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2014届高三数学一轮复习《命题、量词与简单逻辑联结词》理 新人教B版


第2讲

命题、量词与简单逻辑联结词

(时间:35 分钟 分值:80 分)

基础热身 1.已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中为 真命题的是( ) A.(綈 p)∨q B.p∧q C.(綈 p)∧(綈 q) D.(綈 p)∨(綈 q) 2.[2012·安徽卷] 命题“存在实数

x,使 x>1”的否定是( ) A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 2 3.[2013·菏泽模拟] 命题“? x∈[1,2],x -a≤0”为真命题的一个充分不必要条 件是( ) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 4.下列四个命题中的假命题 为( ) ... A.? x∈R,e ≥x+1 -x B.? x∈R,e ≥-x+1 C.? x0>0,lnx0>x0-1 1 D.? x0>0,ln >-x0+1
x

x0

能力提升 2 5.命题:“对任意 a∈R,方程 ax -3x+2=0 有正实根”的否定是( ) 2 A.对任意 a∈R,方程 ax -3x+2=0 无正实根 2 B.对任意 a∈R,方程 ax -3x+2=0 有负实根 2 C.存在 a∈R,方程 ax -3x+2=0 有负实根 2 D.存在 a∈R,方程 ax -3x+2=0 无正实根 2 6.[2012·石家庄质检] 已知命题 p1:? x∈R,使得 x +x+1<0;p2:? x∈[1,2], 2 使得 x -1≥0.以下命题为真命题的是( ) A.(綈 p1)∧(綈 p2) B.p1∨(綈 p2) C.(綈 p1)∧p2 D.p1∧p2 x 7.命题 p:? x∈[0,+∞),(log32) ≤1,则( ) A.p 是假命题,綈 p:? x0∈[0,+∞),(log32)x0>1 x B.p 是假命题,綈 p:? x∈[0,+∞),(log32) ≥1 C.p 是真命题,綈 p:? x0∈[0,+∞),(log32)x0>1 x D.p 是真命题,綈 p:? x∈[0,+∞),(log32) ≥1

5 ;命题 q:? x∈R, 2 2 都有 x +x+1>0.给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧(綈 q)”是假命题; ③命题“(綈 p)∨q”是真命题;④命题“(綈 p)∨(綈 q)”是假命题.其中正确的是( ) A.②④ B.②③ C.③④ D.①②③ 9.命题“存在 x∈R,使得|x-1|-|x+1|>3”的否定是________. 10 . 命 题 “ 末 位 数 字 是 0 或 5 的 整 数 能 被 5 整 除 ” 的 否 定 是 ________________________________________________________________________; 它 的 否 命 题 是 ________________________________________________________________________. 2 11.已知条件 p:x -x≥6;q:x∈Z,当 x∈M 时,“p 且 q”与“綈 q”同时为假命题, 则 x 的取值组成的集合 M=________________. 2 2 12.(13 分)命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的正实数根,命题 q:方程 4x +4(m +2)x+1=0 无实数根.若“p 或 q”为真命题,求 m 的取值范围. 8.[2013·育才双语学校月考] 已知命题 p:? x0∈R,使 sinx0=

难点突破 3 13.(12 分)设命题 p:函数 f(x)=x -ax-1 在区间[-1,1]上单调递减;命题 q:函 2 数 y=ln(x +ax+1)的值域是 R.如果命题 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题, 求 a 的取值范 围.

【基础热身】 1.D [解析] 不难判断命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,从而只有(綈 p)∨(綈 q) 为真命题. 2.C [解析] 对结论进行否定同时对量词作对应改变,原命题的否定应为“对任意实 数 x,都有 x≤1” . 2 2 3.C [解析] 满足命题“? x∈[1,2],x -a≤0”为真命题的实数 a 即为不等式 x 2 -a≤0 在[1,2]上恒成立的 a 的取值范围,即 a≥x 在[1,2]上恒成立,即 a≥4,要求的 是充分不必要条件,因此选项中满足 a>4 的即为所求,选项 C 符合要求. x x 4. C [解析] 对于 A, B, 设 f(x)=e -(x+1), 则有 f′(x)=e -1, 当 x<0 时, f′(x)<0; 0 x 当 x>0 时,f′(x)>0,因此 f(x)的最小值是 f(0)=e -(0+1)=0,即有 e -(x+1)≥0, x e ≥x+1 恒成立,所以选项 A,B 正确.对于 C,设 g(x)=lnx-(x-1)(x>0),则有 g′(x) 1 1-x = -1= ,当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0,因此 g(x)的最大值是 g(1)

x

x

=ln1-(1-1)=0,即 0≥lnx-(x-1),x-1≥lnx 恒成立,不存在 x0>0,使得 lnx0>x0-1, 1 1 1 选项 C 不正确.对于 D,注意到当 x0= 时,有 ln =1>- +1,因此选项 D 正确.故选 C. e x0 e 【能力提升】 5.D [解析] 任意对应存在,有正实根的否定是无正实根.故命题: “对任意 a∈R, 2 2 方程 ax -3x+2=0 有正实根”的否定是“存在 a∈R,方程 ax -3x+2=0 无正实根” . 2 6.C [解析] 因为? x∈R,x +x+1≥0,所以命题 p1 是假命题,綈 p1 是真命题;又 2 ? x∈[1,2],都有 x -1≥0,所以 p2 是真命题,綈 p2 是假命题.于是(綈 p1)∧(綈 p2),p1 ∨(綈 p2),p1∧p2 都是假命题,(綈 p1)∧p2 是真命题.故选 C. x 7.C [解析] 因为命题 p:? x∈[0,+∞),(log32) ≤1,结合指数函数的值域可知 该命题为真,再根据全称命题的否定是存在性命题,那么可知綈 p :? x0∈ [0 ,+∞ ), (log32)x0>1,选 C. 5 2 8.B [解析] 因为 >1,所以 p 为假命题;因为 x +x+1=0 的判别式 Δ <0,所以 q 2 为真命题.因而②③正确. 9. “对任意的 x∈R,使得|x-1|-|x+1|≤3” . [解析] 由全称命题与存在性命题的否定规则知,命题“存在 x∈R,使得|x-1|-|x+ 1|>3”否定是“对任意的 x∈R,使得|x-1|-|x+1|≤3” .故填“对任意的 x∈R,使得|x -1|-|x+1|≤3” . 10. 存在末位数字是 0 或 5 的整数不能被 5 整除 末位数字不是 0 且不是 5 的整数不能 被 5 整除 [解析] 如果把末位数字是 0 或 5 的整数集合记为 M,则这个命题可以改写为“? x∈M, x 能被 5 整除” ,因此这个命题的否定是“? x∈M,x 不能被 5 整除” ,即“存在末位数字是 0 或 5 的整数不能被 5 整除” ;这个命题的条件是“末位数字是 0 或 5 的整数” ,结论是“这 样的数能被 5 整除” ,故其否命题是“末位数字不是 0 且不是 5 的整数不能被 5 整除” . 11.{-1,0,1,2} [解析] 当 x∈M 时, “p 且 q”与“綈 q”同时为假命题,即 x∈M 2 时,p 假 q 真.由 x -x<6,x∈Z,解得 x=-1,0,1,2,故所求集合 M={-1,0,1,2}. 12.解: “p 或 q”为真命题,则 p 为真命题,或 q 为真命题,或 q 和 p 都是真命题. 2 ?Δ =m -4>0, 当 p 为真命题时,则?x1+x2=-m>0,得 m<-2;

?

? ?x1x2=1>0,

当 q 为真命题时,则 Δ =16(m+2) -16<0,得-3<m<-1. 当 q 和 p 都是真命题时,得-3<m<-2.

2

综上可知实数 m 的取值范围是(-∞,-1). 【难点突破】 2 2 13.解:p 为真命题?f′(x)=3x -a≤0 在[-1,1]上恒成立?a≥3x 在[-1,1]上 恒成立?a≥3. q 为真命题?Δ =a2-4≥0 恒成立?a≤-2 或 a≥2. 由题意 p 和 q 有且只有一个是真命题. ? ? ?a≥3, ?a<3, p 真 q 假?? ?a∈?,p 假 q 真?? ?a≤-2 或 2≤a<3. ?-2<a<2 ?a≤-2或a≥2 ? ? 综上可知:a∈(-∞,-2]∪[2,3).


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