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二次函数y=ax+bx+c的图象


知识回顾:
y ? ax
当k<0 时向下 平移

2

当h>0时,向右平移

当h<0时,向左平移

y ? a( x ? h)
当k<0 时向下 平移
当k>0 时向上 平移

2

当k>0 时向上 平移

y ? ax ? k
2

当m>0时,向左平移 当m<0时,向右平移

y ? a( x ? h) ? k
2
增减性
在对称轴 左侧
y随x的增 大而减小 y随x的增 大而增大

对称 顶 点 y的 开口方向 轴 坐 标 最值

y=a(x-h)2+k

在对称轴 右侧
y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小

a>0 a<0

向上

直线 最小值 (h,k) x=h 是k

向下

直线 (h,k) 最大值 x=h 是k

情境创设
对于二次函数y=ax? +bx+c ( a≠0 )的 图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的?

通过变形能否将 y=ax? +bx+c转化为 y = a(x-h)2 +k的形式 ?

情境创设
二次函数y=x2+2x+3的图象与二 次函数y=x2 有何联系?如何画出二次函 数y=x2+2x+3的图象?

提示:用配方的方法把x2+2x+3化成
y=a(x-h)2+k的形式:

试一试
画出二次函数y=-2x2-4x-6的图象. 解:因为y=-2x2-4x-6 =_______ =_______ 所以,二次函数y=-2x2-4x-6的图象顶 点坐标是_____,对称轴是___

x y=-2x2-4x-6

… -4 -3 -2 -1 0 … -4 -3 -2 -1 -6

… …

小结:(1)列表时选值,应以对称轴为中心,函数
值可由对称性得到; (2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点, 一般先找出顶点,然后据对称性列表、描点,最后用 平滑曲线顺次连结各点.

一般地,对于二次函数y=ax? +bx+c,我们可以 利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 例1.求二次函数y=ax? +bx+c的对称轴和顶点坐标. 2 y ? ax ? bx ? c 解:
c? ? 2 b ? a? x ? x ? ? a a? ?
提取二次项系数
? 2 b ? b ? 2 ? b ? 2 c ? 配方 ? a? x ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a 2 a 2 a a ? ? ? ? ? ? 2 ?? b ? 4ac ? b 2 ? 整理 ? a ?? x ? ? ? ? 2 2a ? 4a ? ? ?? ?
2

化简:去掉中括号 2 2 b 4 ac ? b ? ? . 函数y=ax?+bx+c的顶点式 y ? a ? x ? ? ? 2a ? 4a ?

b ? 4ac ? b2 ? ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

? y=ax? +bx+c 的图象是一条抛物线, ?对称轴是直线x=
?顶点坐标是为(
b ? 2a b ? 2a

b 2 4ac ? b 2 二次函数 y ? a( x ? 2a ) ? 4a (

a≠0)

4ac ? b 2 , 4a



?当a>0时,抛物线的开口向上,顶点 是抛物线上的最低点;

?当a<0时,抛物线的开口向下,顶点 是抛物线上的最高点.

例2.求抛物线 顶点坐标.
解:

1 2 5 y ? ? x ? 3x ? 2 2

的对称轴和

1 5 ? a ? ? , b ? 3, c ? ? , 2 2

3 b ? 3 ?? ? ? ? 1? 2a 2??? ? ? 2?

4ac ? b 2 ? 4a

? 1? ? 5? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 32 ? 2? ? 2? ? 2 ? 1? 4??? ? ? 2?

因此,抛物线的对称轴是直线x=3,顶点坐标是(3,2).

练习
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:

?12x ? 13 ; 1? ? ?3?y ? 2? x ? ??x ? 2?; ?4?y ? 3?2x ? 1??2 ? x?. 2? ?
2

?1?y ? 2x

?2?y ? ?5x2 ? 80x ? 319;

例3.已知二次函数y= 列问题:
1、函数 y ? ?

1 ? 2

x? +4x–3,请回答下
1 2 y?? x 2

1 2 x ? 4x ? 3 2

的图象能否由

函数的图象通过平移变换得到?若能,请说出 平移的过程,并画出示意图; 2、说出函数图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标.

练习
请写出如图所示的抛物线的解析式:
y
( 2 , 4)

( 0 , 1)

O

x

驶向胜利 的彼岸

探究活动
一座拱桥的示意图如图,当水面宽12m时, 桥洞顶部离水面4m.已知桥洞的拱形是抛物线, 要求该抛物线的函数解析式,你认为首先要做的 工作是什么?如果以水平方向为x轴,取以下三个 不同的点为坐标原点: 1、点A 2、点B 3、抛物线的顶点C 所得的函数解析式相同吗? C 请试一试。哪一种取法求 4m 得的函数解析式最简单?
A 12m B

分层训练
1、函数y=-x2+4x+5的顶点坐标是___ __,对称轴是___,当x___时,y随x的 增大而减少,当x____时,y有最___值 为______. 2、二次函数y=-x2-2x的对称轴是___ __ 3、函数y=ax2-4x-6的顶点横坐标是-2, 则a=___

分层训练
求a、c的值.
1 4、函数y=ax2+2x+c的顶点是( 3 ,-1),

5、已知抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在 坐标轴,求a的值.

总结反思
1、二次函数y=ax2+bx+c与二次函数 y =ax2的联系; 2、画出=ax2+bx+c的图象的方法: (1)描点法;(2)平移法;(3)三点法. 3、y=ax2+bx+c的图象 y=ax2的 图象.


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