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高二级数学选修4-4《极坐标与参数方程》考试卷(文科)


高二级数学选修 4-4《极坐标与参数方程》考试卷(文科)
一、选择题(共 10 题,各 6 分,共 60 分) 1.曲线的极坐标方程 ? ? 4 sin ? 化为直角坐标为( A ) 。
2 2

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

B

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4
<

br />C ( x ? 2) ? y ? 4

D

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4
) 。

2.已知点 P 的极坐标是 (1, ? ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线方程是( A

? ?1

B

? ? cos?

C

? ??

1 cos?

D

??

1 cos?


3.在同一坐标系中,将曲线 y ? 2 sin 3x 变为曲线 y ? sin x 的伸缩变换是(

? x ? 3x ' ? ( A)? 1 ' ?y ? y 2 ?

? x ' ? 3x ? ( B)? ' 1 ?y ? y 2 ?


' ? ? x ? 3x (C )? ' ? ?y ? 2y

' ? ? x ? 3x ( D)? ' ? ?y ? 2y

4.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是(
2 ? A ? x?t (t 为参数) 2 ? y ? 2t ? 1

? x ? 2t ? 1 B ? (t 为参数) ? y ? 4t ? 1
x ? sin ? D ? (t 为参数) ? ? y ? 2 sin ? ? 1

C

? x ? t ?1 (t 为参数) ? ? y ? 2t ? 1

1 ? x ? t ? (t 为参数)表示的曲线是( 5.方程 ? ? t ? y?2 ?

) 。

A

一条直线

B 两条射线

C 一条线段

D 抛物线的一部分 ) 。

? x ? 2 ? sin 2 ? 6.参数方程 ? ( ? 为参数)化为普通方程是( ? y ? ?1 ? cos 2?
A C

2x ? y ? 4 ? 0 2 x ? y ? 4 ? 0 x ? [2,3]

B D

2x ? y ? 4 ? 0 2 x ? y ? 4 ? 0 x ? [2,3]

7.设点 P 对应的复数为 ? 3 ? 3i ,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标为 ( A ) (3 2 , ? )

3 4

B (?3 2 , ? )

5 4

C (3, ? )

5 4

D (-3, ? )

3 4

8.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中,直线 l: y ? kx ? 2 ? 0 与曲线 C: ? ? 2 cos? 相交,则

k 的取值范围是(

) 。

A

k??

3 4

B

k??

3 4

C

k ?R

D

k ?R但k ? 0

9.已知过曲线
坐标是 A (3,4)

?

x?3cos? ? ? ? 则P点 y ?4sin? ? 为参数,0 ? ? ? ? 上一点 P 与原点 O 的直线 PO 的倾斜角为 , 4

B

(?

12 12 ,? ) 5 5

C (-3,-4)

D

12 12 ( , ) 5 5

10.若圆的方程为 ?

? x ? ?1 ? 2 cos? ? x ? 2t ? 1 ( ? 为参数) ,直线的方程为 ? (t 为参数) , ? y ? 3 ? 2 sin ? ? y ? 6t ? 1
) 。 C 相切 D 相离

则直线与圆的位置关系是( A 相交过圆心

B 相交而不过圆心

二、填空题(共 4 题,各 6 分,共 24 分) 11.在极坐标系中,以 ( , ) 为圆心,

a ? 2 2

a 为半径的圆的极坐标方程是 2

。 。

12.在极坐标中,若过点 (3,0) 且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A 、 B 两点,则 AB =

t ? x ? 2? ? ? 2 ( t 为参数) 13.设直线参数方程为 ? ,则它的斜截式方程为 3 ?y ? 3 ? t ? 2 ?



1 ? x ? 2? t ? 2 ? (t为参数) 被双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 截得的弦长为__________ 14.直线 ? ?y ? 3 t ? 2 ?

三、解答题(共 4 题,共 44 分)
15、 (12 分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线: ⑴?

? x ? 5 cos? ( ? 为参数) ; (6 分) ? y ? 4 sin ?

⑵?

? x ? 1 ? 3t ( t 为参数) (6 分) ? y ? 4t

16、 (12 分)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程;(4 分)

?
6



(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于两点 A 、 B ,求点 P 到 A 、 B 两点的距离之积(8 分)

17、 (10 分)已知 x 、 y 满足 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ,求 S ? 3x ? y 的最值。
2 2

18、 (10 分)在气象台 A 正南方向 200 千米处有一台风中心,它以每小时 20 千米的速度向北偏东 45 方 向移动,距台风中心 160 千米以内的地方都要受其影响。问:从现在起,大约多长时间后,气象台 A 所在 地将遭受台风影响?持续多长时间?(10 分) (注: 14 ? 3.74 , 2 ? 1.41 )

?

高二级数学科答案(文科)
一.选择题(共 10 题,各 4 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 B 6 D 7 A 8 A 9 D 10 B

二.填空题(共 4 题,各 4 分) 11. ? ? a sin ? ; 12. 2 3 ; 13. y ?

3x ? 3 ? 2 3 ;

14. 2 10 。

三.解答题(共 4 题,共 44 分)

? x ? 5 cos? 15 .解:⑴.∵ ? ? y ? 4 sin ?

?x x2 y2 ? cos? ? ? co s2 ? ? s in2 ? ∴ ?5 两边平方相加,得 ?y 25 16 ? ? sin ? ?4



x2 y2 ? ? 1 ∴曲线是长轴在 x 轴上且为 10,短轴为 8,中心在原点的椭圆。 25 16

y y ? x ? 1 ? 3t ⑵.∵ ? ∴由 t ? 代入 x ? 1 ? 3t ,得 x ? 1 ? 3 ? ∴ 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 4 4 ? y ? 4t
∴它表示过(0,

4 )和(1, 0)的一条直线。 3

? 3 x ? 1? t ? ? 2 (t是参数) , 16.解: (1)直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 1? 1 t ? 2 ?
(2)因为 A、B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数分别 为 t1 , t 2 , 则 A(1 ?

y
P

3 1 3 1 t1 ,1 ? t1 ) , B(1 ? t 2 ,1 ? t 2 ) 。 2 2 2 2
2 2

A

C

O

D

B

x

以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x ? y ? 4 整理得到

t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0
因为 t1 , t 2 是方程①的解,从而 t1t 2 ? ?2. 所以, | PA | ? | PB |?



(

3 2 1 3 1 t1 ) ? ( t1 ) 2 ? ( t 2 ) 2 ? ( t 2 ) 2 ?| t1t 2 |? 2 2 2 2 2

17.解:由 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 可知曲线表示以(1,-2)为圆心,半径等于 2 的圆。
2 2

令 x ? 1 ? 2 cos?

y ? ?2 ? 2 sin? ,则

S ? 3x ? y ? 3(1 ? 2 cos? ) ? (?2 ? 2 sin ? ) ? 5 ? 6 cos? ? 2 sin ? ? 5 ? 2 10 sin(? ? ? )
(其中 tan ? ?

6 ? ?3 )∵-1 ? sin(? ? ? ) ? 1 ? 1 ?2

∴当 sin(? ? ? ) ? 1 时,S 有最大值,为 S max ? 5 ? 2 10 当 sin(? ? ? ) ? ?1 时,S 有最小值,为 S min ? 5 ? 2 10 ∴S 最大值为 S max ? 5 ? 2 10 ;S 最小值为 S min ? 5 ? 2 10 。

18.解:如图,以气象台为坐标原点,正东方向为 x 轴正方向,建立直角 坐标系,则现在台风中心 B1 的坐标为(0,-200) 。根据题意,可知, t 小时后, B 的坐标为( 20t cos 45? , ? 200 ? 20t sin 45? ) ,即

y B2

B1
( 10 2t , ? 200 ? 10 2t ) ,因为以台风中心为圆心,以 160 千 米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以 B 在圆上或圆内时, 气象台将受台风影响。 所以令 | AB |? 160 ,即 (10 2t ) ? (?200 ? 10 2t ) ? 160
2 2 2

0 A

x

整理得 t ? 10 2t ? 36 ? 0 解得
2

10 2 ? 2 14 10 2 ? 2 14 ?t ? , 2.31 ? t ? 10.79 2 2

故大约 2.31 小时后,气象台 A 所在地将遭受台风影响,大约持续 8.48 个小时。


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