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错位相减法求和附答案


错位相减法求和专项
错位相减法求和适用于{an`bn }型数列,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列,在应用过 程中要注意: ?项的对应需正确; ?相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项; ?若等比数列部分的公比为常数,要讨论是否为 1 1. 已知二次函数 和为 ,点 的图象经过坐标原点, 其导函数 均在函数 的通项公式; 的图象上. , 数列 的前



(Ⅰ)求数列

(Ⅱ)设



是数列

的前 项和,求



[解析]考察专题:2.1,2.2,3.1,6.1;难度:一般 [答案] (Ⅰ)由于二次函数 的图象经过坐标原点,

则设







,∴



又点

均在函数

的图象上,





∴当

时,





,适合上式,



. . . . . . . . . . . . (7 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,



第 1 页 共 1 页









上面两式相减得:



整理得

. . . . . . . . . . . . . . (14 分)

2.已知数列

的各项均为正数,

是数列

的前 n 项和,且



(1)求数列

的通项公式;

(2) [答案]查看解析

的值.

[解析] (1)当 n = 1 时, 又 4Sn = an2 + 2an-3 ①

解出 a1 = 3,





4sn-1 =

+ 2an-1-3



①-②

, 即





,

第 2 页 共 2 页



) ,

是以 3 为首项,2 为公差的等差数列, 6 分



(2)







④-③

=

12 分

3. (2013 年四川成都市高新区高三 4 月月考, 19,12 分) 设函数 数列 前 项和 , ,数列 ,满足 .



(Ⅰ)求数列

的通项公式



(Ⅱ)设数列

的前 项和为

,数列

的前 项和为

,证明:

.

[答案] (Ⅰ) 由

,得

是以

为公比的等比数列,故

.

(Ⅱ)由





第 3 页 共 3 页







…+



用错位相减法可求得:

. (注:此题用到了不等式:

进行放大. )

4.已知等差数列

中,







的等比中项.

(Ⅰ)求数列

的通项公式:

(Ⅱ)若

.求数列

的前 项和

[解析](Ⅰ)因为数列

是等差数列,





的等比中项.所以



又因为

,设公差为

,则



所以

,解得







时,







时,

.

所以



.

(6 分)

(Ⅱ)因为

,所以

,所以



第 4 页 共 4 页

所以



所以

两式相减得



所以

.

(13 分)

5.已知数列 且公差 .

的前 项和





, 等差数列





(Ⅰ)求数列



的通项公式;

(Ⅱ)是否存在正整数 ,使得 若不存在,说明理由.

若存在,求出 的最小值,

[解析](Ⅰ)

时,

相减得:

,又





数列

是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,

.







. (6 分)

(Ⅱ)



………………①

…………………②

第 5 页 共 5 页

①-②得:



,即

,当



,当



的最小正整数为 4. (12 分)

6. 数列

满足

,等比数列

满足

.

(Ⅰ)求数列



的通项公式;

(Ⅱ)设

,求数列

的前 项和

.

[解析] (Ⅰ)由

,所以数列

是等差数列,又



所以





,所以



,所以

,即



所以

.

(6 分)

(Ⅱ)因为

,所以







所以



两式相减的



所以

. (12 分)

第 6 页 共 6 页

7. 已知数列

满足

,其中 为数列

的前 项和.

(Ⅰ) 求

的通项公式;

(Ⅱ) 若数列

满足:

(

) ,求

的前 项和公式 .

[解析]Ⅰ) ∵

,①





②-①得,

,又

时,





.

(5 分)

(Ⅱ) ∵







两式相减得



.

(13 分)

8.设 d 为非零实数, an= [ d+2 d2+…+(n-1)

dn-1+n dn](n∈N*) .

(Ⅰ) 写出 a1, a2, a3 并判断{an}是否为等比数列. 若是, 给出证明;若不是, 说明理由; (Ⅱ) 设 bn=ndan(n∈N*) , 求数列{bn}的前 n 项和 Sn. [答案] (Ⅰ) 由已知可得 a1=d, a2=d(1+d) , a3=d(1+d) 2.

第 7 页 共 7 页

当 n≥2, k≥1 时,

=

, 因此

an=

.

由此可见, 当 d≠-1 时, {an}是以 d 为首项, d+1 为公比的等比数列; 当 d=-1 时, a1=-1, an=0(n≥2) , 此时{an}不是等比数列. (7 分) (Ⅱ) 由(Ⅰ) 可知, an=d(d+1) n-1, 从而 bn=nd2(d+1) n-1, Sn=d2[1+2(d+1) +3(d+1) 2+…+(n-1) (d+1) n-2+n(d+1) n-1]. ① 当 d=-1 时, Sn=d2=1. 当 d≠-1 时, ①式两边同乘 d+1 得 (d+1) Sn=d2[(d+1) +2(d+1) 2+…+(n-1) (d+1) n-1+n(d+1) n]. ② ①, ②式相减可得 -dSn=d2[1+(d+1) +(d+1) 2+…+(d+1) n-1-n(d+1) n]

=d2

.

化简即得 Sn=(d+1) n(nd-1) +1. 综上, Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12 分) 9. 已知数列{an}满足 a1=0, a2=2, 且对任意 m, n∈N*都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n) 2. (Ⅰ) 求 a3, a5; (Ⅱ) 设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*) , 证明:{bn}是等差数列; (Ⅲ) 设 cn=(an+1-an) qn-1(q≠0, n∈N*) , 求数列{cn}的前 n 项和 Sn. [答案] (Ⅰ) 由题意, 令 m=2, n=1 可得 a3=2a2-a1+2=6. 再令 m=3, n=1 可得 a5=2a3-a1+8=20. (2 分)
第 8 页 共 8 页

(Ⅱ) 证明:当 n∈N*时, 由已知(以 n+2 代替 m) 可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8. 于是[a2(n+1) +1-a2(n+1) -1]-(a2n+1-a2n-1) =8, 即 bn+1-bn=8. 所以, 数列{bn}是公差为 8 的等差数列. (5 分) (Ⅲ) 由(Ⅰ) 、(Ⅱ) 的解答可知{bn}是首项 b1=a3-a1=6, 公差为 8 的等差数列. 则 bn=8n-2, 即 a2n+1-a2n-1=8n-2.

另由已知(令 m=1) 可得, an=

-(n-1) 2.

那么, an+1-an= 于是, cn=2nqn-1.

-2n+1=

-2n+1=2n.

当 q=1 时, Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1) . 当 q≠1 时, Sn=2· q0+4· q1+6· q2+…+2n·qn-1. 两边同乘 q 可得 qSn=2· q1+4· q2+6· q3+…+2(n-1) · qn-1+2n· qn. 上述两式相减即得

(1-q) Sn=2(1+q1+q2+…+qn-1) -2nqn=2·

-2nqn=2·

,

所以 Sn=2·

.

综上所述, Sn=

(12 分)

10.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且 a2,a4,a8 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an· }的前 n 项和. [答案] (1)设数列{an}的公差为 d(d≠0),
第 9 页 共 9 页

由条件可知:(2+3d)2=(2+d)· (2+7d),解得 d=2.(4 分) 故数列{an}的通项公式为 an=2n(n∈N*).(6 分) (2)由(1)知 an· =2n×32n,设数列{an· }的前 n 项和为 Sn, 则 Sn=2×32+4×34+6×36+…+2n×32n, 32Sn=2×34+4×36+…+(2n-2) ×32n+2n×32n+2, 故-8Sn=2(32+34+36+…+32n)-2n×32n+2,(8 分)

所以数列{an· }的前 n 项和 Sn=

.(12 分)

11.已知等差数列

满足 .

又数列

中,



(1)求数列

,

的通项公式;

(2)若数列

,

的前 项和分别是

,且

求数列

的前 项和

;

(3)若

对一切正整数 恒成立,求实数

的取值范围.

[答案]( 1)设等差数列

的公差为 ,则有

解得



第 10 页 共 10 页





数列

是以

为首项,公比为 的等比数列.

…………4 分

(2)由(1)可得









…………10 分(3)







时,

取最小值,

,

,即



第 11 页 共 11 页



时,

恒成立;



时,由

,解得 ,

即实数

的取值范围是

. …………14 分

12.设 且

为数列 .

的前 项和,对任意的

,都有

为常数,

(1)求证:数列

是等比数列;

(2) 设数列 的通项公式;

的公比

, 数列

满足

, 求数列

(3)在满足(2)的条件下,求数列

的前 项和



[答案] 188.(1)当

时,

,解得





时,









为常数,且



第 12 页 共 12 页





∴数列

是首项为 1,公比为

的等比数列.………………4 分

(2)由(1)得,







,∴







,∴





是首项为

,公差为 1 的等差数列.









) .…………………9 分

(3)由(2)知

,则





, ①

, ②

②-①得



第 13 页 共 13 页

∴ 13.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S4=4S2, a2n=2an+1. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;

. ………………14 分

(Ⅱ) 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 且 Tn+ 项和 Rn.

=λ(λ 为常数), 令 cn=b2n(n∈N*), 求数列{cn}的前 n

[答案] (Ⅰ) 设等差数列{an}的首项为 a1, 公差为 d. 由 S4=4S2, a2n=2an+1 得

解得 a1=1, d=2. 因此 an=2n-1, n∈N*.

(Ⅱ) 由题意知: Tn=λ-

,

所以 n≥2 时, bn=Tn-Tn-1=-

+

=

.

故 cn=b2n=

=(n-1)

, n∈N*.

所以 Rn=0×

+1×

+2×

+3×

+…+(n-1) ×

,

则 Rn=0× 两式相减得

+1×

+2×

+…+(n-2) ×

+(n-1) ×

,

第 14 页 共 14 页

Rn=

+

+

+…+

-(n-1) ×

=

-(n-1) ×

= -

,

整理得 Rn=

.

所以数列{cn}的前 n 项和 Rn=

.

第 15 页 共 15 页


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