? 8 ,∴由余弦定理可得: cosC ?

a2 ? b2 ? c2 , 2ab

∴ c ? 2 13 .??????????????????????????13 分 17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设“A 组中恰有一名医务人员”为事件 A1 ,

P( A1) ?

1 3 C3 C5 3 ? .??????????????????????6 分 7 C84

(Ⅱ)设“A 组中至少有两名医务人员”为事件 A 2 ,
3 1 C32 C52 C3 C5 1 P( A 2) ? ? ? .????????????????13 分 4 2 C8 C84

18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)连结 OP. 设 OP 与平面 ABCD 所成角为 ? ,则 ? ? [ , ] .当 P 是线段 EF 的中点时, OP ? 平面 ABCD,直线 OP 与平面 ABCD 所成的最大角是 (Ⅱ)连结 AF、FC、OF. 易证 FO//PB, ∴ ?AFO 是直线 BP 与 FA 所成的 角. ????????????????5 分 依题意, 在等腰 ?AFC 中,FO ? AC , ?AFO AD= AO= 为 直 角 三 角 形 . ?

? ?

? .??????4 分 2

4 2

2 , DF=1 , ∴ AF =
1 ( 2) 2 ? ( 2) 2 ? 1, 2

3 . 又

∴在 Rt ? AOF 中, sin ?AFO ?

AO 3 .?????????????????8 分 ? AF 3

(Ⅲ)连结 AE、EC,则 AF=FC=AE=EC= 3 .取 EF 的中点 P,连结 AP、CP, AP ? EF , CP ? EF ,则 ?APC 是二面角 A —EF—C 的平面角.??????????????????11 分 则等腰 ?AEF ≌ ?CEF ,∴在 ?APC 中,AP=CP= 2 .又 AC=2,∴ ?APC 是直角三角形. ,且 ?APC ? —EF—C 的大小是

?
2

.即二面角 A

? .??????????????14 分 2

19. (本小题满分 14 分)

(0, b)、 ( x, y) , 解: (Ⅰ)设点 A、B、P 的坐标分别为 (a,0)、

a ? x ? , ? ? 3 则? ? y ? 2b , ? 3 ?

?a ? 3x, ? 即? 3 b ? y. ? 2 ?
9x 2 9 y 2 ? ? 1 .??5 分 4 16

由 AB ? 2 得 a 2 ? b 2 ? 4 ,所以曲线 C 的方程为
2 2

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N(? x1 , ? y1 ) ,则 MN ? 2 x1 ? y1 . 当 x1 ? 0 时,设直线 MN 的方程为 y ?

y1 x, x1

则点 Q 到直线 MN 的距离

h?

3 y1 ? 3x1 2 x ?y
2 1 2 1



∴ ?QMN 的面积 S ?

1 3 ? 2 x12 ? y12 ? ? y1 ? 3x1 .????11 分 2 2 x12 ? y12

3 y1 ? 3x1 2

3 9 ∴ S ? y1 ? 3x1 ? 9 x12 ? y12 ? 9 x1 y1 . 2 4
2

2

又∵

9 9 x12 9 y12 ? ? 1 ,∴ 9 x12 ? y12 ? 4 .∴ S 2 ? 4 ? 9x1 y1 . 4 4 16

而1 ?

9 x12 9 y12 3x 3 y 9x y ? ? ?2 ? 1 ? 1 ? ? 1 1 ,则 ?9 x1 y1 ? 4 .即 S 2 ? 8, S ? 2 2 . 4 16 2 4 4

3 x1 3y 1 ? ? 1 时,即 x1 ? ? y1 时, “=”成立. 2 4 2 4 8 1 8 3 当 x1 ? 0 时, MN ? 2 ? ? ,∴ ?QMN 的面积 S ? ? ? ? 2 . 3 3 2 3 2
当且仅当 ∴ S 有最大值 2 2 .????????????????????????14 分 20.(本小题满分 14 分)

???? ? ???? 1 1 上,设 M ( , yM ) .又 AM = MB , 2 2 ???? ? 1 ???? 1 即 AM ? ( ? x1 , yM ? y1 ) , MB ? ( x2 ? , y2 ? yM ) ,∴ x1 + x2 =1.??????2 分 2 2 1 1 ①当 x1 = 时, x2 = , y1 + y 2 = f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ?1 ? ?2 ; 2 2
解: (Ⅰ)∵点 M 在直线 x= ②当 x1 ?

1 1 2 x1 2 x2 2 x (1 ? 2 x2 ) ? 2 x2 (1 ? 2 x1 ) 时, x2 ? , y1 + y 2 = + = 1 2 2 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 ) 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2

=

2( x1 ? x2 ) ? 8 x1 x2 2(1 ? 4 x1 x2 ) = ? ?2 ;综合①②得, y1 + y2 ? ?2 .????5 分 1 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 4 x1 x2 ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x1 + x2 =1 时, y1 + y2 ? ?2 .

n?k ) ? ?2 ,k= 1,2,3,?, n ? 1 .??????????????7 分 n 1 2 3 n ?1 ) , n≥2 时, Sn ? f ( ) + f ( ) + f ( ) + ? ? f ( ① n n n n n ?1 n?2 n?3 1 )? f ( )? f ( ) ??? f ( ) , ② Sn ? f ( n n n n
∴ f ( )? f (

k n

①+②得,2 Sn =-2(n-1),则 Sn =1-n. n=1 时, S1 =0 满足 Sn =1-n. ∴ Sn =1-n.????????????????????10 分

S 1 1 n ?1 2 1? n (Ⅲ) a n = 2 n = 2 , Tn =1+ + ? ? ( ) = 2 ? n .

2

2

2

Tm ? c 1 2(Tm ? c) ? (Tm?1 ? c) c ? (2Tm ? Tm?1 ) ? ? ?0? ? 0. Tm?1 ? c 2 2(Tm?1 ? c) c ? Tm?1
1 4 1 3 , 2Tm ? Tm?1 = 4 ? m -2+ m =2- m , m 2 2 2 2 1 3 1 ∴ ? 2 ? m ? c ? 2 ? m ? 2 , c 、m 为正整数,∴c=1, 2 2 2 3 ? ?2 ? 2 m ? 1 m 当 c=1 时, ? ,∴1< 2 <3,∴m=1.?????????????????14 分 1 ?2 ? m ? 1 2 ?

Tm?1 =2-


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