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上海市崇明县2012年高考模拟考试试卷(二模)文科数学试题


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崇明县 2012 年高考模拟考试试卷 高三数学(文科)
(考试时间 120 分钟,满分 150 分)
考生注意: 1. 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料,所有解答必须写在答题纸上规定位置,写在试 卷上或答题纸上非规定位置一律无效; 2. 答卷前,考生务必将姓名、准考证号码

等相关信息在答题纸上填写清楚; 3. 本试卷共 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分,只需将结果写在答题纸上)
1、已知 a ? R ,若 (3 ? 2i) ? ai(3 ? 2i) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则 a 的值等于
cos ? 3 2、若 sin ? ? ? ,则行列式 sin ? 5 sin ? cos ? ?



. .
开始 输入 x 是
f ( x) ? g( x)

3、直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 与直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 平行,则实数 a ? 4、已知函数 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? 2x ?1 ( x ≥1) 的反函数,则
f ?1 ( x) ?

. (要求写明自变量的

取值范围) 5、已知全集 U ? R, A ? x | x2 ? 2x ? 0 , B ? ?x | log2 x ? 1≥ 0?, 则 A ? (CU B) ? .



?

?

h( x) ? f ( x)

h( x) ? g ( x)

输出 h(x) 结束

6、如图所示的算法流程图中,若 f ( x) ? 2 x ? 3, g ( x) ? x2 , 若输入 x ? e (e ? 2.7182...) ,则输出 h( x) 的值等于
? 7、在直角 ?ABC 中, ?C ? 90? , ?A ? 30 , BC ? 1 ,



D 为斜边 AB 的中点,则 AB ? CD =

??? ??? ? ?



图2

8、某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1, 2,3, 4,5 .现从一批该日用品 中抽取 200 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率 f 的分布表如下: X f 1 2 0.2 3 0.45 4 0.15 5 0.1

a

则在所抽取的 200 件日用品中,等级系数 X ? 1 的件数为 ________. x2 1 9、 ( ? 3 )7 展开式的常数项等于 . 2 x
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10、已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同,若圆柱 M 与球 O 的表面积相等,则它们 的体积之比 V圆柱 : V球 ? . (用数值作答)

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11、某四棱锥底面为直角梯形,一条侧棱与底面垂 直,四棱锥的三视图如右图所示,则其体积为 . an ? 2 1 1 ? ? (n ? N ? ), a1 ? 1, a2 ? , 12、若数列 ?an ? 满足 an 2 2 则 lim ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ?
n??

1 正视图 2 1 1 俯视图 侧视图



13、某班班会准备从含甲、乙的 7 名学生中选取 4 人 发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,且若甲、 乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么 不同的发言顺序种类为 .
(11 题图)

? ? 14、设 M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数 ? 和向量 a ? M ,都有 ? a ? M ,则称

? ?x ? y ≥ 0? ? ? “点射域”在此基础上给出下列四个向量集合: {( x, y) | y ≥ x2 } ; ?( x, y) ? , ① ② M为 ?; ? ? x ? y ≤ 0? ? ?

③ {( x, y) | x2 ? y 2 ? 2 y ≥ 0} ;④ {( x, y) | 3x2 ? 2 y 2 ? 12 ? 0} . 其中平面向量的集合为“点射域”的序号是 .

二、选择题(本大题共 4 小题,满分 20 分,每小题给出四个选项,其中有且只有一个结论是正
确的,选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得 5 分,否则一律得零分) 15、 f ( x) ? (cos 2 x cos x ? sin 2 x sin x)sin x , x ? R ,则 f ( x) 是 ???????????( A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为 )

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2


16、 m ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? m 有零点”的???????????????( “ A.充要条件 C.充分非必要条件 B. 必要非充分条件

D. 既不充分也不必要条件 5 17、已知复数 w 满足 w ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 z ? ? w ? 2 ,则一个以 z 为根的实系数 w 一元二次方程是?????????????????????????????( ) A. x 2 ? 6 x ? 10 ? 0 C. x 2 ? 6 x ? 10 ? 0 B. x 2 ? 6 x ? 10 ? 0 D. x 2 ? 6 x ? 10 ? 0

?x ? 2 y ? 3≥ 0 ? 18、已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ≤ 0 ,若目标函数 z ? y ? ax 仅在点 (?3,0) 处取到最大 · ? y ? 1≤ 0 ?

值,则实数 a 的取值范围为????????????????????????(



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A. (3,5)

B. (?1, 2)

1 C. ( , ??) 2

1 D. ( ,1) 3

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分。解答下列各题并写出必要的过程,并将解题过程清
楚地写在答题纸上) 19、 (本题满分 12 分.其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为正方形, PA ? 平面 ABCD,E、F 分别是 BC,PC 的中点, AB ? 2 , AP ? 2 . P (1)求三棱锥 P ? BCD 的体积; (2)求异面直线 EF 与 PD 所成角的大小.
A B E C F D

20、 (本题满分 14 分.其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1 , x ? R . 2 2 (1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若 sin B ? 2 sin A ,求 a , b 的值.

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21、 (本题满分 14 分.其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,以椭圆短轴的一个顶点 B 与两个焦点 F1 , F2 为顶点的 a 2 b2

三角形周长是 4 ? 2 3 ,且 ?BF1F2 ? (1)求椭圆 C 的标准方程;

?
6



1 (2)若过点 Q(1, ) 引曲线 C 的弦 AB 恰好被点 Q 平分,求弦 AB 所在的直线方程. 2

22、 (本题满分 16 分.其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 4 分) 某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放 x 2 ? a ? 2a ? , x ? ? 0, 24? ,其中 a 是与气 射性污染指数 f ? x ? 与时刻 x (时) 的关系为 f ? x ? ? 2 x ?1 3

1 象有关的参数,且 a ?[0, ] . 2
(1)令 t ?

x , x ? ? 0, 24? ,写出该函数的单调区间,并选择其中一种情形进行证明; x ?1
2

(2)若用每天 f ( x) 的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作 M (a ) ,求 M (a ) ; (3)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污染 指数是否超标?

23、 (本题满分 18 分.其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d, Sn 为其前 n 项和,且满足
2 an ? S2 n ?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , n ? N* , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 和数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值; 若不存在,请说明理由.

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崇明县 2011 年高考模拟考试试卷解答
高三数学(文科)
一、填空题 3 7 1、 2、 2 25
e2
1 2 二、选择题
11、 15、A 7、 ?1 12、 1 4、 log2 x ( x ? 1) 9、

3、 3 8、 20 件 13、 600

5、 (0, ) 10、

1 2

6、

7 2

3 4

14、②

16、C

17、B

18、C

三、解答题
1 1 1 4 ? 2 ? 2 ? 2 , V ? S底 ? h ? ? 2 ? 2 ? 2 3 3 3 (2)? PB / / EF , ? BPD 即为异面直线 EF 与 PD 所成角,
19、 (1) h ? PA ? 2 , S 底 ?

PB ? 2 2 , BD ? 2 2 , PD ? 2 2
??BPD ?

?
3

,即异同直线 EF 与 PD 所成角的大小为

? 。 3

3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 , 2 2 2 6 则 f ( x ) 的最小值是-2, 最小正周期是 T ? 2? ? ? ; 2
20、 解: (1) f ( x ) ? (2) f (C ) ? sin(2C ? ? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ? ) ? 1 ,

6

6

Q0? C ??

?0 ? 2 ? ? C 2

?? ? ? 2C ? ? ? 11? , 6 6 6

? 2C ? ? ? ? ,? C ? ? , 6 2 3
Q sin B ? 2sin A ,由正弦定理,得 a ? 1 ,① b 2
2 2 2 由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos ? ,即 a ? b ? ab ? 3 , ②
2 2

3

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由①②解得 a ? 1, b ? 2 . 21、解: (1) 2a ? 2c ? 4 ? 2 3 , 求得 a ? 2, c ? 3, b ? 1

3 a ? c, 2

所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1。 4

(2)当斜率 k 不存在时,检验得不符合要求;

? x2 ? 4 y 2 ? 4 1 ? 当直线 l 的斜率为 k 时, l : y ? ? k ( x ? 1) ;代入得 ? ,化简得 1 2 y ? ? k ( x ? 1) ? ? 2

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 4k (2k ?1) x ? (1 ? 2k )2 ? 4 ? 0
所以

4k (2k ? 1) 1 ? 1 ,解得 k ? ? 。 2 1 ? 4k 2

检验得 ? ? 0 (或说明点 Q 在椭圆内) 所以直线 l : y ?

1 1 1 ? ? ( x ? 1) ,即 l : y ? ? x ? 1 。 2 2 2

22、解(1)单调递增区间为 ?0,1? ;单调递减区间为 ?1,24? 。 证明:任取 0 ? x1 ? x2 ? 1 , t ( x1 ) ? t ( x2 ) ?

( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) , 2 (1 ? x12 )(1 ? x2 )
( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ? 0。 2 (1 ? x12 )(1 ? x2 )

( x1 ? x2 ) ? 0,(1 ? x1x2 ) ? 0 ,所以 t ( x1 ) ? t ( x2 ) ?

所以函数 t ( x) 在 ?0,1? 上为增函数。 (同理可证在区间 ?1,24? 单调递减) (2)由函数的单调性知 tmax ( x) ? t (1) ? 1; tmin ( x) ? t (0) ? 0 ,

t ∴?

x 1 ? 1? ? 1? ? ? ? 0, ? ,即 t 的取值范围是 ?0, ? . x ?1 x ? 1 ? 2 ? ? 2? x
2

当 a ? ?0, ? 时,记 g ? t ? ? t ? a ? 2a ? 3 ? 2?

? 1?

2

2 ? ??t ? 3a ? 3 , 0 ? t ? a ? 则 g ?t ? ? ? ? t ? a ? 2 ,a ? t ? 1 ? 3 2 ?

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∵ ? t ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, ? 上单调递增, g 2

? ?

1? ?

且 g ? 0 ? ? 3a ?

2 ?1? 7 1? ?1? ? , g ? ? ? a ? , g ? 0? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? . 3 ?2? 6 4? ?2? ?

? ?1? 1 ? 7 1 ?g ? 2 ? , 0 ? a ? 4 ? a ? 6 , 0 ? a ? 4 ? ? 故 M ?a? ? ? ? ? . ?? ? g ? 0 ? , 1 ? a ? 1 ?3a ? 2 , 1 ? a ? 1 ? 3 4 2 ? ? 4 2 ?
4 时, M ? a ? ? 2 . 9 4 4 1 故当 0 ? a ? 时不超标,当 ? a ? 时超标. 9 9 2
(3)因为当且仅当 a ?
2 23、 (法一)在 an ? S2n?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 , (1)

?a1 2 ? S1 , ? 得? 2 ?a 2 ? S 3 , ?

?a1 2 ? a1 , ? 即? ?(a1 ? d ) 2 ? 3a1 ? 3d , ?

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1
2 又? an ? 2n ? 1 时, Sn ? n2 满足 an ? S2 n ?1 ,? an ? 2n ? 1

? bn ?
?Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立. n n 8 ? 2n ? ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n ? 此时 ? 需满足 ? ? 25 .

??

②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立. n n 8 8 ? 2n ? 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2n ? 取得最小值 ?6 . n n ? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 .

??

综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 .
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(3) T1 ?

1 m n , Tm ? , Tn ? , 3 2m ? 1 2n ? 1
m 2 1 n ) ? ( ), 2m ? 1 3 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 即

m2 n . ? 4m2 ? 4m ? 1 6n ? 3 m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 2 ? 由 ,可得 ? ? 0 ,即 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 , 4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 n m2

? 1?

6 6 . ? m ? 1? 2 2

又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时,数列 ? n ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列.?16 分 T

[另解] 因为

m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4m ?1 ? 0 , ,故 ? ? 2 4m ? 4m ? 1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n

? 1?

6 6 , (以下同上 ) . ? m ? 1? 2 2

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