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[中学联盟]广西钦州市灵山县第二中学高中数学必修五教学课件:数列求和1


方法总结

1.公式求和 2.分组求和 3.错位相减
4.裂项相消

对于等差数 列和等比数列 的前n项和可直 接用求和公式.

方法总结
1.公式求和

2.分组求和
3.错位相减 4.裂项相消

利用转化的思 想,将数列拆分、 重组转化为等差或 等比数列求和.常 用在{an±bn},其中 {an}为等差数列, {bn}为等比数列

方法总结 1.公式求和 2.分组求和 3.错位相减 4.裂项相消

如果 {an }是等差数列,

{bn } 是等比数列,
那么求数列 {an ? bn }

的前n项和,可用错位
相减法.

对于通项型如

方法总结 1.公式求和

1 an ? bn bn ?1

(其中 {bn } 为等差数列) 的数列,在求和时将每项 分裂成两项之差的形式, 一般除首末两项或附近 几项外,其余各项先后抵 消,可较易求出前n项和.

2.分组求和 3.错位相减
4.裂项相消

新课:

例1 求数列 的前

n 项和.

解: 设这个数列为 {bn },

1 1 1 bn ? ? ? n(n ? 1) n n ? 1

? Sn ? b1 ? b2 ?

? bn 1 1 ?( ? ) n n ?1

1 1 1 1 ?( ? )?( ? )? 1 2 2 3

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1 2 2 3
n ? n ?1

1 1 1 ? ? ? n n n ?1

练习:



1 1 1 , , , 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

的前 n 项和

n ( ) 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ( ? ? ? ? ? ) 2 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 例2.求数列 , ,? ? ?, ,? ? ? 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1 的前n项和

裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中 的具体应用. 其实质是将数列中的每项(通 项)分解,然后重新组合,使之能消去一些 项,最终达到求和的目的. zxxk 通项分解(裂项)方法总结:
① ②

1 1 1 ; an ? ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? k ) k n n ? k 1 ③ an ? ? n ?1 ? n ; n ?1 ? n an ?

变式训练:
(1)求和:

1 1 1 1+ + +?+ 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + ? + n
2n ( ) n ?1

1 2 1 1 an ? ? ? 2( ? ) n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1 2
1 1 1 1 1 S n ? 2(1 ? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 4 1 2n ? 2(1 ? )? n ?1 n ?1 1 1 ? ? ) n n ?1

(2)数列{an }的通项公式是an ? 若 Sn ? 10,则n= 120
.

1 n ?1 ? n

(3)在数列{an }中 1 2 n an ? ? ? ??? ? , n ?1 n ?1 n ?1 2 又bn ? ,求数列{bn }的前n项和 an ? an ?1

裂项相消

1 (其中?bn ?为等差数列) 对于通项型如an ? bnbn?1

的数列,在求和时将每项分裂成两项之差的 形式,一般除首末两项或附近几项外,其余

各项先后抵消,可较易求出前n项和.
注:见到通项为分式型的要往这种方法联想

1.求

1, (1 ? 2),(1 ? 2 ? 2 ), ,(1 ? 2 ? 2 ? ? 2 )
2 2

n?1

的和。

( 2 ?n?2)

n?1

an ? 2 ?1
n

Sn ? (2 ? 2 ? 2 ?
2 3

?2 )?n
n

? 2(2n ? 1) ? n ? 2n ?1 ? 2 ? n

2.求数列的

1 1?4

, , , ?,
1 4?7 1 7?10

1 (3n?2)(3n?1)

的前n项和

3.求数列

1 1 1 1 , 2 , 2 , 2 , 2 1 ? 2 2 ? 4 3 ?6 4 ?8
的前n项和 3 2n ? 3 Sn ? ? 4 2(n ? 1)(n ? 2)

1 1 1 1 1 an ? 2 ? ? ( ? ) n ? 2n n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 2n ? 3 ? (1 ? ? ? )? ? 2 2 n ? 1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2)


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