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高三数学直线的极坐标方程


4.2.2

常用曲线的极坐标方程

------1.直线的极坐标方程

教学目标 1.了解掌握极坐标系中直线的方程 2.巩固求曲线方程的方法和步骤 教学重点 求直线的极坐标方程

新课引入:
思考1:在平面直角坐标系中 x=3 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为____; x=3

过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为______ 2、过点(a,b)且垂直于x轴的直线方程为x=a ____ 特点:所有点的横坐标都是一样,纵坐标可 以取任意值。

思考2: 怎样求曲线的极坐标方程?
与直角坐标系里的情况一样,求曲线的极坐标方程 就是找出曲线上动点P的坐标?与?之间的关系,然后 列出方程f(?,?)=0 ,再化简并讨论。

新课讲授
例1:求过极点,倾角为π/4的射线的极坐标方程 分析:如图,所求的射线上 任一点的极角都是π/4, 其极径可以取任意的非负数。故所 求直线的极坐标方程为
?? ?
4 ( ? ? 0)

M

? 4

o

x

引申1:求过极点, 倾角为5π/4的射线的极坐标方程 引申2:求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较 起来,极坐标系里的直线表示起来很不方便,要用两 条射线组合而成。原因在哪? 原因在ρ≥0 为了弥补这个不足,可以考虑允许通径可以取全体 实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为

? ? ? ( ? ? R) 4



5 ? ? ? ( ? ? R) 4

例2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的直线L的 极坐标方程。

?
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图; 2、设点M(ρ,θ)是直线上任意一点; 3、连接MO;

M
A x

o

﹚?

4、根据几何条件建立关于ρ,θ的方程,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

练习:设点P的极坐标为A(a,0),直线l 过点P且与极轴 所成的角为α, 求直线l 的极坐标方程。
解:如图,设点M(ρ,θ), 为直线l上异于A 的点,连接OM,在△MOA中有

? a ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )



?

M

?

? sin(? ? ? ) ? a sin ?
显然A点也满足上方程.

o

? ﹚ A

x

例 3 设点P的极坐标为(ρ1,θ1,) ,直线l过点P且 与极轴所成的角为α,求直线l的极坐标方程。

o

P ? ﹚ ? ﹚
1

? ?1

M

x

解:如图,设点M(ρ,θ),为直线上除点P外的 任意一点,连接OM………..

? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 )
显然点P的坐标也是它的解

小结:直线的几种极坐标方程
1、过极点

2、过某个定点,且垂直于极轴
3、过某个定点,且与极轴成一定的角度

课后作业:P28 2

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