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必修五 等比数列与不等式


必修五

等比数列与不等式

一、选择题 1、若 p 为真命题,q 为假命题,则 ( ) A、 p ? q 是真命题 B、 p ? q 是假命题

C、 ?p 是真命题 )

D、 ?q 是真命题

2、等比数列 {an } 中, a1 ? 2 , a2 ? 4 ,则 a5 =(

A、8 B、 16 C、 32 ) D、64

3、不等式 | x ? 3 |? 2 的解集是( A、 {x | x ? 5或x ? 1} C、 {x | ?5 ? x ? ?1}

B、 {x | 1 ? x ? 5} D、 {x | x ? 1}

4、阅读右边的程序框图,运行相应的程序, 若输出 x 的值为 A、 ,则输出 y 的值( C、2 D、4 第 4 题图 ) )

1 2

B、1

?x ? y ? 2 ? 5、若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为( ?y ? 0 ?
A.4 和 2 B.4 和 3 C.3 和 2 D.2 和 0 ) 6、已知 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项和,已知 8a2 ? a5 ? 0 , a1 ? 2 ,则 S 9 =( A. 1022
2

B. 510

C. ) B、 (?

1026 3

D.

1026 或 1022 3

7、不等式 2 x ? x ? 1 ? 0 的解集是 ( A、 (??,1) ? (2,??) C、 ( ??,? ) ? (1,?? )

1 ,1) 2

1 2

D、 (1, ? ?) ) D. (??,?2]
2 a9 a12

x y 8、若 2 ? 2 ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是(

A. [0,2]

B. [?2,0]

C. [?2,??)

9、在等比数列 {an } 中,若 a2 a3 a6 a9 a10 ? 32 ,则 A、4 B、 2 C、 ? 2 D、 ? 4

的值为(



10、如果执行右边的程序框图,那么输出 S 的等于( A、1 B、

) 开始

101 100

C、

99 100

D、

98 99

?x ? 1 ? 11、已知点 P( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? 2 , ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
那么 x ? y 的取值范围是(
2 2

i ?1 S ?0 i ? i ?1
1 i (i ? 1)



A、 [1,4] C、 [ ,4]

B、 [1,5] D、 [ ,5]

S?S?

4 5

4 5

i ? 99 ?
是 否 输出 S 第 10 题图 结束

12、已知正项等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 a m , a n ,使得 am an ? 4a1 , 则

1 4 ? 的最小值为( m n 3 5 A、 B、 2 3

) C、

9 4

D、不存在

二、填空题 13、在等比数列 {an } 中, a3 ? 20, a6 ? 160 ,则 an = 14、命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是
2



15、已知正数 a, b 满足 2a ? b ? 4 ,则 16、下列六个命题:

b ?1 的取值范围是 a ?1

①已知点 P( x0 , y0 ) 和点 A(1,2) 在直线 l : 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的异侧,则 3 x0 ? 2 y0 ? 8 ; ②函数 y ? x ? ③当 a ?

1 的最小值为 2; x

1 2 时,不等式 ax ? x ? 1 ? 0 恒成立; 4
n

④数列 {a n } 的通项公式是 an ? a ,则其前 n 项和为 S n ? ⑤函数 y ? sin x ? ⑥“ b ?

a (1 ? a n ) ; 1? a

? 4 , x ? (0, ] 的最小值为 4。 2 sin x

ac ”是“ a, b, c 成等比数列”的充分不必要条件

其中正确的命题个数是

三、解答题 17、已知 {a n } 等比数列中,前 n 项和为 S n ① 若 a4 ? 27, q ? ?3 ,求 a7 , S 5 ; ② 若 a1 ? a2 ? 16 , a2 ? a3 ? 48 ,求通项公式 a n 。

18、解不等式: | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 4 。

19、设 ?a n ? 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2,a3 ? a2 ? 4 (1)求 ?a n ? 的通项公式; (2)设 ?bn ?是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 ?an ? bn ? 的前项和。

20、解关于 x 的不等式: ax ? (2a ? 1) x ? 2 ? 0 。
2

21、 数列 {a n } 满足: a1 ? 1, a2 ?

3 3 1 , an ? 2 ? an?1 ? an (n ? N *). 2 2 2

(1)记 d n ? an ?1 ? an ,求证: {d n } 是等比数列; (2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)令 bn ? 3n ? 2 ,求数列 {a n ? bn } 的前 n 项和 S n 。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22、已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边

形, E 为棱 PA 的中点,求证: PC // 面BDE 。

2 2 23、已知直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 ,圆 C : x ? y ? 5 相交于 AB 两点,求|AB|的值

24、在 ?ABC 中,已知 c ? 2a cos B , C ?

?
3

, a ? 2 ,求 ?ABC 的面积。

答案
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

D

C
n ?1

B

C

A

A

C

D

B
1 ( ,5) 3

C

D

A

13、 an ? 5 ? 2

14、 ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

15、

16、 0

17、 解:已知 {a n } 等比数列 (1)所以

an ? a1 ? q n ?1
即 a1 ? ?1

a4 ? a1 ? (?3)3 ? 27

a7 ? a1 ? q 6 ? (?1)( ?3) 6 ? ?729

(2) 若若 a1 ? a2 ? 16 , a2 ? a3 ? 48 , 则 a1 ? a1q ? 16 , a1q ? a1q ? 48 ,所以 a1 ? 4, q ? 3 ,所以 an ? 4 ? 3
2
n ?1

18、

? x ? ?1 ?? 1 ? x ? 1 ?x ? 1 或 ? 或? ? ?? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 4 ?? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 4 ?( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 4
即 ?

? x ? ?1 ?? 1 ? x ? 1 ?x ? 1 或 ? 或? ?? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ?? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ? x ? ?1 ?? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 或 ? 或? ?2 x ? 4 ?? 2 x ? 4 ?2 ? 4

即 ? 即

x ? ?2或?或x ? 2

所以不等式的解集为 (??,?2] ? [2,??)

19、

解:

(1) 因为 ?a n ? 是公比为正数的等比数列,且 a1 ? 2,a3 ? a2 ? 4 所以 2q ? 2q ? 4
2

解得 q ? 2
n ?1

所以 ?a n ? 的通项公式为 an ? 2 ? 2

? 2n

(2)设 ?bn ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 所以通项公式为 bn ? 1 ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1 所以

an ? bn ? 2 n ? 2n ? 1
1 2 3 n ?1

所以前 n 项和为 S n ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? 2

? 2n ? 3 ? 2 n ? 2n ? 1

? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ? 2n ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 3) ? (2n ? 1)

2(1 ? 2 n ) n[1 ? (2n ? 1)] ? ? ? 2n?1 ? n 2 ? 2 1? 2 2

20、

解:

ax2 ? (2a ? 1) x ? 2 ? 0 ? (ax ? 1)( x ? 2) ? 0
所以 解集为 {x | x ? 2}

当 a ? 0 时,不等式为 ? ( x ? 2) ? 0

当 a ? 0 时 方程 (ax ? 1)( x ? 2) ? 0 ? ( x ? )( x ? 2) ? 0

1 a

所以两个根为

x1 ? 2 x2 ?

1 a
所以不等式的解集为 {x | x ? 2或x ? } 所以不等式的解集为 {x |

1 a 1 1 当 a ? 时, x1 ? 2 ? x2 ? 2 a 1 1 当 0 ? a ? 时, x1 ? 2 ? x2 ? 2 a 1 1 当 a ? 时, x1 ? 2 ? x2 ? 2 a
当 a ? 0 时, x1 ? 2 ? x2 ? 综上所述不等式的解集为

1 a

1 ? x ? 2} a 1 所以不等式的解集为 {x | 2 ? x ? } a
所以不等式的解集为 ?

当a ? 0时 当a ? 0时 当0 ? a ? 当a ?

1 {x | x ? 2或x ? } a
{x | x ? 2}

1 1 时 {x | 2 ? x ? } 2 a

1 时 2 1 当a ? 时 2
21、解 (1) a1 ? 1, a 2 ? 又 an? 2

?
{x | 1 ? x ? 2} a

3 3 1 ,? a 2 ? a1 ? ? 1 ? 2 2 2 1 1 ? an?1 ? an?1 ? an 。 2 2

?

a n ? 2 ? a n ?1 1 1 ? ,即d n ?1 ? d n a n ?1 ? a n 2 2

故数列 {d n }是以 为首项,公比为 的等比数列. (2)由(1)得

1 2

1 2

1 d n ? a n ?1 ? a n ? ( ) n 2

? a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ... ? (a 2 ? a1 ) ? a1 1 1 1 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 ? ... ? ( )1 ? 1 2 2 2 1 ? 2 ? ( ) n ?1 2
(3)? bn ? 3n ? 2令cn ? a n ? bn ? (3n ? 2) ? [2 ? ( ) n ?1 ] ? (6n ? 4) ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1

1 2

1 2

? Sn ? 2 ? [1 ? 4 ? 7 ? ... ? (3n ? 2)] ? [1?

1 1 1 1 ? 4 ? ? 7 ? 2 ? ... ? (3n ? 2) ? n ?1 ] 0 2 2 2 2 1 1 1 ? (3n ? 1)n ? [1 ? 4 ? 1 ? 7 ? 2 ? ... ? (3n ? 2) ? n ?1 ] 2 2 2
令 Tn ? 1 ? 4 ?

1 1 1 ① ? 7 ? 2 ? ... ? (3n ? 2) ? n?1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? ... ? (3n ? 5) ? n?1 ? (3n ? 2) ? n ② 2 2 2 2 2 2

① -②得

1 1 1 1 1 1 ? Tn ? 1 ? 3( ? 2 ? 3 ? ... ? n ?1 ) ? (3n ? 2) n 2 2 2 2 2 2 3n ? 4 ? Tn ? 8 ? n ?1 2 3n ? 4 ? S n ? 3n 2 ? n ? 8 ? n ?1 2

22、 证明: 连接 AC 交 BD 于 O 点,连接 EO 因为 ABCD 为平行四边形 所以 O 为 AC 的中点 因为 E 为棱 PA 的中点 所以 EO 是 ?PAC 的中位线 所以 EO//PC PC ? 面 BDE EO ? 面 BDE

所以

PC // 面BDE

23、

圆心到直线的距离为 d ? 圆的半径为 r ?

| 0 ? 2? 0 ? 5 | 12 ? 2 2

?1

5

2 |AB| =2|AD|= 2 ( 5 ) ? 1 ? 4

所以 |AB|的值为 4

24、 由 c ? 2a cos B 及余弦定理得 由C ?

c ? 2a ?

a 2 ? c2 ? b2 ?a?b 2ac

? , a ? 2 可知, ?ABC 为边长为 2 的正三角形, 3 1 ? 所以 ?ABC 的面积为 S ? ? 2 ? 2 ? sin 60 ? 3 2


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